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13:13 by 王吉波, ... 阅读,
自序... - 4 -
作品简介... - 5 -
开篇语... - 6 -
数字幻方的变进制对角线二维前后方图法求解简介... - 6 -
数字幻方的介绍... - 6 -
二维前后方图以及其构造方法... - 6 -
3阶幻方数字转化为十进制数字方法... - 7 -
中心线重心数字或块中间边角第概念... - 7 -
混沌关系理论... - 7 -
第一章... - 8 -
3阶幻方求解... - 8 -
前后方图之斜飞法... - 8 -
第二章... - 12 -
5阶幻方求解... - 12 -
第一节... - 12 -
斜飞法快速求解5阶幻方方法... - 12 -
第二节... - 14 -
5阶幻方的第一类第一种的求解... - 14 -
第三章... - 16 -
4阶幻方的求解... - 16 -
第一节... - 16 -
第一类第一种前后方图的求解方法... - 16 -
第二节... - 17 -
第一类第二种非均匀分布边上数字和值相同的论述... - 17 -
第三节... - 23 -
第二类第一种对角线互补前后方图具体解法... - 23 -
第四章... - 36 -
乘法求解幻方... - 36 -
第一节... - 36 -
最简单的奇数合数9阶幻方的快速求解... - 36 -
第二节... - 38 -
偶数12阶幻方求解... - 38 -
第五章... - 40 -
倍增法求解偶数幻方... - 40 -
第一节... - 40 -
6阶幻方倍增图的快速求解... - 40 -
第二节... - 50 -
6阶幻方倍增图的通用形式求解... - 50 -
第六章... - 55 -
填充数字的抽取方法... - 55 -
第一节... - 55 -
填充方法分类... - 55 -
第二节... - 55 -
6阶幻方(可用于乘因子为3的乘法求解的所有幻方)数字填充等差法... - 55 -
第七章 8阶幻方的特殊解法外倍增法... - 73 -
第一节... - 73 -
借用4阶幻方第一类第二类前后方图图表快速求解小幻方块数字的抽取... - 73 -
第二节... - 74 -
8阶外倍增小幻方中按照单个数字的抽取... - 74 -
第三节... - 75 -
8阶数字的等差抽取... - 75 -
第四节... - 78 -
隔差排列的方法研究... - 78 -
第八章... - 79 -
小幻方块在大幻方位置不同达到和值相等的排列数量研究... - 79 -
第九章... - 80 -
乘法或倍增法求解幻方中数字的排列数量研究... - 80 -
第十章... - 81 -
幻方研究应用此法中的一些问题... - 81 -
附录一... - 82 -
880个基本的4阶方图对应的前方方图... - 82 -
880个基本的4阶方图对应的后方方图... - 94 -
880个基本的4阶幻方前后方图... - 106 -
880个基本的4阶十进制幻方图... - 118 -
附录二... - 130 -
混沌关系理论在四色原理中心点外画圈法证明中的应用... - 130 -
规律&&来自于刻苦的努力研究和转瞬即逝的灵感火花，是人类永恒的追求,如何在一片纷纷扰扰中,找到通往解决难题的捷径,探寻到事物的本质,是人们孜孜不倦并为之苦心研究的动力源泉。
数字幻方作为一个小学生可以求解，但仅靠一个人的努力，终生都不可能参悟得透的数字方面的难题。虽然前人在幻方破解及规律研究上有很多的发明创造，但本人用自己的方法方式，没有借鉴前人的术语和方法，而是自创了一套成体系的方法，暂时命名为数字幻方的变进制对角线二维前后方图法，并且在此基础上有研究了一些衍生方法，在这里一些术语在开篇语中，本人已做了一些说明，希望大家能做进一步了解。
在这个数字幻方的世界里,本人用了十数年研究,现已将数字幻方的一些便捷求解方法，或者说规律总结出来,并且付之于文字,对于这些不成熟的描述,以《数字幻方圣经》来命名,虽然圣经两字看似有所僭越,但是宗教里的著作《圣经》不是某一个人,也并不是某一个时期的著作,他是综合很多大家领袖、仁人志士和先知先觉们的很庞大的团队的智慧与辛勤汗水,耗费很长精力和时间编撰而成。本人将自己不算成熟而且亟待完善的研究成果提前公布于世,是希望抛砖引玉,欢迎有更多的数学爱好者，计算机编程爱好者，外语爱好者加入到这个数字幻方的研究创作团队里,共同将这本书完善起来，传播开去。在这个不带0的数字世界里，有很多奥妙美丽，希望大家在这里畅游，在此先谢过大家。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&作者：王吉波
作品《数字幻方圣经》_，于1996 年07月 01日开始创作， 2015 年6月 1日定稿完成，主要特点是用对角线二维方图变进制法的方法破解开4阶数字幻方的所有构造方式，一共有7040种排列图，用最简单的组合方式分类，并且用图表排列将其一一说明。在此书中首次将排列组合方法应用于数字幻方的求解，可以用此方法解出任意阶数字幻方的所有排列图，还发明了倍增法求解任意偶数阶数字幻方的方法，乘法求解数字幻方的方法，并提出数字的抽取概念和方法以及数字的排列方法，可以快速求解任意阶数字幻方。提出新的数学模式：混沌关系理论，并在倍增法求解6阶幻方有所具体介绍及应用，在附录一中，将4阶基本的880个幻方一一列表，在附录二中有对三大数学难题之一四色原理，利用混沌关系理论进行了论述，其相关的数学模式还需要大家共同努力建立。&
数字幻方的变进制对角线二维前后方图法求解简介
数字幻方是一种数字矩阵，来源于很早以前，据说洛书河图是最早的数字幻方，有几千年的历史，至今人们所得到的一些所谓的幻方巧妙的书写规律，只是看到了幻方很片面的地方，远远未达到真正破解其奥秘的要求，在这里本人将十数年的研究结果介绍给大家，希望有志于此的朋友们，和我一起将这一本远远未完善的幻方论著完善下去。
幻方的行数和列数为大于等于3的相同数字，用1依次加1至最大数字（即行数或列数的平方值）填充，使每一个数字都遍历，而且保持两条对角线上、行上、列上的数字相加和相同，边长为n的幻方称为n阶幻方
数字幻方的介绍
将n阶幻方中的十进制数字全部变成n进制数字，并且不带0这个数字，n为最大数字，满n进1，最大数字为n*n，在换算过程中，没有0这个数字出现在其中，在十进制难以解决的排序以及规律查找问题，迎刃而解。现以3阶幻方为例，十进制数1对应幻方数字11,以下是2对应12，3对应13,4对应21,5对应22,6对应23，7对应31,8对应32,9对应33，将前后数字分开之后，整个幻方图就将分解成2个数字矩阵图形，其中前面图称之为前维方图（以后简称前方图），后一个图称之为后维方图（以后简称后方图），这就是变进制对角线二维前后方图法的名称来历，其中在每一个图形中，因其各条行和列数量庞大，但是只有两条对角线，所以以对角线为着重研究对象，称为对角线法，综上所述，此方法名称为变进制法二维前后方图对角线法求解幻方。
二维前后方图以及其构造方法
经过十数年研究，本人发现其内在规律，现将其规律介绍一下，这个方法为依n阶为进制，对角线为分类依据，将1,2,3一直到n的数字按照列数或者行数一共n的平方个数字填充进幻方位置里，使所有数字遍历，在十进制数字和值相同情况下，依据构成前后方图中方图数字的和值的不同将前后方图分成两大类，第一类所有边对角线和值相同（不牵涉进退位），第二类所有对角线边和值不同（牵涉进退位在4阶幻方中为两条对角线互补），对于第一类的幻方方图，可以作为前后方图自行进行重叠合并，前方图数字安排在幻方数字前面，后方方图数字安排在幻方数字后边，合并得到的幻方数字图需要遍历所有数字，这样保持相应边上数字总的和值不变，幻方即成立，可以进一步转化为十进制数字；对于第二类的情况下，牵涉进制问题，就以1当n，或满n进1，需要将其前方图和后方图做一个和值对齐，就是说，在我们以后着重介绍的4阶幻方中，前方图后方图牵涉进制的数值为进退位1，所在位置只有对角线，并且对角线上和值互补，即一条为和值为9，另一条为11，这样才能使其余行列所有和值达到10，不论第一类的不牵涉进位的前后方图还是第二类牵涉进退位的前后方图，其组成规律为中心四个数字和值与边角四个数字和值同为10，而在行和列上如果出现进退位，无法再进行其余的行列和对角线和值的全部相等，对于前方图中如果一条对角线出现进位，即和值等于11，那么相应的后方图上数字的和值就需要减去4等于6即可达到幻方数字图中这条对角线和值为10的目的，同理前方图中如果一条对角线出现退位，即和值等于9，那么相应的后方图上数字的和值就需要加上4等于14即可可达到幻方数字图中这条对角线和值为10的目的。综上所述，这个方法即称为变进制对角线二维前后方图法求解数字幻方。后面的乘法求解以及倍增法快速求解幻方，其实质只是这个方法的一个变异。
前方图和后方图重合后可得到幻方数字方图，前后方图除了每一行列对角线相加全相等的情形外，在3阶上不存在第一类第一种全均匀分布和第二类牵涉进退位的分布，而在大于等于4阶幻方的情况下，因其还牵涉进制，所以前方图有进退1位情况，而相应的后方图也牵涉进为，所以有满n当1和以1当n的情形。所以将方前后图做等和、非等和分布两种：
一、第一类等和分布方图
任一条对角线、行、列上数字相加和相等，其中又细分为两种，第一种全均匀数字等和分布方图，即每一条行、列、对角线上数字都包含从1到n，第二种非均匀数字等和分布方图，即每一条行、列、对角线上数字有缺失的有重合的。其和值同样都是1+2+&+n=(1+n)/2*n
二、第二类非等和分布方图
其中有两条或大于2的偶数条行、列或对角线数字和相加不同。分为前后方图，前方图有以1当n的情况，而后方图也因为牵涉进制，所以有满n进1或减n退1的情形，为保持其相加和值的相同，前方图中如果那条边大于和值1的话，其对应后方图相同的边上就应该少n即以1当n，同理小1的话，对应后方图就应该多n即以n当1，这样非等和分布方图就又分成两种，即非等和前维方图，非等和后维方图。在3阶方图中，满3进1，那么后方图只有3,3,3一种组合，前方图相同边填充1,1,3,或1,2,2,都会有相同的幻方数字出现,达不到遍历数字的情况，所以非等和分布方图在3阶幻方中不存在,只能从4阶开始。以4阶幻方为例，后方图中全填成为4的话，其和为16减去10等于6大于满4进1，所以可以为也仅能够为14，组合为2,4,4,4或3,3,4,4,相对应的前维方图的和为9，组合为1,2,2,4或1,2,3,3。同理可以以1当4，后维方图边的和可以为6，组合为1,1,1,3或1,1,2,2。相对应前维方图的边和为11，组合为1,2,4,4或1,3,3,4。使其前后方图相应的边搭配保持总和值相同。
在以后的分析中，为方便论述将行、列统称为边。对角线分两个，左上到右下称为第1对角线，右上到左下称为第2对角线。
3阶幻方数字转化为十进制数字方法
幻方数字变成十进制数字如下：在n阶幻方中，求出二维前后方图，方图中的二维数字转换成十进制数字的方法为：前面数字减1乘以n加上后面数字即可得到，比如3阶的幻方数字22变为十进制数字5。4阶幻方的22变成十进制数字中的6。
中心线重心数字或块中间边角第概念
幻方中因为各个部位的不同，我们把其进行不同分类，中心线是在奇数阶幻方里，行或者列的中心一条的连线称为中心线；重心数字是在奇数阶幻方里，中心线和对角线相交于数字中的一处，称为重心数字，而在偶数幻方中，其没有重心数字，而在倍增求解偶数幻方时，我们把4个倍增数字组成的倍增块称为重心块；中间线是在奇数幻方里，行或者列的中心一条，在倍增求解偶数幻方称为中间块，边角数字或边角块是幻方的最左上、最右上、最左下、最右下的四个地方的数字或者块。倍增块指倍增法求解数字幻方时，由1234相邻四个数字组成的方格，块指的是除倍增块外乘法求解数字幻方时，乘幻方所组成的小方块。
等差是指在幻方中数字组合的抽取时，每一个组合和值差为一个定值。隔差指将组合数量分成两或多部分，其中相同数量的组合之间相差互补数字的差值。
混沌关系理论
在论述一个数学或逻辑学图论等领域时，只论述研究对象的相应关系，而对其精准的组成方法、数值、形状、几何尺寸等等内在的描述不做为研究重点，而是以相关对象之间的关系为研究重点。这种方法就叫混沌关系理论。
在6阶幻方倍增图的研究上，我采用了这一理论对和值的论述进行研究。
&&& 在附录二中对四色原理利用此理论进行研究。
3阶幻方求解
在3阶幻方中,前后方图不牵涉进位，只有一种即第一类，而在这一类中，对角线上为达到和值等于6，其一条对角线为123且重心只能为2，其另一条对角线除重心外，如果再填上1或者3，那么它就无法再填充中间的数字以达到各边和值相同，所以，在3阶幻方里，前后方图只有一种，即第一类第二种非均匀数字等和分布方图，
前后方图之斜飞法
将一条对角线添为全中值数字，另一条对角线填充上其余数字，并以全中值对角线为中心，两边对应填入其余数字，即为斜飞法，在快速求解奇数幻方中，是一种简单快捷的方法，以后经常用。
下面提到的第一种的两个，（11）（21）可以看做数字1,2,3的重排列，并且(21)也可以看做对（11）中数字用（1+3）即4数字相减。这就又得到了另一种快速求解的方法，即互补法，如果将这两个图相加每个图的相应位置数字和同为（1+n），在此例中为4。
第一种，左下到右上对角线全相同数字2，共2个
1&&&&&&&& &3& &2&&&& 3&& 1&& 2
3&&&&&&&& &2& &1&&&& 1&& 2&& 3
2& &1& &3&&&& 2&& 3&& 1
(11)&&&&&&&&&& (12)
第二种，左上到右下对角线全相同数字2，共2个
&2&&& 3&& 1&&&&& 2&& 1&& 3
&1&&& 2&& 3& &&&&3&& 2&& 1
&3&&& 1&& 2&&&&& 1&& 3&& 2
& &&&（21）&&&&&& （22）
上面的方图同一种的不能重合，第一张与第二种可以重合，前后可互移，共有8种组合，现论述如下并将其转换成十进制幻方
1、幻方数字（11） +& (21)
12& 33& 21
31& 22& 13
23& 11& 32
十进制数字
2&&&&&&&& 9& 4
7&&&&&&&& 5& 3
6&&&&&&&& 1& 8
这就是本书第一个3阶幻方即九宫图所说戴九履一，二四为肩，六八为足，三七为腰。
2、幻方数字（11）+（22）
12& 31& 23
33& 22& 11
21& 13& 32
十进制数字
& 2&& 7&& 6
& 9&& 5&& 1
& 4&& 3&& 8
3、幻方数字（12）+（21）
32&&&&&& 13& 21
11&&&&&& 22& 33
23&&&&&&& 31& 12
十进制数字
&8&& 3&& 4
&1&& 5&& 9
&6&& 7&& 2
4、幻方数字（12）+（22）
32&& 11& 23
13&& 22& 31
21&& 33& 12
十进制数字
5、幻方数字（21）+（11）
21&& 33&& 12
13&& 22&& 31
32&& 11&& 23
十进制数字
6、幻方数字（21）+（12）
23& 31& 12
11& 22& 33
32& 13& 21
十进制数字
7、幻方数字（22）+（11）
21& 13& 32
33& 22& 11
12& 31& 23
十进制数字
4&&&&&&&& 3& 8
8、幻方数字（22）+（12）
23& 11& 32
31& 22& 13
12& 33& 21
十进制数字
其表格如下：
其中行代表前方图，列代表后方图
综上所述，3阶幻方前后方图共有4个，一共只有8个幻方图形，求出任何一个可以求出其余七个，即旋转90度，180度，270度，左右镜像后再重复上述方法，所以在幻方中求出一个就意味着求出八个，我们将这一个幻方叫做基本幻方。任何阶幻方的总的个数都是能被8整除的偶数个，每一阶次的幻方都只要求出基本幻方的数量，其余的可以通过上面方法，得到其余的7个幻方，在4阶幻方中，其总的数量为7040个，我们只要求出基本的880个，其余的即可推理得到。
现在我们再将上面方法推而广之，在求解任意阶奇数幻方的时候，都可以用这种第一类第二种方法，即任一条对角线为全相同中间值数字，另一条为全分布数字，用排列方法快速求出，再填充其余数字即可得到所求的方图，再镜像，求出另一组方图，然后相互重合，转换成十进制即可得出幻方。
5阶幻方求解
5阶幻方是比最简单的3阶幻方复杂的奇数类幻方，3阶中，因为其和值组合的局限性，其实质上就是一个基本的幻方，其余的7个都是其通过镜像旋转变换来的，而到了5阶幻方，才能够显示出其复杂性，在这里着重介绍了几个简单的构造方法，对于全部的幻方没做进一步研究。
斜飞法快速求解5阶幻方方法
为了解斜飞法，我们接上节方法继续论述，斜飞法是一种快速求解奇数幻方的方法，其具体方法如下：
以第1对角线为第一填充对象，填入数字1，2，3，&&，n*n，其中n为n阶幻方的数字n，其以第2对角线为全均匀中值对角线，对应的另一条对角线为左上到右下1、2、3、4、5排列，中间值3不动，求出（11）方图后即可得到1、2、4、5排列方图即排列4共计24种排列，镜像后得到另外24种排列方图，这样就快速求出24*24*2种共计1152个5阶幻方。
1）斜飞法举例求解5阶幻方
&&&& （11）
1& 4& 2& 5& 3
4& 2& 5& 3& 1
2& 5& 3& 1& 4
5& 3& 1& 4& 2
3& 1& 4& 2& 5
（11）左右镜像求得
3& 5& 2& 4& 1
1& 3& 5& 2& 4
4& 1& 3& 5& 2
2& 4& 1& 3& 5
5& 2& 4& 1& 3
&（11）+（21）
幻方数字如下：
13& 45& 22& 54& 31
41& 23& 55& 32& 14
24& 51& 33& 15& 42
52& 34& 11& 43& 25
35& 12& 44& 21& 53
&&&&& （1）
转换成十进制数字：
3& 20&& 7& 24& 11
16& 8& 25& 12&& 4
9& 21& 13& &5& 17
22& 14& 1& 23& 10
15& 2& 19&& 6& 17
2）前后方图互换位置
还是以上面例子为说明
&&& （21）+（11）
&& 31& 54& 22& 45& 13
&& 14& 32& 55& 23& 41
&& 42& 15& 33& 51& 24
&& 25& 43& 11& 34& 52
&& 35& 21& 44& 12& 35
&&&&&&&&&& （2）
转换成十进制数字：
&& 11& 24&& 7& 20&& 3
&&& 4& 12& 25&& 8& 16
&& 17&& 5& 13& 21&& 9
&& 10& 23&& 1& 14& 22
&& 17&& 6& 19&& 2& 15
&&&&&& （2）
可以看出互换前后方图在这里就是左右镜像，斜飞法实质上是第一类第二种的方图类型。
5阶幻方的第一类第一种的求解
第一类第一种即全均匀分布还是以左下到右上对角线做研究对象，以12345顺序求出第一个方图。
&& 一、幻方数字另一条对角线为2,1,3,5,4排列如下：
2&& 4&& 1&& 3&& 5
5&& 1&& 2&& 4&& 3
4&& 5&& 3&& 1&& 2
3&& 2&& 4&& 5&& 1
1&& 3&& 5&& 2&& 4
&&&&& （11）
将（11）数字再排列可得到排列5种幻方图
比方变为12354排列
左右镜像得到
5&& 3&& 1 &&4&& 2
3&& 4&& 2&& 1&& 5
2&& 1&& 3&& 5&& 4
1&& 5&& 4&& 2&& 3
4&& 2&& 5&& 3&& 1
&& &&&（21）
（11）+（21）
25& 43& 11& 34& 52
53& 14& 22& 41& 35
42& 51& 33& 15& 24
31& 25& 44& 52& 13
14& 32& 55& 23& 41
十进制数字
10& 18& &1& 14& 22
23& &4&& 7& 16& 15&&
17& 21& 13& &5&& 9
21& 10& 19& 22& &3
4& 12& 25&& 8& 16
其中（11）可以在排列成排列5个种即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。
二、幻方数字另一条对角线为4,1,3,5,2排列如下：
4& 3& 1& 2& 5
5& 1& 2& 4& 3
2& 5& 3& 1& 4
3& 2& 4& 5& 1
1& 4& 5& 3& 2
&&&& （11）
同理对其进行左右镜像，再重合也可得出可以在排列成排列5即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。不再赘述。
继续我们的研究，还发现在这个方图中可以与下面左下到右上对角线镜像的进行重合
2& 1& 4& 3& 5
3& 5& 1& 4& 2
5& 4& 3& 2& 1
4& 2& 5& 1& 3
1& 3& 2& 5& 4
也可得出可以在排列成排列5个种即120种，同样（21）可以排列为120种，其相应组合即为120乘120乘2合计28800种。不再赘述。
在5阶幻方中仅此第一类第二种相同的组合使用上面的方法已经达到28800乘3种幻方图，如果再加上其余再混合，就更复杂，对于其余的不再论述。在下面的章节中着重介绍4阶幻方的解法，因为它是快速求解大于4的偶数幻方的基础，可直接用于快速求解偶数幻方，也能用于倍增法求解幻方。
&4阶幻方的求解
一、4阶幻方的重要性简介
4阶幻方的前后方图是倍增法快速求解大于6的偶数阶幻方以及乘法快速求解其余偶数幻方的基础应用，所以以下我用最大篇幅讲述四阶幻方的求解。
二、具体分类以及求解方法
为方便将其前后方图分为两大类，1、第一类，方图的每条边包括对角线的数字和值为10的统称为第一类，又分为两种，第一种为全均匀分布，每条边、对角线上的每个幻方数字都遍历。第二种是除去第一种，边上、对角线上有幻方数字有缺失和重合现象。2、第二类，前后方图的两条边的和不相同，其中前方图一条边和为9，一条和为11，而其对应的后方图相应的边为保持和值相同，变为和值14和和值6，分成两种，第一种为对角线互补前后方图，第二种除第一种外的其他类型，在4阶幻方中没出现。在下面将具体论述。
第一类第一种前后方图的求解方法
我们还是以第2对角线为研究方向，方法论述如下：
前后方图的第一个（11）以第二对角线为第一填充对象，以1,2,3,4填入得出（11）
2& 3& 1& 4
4& 1& 3& 2
3& 2& 4& 1
1& 4& 2& 3
第2对角线镜像得出（21）
3& 1& 2& 4
2& 4& 3& 1
4& 2& 1& 3
1& 3& 4& 2
幻方数字方图
23& 31& 12& 44
42& 14& 33& 21
34& 22& 41& 13
11& 43& 24& 32
转换成十进制数字幻方：
7&& 9&& 2& 16
14&& 4& 11&& 5
12&& 6& 13&& 3
1&& 15& 8&& 10
将上面的（11）中数字重新排列可得到（排列4）个方图，即24个方图，每种都有24个第二对角线（左下到右上）镜像，一共有24乘24即576种，再将其数字前后翻转，（还有几种方法与其相同：在幻方方图中的数字用5去减，或者求出十进制幻方的基础上，每个数字再被十进制数字17去减），又得出其余576种，总共第一类第一种合计为1152个幻方，不再一一论述。
第一类第二种非均匀分布边上数字和值相同的论述
第一、方图分类
在这一类前后方图中，每一条边上的数字不是都遍历1,2,3,4，而是有重合有缺失，但满足和值相同，同时遍历4遍1,2,3,4，现将其具体分为14类：
1）对角线1234对应对角线1234
第（1）组合
1 4 4 1&& 1 4 4 1&& 2 3 3 2&& 2 3 3 2&& 3 2 2 3&& 3 2 2 3&& 4 1 1 4&&& 4 1 1 4
3 2 2 3&& 2 3 3 2&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 3 2 2 3&&& 2 3 3 2
2 3 3 2&& 3 2 2 3&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 2 3 3 2&&& 3 2 2 3
4 1 1 4&& 4 1 1 4&& 3 2 2 3&& 3 2 2 3&& 2 3 3 2&& 2 3 3 2&& 1 4 4 1&&& 1 4 4 1
第1对角线镜像
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4
4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&第（2）组合
1 4 1 4&& 1 4 1 4&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1
3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3
4 1 4 1&& 4 1 4 1&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 1 4 1 4&& 1 4 1 4
2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
1 3 4 2 &&1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&第（3）组合
1 4 1 4&& 1 4 1 4&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1
4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4
3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 3 4 1 2&& 2 4 1 3
2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 4 3 2&& 1 4 2 3&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 4 1 3 2&& 4 1 2 3
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
4 1 2 3&& 4 1 3 2&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 2 3 1 4&& 2 3 4 1&& 1 4 2 3&& 1 4 3 2
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&第（4）组合
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3
4 1 4 1&& 4 1 4 1&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 1 4 1 4&& 1 4 1 4
2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 2 1 4 3&& 3 2 4 2
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 1 2&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
3 2 1 4&& 2 3 1 4&& 4 1 2 3&& 1 4 2 3&& 4 1 3 2&& 1 4 3 2&& 3 2 4 1&& 2 3 4 1
2 3 4 1&& 3 2 4 1& &1 4 3 2&& 4 1 3 2&& 1 4 2 3&& 4 1 2 3&& 2 3 1 4&& 3 2 1 4
4 2 1 3&& 4 3 2 1&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&第（5）组合
1 1 4 4&& 1 1 4 4&& 2 2 3 3&& 2 2 3 3& &3 3 2 2&& 3 3 2 2&& 4 4 1 1&& 4 4 1 1
4 4 1 1&& 4 4 1 1&& 3 3 2 2&& 3 3 2 2&& 2 2 3 3&& 2 2 3 3&& 1 1 4 4&& 1 1 4 4
2 2 3 3 &&3 3 2 2&& 1 1 4 4&& 4 4 1 1&& 1 1 4 4&& 4 4 1 1&& 2 2 3 3&& 3 3 2 2
3 3 2 2&& 2 2 3 3&& 4 4 1 1&& 1 1 4 4&& 4 4 1 1&& 1 1 4 4&& 3 3 2 2&& 2 2 3 3
&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 4 2 3&& 1 4 3 2&& 2 3 1 4&& 2 3 4 1&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 4 1 2 3&& 4 1 3 2
1 4 2 3&& 1 4 3 2&& 2 3 1 4&& 2 3 4 1&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 4 1 2 3&& 4 1 3 2
4 1 3 2&& 4 1 2 3&& 3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 1 4 3 2&& 1 4 2 3
4 1 3 2&& 4 1 2 3&& 3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 1 4 3 2&& 1 4 2 3
&第（6）组合
&&&&&&&&&&&&&
1 1 4 4& 1 1 4 4&& 2 2 3 3&&& 2 2 3 3&&& 3 3 2 2&& 3 3 2 2&& 4 4 1 1&&& 4 4 1 1
3 4 1 2& 2 4 1 3&& 4 3 2 1&&& 1 3 2 4&&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 2 1 4 3&&& 3 1 4 2
4 3 2 1& 4 2 3 1&& 3 4 1 2&&& 3 1 4 2&&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&&& 1 3 2 4
2 2 3 3& 3 3 2 2&& 1 1 4 4&&& 4 4 1 1&&& 4 4 1 1&& 1 1 4 4&& 3 3 2 2&&& 2 2 3 3
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&第1对角线镜像
1 3 4 2& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&&& 2 1 3 4&&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 4 2 1 3&&& 4 3 1 2
1 4 3 2& 1 4 2 3&& 2 3 4 1&&& 2 3 1 4&&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 4 1 2 3&&& 4 1 3 2
4 1 2 3& 4 1 3 2&& 3 2 1 4&&& 3 2 4 1&&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 1 4 3 2&&& 1 4 2 3
4 2 1 3& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&&& 3 4 2 1&&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 1 3 4 2&&& 1 2 4 3
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第（7）组合
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&&& 3 4 1 2&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1
4 4 1 1&& 4 4 1 1&& 3 3 2 2&&& 3 3 2 2&& 2 2 3 3&&& 2 2 3 3&& 1 1 4 4&& 1 1 4 4
2 2 3 3&& 3 3 2 2&& 1 1 4 4&&& 4 4 1 1&& 4 4 1 1&&& 1 1 4 4&& 3 3 2 2&& 2 2 3 3
3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 4 2 3 1&&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&&& 4 3 2 1&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 4 2 3& 1 4 3 2&&& 2 3 1 4&&& 2 3 4 1&& 3 2 4 1&&& 3 2 1 4&& 4 1 3 2&& 4 1 2 3
3 4 1 2& 2 4 3 1&&& 4 3 1 2&&& 1 3 4 2&& 1 2 4 3&&& 4 2 1 3&& 2 1 3 4&& 3 1 2 4
2 1 3 4& 3 1 2 4&&& 1 2 4 3&&& 4 2 1 3&& 4 3 1 2&&& 1 3 4 2&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1
4 1 3 2& 4 1 2 3&&& 3 2 4 1&&& 3 2 1 4&& 2 3 1 4&&& 2 3 4 1&& 1 4 2 3&& 1 4 3 2
2）对角线1144以及对角线2233的组合
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&第（8）组合
1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3
2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 2 4 1 3&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4
3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1
4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2
第1对角线镜像相同但把相同类型的归于这类
3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1
4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3
1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4
&&&&&& &&&&&&&&
第（9）组合
1 4 2 3&& 1 4 3 2&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 4 1 3 2&& 4 1 2 3
4 1 3 2&& 4 1 2 3&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 2 3 1 4&& 2 3 4 1&& 1 4 2 3&& 1 4 3 2
3 2 4 1&& 2 3 4 1&& 1 4 3 2&& 4 1 3 2&& 1 4 2 3&& 4 1 3 2&& 2 3 1 4&& 3 2 1 4
2 3 1 4&& 3 2 1 4&& 4 1 2 3&& 1 4 2 3&& 4 1 3 2&& 1 4 3 2&& 3 2 4 1&& 2 3 4 1
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像相同
第（10）组合
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1& &2 1 3 4&& &3 4 2 1& &3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
2 4 3 1&& 3 4 2 1&& 1 3 4 2& &4 3 1 2&& &1 2 4 3& &4 2 1 3&& 2 1 3 4&& 3 1 2 4
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4& &3 4 2 1&& &2 1 3 4& &2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
3 1 2 4&& 2 1 3 4&& 4 2 1 3& &1 2 4 3&&& 4 3 1 2& &1 3 4 2&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1
&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像相同
3）对角线1333与2224组合
&&第（11）组合
1 1 4 4&& 1 1 4 4&& 1 4 1 4&& 1 4 1 4&& 4 4 1 1&& 4 4 1 1&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1
3 3 2 2&& 4 3 2 1&& 3 3 2 2& &4 3 2 1&& 2 2 3 3&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 2 2 3 3
4 2 3 1&& 3 2 3 2&& 4 2 3 1&& 3 2 3 2&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 1 3 2 4
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2
&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&第1对角线镜像
1 3 4 2&& 1 4 3 2&& 1 3 4 2&& 1 4 3 2&& 4 2 1 3 &&4 1 2 3&& 4 1 2 3&& 4 2 1 3
1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4
4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1
4 2 1 3&& 4 1 2 3&& 4 2 1 3&& 4 1 2 3&& 1 3 4 2&& 1 4 3 2&& 1 4 3 2&& 1 3 4 2
&&&& &&&&&&&&第（12）组合
2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3&& 2 2 3 3&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 3 2 2&& 3 3 2 2
1 4 1 4&& 4 4 1 1&& 1 4 1 4&& 4 4 1 1&& 4 1 4 1&& 1 1 4 4&& 4 1 4 1&& 1 1 4 4
4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1
3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3
第1对角线镜像
2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3 &&2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2
1 4 3 2&& 1 4 3 2&& 2 4 3 1&& 2 4 3 1&& 4 1 2 3&& 4 1 2 3&& 3 1 2 4&& 3 1 2 4
4 1 2 3&& 4 1 2 3&& 3 1 2 4&& 3 1 2 4&& 1 4 3 2&& 1 4 3 2&& 2 4 3 1&& 2 4 3 1
3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3
& &&&&&&&&&&第（13）组合
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2
4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4
1 1 4 4&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1&& 1 1 4 4&& 1 4 1 4&& 4 4 1 1&& 1 4 1 4&& 4 4 1 1
3 3 2 2&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 2 2 3 3&& 2 2 3 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3
第1对角线镜像
2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2
4 2 1 3&& 4 2 1 3&& 3 2 1 4&& 3 2 1 4&& 1 3 4 2&& 1 3 4 2&& 2 3 4 1&& 2 3 4 1
1 3 4 2&& 1 3 4 2&& 2 3 4 1&& 2 3 4 1&& 4 2 1 3&& 4 2 1 3&& 3 2 1 4&& 3 2 1 4
3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3
&& &&&&&&&&&第（14）组合
2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2
3 2 3 2&& 4 2 3 1&& 3 2 3 2&& 4 2 3 1&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3
4 3 2 1&& 3 3 2 2&& 4 3 2 1&& 3 3 2 2&& 2 2 3 3&& 1 2 3 4&& 2 2 3 3&& 1 2 3 4
1 4 1 4&& 1 4 1 4&& 1 1 4 4&& 1 1 4 4&& 4 4 1 1&& 4 4 1 1&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1
&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
2 3 4 1&& 2 4 3 1&& 2 3 4 1&& 2 4 3 1&& 3 1 2 4&& 3 2 1 4&& 3 1 2 4&& 3 2 1 4
1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1
4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4
3 2 1 4&& 3 1 2 4&& 3 2 1 4&& 3 1 2 4&& 2 4 3 1&& 2 3 4 1&& 2 4 3 1&& 2 3 4 1
&&&&&&&&&&
因为第一类第一种和第二种都不牵涉进制的问题，可以放到一起研究，看看有没有可以求解出的幻方， 全均匀第一类第一种可设定为第（15）组合仅举一例其余可以用排列得出：
第（15）组合
第1对角线镜像
实践证明，全均匀分布第（15）组合与上面的14种组合无法构成幻方。
上面的所有的第一类前后方图的数阵都有一个规律，即重心块四个方图数字相加的和值为10，边角方图数字相加和值也为10，在下面所讲的第二类的前后方图也遵循这个规律。
二、前后方图重合求解四阶幻方
我们将上面的每一个组合如果有对角线镜像的上面的作为?，从左到右命为1,2,3&&8，下面为??，同样从左到右命为1,2,3&&8。下面介绍前后方图重合的具体情况：
在这里只取前面组合与后面组合在数字上相同的或大一些的。
（1）+（1）=16*8&&& ?*??& ??*?
（1）+（2）=16*8&&& ?*??& ??*?
（1）+（5）=16*8&&& ?*??& ??*?
（1）+（8）=16*16&&& 全组合都可以重合
（2）+（2）=16*8&&& ?*??& ??*?
（2）+（5）=16*8&&& ?*??& ??*?
（2）+（10）=16*8&&& ?*??& ??*?
（2）+（11）=16*2&&& ?*??(4,7)& ??*?(4,7)
（2）+（12）=16*2&&& ?*??(1,5)& ??*?(1,5)
（2）+（13）=16*2&&& ?*??(3,7)& ??*?(3,7)
（2）+（14）=16*2&&& ?*??(1,8)& ??*?(1,8)
（3）+（6）=16*8&&& ?*??& ??*?
（3）+（11）=16*2&&& ?*??(2,6)& ??*?(2,6)
（3）+（14）=16*2&&& ?*??(3,6)& ??*?(3,6)
（4）+（7）=16*8&&& ?*??& ??*?
（4）+（12）=16*2&&& ?*??(2,6)& ??*?(2,6)
（4）+（13）=16*2&&& ?*??(2,6)& ??*?(2,6)
（5）+（5）=16*8&&& ?*??& ??*?
（5）+（9）=16*8&&& ?*??& ??*?
（5）+（11）=16*2&&& ?*??(1,6)& ??*?(1,6)
（5）+（12）=16*2&&& ?*??(4,8)& ??*?(4,8)
（5）+（13）=16*2&&& ?*??(1,6)& ??*?(1,6)
（5）+（14）=16*2&&& ?*??(4,5)& ??*?(4,5)
（6）+（11）=16*2&&& ?*??(3,8)& ??*?(3,8)
（6）+（14）=16*2&&& ?*??(2,7)& ??*?(2,7)
（7）+（12）=16*2&&& ?*??(3,7)& ??*?(3,7)
（7）+（13）=16*2&&& ?*??(1,5)& ??*?(1,5)
（8）+（9）=16*4&&& ?*??(1,4,5,8)& ??*?(1,4,5,8)
（8）+（10）=16*4&& ?*??(1,4,5,8)& ??*?(1,4,5,8)
（9）+（10）=8*8&&& 全组合
放到一个图表中进行重合，在其对应的地方写上重合的个数得出下列图表所示
4阶幻方前后方图第一类所有组合构造得出幻方图表如下：
&&& 这个图表在以后的16阶幻方的内对齐外倍增法求解的时候作为每个小幻方块里面数字的抽取还将再一次应用到，以后章节会详细说明。
通过以上表格我们可求得第一类所有的构造4阶幻方个数
2*16*16=512
17*8*16=2176
&&&& 4*16*4=256
1*24*48=1152
32*16*2=1024
合计5248个幻方图。
第二类第一种对角线互补前后方图具体解法
此类前方图中数字和值因牵涉进退1位，故其有两条边数字的合值为互补的9或11，下面分类以第一对角线做研究对象，分类讲一下，
&第二类第一种前后方图非等和方图，这个只举前方图第一对角线和为9，另一条对角线和为11的方图，而后方图对应需要进位，所以第一对角线和为14，另一条对角线和为6的方图，另一类可以用左右镜像（或者用数字5减去数阵中的幻方数字，殊途同归）即可求得，在这里所有的和第二类第一种牵涉进制的后方图重合时都必须单独每一个论述，看是否遍历数字，如果遍历可得出幻方。
所有的第二类第一种前后方图的数阵和第一类相似，都有一个规律，即重心块四个方图数字相加的和值为10，边角方图数字相加和值也为10，在下面所罗列的第二类第一种的前后方图遵循这个规律。
一、前方图求解
每个组合都是对角线9-11分布，而其余的各边上数字和值都是10.
1）1134和2234组合
1 4 2 3&& 1 3 4 2&& 1 4 2 3& &1 4 3 2&& 1 3 2 4&& 1 4 3 2& &1 4 1 4&& 1 4 3 2
3 1 4 2 &&4 1 2 3&& 4 1 4 1&& 4 1 2 3& &4 1 3 2&& 3 1 2 4&& 4 1 3 2&& 4 1 2 3
4 2 3 1&& 2 4 3 1&& 3 2 3 2&& 2 4 3 1&& 3 2 4 1&& 2 3 4 1&& 3 2 4 1&& 1 3 4 2
2 3 1 4&& 3 2 1 4&& 2 3 1 4&& 3 1 2 4&& 2 4 1 3&& 4 2 1 3&& 2 3 2 3&& 4 2 1 3
& ⑴&& &&&⑵&&&&&& ⑶&&&&& ⑷&&&&&& ⑸&&&&& ⑹&&&&&& ⑺&&&& &&⑻
1 2 4 3&& 1 4 3 2&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2&& 1 2 3 4&& 1 3 4 2&& 1 1 4 4&& 1 3 4 2
4 3 2 1&& 2 3 4 1&& 3 3 2 2&& 2 3 4 1&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1&& 3 4 2 1&& 1 4 3 2
3 4 1 2&& 4 2 1 3&& 4 4 1 1&& 4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 2 1 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
2 1 3 4&& 3 1 2 4&& 2 1 3 4&& 3 2 1 4&& 2 1 4 3&& 4 1 2 3&& 2 2 3 3&& 4 1 2 3
&（9）&& （10）&& (11)&&& （12）&& （13）&& （14）& （15）&& (16)
3 2 1 4&& 3 4 1 2&& 3 2 1 4&& 3 3 2 2&& 3 1 4 2&& 3 1 2 4&& 3 2 3 2&& 3 1 2 4
4 1 2 3&& 2 1 3 4&& 3 1 2 4&& 2 1 3 4&& 1 4 2 3&& 1 4 3 2&& 1 4 2 3&& 2 4 3 1
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 3 4 1&& 1 2 4 3&& 2 3 1 4&& 4 2 1 3&& 2 3 1 4&& 3 2 1 4
2 4 3 1&& 4 3 2 1&& 2 4 3 1&& 4 4 1 1&& 4 2 3 1&& 2 3 4 1&& 4 1 4 1&& 2 3 4 1
&(17)&&& （18）& （19）&& （20）& （21）&& （22）& （23）&& （24）
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 4 1 2 3&& 4 3 1 2&& 4 1 2 3&& 4 1 3 2&& 4 1 3 2&& 4 2 1 3
3 1 2 4&& 2 1 4 3&& 3 1 2 4&& 1 1 4 4&& 1 3 4 2&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 1 3 4 2
1 4 3 2&& 1 2 3 4&& 1 4 3 2&& 2 2 3 3&& 3 2 1 4&& 2 4 1 3&& 1 4 1 4&& 3 2 1 4
2 3 4 1&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1&& 3 2 4 1&& 3 2 4 1&& 2 3 4 1
（25）& （26）&& （27）&&& (28)&&&& (29)&&&& (30)&&&&& (31)&&&& (32)
1 3 2 4 &&1 2 3 4&& 1 1 4 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 1 1 4 4&& 1 2 3 4
2 3 1 4&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2&& 1 4 2 3&& 2 3 2 3&& 2 3 1 4&& 2 4 1 3&& 1 4 2 3
3 2 4 1&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3&& 4 1 3 2&& 3 1 4 2&& 3 2 4 1&& 3 2 3 2&& 4 1 3 2
4 2 3 1&& 4 4 1 1&& 4 3 2 1& &4 2 3 1&& 4 4 1 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1
（33）&&& (34)&&&& (35)&&&& (36)&&&& (37)&&&&& (38)&&&& (39)&&&& (40)
2)1224和1334组合
1 4 4 1&& 1 3 2 4&& 1 4 4 1&& 1 2 3 4&& 1 4 2 3&& 1 3 2 4&& 1 2 4 3&& 1 3 2 4
3 2 3 2&& 4 2 3 1&& 2 2 3 3&& 4 2 3 1&& 3 2 1 4&& 4 2 3 1&& 3 2 1 4&& 2 2 3 3
2 3 2 3&& 4 3 2 1&& 3 3 2 2&& 4 3 2 1&& 2 3 4 1&& 2 1 4 3&& 2 3 4 1&& 4 1 4 1
4 1 1 4&& 1 3 2 4&& 4 1 1 4&& 1 3 2 4&& 4 1 3 2&& 3 4 1 2&& 4 3 1 2&& 3 4 1 2
(41)&&&&& (42)&&&& (43)&&&& (44)&&&& (45)&&&& (46)&&&& (47)&&&&& (48)
1 4 2 3&& 1 4 1 4&& 1 2 4 3&& 1 4 1 4&& 1 2 4 3&& 1 2 3 4&& 1 2 4 3&& 1 1 4 4
4 2 1 3&& 4 2 3 1&& 4 2 1 3&& 2 2 3 3&& 2 4 3 1&& 2 4 1 3&& 1 4 3 2&& 2 4 1 3
1 3 4 2&& 2 1 4 3&& 1 3 4 2&& 4 1 4 1&& 3 1 2 4&& 4 3 2 1&& 4 1 2 3&& 4 3 2 1
4 1 3 2&& 3 3 2 2&& 4 3 1 2&& 3 3 2 2&& 4 3 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 1 2&& 3 2 3 2
(49)&&&& (50)&&&& (51)&& （52）&& （53）&& （54）& （55）& &（56）
1 1 4 4&& 1 4 2 3&& 1 4 2 3&& 1 2 3 4&& 2 3 4 1&& 2 4 1 3&& 2 3 4 1&& 2 2 3 3
4 4 1 1&& 1 4 3 2&& 2 4 3 1&& 4 4 1 1&& 4 1 3 2&& 3 1 4 2&& 2 1 3 4&& 3 1 4 2
2 3 2 3&& 4 1 2 3&& 3 1 2 4& &2 3 2 3&& 1 4 2 3&& 4 3 2 1&& 3 4 2 1&& 4 3 2 1
3 2 3 2&& 4 1 3 2&& 4 2 3 1&& 3 1 4 2&& 3 2 1 4&& 1 2 3 4&& 3 2 1 4&& 1 4 1 4
（57）& （58）&& （59）& （60）&& （61）& &（62）& （63）&& （64）
2 4 3 1&& 2 4 1 3&& 2 4 3 1&& 2 2 3 3&& 2 1 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 3 4&& 2 3 2 3
4 1 3 2&& 4 1 4 1&& 2 1 3 4&& 4 1 4 1&& 4 2 1 3&& 1 2 3 4&& 3 2 1 4&& 1 2 3 4
1 4 2 3&& 3 3 2 2&& 3 4 2 1&& 3 3 2 2&& 1 3 4 2&& 3 1 4 2&& 2 3 4 1&& 3 1 4 2
3 1 2 4&& 1 2 3 4&& 3 1 2 4&& 4 1 1 4&& 3 4 2 1&& 4 3 2 1&& 3 4 2 1 &&4 4 1 1
（65）& （66）&& （67） &（68）&& （69）&& （70）& （71）& （72）
2 4 1 3&& 2 3 1 4&& 2 3 1 4&& 2 3 2 3&& 2 4 3 1&& 2 1 4 3&& 2 3 4 1&& 2 1 4 3
3 2 3 2&& 4 2 1 3&& 3 2 1 4&& 3 2 3 2&& 1 2 4 3&& 4 2 3 1&& 1 2 4 3&& 3 2 3 2
1 1 4 4&& 1 3 4 2&& 2 3 4 1&& 1 1 4 4&& 4 3 1 2&& 3 4 1 2&& 4 3 1 2&& 4 4 1 1
4 3 2 1&& 3 2 4 1&& 3 2 4 1&& 4 4 1 1&& 3 1 2 4&& 1 3 2 4&& 3 2 1 4&& 1 3 2 4
(73)&&&& (74)&&&& (75)&&&& (76)&&&&& (77)&&&& (78)&&&& (79)&&&& (80)
2 4 3 1&& 2 3 2 3&& 2 3 4 1&& 2 3 2 3&& 2 3 1 4&& 2 1 4 3&& 2 1 3 4&& 2 2 3 3
3 2 4 1&& 4 2 3 1& &3 2 4 1&& 3 2 3 2&& 1 4 3 2&& 3 4 1 2&& 1 4 3 2&& 1 4 1 4
2 3 1 4&& 3 4 1 2&& 2 3 1 4&& 4 4 1 1&& 4 1 2 3&& 1 3 2 4&& 4 1 2 3&& 3 3 2 2
3 1 2 4&& 1 1 4 4&& 3 2 1 4&& 1 1 4 4&& 3 2 4 1&& 4 2 3 1&& 3 4 2 1&& 4 2 3 1
(81)&&&& (82)　　（83）　& (84)&&&& (85)&&&&& (86)&&&& (87)&&&& (88)
2 3 1 4&& 2 2 3 3&& 2 1 3 4&& 2 2 3 3&& 4 2 3 1&& 4 2 1 3&& 4 2 3 1&& 4 1 2 3
2 4 3 1&& 3 4 1 2&& 2 4 3 1&& 1 4 1 4&& 2 1 4 3&& 2 1 3 4&& 1 1 4 4&& 2 1 3 4
3 1 2 4&& 1 3 2 4&& 3 1 2 4&& 3 3 2 2&& 1 3 2 4 &&3 4 2 1&& 2 3 2 3&& 3 4 2 1
3 2 4 1&& 4 1 4 1&& 3 4 2 1&& 4 1 4 1&& 3 4 1 2&& 1 3 4 2&& 3 4 1 2&& 1 4 3 2
(89)&&&& (90)&&&&& (91)&&&& (92)&&&& (93)&&&& (94)&&&& (95)&&&&& (96)
4 2 1 3&& 4 4 1 1&& 4 4 1 1&& 4 1 2 3&& 4 1 2 3&& 4 1 4 1&& 4 1 2 3&& 4 3 2 1
4 1 3 2&& 2 1 4 3&& 1 1 4 4&& 4 1 3 2&& 1 2 4 3&& 1 2 3 4&& 3 2 4 1&& 1 2 3 4
1 4 2 3&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 1 4 2 3&& 4 3 1 2&& 2 4 1 3&& 2 3 1 4&& 2 4 1 3
1 3 4 2&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2 &&1 4 3 2&& 1 4 3 2&& 3 3 2 2&& 1 4 3 2&& 3 1 4 2
（97）& （98）&& （99）& （100）& （101） （102）& （103）& (104)
4 2 1 3&& 4 3 2 1&& 4 2 1 3&& 4 1 4 1&& 4 3 2 1&& 4 1 1 4&& 4 2 3 1&& 4 1 1 4
3 2 4 1&& 2 2 3 3&& 1 2 4 3&& 2 2 3 3&& 1 2 3 4&& 3 2 3 2&& 1 2 3 4&& 2 2 3 3
2 3 1 4&& 1 4 1 4&& 4 3 1 2&& 1 4 1 4&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 1 3 2 4&& 3 3 2 2
1 3 4 2&& 3 1 4 2&& 1 3 4 2&& 3 3 2 2&& 4 2 3 1&& 1 4 4 1&& 4 3 2 1&& 1 4 4 1
(105） （106）&& (107)&&& (108)&&&& (109)&&& (110)&&& (111)&&& (112)
2 1 4 3&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3&& 2 2 3 3&& 2 4 1 3
3 4 1 2&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 3 1 4 2&& 2 4 1 3&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 2 1 4 3
2 4 1 3&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 3 1 4 2
3 1 4 2&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 3 2 2&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2
（113） （114） （115）& （116）&& (117)&&& (118)&&& (119)&&&& (120)
3）1233和1244组合
1 3 2 4&& 1 3 4 2&& 1 4 1 4&& 1 3 4 2&& 1 4 3 2&& 1 2 3 4&& 1 4 3 2&& 1 1 4 4
3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 3 2 4 1&& 4 2 1 3&& 2 3 4 1&& 4 3 1 2&& 1 3 4 2&& 4 3 1 2
4 1 3 2&& 2 4 3 1&& 4 1 3 2&& 1 4 3 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 4 1 2 3&& 3 4 2 1
2 4 1 3&& 4 1 2 3&& 2 3 2 3&& 4 1 2 3&& 4 2 1 3&& 2 1 4 3&& 4 2 1 3&& 2 2 3 3
（121） （122） （123）& （124） （125）& （126）& （127） （128）
2 3 4 1&& 2 3 1 4&& 2 4 3 1&& 2 3 1 4&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 2 3 4 1&& 2 1 3 4
3 1 2 4&& 3 1 4 2&& 3 1 2 4&& 4 1 4 1&& 1 3 4 2&& 4 3 2 1&& 1 3 4 2&& 3 3 2 2
1 4 3 2&& 4 2 3 1&& 1 4 3 2&& 3 2 3 2&& 3 2 1 4&& 3 4 1 2&& 3 2 1 4&& 4 4 1 1
4 2 1 3&& 1 4 2 3&& 4 1 2 3&& 1 4 2 3&& 4 1 2 3&& 1 2 4 3&& 4 2 1 3&& 1 2 4 3
(129)&&& (130)& （131）& （132）&& (133) &&&(134)&&&& (135)&&& (136)
3 4 2 1&& 3 2 1 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 3 4 1 2&& 3 1 2 4&& 3 3 2 2&& 3 1 2 4
2 1 4 3&& 4 1 2 3&& 1 1 4 4&& 4 1 2 3&& 1 2 4 3&& 4 2 1 3&& 1 2 4 3&& 3 2 1 4
1 2 3 4&& 2 4 3 1&& 2 2 3 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 1 4 3 2&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1
4 3 1 2&& 1 3 4 2&& 4 3 1 2&& 1 4 3 2&& 4 3 2 1&& 2 3 4 1&& 4 4 1 1&& 2 3 4 1
（137） （138） （139）& （140）& （141） （142）& （143） （144）
3 2 4 1&& 3 1 2 4&& 3 2 4 1&& 3 2 1 4&& 3 2 1 4&& 3 1 4 2 &&3 2 1 4&& 3 2 3 2
1 3 2 4&& 2 3 4 1&& 2 3 2 3&& 2 3 4 1&& 1 3 4 2&& 2 3 1 4&& 2 3 4 1&& 2 3 1 4
2 4 1 3&& 4 2 1 3&& 1 4 1 4&& 4 2 1 3&& 4 1 2 3&& 1 4 2 3&& 3 1 2 4&& 1 4 2 3
4 1 3 2&& 1 4 3 2&& 4 1 3 2&& 1 3 4 2&& 2 4 3 1&& 4 2 3 1&& 2 4 3 1&& 4 1 4 1
（145） （146）& （147） （148） （149）& （150） （151）& （152）
4） 1134和1244组合
3 3 2 2&& 3 4 2 1&& 3 3 2 2&& 3 2 4 1&& 3 2 3 2&& 3 4 2 1&& 3 2 3 2&& 3 2 4 1
4 1 4 1&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 4 1 4 1&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 4 4 1 1&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 4 4 1 1&& 3 4 1 2
1 2 3 4&& 2 1 3 4&& 1 2 3 4&& 2 3 1 4&& 1 3 2 4&& 2 1 3 4&& 1 3 2 4&& 2 3 1 4
（153） （154）&& (155)& &&(156)&& （157） （158）& （159） （160)
4 3 1 2&& 4 2 3 1&& 4 3 1 2&& 4 3 2 1&& 4 1 3 2&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 1 3 2
2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 1 1 4 4&& 1 1 4 4&& 3 1 4 2
3 4 1 2&& 1 4 1 4&& 2 4 1 3&& 1 4 1 4&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 2 4 3 1
1 2 4 3&& 2 3 2 3&& 1 2 4 3&& 2 2 3 3&& 1 4 2 3&& 2 3 2 3&& 2 2 3 3&& 1 4 2 3
（161） （162） （163）& （164） （165）& （166）& （167）& (168)
1 2 3 4&& 1 4 1 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&& 1 4 1 4&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4
3 4 2 1&& 2 3 2 3&& 2 4 1 3&& 4 3 1 2&& 4 3 1 2&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2&& 3 4 2 1
2 1 3 4& &3 1 4 2&& 3 2 3 2&& 1 2 4 3&& 1 2 4 3&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3&& 2 1 3 4
4 3 2 1&& 4 2 3 1&& 4 1 4 1&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 1 4 1&& 4 2 3 1
（169）& （170） （171） （172） （173）& （174） （175）& （176）
5）1233和2234组合
1 4 1 4&& 1 4 2 3&& 1 1 4 4&& 1 4 2 3&& 1 4 1 4&& 1 2 4 3&& 1 1 4 4&& 1 2 4 3
4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 2 3 2 3&& 4 3 2 1&& 2 3 2 3&& 1 3 2 4
2 2 3 3&& 1 2 3 4&& 2 2 3 3&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1
3 1 4 2&& 4 1 3 2&& 3 4 1 2&& 4 1 3 2&& 3 1 4 2&& 4 3 1 2&& 3 4 1 2&& 4 3 1 2
（177）& (178)&&& (179)&&& (180)&&&& (181)&&& (182)&&& (183)&&& (184)
2 3 1 4&& 2 1 4 3&& 2 1 3 4&& 2 1 4 3&& 2 3 1 4&& 2 4 1 3&& 2 1 3 4&& 2 4 1 3
1 3 2 4&& 3 3 2 2&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 3 3 2 2&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4
4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 3 2 3 2&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 3 2 3 2
3 2 4 1&& 4 4 1 1&& 3 4 2 1&& 4 4 1 1&& 3 2 4 1&& 4 1 4 1&& 3 4 2 1&& 4 1 4 1
(185)&&&& (186)&&& (187)&&& (188)&&& (189)&&& (190)&&&& (191)&&& (192)
3 4 1 2&& 3 2 3 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 2 3 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&&
2 1 3 4&& 4 1 4 1&& 4 1 3 2&& 4 1 4 1&& 2 1 3 4&& 1 1 4 4&& 4 1 2 3&& 1 1 4 4&&
3 4 2 1&& 1 3 2 4&& 1 4 2 3&& 1 3 2 4&& 3 4 2 1&& 4 3 2 1&& 1 4 2 3&& 4 3 2 1&&
2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 2 3 3&&
(193)&&&& (194)&&& (195)&&& (196)&&& (197)&&& (198)&&& (199)&&&& (200)
3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 3 2 2&& 3 1 4 2
4 2 3 1&& 1 2 4 3&& 4 2 3 1&& 3 2 4 1&& 1 2 3 4&& 1 2 4 3&& 1 2 3 4&& 3 2 4 1
1 4 1 4&& 4 3 1 2&& 1 4 1 4&& 2 3 1 4&& 4 4 1 1&& 4 3 1 2&& 4 4 1 1&& 2 3 1 4
2 3 2 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 3 2 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3
(201)&&&& (202)&&& (203)&&& (204)&&& (205)&&& (206)&&& (207)&&&& (208)
6）1134和1334组合为0个
7）1134和2333组合为0个
8)1224和1244组合为0个
9）1224和2333组合为0个
10）1224和2234组合为0个
11）1233和1334组合为0个
12）2223和2333组合为0个
13）2223和1244组合为0个
14）2223和1334组合为0个
综上所述：对角线9-11的前方图组合共有208个
二、第二类第一种对角线互补后方图解法
此类方图因为在前方图牵涉进退1位，所以相对应的后方图的边需要互补，即大的对小的，小的对大的，换句话说前方图对应的边和是9，则后方图对应的边的和值需要以4当进位的1，所以对应边的和值为14，同理如果边上和值为11，则对应后方图边上和值为6，下面以对角线举例，因为前面讲的前方图中左上到右下对角线和值是9，所以在这里求出的后方图对应的对角线和值为14，满足进位后重合求出数字幻方的十进制数字和值相等原则，另一类也像上面所讲可以用左右镜像（或者用数字5减去数阵中的幻方数字）求得分类讲一下，
1）2444和1113组合
2 4 3 1&& 2 2 3 3&& 2 4 3 1&& 2 3 2 3&& 2 3 4 1&& 2 2 3 3&& 2 3 4 1&& 2 3 2 3
2 4 1 3&& 4 4 1 1&& 3 4 1 2&& 4 4 1 1&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2
3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 4 1 4 1&& 2 1 4 3&& 4 1 4 1
3 1 2 4&& 1 3 2 4&& 3 1 2 4&& 1 2 3 4&& 3 2 1 4&& 1 3 2 4&& 3 2 1 4&& 1 2 3 4
& ⑴&&&&& ⑵&&&&&& ⑶&&&&& ⑷&&&&&& ⑸&&&&& ⑹&&&&&& ⑺&&&&&& ⑻
4 4 1 1&& 4 3 2 1&& 4 4 1 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
3 2 3 2&& 4 2 1 3&& 2 2 3 3&& 4 2 1 3&& 3 2 3 2&& 3 2 1 4&& 2 2 3 3&& 3 2 1 4
2 1 4 3&& 1 3 4 2&& 3 1 4 2&& 1 3 4 2&& 2 1 4 3&& 2 3 4 1&& 3 1 4 2&& 2 3 4 1
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 1 4 1 4&& 1 2 3 4&& 1 4 1 4&& 1 3 2 4
⑼&&&&&& ⑽&&&&& ⑾&&&&&& ⑿&&&&&& ⒀&&&& ⒁&&&&&& ⒂&&&&&&& ⒃
4 3 2 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 1 4 1&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 1 4 1
2 4 3 1&& 3 4 1 2&& 1 4 3 2&& 3 4 1 2&& 2 4 3 1&& 2 4 1 3&& 1 4 3 2&& 2 4 1 3
3 1 2 4&& 2 3 2 3&& 4 1 2 3&& 2 3 2 3&& 3 1 2 4&& 3 3 2 2&& 4 1 2 3&& 3 3 2 2
1 2 3 4&& 1 1 4 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&& 1 1 4 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4
& ⒄&&&&&& ⒅&&&& &&⒆&&&&& ⒇&&& （21）&& （22）&& （23）&& （24）
4 2 3 1&& 4 2 1 3&& 4 2 3 1&& 4 1 2 3&& 4 3 2 1&& 4 2 1 3&& 4 3 2 1&& 4 1 2 3
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 1 4 1 4&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 1 4 1 4&& 3 4 1 2
1 1 4 4&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 1 1 4 4&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3
3 3 2 2&& 1 3 4 2&& 3 3 2 2&& 1 4 3 2&& 3 2 3 2&& 1 3 4 2&& 3 2 3 2&& 1 4 3 2
（25）&& （26）&& （27）&& （28）&& （29）& （30）& （31）&& （32）
3 4 2 1&& 3 4 1 2&& 3 4 2 1&& 3 2 3 2&& 3 2 4 1&& 3 4 1 2&& 3 2 4 1&& 3 2 3 2
4 3 1 2&& 4 3 2 1&& 2 3 1 4&& 4 3 2 1&& 4 3 1 2&& 2 3 2 3&& 2 3 1 4&& 2 3 2 3
1 2 4 3&& 2 1 4 3&& 3 2 4 1&& 2 1 4 3&& 1 2 4 3&& 4 1 4 1&& 3 2 4 1&& 4 1 4 1
2 1 3 4&& 1 2 3 4&& 2 1 3 4&& 1 4 1 4&& 2 3 1 4&& 1 2 3 4&& 2 3 1 4&& 1 4 1 4
（33） &&（34）&& (35)&&&& (36)&&&& (37)&&&&& (38)&&&& (39)&&&& (40)
3 2 4 1&& 3 1 4 2&& 3 4 2 1&& 3 1 4 2&& 3 2 4 1&& 3 3 2 2&& 3 4 2 1&& 3 3 2 2
1 4 2 3&& 2 4 3 1&& 1 4 2 3&& 4 4 1 1&& 3 4 2 1&& 2 4 1 3&& 3 4 2 1&& 4 4 1 1
4 1 3 2&& 4 2 3 1&& 4 1 3 2&& 2 2 3 3 &&2 1 3 4&& 4 2 3 1&& 2 1 3 4&& 2 2 3 3
2 3 1 4&& 1 3 2 4&& 2 1 3 4&& 1 3 2 4&& 2 3 1 4&& 1 1 4 4&& 2 1 3 4&& 1 1 4 4
&（41）&& (42)&&&& (43)&&& (44)&&&&&& (45)&&& (46)&&&& (47)&&&&& (48)
3 1 4 2&& 3 2 3 2&& 3 1 4 2&& 3 3 2 2&& 3 4 1 2&& 3 2 3 2&& 3 4 1 2& &3 3 2 2
2 4 1 3&& 1 4 1 4&& 3 4 1 2&& 1 4 1 4&& 2 4 1 3&& 4 4 1 1&& 3 4 1 2&& 4 4 1 1
3 1 4 2&& 4 1 4 1&& 2 1 4 3&& 4 1 4 1&& 3 1 4 2&& 1 1 4 4&& 2 1 4 3&& 1 1 4 4
2 4 1 3&& 2 3 2 3&& 2 4 1 3&& 2 2 3 3&& 2 1 4 3&& 2 3 2 3&& 2 1 4 3&& 2 2 3 3
&(49)&& （50） &&（51）&& （52）& （53）&& （54）&& （55）& （56）
4 4 1 1 &&4 2 3 1&& 4 4 1 1&& 4 3 2 1&& 4 1 4 1&& 4 2 3 1&& 4 1 4 1&& 4 3 2 1
2 3 2 3&& 4 3 2 1&& 3 3 2 2&& 4 3 2 1&& 2 3 2 3&& 1 3 2 4&& 3 3 2 2&& 1 3 2 4
3 2 3 2&& 1 2 3 4&& 2 2 3 3&& 1 2 3 4&& 3 2 3 2&& 4 2 3 1&& 2 2 3 3&& 4 2 3 1
1 1 4 4&& 1 3 2 4&& 1 1 4 4&& 1 2 3 4&& 1 4 1 4&& 1 3 2 4&& 1 4 1 4&& 1 2 3 4
&(57)&&&&& (58)&&&& (59)&&& (60)&&&&& (61)&&&& (62)&&&& (63)&&&& (64)
4 3 1 2&& 4 2 3 1&& 4 1 3 2&& 4 2 3 1&& 4 3 1 2&& 4 4 1 1&& 4 1 3 2&& 4 4 1 1
2 3 1 4&& 3 3 2 2&& 2 3 1 4&& 1 3 2 4&& 4 3 1 2&& 3 3 2 2& &4 3 1 2&& 1 3 2 4
3 2 4 1&& 1 1 4 4&& 3 2 4 1&& 3 1 4 2&& 1 2 4 3&& 1 1 4 4&& 1 2 4 3&& 3 1 4 2
1 2 4 3&& 2 4 1 3&& 1 4 2 3&& 2 4 1 3&& 1 2 4 3&& 2 2 3 3&& 1 4 2 3&& 2 2 3 3
(65)&&& (66)&&&& (67)&&&&& (68)&&&& (69)&&&& (70)&&&& (71)&&&&& (72)
4 3 1 2&& 4 3 2 1&& 4 3 1 2&& 4 1 4 1&& 4 1 3 2&& 4 3 2 1&& 4 1 3 2&& 4 1 4 1
3 4 2 1&& 3 4 1 2&& 1 4 2 3&& 3 4 1 2&& 3 4 2 1&& 1 4 1 4&& 1 4 2 3&& 1 4 1 4
2 1 3 4&& 1 2 3 4&& 4 1 3 2&& 1 2 3 4&& 2 1 3 4&& 3 2 3 2 &&4 1 3 2&& 3 2 3 2
1 2 4 3&& 2 1 4 3&& 1 2 4 3&& 2 3 2 3&& 1 4 2 3&& 2 1 4 3&& 1 4 2 3&& 2 3 2 3
(73)&&&& (74)&&&&& (75)&&&& (76)&&&& (77)&&&& (78)&&&& (79)&&&&& (80)
3)组合无法满足余边上和相等，故为0个
4)组合无法满足余边上和相等，故为0个
综上所述：对角线为14-6的后方图共有80个
下面的图表即为重合后所得的幻方
以 前方图（1）和后方图(7)重合为例子
4阶幻方数字图
12& 43 &24& 31
33& 14& 41& 22
42& 21& 34& 13
23& 32& 11& 44
&& &&&（1）
在此幻方中幻方数字遍历幻方成立。
十进制数字
2& 15&& 8&& 9
11& 4& 13&& 6
14& 5& 12&& 3
7& 10&& 1& 16
十进制幻方成立
同理，对于前方图第一、第二对角线11-9分布的，其对应的后方图的第一、第二对角线就应该对应6-14分布，
其可看做上面求出的9-11分布的左右镜像。
& 以上面的4阶幻方（1）举例如下
&&&& （1）左右镜像
31& 24& 43& 12
22& 41& 14&& 33
13& 34& 21& 42
44& 11& 32&& 23
十进制幻方
&9&& 8& 15&& 2
&6& 13&& 4& 11
&3& 12&& 5& 14
16&& 1& 10&& 7
& 幻方成立 。
下面第一、第二与14-6组成幻方的图表(下面上面一行数字为对角线9-11分布前方图)
前方图对角线分布为互补第一对角线和值9-第二对角线和值11，其余各边和值相同为10.
由上面图标可以求出9-11分布前方图共有3*32+4*144+6*16+8*16=896个同理求出这些外，在数字幻方图形再左右镜像（或用17去减即可求出11-9分布的幻方）两个相加为896*2=1792种。
这样加上上面5248个一共有7040个，应用计算机得出是7040个幻方全部解出，希望有兴趣大家计算机编程验证一下，欢迎指正。
在上面的举例中我们发现其对角线互补出现，单边对角线没有幻方，有兴趣的同学，可以自己验证。
乘法求解幻方
如何由已知的知识求解出未知的领域，将上面所求出的幻方应用于其他幻方的求解，在这里介绍一下乘法求解幻方，我们知道在大于等于3的数字里，我们将其分成了两类一类是素数，大于等于3的话全部为奇数，我们在上面章节里已经将前后方图的快速求解方法给出来了，在这里不再做介绍，而另一类是合数，合数又分为两大类，一类为偶数，一种为奇数，奇数合数的求解直接用乘法就可快速求解，例如其中最小的奇数合数是9，9可以分成两个乘因子3,3阶幻方已经在上面章节求解出来，对于偶数合数我们又将其分成三小类，第一小类是双奇数合数，即其乘因子为一个奇数，而另一个乘因子2，这一类别用乘法无法求解，在以后倍增法求解的章节会着重讲解，第二小类为偶数，其中一个乘因子为奇数，而另一个乘因子为4或4的倍数，这一种类可以用乘法快速求解，还有第三小类是所有的乘因子为2，其数值为2的方次的，如4,8,16等等，这一种除了4阶外，其余各种除乘法，倍增法外，还有一种内对齐后的外倍增法，在以后章节详细讲述，下面介绍一下乘法求解幻方。
最简单的奇数合数9阶幻方的快速求解
奇数9是一个合数，可以分解为3*3两个素因子，即两个乘因子3。
用乘法快速求解9阶幻方方法，9阶幻方中的分成3乘以3，用3阶幻方作为其中的一个小幻方再乘以3阶幻方求出，换一句话说就是以9当1，也就是说1-9这9个数做一个小幻方块，放在外面大幻方数字1的位置，一直到73-81放在外面大幻方数字9的位置可以用连续法求出，也可以以1当9，用同余数法，将余数为1的9个数即抽取1,10,19,28,37,46,55,64,73安排到外面大幻方数字1的位置，一直到抽取9,18,27,36,35,54,63,72,81安排到外面大幻方数字9的位置在进行排列，即可求解出9阶幻方。
举例如下：
用一个3阶幻方求出9阶幻方，下面以九宫图举例：
&& 2& 9& 4
& &7& 5& 3
&& 6& 1& 8
这里（1）可以做小幻方块内的具体单个数字排列也可作为大幻方中数字组的排列
1）乘法连续法求9阶幻方即以9当1方法
（1）*（1）
&11& 18& 13&&&& 74& 81& 76&&& 29& 36& 31
&16& 14& 12&&&& 79& 77& 75&&& 34& 32& 30
&15& 10& 17&&&& 78& 73& 80&&& 33& 28& 35
&56& 63& 58&&&& 38& 45& 40&&& 20& 27 &22
&61& 59& 57&&&& 43& 41& 39&&& 25& 23& 21
&60& 55& 62&&&& 42& 37& 44&&& 24& 19& 26
&47& 54& 49&&&& 2&& 9&& 4&&&& 65& 72& 67
&52& 50& 48&&&& 7&& 5&& 3&&&& 70& 68& 66
&51& 46& 53&&&& 6&& 1&& 8&&&& 69& 64& 71
&&&&&&&&&&&& （1）
之所以间隔这么大，其实是为了各位读者能很好地理解以9当1这就是个例子。为便于理解用a*b表示两个幻方相乘组成c幻方，左上的a的平方数字组成的小幻方，叫做后面b小幻方上面数字号小幻方，在9阶幻方中，左上3阶小幻方由9个数组成叫做2号小幻方，很快的求出了9阶幻方，这里知道的3阶幻方为8个，那么这样每个以9当1的小格里可有8种不同的小幻方，而且后面总的大幻方也有8种不同幻方，这样就可得到10个8连续相乘个幻方也就是个幻方。而在此例中除了后面3阶幻方中的5号小幻方由于位于两条对角线的中央必须保持所有边和对角线都相加和数相同外，其余如2号、4号、6号、8号，只需要保持一条对角线相加相同外，另一条对角线无要求，那其组合远远超过8种，，而1号，3号，7号，9号小幻方则对角线无要求，所以组合将更多，这些组合在以后章节会叙述，这里只简单一介绍，对于每一小幻方填充数字除了连续外，还有同余数和等差排列数字（连续排列也可作为等差中的一种等差方式，是最大数值的等差排列方法）2种方法。连续法又称为收缩法即每9个连续数可收缩为1个数字组合。而同余法又可称为膨胀法，即1个数字可膨胀为9个数字。
&2)乘法同余法求9阶幻方即以1当9方法
下面再介绍同余数填充方法：
先求出1到9各组同余数，比方在1号小幻方里9个数字为81个9阶幻方十进制数字除以9余1的数字，是1,10,19,28,37,46,55,64,73这9个数，同理可求出2号、3号小幻方组成数字，各位如有兴趣可以书写一个9*9数阵，纵向从1写到9后再起一列从10继续书写，写完后第1行即为1号小幻方里的9个数，第2行就是2号小幻方里的数字，以此类推，不再详述。
同上图还是用九宫图举例如下：
&& 7& 5& 3
&& 6& 1& 8
以（1）举例
& 11 74 29&& 18 81 36 &&13 76 31
& 56 38 20&& 63 45 27&& 58 40 22
& 47& 2 65&& 54& 9 72&& 49& 4 67
& 16 79 34&& 14 77 32&& 12 75 30
& 61 43 25&& 59 41 23&& 57 39 21
& 52& 7 70 &&50& 5 68&& 48& 3 66
15 78 33&& 10 73 28&& 17 80 35
60 42 24&& 55 37 19&& 62 44 26
51& 6 69 &&46& 1 64&& 53& 8 71
&&&&&&& （1）
&这就是同余法。也就是将1个数膨胀为9个数，简称以1当9。
在这里除了上面所说的两种方法外，还有等差法抽取数字求幻方。
3）等差排列方法
&每连续或同余的3个数字排列为一组编号后再将3组为一个组合 ，其中等差的作为研究对象。
举一例子：连续123作为1，一直到79,80,81为27。这27组数字以组号当做一个数字再进行组合，得出差0组合一直到差9组合（其中的连续法差9组合即第一例所述连续法）在6阶幻方求解中着重介绍，在这不详谈。
&（1）差0即等差组合很多种只举一例,在后面的6阶幻方倍增方图的介绍中有详细说明
&1，16,25&& 2,17,23&& 3,13,26&& 4,18,20&& 5,10,27&& 6，15,21&& 7,11,24& 8,12，22&&& 9,14,19
由于牵涉到两条对角线，所以在大幻方中需要两条对角线和值和所有边的都相同，这点需注意，快速求解的话把中值带13组合的作为中间5号小幻方其余只要注意左下到右上对角线上的三个小幻方的中值3个数组合值相加为39即可，另一条对角线因等差分布所以其相应对角线不需再要求和值。剩余的小幻方因其差0组合随便填入剩余的方格里，即可快速求出，在这里不在举例。
&（2）差1组合很多种组合为排列9种，只举一例，在后面的6阶幻方倍增方图的介绍中有详细说明
& 1,10,27&& 2,11，26& 3,12,25&& 4,13,24&& 5,14,23 &&6,15,22&&& 7,16,21&& 8，17,20&& 9,18,19
& 其安排方法为将其按从小到大顺序作为1,2,3&&9，每一个小幻方块里的３个数字每个数字代表连续的或同余的３个数字比方第一组1,10,27，连续法为1,2,3、28,29,30、79,80,81这9个数字，同余法是除27，余1即为1,28,55，余10的为10,37,,64，余27的就是余0的在幻方里没有余0概念，为余27,3个数字为27,54,81。抽取玩数字后，再按照3阶幻方图进行数字排列。
& （3）其余差值不再详述，可详见6阶幻方求解章节中的倍增法数字抽取。
偶数12阶幻方求解
12阶幻方中的12可以分成3乘以4，用3阶幻方乘以4阶幻方求出，也可以用4阶幻方乘以3阶幻方，换一句话说就是以9当1，或以16当1，在这些里面，可以用连续填充或者同余数以及等差法填充，下面以连续法举一个例子以3阶幻方和4阶幻方为例求解12阶幻方。
2&& 9&& 4&&&&&&&&&&&& 7& &&9&& &2&& 16
7&& 5&& 3&&&&&&&&&&& 14&&& 4&& 11& &&5
6&& 1&& 8&&&&&&&&&&& 12&& &6&& 13& &&3
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1& &15&&& 8 &&10
&& （1）&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）
连续方法：
&& （1）*（2）可求出第一个12阶幻方（3*4方法），即以9当1
56& 63& 58& &74 &81& 76& &11& 18& 13& &137& 144& 139
61& 59& 57& &79& 77& 75 &&16& 14& 12& &142& 140& 138
60& 55& 62& &78& 73& 80& &15& 10& 17& &141& 136& 143
119 126 121&& 29& 36& 31& &92& 99& 94&& &38&& 45&& 40
124 122 120& &34& 32& 30& &97& 95& 93&& &43&& 41&& 39
123 118 125&& 33& 28& 35& &96& 91& 98&& &42&& 37&& 44
101 108 103&& 47& 54& 49&& 110 117 112&&& 20&& 27&& 22
106 104 102&& 52& 50& 48&& 115 113 111&&& 25&& 23&& 21
105 100 107& &51& 46& 53&& 114 109 116&&& 24&& 19&& 26
2&& 9&& 4&& 128 135 130 &&&65& 72& 67&&& 83&& 90&& 85
7&& 5&& 3&& 133 131 129&&& 70& 68& 66&&& 88&& 86&& 84
6&& 1&& 8&& 132 127 134&&& 69& 64& 71&&& 87&& 82&& 89
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &（1）
&& （2）*（1）可求出第一个12阶幻方（4*3方法）
&23&& 25&& 18&& 32&&&&& 135& 137& 130& 144&&&& 55&& 57&& 50&& 64
&30&& 20&& 27&& 21&&&&& 142& 132& 139& 133&&&& 62&& 52&& 59&& 53
28&& 22&& 29&& 19&&&&& 140& 134& 141& 131&&&& 60&& 54&& 61&& 51
17&& 31&& 24&& 26&&&&& 129& 143& 136& 138&&&& 49&& 36&& 56&& 58
103 105&& 98& 112&&&&&& 71&& 73&& 66&& 80&&&& 39&& 41&& 34& &48
110 100& 107& 101&&&&&& 78&& 68&& 75&& 69&&&& 46&& 36&& 43&& 37
108 102& 109&& 99&&&&&& 76&& 70&& 77&& 67&&&& 44&& 38&& 45&& 35
&97 111& 104& 106&&&&&& 65&& 79&& 72&& 74&&&& 33&& 47&& 40&& 42
87&& 89&& 82&& 96&&&&&&& 7&&& 9&&& 2&& 16&&& 119& 121& 114 &128
94&& 84&& 91&& 85&&&&&& 14&&& 4&& 11&&& 5&&& 126& 116& 123& 117
92&& 86&& 93&& 83&&&&&& 12&&& 6&& 13&&& 3&&& 124& 118& 125& 115
81&& 95&& 88&& 90&&&&&&& 1&&& 15&& 8&& 10&&& 112& 127& 120& 122
&&&&&&&&&&&&&&&&&
这里就简单的介绍一下，4阶幻方有7040种组合，而3阶幻方有8种组合，快速求解的话，（2）*（1）就有9个7040连续相乘（即7040的9次方个）再与8相乘，不再描述。而（1）*（2）就有16个8相乘然后再乘7024个，数字不再详述，在以下章节着重介绍倍增法求解4阶和6阶幻方。
同余方法和等差方法不再详细介绍。
&倍增法求解偶数幻方
对于大于4的偶数阶幻方我们可用倍增法求解其幻方，而4阶幻方中的许多组前后方图可以作为其基础使用，只要对于每个小幻方的4个数包括1,2,3,4都出现可以用于数字倍增即可。这一章很复杂,未能全部解出所有的符合倍增方图,所以有兴趣的朋友,可以自行求证。
6阶幻方倍增图的快速求解
在所有的偶数幻方中，6阶作为最小的倍增研究对象，下面将用多个篇幅详细讲解一下
&&& 在求出3阶幻方的情况下我们可以用倍增的方法求解出6阶幻方，为求快速我们研究的对象不包括进退位现象。如有兴趣，请读者自行研究。
具体方法如下：
&一）首先1个已求解出的3阶幻方，一共有8个备用，仅举此一例。
现在仅举九宫图一例
&&&& 2&& 9&& 4
&&&& 7&& 5&& 3
&&&& 6&& 1&& 8
&&&&& （1）
&二) 倍增方图的三种方法：
使每一个数字变为四个，同时做到各边两条对角线和和值相同同为15。在这里为快速求出我们将用上在4阶幻方求解过程中的第一类第一种全均匀分布所有的图形作为4个3阶幻方的数字倍增的方图以及第一类第二种部分前后方图，包括（1）、（2）、（8）、（10）这4种组合全部的56种方图.在这里有两种方法求出倍增图,第1种偏心法求解幻方,在举例子中,以左上4个数字倍增为16个为例子,第2种发酵法，将4阶前后方图在周围再加上一圈数字，第3种为将4阶前后方图切割为4部分,采用中心开花的方法,将四个切割下的小方块安排到3阶幻方的4个角上,此方法简单快捷,这两种方法最后得到的数量和样貌在理论上是完全一样的,只是方法不同。
& 一、偏心法求解6阶倍增图
&& &此方法将上面章节已经求出的4阶幻方前后方图中四个边角相邻四个数字遍历1、2、3、4的排列方图，这些方图都可以应用于6阶求解，其实其数字组合为保持3个倍增块上行列对角线的和值为15，可以是行列对角线和值大于等于8，小于等于12的范围内都可以，其数量远远多于这种中规中矩的排列方法，我们只是为快速求解，所以将这些在上面章节介绍过的可以直接拿来用的组合介绍给大家。
&& 方图分为两大类，其中第一类为全等和分布（包括对角线在内的所有边），对角线的组合只有1种（10-10），
第一类我们必须借用以前介绍的4阶幻方的前后方图进行举例，
第二类组合有对角线、边和值不相同的情况，我们只取一部分着重讲述，其余如若大家有精力，介绍完方法可以自己研究一下，只简单叙述一下，，对角线和值不相同但为达到重心倍增块两条对角线和值为15，必须互补的，也就是共有两种，一种是一条9，则另一条11，另外一种为一条8，另一条12，在下面的讲解中，为求快捷，我们只介绍两条对角线的和值呈（9-11）和(8-12)并且其余各条边和值都相同的组合，除此类外的所有的其余类型，只简单叙述一下，有兴趣的读者可以自己研究。
&& 下面首先将第一类介绍一下，前面所列出的第一类4阶方图符合条件的如下：
1、第一类第二种组合全部对角线、边和值相同如下：
第（1）组合
1 4 4 1&& 1 4 4 1&& 2 3 3 2&& 2 3 3 2&& 3 2 2 3&& 3 2 2 3&& 4 1 1 4&&& 4 1 1 4
3 2 2 3&& 2 3 3 2&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4& &1 4 4 1&& 3 2 2 3&&& 2 3 3 2
2 3 3 2&& 3 2 2 3&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 1 4 4 1&& 4 1 1 4&& 2 3 3 2&&& 3 2 2 3
4 1 1 4&& 4 1 1 4&& 3 2 2 3&& 3 2 2 3&& 2 3 3 2&& 2 3 3 2&& 1 4 4 1&&& 1 4 4 1
&& &&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4
4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4
1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 4 3 2 1&& 4 2 3 1
&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&第（2）组合
1 4 1 4&& 1 4 1 4&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 4 1 4 1&& 4 1 4 1
3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3
4 1 4 1&& 4 1 4 1&& 3 2 3 2&& 3 2 3 2&& 2 3 2 3&& 2 3 2 3&& 1 4 1 4&& 1 4 1 4
2 3 2 3&& 3 2 3 2&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 1 4 1 4&& 4 1 4 1&& 2 3 2 3&& 3 2 3 2
& &&&&&&&&&&&&&&第1对角线镜像
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&第（8）组合
1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 2 4 1 3&& 2 4 1 3
2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 2 4 1 3&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4
3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1
4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 3 1 4 2&& 3 1 4 2
&&&&& &&&&&&第1对角线镜像相同
3 1 4 2&& 3 1 4 2&& 3 4 1 2&& 3 4 1 2&& 4 2 3 1&& 4 2 3 1&& 4 3 2 1&& 4 3 2 1
4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 4 2 3 1&& 1 2 3 4&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3&& 3 1 4 2&& 2 1 4 3
1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 1 3 2 4&& 4 3 2 1&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2&& 2 4 1 3&& 3 4 1 2
2 4 1 3&& 2 4 1 3&& 2 1 4 3&& 2 1 4 3&& 1 3 2 4&& 1 3 2 4&& 1 2 3 4&& 1 2 3 4
&&&&&& 第1对角线镜像相同
第（10）组合
2 4 3 1&& 2 1 3 4&& 1 3 4 2&& 1 2 4 3&& 3 4 2 1&& 3 1 2 4&& 4 3 1 2&& 4 2 1 3
1 3 4 2&& 4 3 1 2&& 2 4 3 1&& 3 4 2 1&& 1 2 4 3&& 4 2 1 3&& 2 1 3 4&& 3 1 2 4
3 1 2 4&& 3 4 2 1&& 4 2 1 3&& 4 3 1 2&& 2 1 3 4&& 2 4 3 1&& 1 2 4 3&& 1 3 4 2
4 2 1 3&& 1 2 4 3&& 3 1 2 4&& 2 1 3 4&& 4 3 1 2&& 1 3 4 2&& 3 4 2 1&& 2 4 3 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第1对角线镜像相同
第（15）组合（仅举一例）
第1对角线镜像
在4阶幻方方图第一类第一种称之为（15）组合中上述的（1）可以用重排列将1、2、3、4再重新排列，也就是说排列4个即24种，同理，在（15）组合中上述的（2）可以用重排列，也就是说排列4个，即24种共计有48种。这种替换的方法在以后还会用到。
通过上面的分析可以得出第一类等和分布共有56+48种合计104种排列。
&&& 2、 第一类第一种的第（15）组合的48种是否都可以用上，现以第一种偏心法举例，偏心法分成4大类，包括左上、右上、左下、右下4类，现在以右下为例，方法具体介绍一下：
& &1）、右上到左下对角线1234数字排列的情况（即右下倍增块的第2对角线和值3的求解）
1 3 4 2&&&&&&&&&&& 1 3 4 2&& 1 4
4 2 1 3&&&&&&&&&&& 4 2 1 3&& 2 3
2 4 3 1&&&&&&&&&&& 2 4 3 1&&
3 1 2 4&&&&&&&&&&& 3 1 2 4&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& 3 4&&&&& 2 1
&&&&&&&&&&&&& &&&2 1&&&&& 4 3
&&&& 这是一个例子,由于倍增方图位于左上方,其右下的小方块中的左下到右上数字的和用于大的6阶幻方的对角线,而其和值必然影响到其余的6阶倍增图左下和右上两个小方块的数字安排,在此例中由于左上16个数字大方块的右下4个数字小方块的右上到右下对角线(以下简称第3对角线)上数字组合和值为3,为达到其对角线上数字的和值等于15,则其剩余两个方块的和值必须为12,而在1234,4个数和值为12组合中只有5+7,6+6,7+5,而为了达到行或者列的数字和值都是5，5+7或者7+5组合都被剔除，只剩下6+6组合。6+6组合换成1,2,3，4,数字表示就只有（2,4）组合，此例中右上方的倍增4个数字小方块只有两种方式，以1423为例，这样在最右边的列上只有一种组合4+4，即（1,3）数字组合，这样在6阶大幻方最右下的4个数字倍增小方块的数字，只有一种组合2143，这样的话，对于6阶大幻方最左下的4个数字倍增小方块的数字组合为3421一种，现在我们再来看最底下的一行已填充上的数字和值为10，这样剩余的下方中间的4个数字倍增小方块（以下简称倍增块）为达到和值上下和左右都为5的情况，必然出现只能出现两对数字组合即14或23组合，违背了每个数字倍增变为4的出发点，同理可求出倍增块在中心其左下到右上对角线（以下简称第2对角线）的和值为7的情况下，没有6阶倍增图。对于这种方法我们发现在上述例子中左上16个数字的中倍增块的左上到右下对角线（以下简称第1对角线）总是保持为和值10。
&&&&& 2）、第1对角线1324排列情况（即第3对角线和值4的倍增图求解）
&&&& 1 2 4 3&&&&&&&& 1 2 4 3&&&&& 4 1&&&&&&&&&&&&&&& 2 9 4
&& &&4 3 1 2&&&&&&&& 4 3 1 2&&&&& 3 2&&&&&&&&&&&&&&& 7 5 3
&&&& 3 4 2 1&&&&&&&& 3 4 2 1&&&&& 1 4&& 3 2&&&&&&&&& 6 1 8
&&&& 2 1 3 4&&&&&&&& 2 1 3 4&&&&& 3 2&& 1 4
&&& （10）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （12）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 3 1 3&&&&& 3 4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4 2 4 2&&&&& 1 2
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （11）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3 1&&&&&&&&&&& 1 2
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2 4&&&&&&&&&&& 3 4
&&& 在此图中因其第3对角线和值为4,那么第2对角线组合可以有4+7和7+4两种，现已4+7举例如上图可以得到3阶中的4号倍增块4123排列的第一种，而在4号倍增块和8号倍增块定下的情况下6号倍增块也就只有1342这1种排列， 而3号和1号倍增块可以上下翻转排列，可得到4种6阶倍增图，同样将8号倍增块排列成1234的话6阶倍增图也有4种排列。这样总有8种排列方式。外圈的3组即为3,8,6可替换的情况。
&我们把左上中倍增块可简化成一个数字，这个数字即是第3对角线的和值。
用(12)+(11),可以求出（13）同时用连续和同余的十进制数字表示6阶幻方如下：
连续法求解（13）如下：
5&& 6&& 36& 35& 16& 13
8& &7&& 33& 34& 15& 14
27& 28& 18& 17&& 9& 12
26& 25& 19& 20& 11& 10 &
21& 23&& 1&& 3& 31& 32
24& 22&& 4&& 2& 29& 30
&&&&&& （13）
同余法求解（14）如下：
&&& &2& 11& 36& 27& 31& &4
29& 20&& 9& 18& 22& 13
&25& 34& 14&& 5&& 3& 30
&16&& 7& 23& 32& 21& 12
& 6& 24&& 1& 19& 26& 35&&&&& &&&&
33& 15&& 28 10&& 8& 17
通过上面的实例我们看到可以用不同的十进制数字填充倍增块，而每一个倍增块的数字组合可以有很多种，介绍完6阶倍增方图的个数后，我们再来分析一下数字填充的组合方法。
3、第一对角线1423排列（即第3对角线和值5的倍增图求解）
1 2 3 4&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 2 3 4&& 4 1
&3 4 1 2&&&&&&&&&&&&&&&&& 3 4 1 2&& 2 3&&&&&&&&&&&&&&& 2& 9& 4
&4 3 2 1& &&&&&&&&&&&&&&&&4 3 2 1&& 2 3&&&&&&&&&&&&&&& 7& 5& 3
&2 1 4 3&&&&&&&&&&&&&&&&& 2 1 4 3&& 4 1&&&&&&&&&&&&&&& 6& 8& 1
&& （11）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （13）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 3 3 4&& 1 3&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&4 2 2 1&& 2 4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （12）
这种组合是3+7组合，在这里前面已经讲了如何变为十进制幻方图，不再赘述，有兴趣的话，大家自己进行一下计算。
下面再来求4+6组合& 看看有没有6阶倍增图
1 2 3 4&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 2 3 4&& 4 1
&3 4 1 2&&&&&&&&&&&&&&&&& 3 4 1 2&& 3 2
&4 3 2 1&&&&&&&&&&&&&&&&& 4 3 2 1&&
&2 1 4 3&&&&&&&&&&&&&&&&& 2 1 4 3&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 2
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3 4
又出现了第1、种情况，所以在这种种没有6阶倍增图出现。
综上所述，偏心法倍增求解6阶幻方的方法只要求注意第3对角线和值，与其他的作用不大，现将这种方法叫做混沌关系理论，即只注重研究对象的相互之间关系，而不必严格求出各个分对象的数值、形状、周长或其他需要给出严格的精准的数字模型。在以后的四色原理论述中，此理论是求解出四色足够的最重要的理论依据。
由于在偏心法求解6阶倍增方图时，有的4阶方图无法使用，所以在求出6阶倍增图个数的表达中太过繁琐，在求得每一种的个数后，再分种进行乘，最后相加得出一共有多少种快速求解法，这种比较繁琐，下面介绍简单的四面开花法求解6阶倍增方图。
所以在随后我们再介绍另外2种方法，即发酵法和中心开花法求解6阶倍增方图。这3种方法最后得到的6阶幻方倍增图的个数完全一样，只是方法各异罢了。在后面的研究中，我们将详细介绍最简单实用也是最快捷的中心开花法求解6阶幻方倍增图，
二、6阶倍增方图的膨胀法（发酵法）求解
&& 利用4阶方图作为中心，在其四周在进行添加，以（15）组合中的一个为例，方法介绍如下：
以（15）组合的一种举例
在其四周添加数字,同时满足相邻四个数遍历1,2,3,4而且行列对角线和值为5。先添加对角线再添加其余的。
&&&&& &&&&&&&&&&&&&2 &&3 1 2 3 &&&4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4&& 1 3 4 2&&& 1
1&& 4 2 1 3&& &4
3&& 2 4 3 1& &&2
4&& 3 1 2 4&&& 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &1& &2 4 3 2 &&&3
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）
&& （2）即是一个6阶倍增方图组合。
&& 这种方法比较麻烦，但也是其中一种，不再详细描述，在下面着重介绍中心开花法
三、6阶倍增方图的中心开花法求解
由于偏心法和发酵法求解6阶倍增方图有其局限性和复杂性，所以我们需要另外的一个方法，就是将4阶倍增方图，从上下左右中心线切割开来，将其重新分布成相同方向的3阶中的小倍增块，即2、4、6、8共4块，现在以重心5小倍增块为研究对象对上面的104种排列4阶倍增方图进行分析，叫做中心开花法。
介绍一下：
&&&&& &&一、第一类的6阶倍增方图的求解
第一类全相等分布6阶倍增方图的求解
1）以（15）组合的一种举例
分割中心开花后的情况如下所示：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1 3&&&& 2 4&&&&&&&&&& 1 3&&&&&& 2 4&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4 2&&&& 1 3&&&&&&&&&& 4 2&&&&&& 1 3
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &5&&&&&& 　　　　　　　12
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2 4&&&& 3 1&&&&&&&&&& 2 4&&&& 3 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&3 1&&&& 2 4&&&&&&&&&& 3 1&&&& 2 4&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1） &&&&&&&&&&&&&&&&（2）
可以看出在&&处的重心倍增块因为4阶倍增方图的两条对角线和值都为10，所以重心倍增块的两条对角线只能为和值5，这样出现了8个组合，我们取&5&,其中中间的5表示第一对角线的和值为5，那么第二对角线的和值同样为5，为下面几个
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &5&
&&& 1 2&&& 1 3&&& 2 1&& 2 4&&& 3 1&& 3 4&& 4 2&& 4 3
&&& 3 4&&& 2 4&&& 4 3&& 1 3&&& 4 2&& 1 2&& 3 1&& 2 1
&& （1）& （2）& （3） （4）& （5） （6）& (7)&& (8)&
&& 在&5&中的具体的（1）-（8）中，我们只研究行和列和值比较小的两个数，剩余的两个和值为从变量，不必再费周折研究，再进一步简化，我们可以再将&5&精简为行列和值为3或4的情况。
1、（3,4）有下面四个
&&&& 1 2&& 2 1&&& 3 4&& 4 3
&&&& 3 4&& 4 3&&& 1 2&& 2 1
（1） （2）&& （3） （4）
&&&&&&& 2、（4,3）有下面四个
&&& 1 3&& 3 1&&& 2 4&&& 4 2
&&& 2 4&& 4 2&&& 1 3&&& 3 1
&&& (5)&& (6)&&& (7)&& (8)
&分析一下这些数字组合，我们会发现，在每个组合的4个数字里，只要确定上面两个数字就可得出下面两个数字，我们把上面的两个数字叫主变量，而下面的两个数字叫从变量，而再进行研究就发现，在需要填充的水平的其余的两个倍增块，水平的位置上只要确定两个数，为达到竖直方向的数字和达到15，其余两个数也可作为从变量，这样进一步简化求解难度，同理在竖直的方向的其余两个倍增块也类似这种情况，我们把它也进行简化，同时我们4个的数字1,2,3,4中较小的组合作为研究对象（主变量），又得出一个结论，其在水平或竖直倍增块中，只有（1,2） 和（1,3）两个组合，即其和值水平或竖直的同为3或者4两种情况，通过上面的偏心法论述我们可以的得出，在和值3的情况下，其剩余的两个倍增块的和值12的组合只能为6+6分布，其排列一共有4种情况，即、，而剩余的两个倍增块因为重心块的和值为4，和值11只能4+7分布，其排列一共有8种情况，即、、、，这样在6阶倍增方图中，第一类进行求解个数为104*8*4*8=25524种，其中第一个数104为第一类4阶等和倍增方图个数、第二个数字为重心块的排列数、第三个数为和为3的边的排列数、最后的8是和为4的排列数、求出来的25524就是6阶倍增方图第一类的快速求解个数。
2）第二类非全等和对角线互补6阶倍增方图的求解
一）对角线9-11分布
&&&& 对角线和值9-11分布，并且剩余各边和值全部相同的4阶方图是4阶（9-11）208个方图中的一部分
&包括9、10、13、14、17、18、25、26、157、158、161、162、169、170、171、172、41、42、45、46、61、62、85、86、103、104、109、110、113、114、115、116、125、126、133、134、137、138、141、142、181、182、191、192、193、194、201、202 总共48个
&下面就是具体方图
以下为第一种第1对角线1134排列
1 2 4 3&&& 1 4 3 2&& 1 2 3 4&& 1 3 2 4&& 3 2 1 4&& 3 4 1 2&& 4 2 }