T A B A C C O Night - 歌单 - 网易云音乐
T A B A C C O Night
无流派 适合各种黑暗的房间
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网易公司版权所有(C)杭州乐读科技有限公司运营：设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求相关信息f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
本人认为该命题不很严谨,有缺陷.
从题设条件:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c [射影定理]
可解得:
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)>0，
y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)>0，
z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0。
即等价于:x^2+y^2+z^2+2xyz=1
b^2+c^2-a^2>0,c^2+a^2-b^2>0,a^2+b^2-c^2>0
那么a,b,c就不是仅仅a,b,c∈R+,而是a,b,c可构成锐角三角形三边长了.
因此f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)
只有严格上界2-√2,没有最大值.
上次小王提......
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求相关信息f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值。
本人认为该命题不很严谨,有缺陷.
从题设条件:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c [射影定理]
可解得:
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)>0，
y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)>0，
z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0。
即等价于:x^2+y^2+z^2+2xyz=1
b^2+c^2-a^2>0,c^2+a^2-b^2>0,a^2+b^2-c^2>0
那么a,b,c就不是仅仅a,b,c∈R+,而是a,b,c可构成锐角三角形三边长了.
因此f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)
只有严格上界2-√2,没有最大值.
上次小王提出了:
在锐角三角形ABC中,R,r,s分别表示三角形ABC的外接圆半径,内切圆半径和半周长.
求证 [(7-2√2)R-2r]s^2>R(4R+r)^2
就是与该问题有关,参见
上述命题可改为
设a,b,c是非钝角三角形三边长,x,y,z>=0,且满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值.
其他答案（共3个回答）
好热闹！我也来凑几句.
如楼主所说，本题的背景是2005年全国高中数学联赛加试题第2题，这道竞赛题由江西陶平生先生命制，因此我们不得不从陶先生说开去.
陶先生于1991年在《数学通讯》上曾发表题为“Garfunkel-Bankoff不等式的一个等价命题”的文章，给出了如下关于三角形的不等式：(1+cos2A)/(1+cosA)+(1+cos2B)/(1+cosB)+(1+cos2C)/(1+cosC)>=1(1),显然这个不等式等价于：(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)>=1/2(2),注意到射影定理：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA,(3),在(2),(3)中令cosA=x,cosB=y,cosC=z,便将不等式(2)这道陈题隐蔽起来，从而向参赛选手们推出了2005年的加试题.
至于这道2005年的竞赛题的官方解答之所以“先将代数不等式几何化，再几何不等式代数化”，是因为陶先生受到他所建立的一个“三角形证题系统”（令cotA=u,cotB=V,cotC=w,将三角形不等式代数化)的束缚，从而导致证明的复杂化.估计不会有参赛选手给出与官方解答相同的证明.其实在这道竞赛题的多种证法中，“将代数不等式进行到底”也许是最为快捷的.
在本题中，由于x,y,z可以由a,b,c唯一表示，即f(x,y,z)=g(a,b,c),由于a,b,c是可以变化的，所以g(a,b,c)可以认为是三元函数,但是由于g(a,b,c)是一个齐次（对称）函数，故可令b/a=u,c/a=v,于是有g(a,b,c)=h(u,v),从而达到降维的目的，因此，这个函数f本质上的确是一个二元函数.另一方面，由不等式的齐次性，令a+b+c=1,则在此约束条件下也可使函数“降维”,且可知动点(a,b,c)的确落在平面：a+b+c=1上. 因此，前面评论中各位的见解（除山路水桥老师的“(x,y,z)是一个定点”外）都是正确的.
最后，给楼主一个建议：可将题目修正为：
设a,b,c>0,x,y,z>=0,且满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z) 的最大值.
参考文献：
[1]陶平生.Garfunkel-Bankoff不等式的一个等价命题.《数学通讯》[J].1991年第7期.27
[2]陶平生.三角形不等式的一个证题系统.中国初等数学研究文集[M].河南教育出版社,1992年6月.858-869
任何人都不可能保证自己的想法（解答）永远没有不全面的地方，所以就希望有讨论，有改进。
我承认是一个初等数学的外行，但总觉得初等数学和高等数学有相同的地方。
总想谈谈自己对某些初等数学问题的“粗浅”的看法，使解答“完善”；
或对某些现成的解法提提“不成熟”的改进意见，使解答“完美”。
解决问题第一，但是为什么就不能使解答更完善，使人欣赏到更漂亮的过程。但是这里却缺少讨论的氛围。
【本解答或许是100年争论不清的奇谈怪论，只希望有人能注意到尚有此不同的观点就可以了】。
【【【由于本人精力有限，或者说理屈词穷，几天后就将此解答全部撤销】】】。
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对于函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/(1+z)来说。
其自变量虽然有“被指定的定义域”的限制，但是他在没有其他约束条件下，定义域毕竟属于【3D】还有3个自由度，即它是个三元函数。
这是没有约束条件下的讲法，有了约束条件问题就变得复杂了，幸好这里的约束条件都是“线性”的“等式”，而且约束条件间和定义域之间是“相容”的。问题也就不那么复杂了。
当加上了第一个线性等式约束条件后，定义域由【3D】变成了【2D】，自变量所对应的“点”已经被限制在“一个平面的区域”上取了，已经只有2个自由度了。
即它已经不再是个三元函数了。本质上是个有3个中间变量，2个自变量的二元函数。
当再加上第二个线性等式约束条件后，定义域由【2D】变成了【1D】，自变量所对应的“点”已经被限制在“一条直线段区域”上取了，这时已经只有1个自由度了。
本质上是个有3个中间变量，1个自变量的一元函数了。
一般情况下，一个三元函数最多有两个约束条件。如果有了三个约束条件，则所谓的“定义域”很可能只是有限的几个点了。
对于本题的具体情况，第三个线性等式约束条件一出现，函数就只能定义在一个点上了，而这个点的坐标是由方程组cy+bz=a，az+cx=b，bx+ay=c 唯一确定的：
x=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，y=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)，z=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
那么“自变量”也就无所谓自“变”量了。“函数值”都被唯一确定了，还有什么最大最小可言？
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【附注一（ 15:30）】zhh2360的猜测是合理的，我本来也有这样的猜测。因为对问题的提法要做彻底改变，而且对彻底改变提法的【新问题】，我也没有能力解决。所以只能对【原问题】做一个评论。
【zhh2360猜测】的合理性就是：将一个六元函数，通过三个约束条件，使问题在【本质上】变成六个中间变量，三个自变量的问题。
难道真有必要如此转弯抹角地，最后得到求
(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)
最大值的问题。
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【附注二（ 07:50）】zhh2360 （ 23:36）说道：
对于3个三个约束条件的条件极值的解法，可以用变量为a,b,c表示x,y,z，也可以将3个三个条件看成以a,b,c为变量的线性方程组，由于a,b,c不全为0，所以其行列式=0=1-2xyz-x^2-y^2-z^2。
你的这个过程全部是正确的，这是齐次线性方程组有非零解的充要条件。
但是题意条件要【强】得多，【a，b，c全是正数】被你减弱为【a，b，c不全为0】。
条件 x^2+y^2+z^2+2xyz=1只保证除了零解外，还存在非零解。
所以我认为除了 x^2+y^2+z^2+2xyz=1 外，还应该有两个条件，以保证【a，b，c全是正数】。
我相信最后这个六元函数通过三个约束条件终究会化得三元函数：
(cosA)^2/(1+cosA)+(cosB)^2/(1+cosB)+(cosC)^2/(1+cosC)。
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【附注三（ 10:55）】
pantum-04-21 08:31） 说道：从楼主的口气可感受到，圣人的解答可以被采纳了！呵呵
尊敬pantum0500：请你不要这样说，大家可以讨论。
请不要不屑于指出别人的错误。
也不要吝啬对别人的支持和捧场。
我没有说，我一定正确。我不能不懂装懂，我根本没能力解决这个问题，或者说【还没有能力认识到】这个题是正确的、有解的。
我再强调一下：这个解答几天之后就将全部撤销。
设a,b,c;x,y,z∈R+,满足:cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c。
求函数f(x,y,z)=x^2/(1+x)+y^2/(1+y)+z^2/...
若x:y:z=a:b:c
则x/y=a/b,x/z=a/c
因此x/a=y/b=z/c
所以 x*(1/a)=y*(1/b)=z*(1/c)
三段同乘abc，得...
只有一个未知数、且未知数的最高次幂为二次的方程式叫一元二次方程。任何一元二次方程都可化为标准形式后用求根公式求解。
若a,b,c∈R+，则（a+b+c）/3≥3√abc，当且仅当a=b=c .
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年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .第一节不等式的概念与性质A 组三年高考真题（ 年）1.(2016? 浙江，5)已知 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，若 logab＞1，则( A.(a－1)(b－1)＜0 C.(b－1)(b－a)＜
0 ) B.(a－1)(a－b)＞0 D.(b－1)(b－a)＞02.(2015? 浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间 颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为 x，y，z，且 x＜y＜z，三种颜色 涂料的粉刷费用(单位： 元/m2)分别为 a， b， c， 且 a＜b＜c.在不同的方案中， 最低的总费用(单 位：元)是( A.ax＋by＋cz C.ay＋bz＋cx3 2) B.az＋by＋cx D.ay＋bx＋cz )3.(2014? 浙江，7)已知函数 f(x)＝x ＋ax ＋bx＋c，且 0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( A.c≤3 C.6＜c≤9 4.(2014? 四川，5)若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( a b A. ＞ d c a b C. ＞ c d B.3＜c≤6 D.c＞9 ) a b B. ＜ d c a b D. ＜ c dB 组两年模拟精选( 年)1.(2016? 太原测评)已知 a&0，0&b&1，则下列结论正确的是( A.a&ab C.ab&ab2 B.a&ab2 D.ab&ab2 ) )2.(2016? 眉山市一诊)若 a，b，c 为实数，则下列命题中正确的是( A.若 a＞b，则 ac2＞bc2 B.若 a＜b，则 a＋c＜b＋c C.若 a＜b，则 ac＜bc 1 1 D.若 a＜b，则 ＞ a b1
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .3.(2015? 山东青岛质检)设 a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( 1 1 A. ＞ a b C.|a|＞－b 1 1 B. ＞ a－b a D. －a＞ －b)4.(2015? 广东湛江二模)已知 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 a＞0，ac＜0，则下列选项中不一定能成 立的是( c b A. ＜ a a b2 a2 C. ＞ c c ) b－a B. ＞0 c a－c D. ＜0 ac )5.(2015? 湖南十三校联考)若 a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a＋ ＞b＋ b a 1 1 C.a－ ＞b－ b a b b＋1 B. ＞ a a＋1 2a＋b a D. ＞ a＋2b b6.(2016? 河南适应性测试)已知 a&b，ab≠0，则下列不等式中： 1 1 ①a2&b2；② & ；③a3&b3；④a2＋b2&2ab， a b 恒成立的不等式的个数是________. 7.(2015? 辽宁五校联考)对于实数 a，b，c，有下列命题： 1 1 ①若 a＞b，则 ac＜bc；②若 ac2＞bc2，则 a＞b；③若 a＞b， ＞ ，则 a＞0，b＜0. a b 其中真命题为________(把正确命题的序号写在横线上).2
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案精析A 组三年高考真题（ 年）1.解析由 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，及 logab＞1＝logaa 可得：当 a＞1 时，b＞a＞1；当 0＜a＜1 时，0＜b＜a＜1，代入验证只有 D 满足题意. 答案 D 2.解析作差比较，∵x＜y＜z，a＜b＜c， (az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0， ∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz； (az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0， ∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx； (ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0， ∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz， ∴az＋by＋cx 最小．故选 B. 答案 B? ? ?－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c ?a＝6 3.解析由已知得? ，解得? ， ?－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c ?b＝11 ? ?又 0＜f(－1)＝c－6≤3，所以 6＜c≤9. 答案 C 1 1 4.解析∵c＜d＜0，∴0＞ ＞ ， c d 1 1 ∴－ ＞－ ＞0，又 a＞b＞0， d c a b ∴－ ＞－ ，故选 B. d c 答案 BB 组两年模拟精选( 年)1.解析由题意得 ab－ab2＝ab(1－b)&0，所以 ab&ab2，故选 C. 答案 C 2.解析对于 A：当 c＝0 时，ac2＝bc2，排除 A； 对于 C：当 c＝0 时 ac＝bc，排除 C； 1 1 对于 D：当 a＝－1，b＝1 时， ＜ ，排除 D，故选 B. a b 答案 B 1 1 1 1 3.解析由题设得 a＜a－b＜0，所以有 ＜ 成立，即 ＞ 不成立. a－b a a－b a 答案 B3
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .1 b c 4.解析由 b＞c，a＞0，即 ＞0，可得 ＞ ，故 A 恒成立. a a a b－a ∵b＜a，∴b－a＜0，又 c＜0，∴ ＞0，故 B 恒成立. c a－c ∵c＜a，∴a－c＞0，又 ac＜0，∴ ＜0，故 D 恒成立. ac b2 a2 当 b＝－2，a＝1 时，b2＞a2，而 c＜0，∴ ＜ ，故 C 不恒成立，选 C. c c 答案 C 5.解析检验法：取 a＝2，b＝1，排除 B 和 D； 1 1 另外，函数 f(x)＝x－ 是(0，＋∞)上的增函数，但函数 g(x)＝x＋ 在(0，1]上递减，在[1，＋∞) x x 上递增，所以当 a＞b＞0 时，f(a)＞f(b)必定成立，但 g(a)＞g(b)未必成立，排除 C； 1 1 1 1 而 a－ ＞b－ ?a＋ ＞b＋ ，故选 A. a b b a 答案 A 6.解析当 a＝1，b＝－2 时，显然①②不成立； 对于③，当 a，b 异号时，a&0&b 时，显然有 a3&0&b3； 当 a，b 同号时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)&0，所以③恒成立； 对于④，a2＋b2－2ab＝(a－b)2&0，所以 a2＋b2&2ab，即④恒成立. 综上所述，不等式中恒成立的个数为 2. 答案 2 7.解析若 c≥0，①不成立； 由 ac2＞bc2 知 c2≠0，则 a＞b，②成立； 1 1 b－a 当 a＞b 时， － ＝ ＞0，则 a＞0，b＜0，③成立. a b ab 答案②③第二节不等式的解法A 组三年高考真题（ 年）2x＋1 1.(2015? 山东，8)若函数 f(x)＝ x 是奇函数，则使 f(x)＞3 成立的 x 的取值范围为( 2 －a A．(－∞，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1，＋∞) )4
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) . ? ?x?x＋2?＞0， 2.(2014? 大纲全国，3)不等式组? 的解集为( ?|x|＜1 ?)A．{x|－2＜x＜－1} C．{x|0＜x＜1}2B．{x|－1＜x＜0} D．{x|x＞1}3.(2015? 广东，11)不等式－x －3x＋4&0 的解集为________(用区间表示)． 4.(2015? 江苏，7)不等式 2x2－x＜4 的解集为________．B 组两年模拟精选( 年)1.(2016? 江西八所重点中学联考)设集合 A＝{x|a－2&x&a＋2}，B＝{x|x2－4x－5&0}，若 A?B， 则实数 a 的取值范围为( A.[1，3] C.[－3，－1] ) B.(1，3) D.(－3，－1)2.(2016? 河南洛阳质检)若不等式 x2－2ax＋a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立，则关于 t 的不等式 at2＋2t－3＜1 的解集为( A.(－3，1) C.? 3.(2015? 珠海模拟)不等式－2x2＋x＋3&0 的解集是( A.{x|x&－1} 3? ? ? C.?x? ?－1&x&2? ?) B.(－∞，－3)∪(1，＋∞) D.(0，1) ) 3? ? ? B.?x? ?x&2? ? ?3? ? ? D.?x? ?x&－1或x&2?（x－a）（x－b） 4.(2015? 辽宁丹东调研)关于 x 的不等式 ≥0 的解为{x|－1≤x＜2 或 x≥3}， 则点 x－c P(a＋b，c)位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 )x ? ?2（x≥0）， 5.(2015? 长春第二次调研)已知函数 f(x)＝? 则 f[f(x)]≥1 的充要条件是( ?x2（x＜0）， ? A.x∈(－∞，－ 2] B.x∈[4 2，＋∞) C.x∈(－∞，－1]∪[4 2，＋∞) D.x∈(－∞，－ 2]∪[4，＋∞)1 9 6.(2015? 山西省三诊)正数 a，b 满足 ＋ ＝1，若不等式 a＋b≥－x2＋4x＋18－m 对任意实数 x a b5
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .恒成立，则实数 m 的取值范围是( A.[3，＋∞) C.(－∞，6]) B.(－∞，3] D.[6，＋∞)7.(2016? 四川绵阳诊断)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于 x 的 不等式 f(x)＞c－1 的解集为(m－4，m＋1)，则实数 c 的值为________. 8.(2015? 山东省实验中学二诊)已知函数 f(x)＝x2＋2ax－a＋2. (1)若对于任意 x∈R，f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若对于任意 x∈[－1，1]，f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若对于任意 a∈[－1，1]，x2＋2ax－a＋2＞0 恒成立，求实数 x 的取值范围.答案精析A 组三年高考真题（ 年）1.解析∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 2 x＋1 2x＋1 即 －x ＝－ x ， 2 －a 2 －a－整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1， 2x＋1 ∴f(x)＞3 即为 x ＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0， 2 －1 ∴1＜2x＜2， ∴0＜x＜1. 答案 C 2.解析解 x(x＋2)&0，得 x&－2 或 x&0；解|x|&1，得－1&x&1. 所以不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即{x|0&x&1}，故选 C. 答案 C 3.解析不等式－x2－3x＋4&0，即 x2＋3x－4&0，解得－4&x&1. 答案(－4，1) 4.解析∵2x2－x＜4＝22， ∴x2－x＜2，即 x2－x－2＜0，解得－1&x&2. 答案{x|－1＜x＜2}B 组两年模拟精选( 年)1.解析由题意知 A≠?，B＝{x|－1&x&5}，6
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .?a－2≥－1， ? 由 A?B 得? 解得 1≤a≤3，故选 A. ? ?a＋2≤5，答案 A 2.解析不等式 x2－2ax＋a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立， 则 Δ＝(－2a)2－4a＜0，即 a2－a＜0，解得 0＜a＜1， 所以不等式 at2＋2t－3＜1 转化为 t2＋2t－3＞0，解得 t＜－3 或 t＞1，故选 B. 答案 B 3 3.解析－2x2＋x＋3＜0，2x2－x－3＞0，即(2x－3)(x＋1)＞0，解得 x＞ 或 x＜－1. 2 答案 D 4.解析由不等式的解集可知－1，3 是方程的两个根，且 c＝2， 不妨设 a＝－1，b＝3，∴a＋b＝2，即点 P(a＋b，c)的坐标为(2，2)，位于第一象限，选 A. 答案 A x 5.解析当 x≥0 时，f[f(x)]＝ ≥1，所以 x≥4； 4 x2 当 x＜0 时，f[f(x)]＝ ≥1，所以 x2≥2，解得 x≥ 2(舍去)或 x≤－ 2. 2 因此 f[f(x)]≥1 的充要条件是 x∈(－∞，－ 2]∪[4，＋∞)，选 D. 答案 D 1 9? ?b 9a? 6.解析 a＋b＝(a＋b)? ?a＋b?＝10＋?a＋ b ?≥10＋2 b 9a 1 9 当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝1，即 b＝3a＝12 时取“＝”. a b a b ∴－x2＋4x＋18－m≤16，即 x2－4x＋m－2≥0 对任意 x 恒成立. ∴Δ＝16－4(m－2)≤0，∴m≥6. 答案 D 7.解析 Δ＝0?a2＋4b＝0，f(x)＞c－1?－x2＋ax＋b－c＋1＞0?x2－ax－b＋c－1＜0， 此不等式的解集为(m－4，m＋1)?|x1－x2|＝5?(x1＋x2)2－4x1x2＝25 21 ?a2－4(－b＋c－1)＝a2＋4b－4c＋4＝25?－4c＝21?c＝－ . 4 21 答案－ 4 8.解(1)要使对于任意 x∈R，f(x)≥0 恒成立，需满足 Δ＝4a2－4(－a＋2)≤0，解得－2≤a≤1，即 实数 a 的取值范围为[－2，1].7b 9a ? ＝16， a b
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .(2)对称轴 x＝－a. 当－a＜－1，即 a＞1 时，f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，∴a≤1(舍)； 当－a＞1，即 a＜－1 时，f(x)min＝f(1)＝a＋3≥0，∴－3≤a＜－1； 当－1≤－a≤1，即－1≤a≤1 时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0，∴－1≤a≤1. 综上所述，实数 a 的取值范围为[－3，1]. (3)对于任意 a∈[－1，1]，x2＋2ax－a＋2＞0 恒成立等价于 g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2＞0，2 ? ? ?g（1）&0， ?x ＋2x－1＋2＞0， ? ? 则 即 2 解得 x≠－1. ?g（－1）&0， ? ?x －2x＋1＋2＞0， ?所以实数 x 的取值范围是{x|x≠－1}.第三节简单的线性规划A 组三年高考真题（ 年）x＋y≤2， ? ? 1.(2016? 山东，4)若变量 x，y 满足?2x－3y≤9，则 x2＋y2 的最大值是( ? ?x≥0， A.4 C.10 B.9 D.12 )x＋y－3≥0， ? ? 2.(2016? 浙江，4)若平面区域?2x－y－3≤0，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平 ? ?x－2y＋3≥0 行直线间的距离的最小值是( 3 5 A. 5 3 2 C. 2 x＋y－2≤0， ? ? 3.(2015? 重庆，10)若不等式组?x＋2y－2≥0， ? ?x－y＋2m≥0 则 m 的值为( A.－3 B.1 4 C. D.3 38) B. 2 D. 5 4 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ， 3)
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .x－y≥0， ? ? 4.(2015? 安徽，5)已知 x，y 满足约束条件?x＋y－4≤0， ? ?y≥1， A.－1 B.－2 C.－5 D.1 x＋2y≤2， ? ? 5.(2015? 广东，11)若变量 x，y 满足约束条件?x＋y≥0， ? ?x≤4， A.2 B.5 C.8 D.10则 z＝－2x＋y 的最大值是()则 z＝2x＋3y 的最大值为()x－2≤0， ? ? 6.(2015? 天津，2)设变量 x，y 满足约束条件?x－2y≤0， ? ?x＋2y－8≤0， 为( )则目标函数 z＝3x＋y 的最大值A.7 B.8 C.9 D.14 7.(2015? 陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品 所需原料及每天原料的可用限额如表所示， 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 C.17 万元 3 1 ) 乙 2 2 原料限额 12 8 B.16 万元 D.18 万元x＋y≥0， ? ? 8.(2015? 福建，10)变量 x，y 满足约束条件?x－2y＋2≥0， ? ?mx－y≤0. 数 m 等于( A.－2 B.－1 C.1 D.2 x＋y≤4， ? ? 9.(2014? 湖北，4)若变量 x，y 满足约束条件?x－y≤2， ? ?x≥0，y≥0， A.2 B.4 C.7 D.89若 z＝2x－y 的最大值为 2，则实)则 2x＋y 的最大值是()
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .x＋y－1≥0， ? ? 10.(2014? 新课标全国Ⅱ，9)设 x，y 满足约束条件?x－y－1≤0， ? ?x－3y＋3≥0， ( )则 z＝x＋2y 的最大值为A.8 B.7 C.2 D.1? ?x－y－1≤0， 11.(2014? 山东，10)已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z＝ax＋by(a＞0,b＞0) ?2x－y－3≥0， ?在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2＋b2 的最小值为( A.5 B.4 C. 5D.2)?x＋y≥a， ? 12.(2014? 新课标全国Ⅰ，11)设 x，y 满足约束条件? 且 z＝x＋ay 的最小值为 7， ? ?x－y≤－1，则 a＝( A.－5 C.－5 或 3) B.3 D.5 或－3x＋2y≤8， ? ? 13.(2014? 广东，4)若变量 x，y 满足约束条件?0≤x≤4， ? ?0≤y≤3， A.7 B.8 C.10 D.11则 z＝2x＋y 的最大值等于()x＋y－7≤0， ? ? 14.(2014? 福建，11)已知圆 C：(x－a) ＋(y－b) ＝1，平面区域 Ω：?x－y＋3≥0， 若圆心 C ? ?y≥0.2 2∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋b2 的最大值为( A.5 B.29 C.37 D.49)2x－y＋1≥0， ? ? 15.(2016? 新课标全国Ⅲ， 13)设 x， y 满足约束条件?x－2y－1≤0，则 z＝2x＋3y－5 的最小值为 ? ?x≤1， ________. x－y＋1≥0， ? ? 16.(2016? 新课标全国Ⅱ，14) 若 x ， y 满足约束条件?x＋y－3≥0，则 z ＝ x － 2y 的最小值为 ? ?x－3≤0， ________.10
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .17.(2016? 新课标全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料. 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的 利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品 A，产品 B 的利润之和的最大值为________元. x＋y－2≥0， ? ? 18.(2014? 安徽，13)不等式组?x＋2y－4≤0， ? ?x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．x＋y－2≤0， ? ? 19.(2015? 新课标全国Ⅰ，15)若 x，y 满足约束条件?x－2y＋1≤0， ? ?2x－y＋2≥0， ________． x＋y－5≤0， ? ? 20.(2015? 新课标全国Ⅱ，14)若 x，y 满足约束条件?2x－y－1≥0， ? ?x－2y＋1≤0， ________．则 z＝3x＋y 的最大值为则 z＝2x＋y 的最大值为21.(2015? 北京，13)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P(x，y)为 D 中任意一点， 则 z＝2x＋3y 的最大值为________．x＋y≤4， ? ? 22.(2015? 湖北，12)设变量 x，y 满足约束条件?x－y≤2， ? ?3x－y≥0， y≤x， ? ? 23.(2014? 湖南，13)若变量 x，y 满足约束条件?x＋y≤4， ? ?y≥1， y≤1， ? ? 24.(2014? 北京，13)若 x，y 满足?x－y－1≤0， ? ?x＋y－1≥0，则 3x＋y 的最大值为________．则 z＝2x＋y 的最大值为________．则 z＝ 3x＋y 的最小值为________．x＋2y－4≤0， ? ? 25.(2014? 浙江，12)若实数 x，y 满足?x－y－1≤0， ? ?x≥1，11则 x＋y 的取值范围是________．
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .B 组两年模拟精选( 年)x≥1， ? ? 1.(2016? 湖南常德 3 月模拟)设 x， y 满足约束条件?x－2y≤0，则 z＝x＋2y－3 的最大值为( ? ?y－2≤0， A.8 C.2 B.5 D.1 )x≥2， ? ? 2.(2016? 太原模拟)已知实数 x，y 满足条件?x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最小值为 ? ?－2x＋y＋c≥0， 5，则其最大值为( A.10 C.14 ) B.12 D.15x＋y≤1， ? ? y 3.(2016? 甘肃兰州诊断) 设 x ， y 满足约束条件?x＋1≥0，则目标函数 z＝ 的取值范围为 x＋2 ? ?x－y≤1， ( ) B.[－3，－2] D.[2，3]2 2A.[－3，3] C.[－2，2]?y －x ≤0， ? 4.(2016? 晋冀豫三省一调)已知 P(x，y)为区域? 内的任意一点，当该区域的面积为 4 ?0≤x≤a ?时，z＝2x－y 的最大值是( A.6 C.2) B.0 D.2 2x＋y≥2， ? ? 5.(2016? 山东临沂八校质量检测)已知变量 x,y 满足约束条件?2x－y≤1，若目标函数 z＝kx＋2y ? ?y－x≤2， 仅在点(1,1)处取得最小值,则实数 k 的取值范围为( A.(－∞，－4) C.(2，＋∞) ) B.(－2，2) D.(－4，2)?1≤x＋y≤3， ? 6.(2015? 北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组? 所表示图形的面积等于 ? ?－1≤x－y≤1 12
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .( A.1 C.3) B.2 D.4答案精析A 组三年高考真题（ 年）x＋y≤2， ? ? 1.解析满足条件?2x－3y≤9，的可行域如图阴影部分(包括边界). ? ?x≥0 x2＋y2 是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方， 显然当 x＝3，y＝－1 时，x2＋y2 取最大值，最大值为 10.故选 C. 答案 C 2.解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部分，?x－2y＋3＝0， ? 由? 解得 A(1，2)， ?x＋y－3＝0， ? ? ?x＋y－3＝0， 由? 解得 B(2，1). ?2x－y－3＝0， ?由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小， 即|AB|＝ （1－2）2＋（2－1）2＝ 2. 答案 B 3.解析不等式组表示的区域如图，2m＋2 则图中 A 点纵坐标 yA＝1＋m，B 点纵坐标 yB＝ ，C 点横坐标 xC＝－2m， 3 2m＋2 （m＋1）2 4 1 1 ∴S＝S△ACD－S△BCD＝ × (2＋2m)× (1＋m)－ × (2＋2m)× ＝ ＝ ， 2 2 3 3 3 ∴m＋1＝2 或 m＋1＝－2(舍)，∴m＝1.13
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案 B 4.解析(x，y)在线性约束条件下的可行域如图，∴zmax＝－2× 1＋1＝－1.故选 A. 答案 A5.解析如图，过点(4，－1)时，z 有最大值 zmax＝2× 4－3＝5.答案 B 6.解析作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分.作直线 l：3x＋y＝0，平移直线 l 可知，经过点 A 时，z＝3x＋y 取得最大值，? ?x－2＝0， 由? 得 A(2，3)，故 zmax＝3× 2＋3＝9.选 C. ?x＋2y－8＝0， ?答案 C 7.解析设甲、乙的产量分别为 x 吨，y 吨， 3x＋2y≤12， ? ?x＋2y≤8， 由已知可得? 目标函数 z＝3x＋4y， x≥0， ? ?y≥0， 线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，可得目标函数在点 A 处取到最大值．? ?x＋2y＝8， 由? 得 A(2，3)，则 zmax＝3× 2＋4× 3＝18(万元)． ?3x＋2y＝12， ?答案 D14
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .2 2? ? 2 ， 2m ? 8.解析由图形知 A? ?－3，3?，B 2m－1 2m－1 ，O(0，0)，??只有在 B 点处取最大值 2，∴2＝4 2m － ，∴m＝1. 2m－1 2m－1答案 C 9.解析画出可行域如图(阴影部分).?x＋y＝4， ? 设目标函数为 z＝2x＋y，由? 解得 A(3，1)，当目标函数过 A(3，1)时取得最大值， ?x－y＝2 ?∴zmax＝2× 3＋1＝7，故选 C. 答案 C 10.解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示.1 z z 1 z z 由 z＝x＋2y，得 y＝－ x＋ ， 为直线 y＝－ x＋ 在 y 轴上的截距，要使 z 最大，则需 最大， 2 2 2 2 2 2 1 z 所以当直线 y＝－ x＋ 经过点 B(3，2)时，z 最大，最大值为 3＋2× 2＝7，故选 B. 2 2 答案 B?x－y－1≤0， ? 11.解析不等式组? 表示的平面区域为图中的阴影部分． ?2x－y－3≥0 ?由于 a&0，b&0，所以目标函数 z＝ax＋by 在点 A(2，1)处取得最小值，即 2a＋b＝2 5. 方法一 a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝5a2－8 5a＋20＝( 5a－4)2＋4≥4，a2＋b2 的最小值为 4. 方法二 a2＋b2表示坐标原点与直线 2a＋b＝2 5上的点之间的距离，15
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .故 a2＋b2的最小值为 答案 B2 5 ＝2，a2＋b2 的最小值为 4. 22＋12a－1 x ＝ ， ? ?x＋y＝a， 2 ? 12.解析联立方程? 解得? ?x－y＝－1， a＋1 ? ?y＝ 2 ， 代入 x＋ay＝7 中，解得 a＝3 或－5， 当 a＝－5 时，z＝x＋ay 的最大值是 7；当 a＝3 时，z＝x＋ay 的最小值是 7，故选 B. 答案 B 13.解析由约束条件画出如图所示的可行域.由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z，当直线 y＝－2x＋z 过点 A 时，z 有最大值.?x＝4， ? 由? 得 A(4，2)，∴zmax＝2× 4＋2＝10.故答案为 C. ? ?x＋2y＝8答案 C 14.解析平面区域 Ω 为如图所示的阴影部分的△ABD.因为圆心 C(a，b)∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切， 所以点 C 在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y＝1(－2≤x≤6)， 由图形得，当点 C 在点 N(6，1)处时，a2＋b2 取得最大值 62＋12＝37，故选 C. 答案 C 2x－y＋1≥0， ? ? 15.(2016? 新课标全国Ⅲ， 13)设 x， y 满足约束条件?x－2y－1≤0，则 z＝2x＋3y－5 的最小值为 ? ?x≤1， ________. 解析 可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A(1，0)，B(－1，－1)，C(1，3)，直线 z＝ 2x＋3y－5 过点 B 时取最小值－10.16
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案 －10 16.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线 x＝3 与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3，4)处取得，代入目标函数 z＝x－2y，得到 z＝－5.答案－5 17.解析设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，根据所耗费的材料要、工时要求等其他限制条件，?x＋0.3y≤90， ?5x＋3y≤600， 得线性约束条件为?x≥0， y≥0， ?x∈N ， ?y∈N ，* *1.5x＋0.5y≤150，目标函数 z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)， 在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100× 60＋900× 100＝216 000(元).答案 216 000 1 18.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知 S△ABC＝ × 2× (2＋2)＝4. 2答案 4 19.解析 x，y 满足条件的可行域如图阴影部分所示.17
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .当 z＝3x＋y 过 A(1，1)时有最大值，z＝4. 答案 4 x＋y－5≤0， ? ? 20.8 解析画出约束条件?2x－y－1≥0，表示的可行域，为如图所示的阴影三角形 ABC. ? ?x－2y＋1≤0作直线 l0：2x＋y＝0，平移 l0 到过点 A 的直线 l 时，可使直线 z＝x＋y 在 y 轴上的截距最大，?x＋y－5＝0， ? ?x＝3， ? 即 z 最大，解? 得? 即 A(3，2)，故 z 最大＝2× 3＋2＝8. ?x－2y＋1＝0 ?y＝2 ? ?2 1 21.解析 z＝2x＋3y，化为 y＝－ x＋ z， 3 3 2 z 当直线 y＝－ x＋ 在点 A(2，1)处时，z 取最大值，z＝2× 2＋3＝7. 3 3答案 7 22.解析作出约束条件表示的可行域如图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)，将三个点的坐标 依次代入 3x＋y，求得的值分别为 10，6，－6，比较可得 3x＋y 的最大值为 10. 答案 10 23.解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分 别为 A(1，1)，B(2，2)，C(3，1)，画出直线 2x＋y＝0，平移直线 2x＋y＝0 可知，z 在点 C(3， 1)处取得最大值，所以 zmax＝2× 3＋1＝7.18
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案 7 24.解析根据题意画出可行域如图， 由于 z＝ 3x＋y 对应的直线斜率为－ 3， 且 z 与 x 正相关， 结合图形可知，当直线过点 A(0，1)时，z 取得最小值 1. 答案 13? 25.解析由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，? ?1，2?， (2，1)，代入 z＝x＋y，可得 1≤z≤3. 答案[1，3]B 组两年模拟精选( 年)1? 1.解析作可行域如图，则 A(1，2)，B? ?1，2?，C(4，2)， 1 所以 zA＝1＋2× 2－3＝2；zB＝1＋2× －3＝－1；zC＝4＋2× 2－3＝5， 2 则 z＝x＋2y－3 的最大值为 5.答案 B 2.解析画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示. 作直线 l：y＝－3x，平移 l，从而可知当 x＝2，y＝4－c 时，z 取得最小值，zmin＝3× 2＋4－c ＝10－c＝5，∴c＝5，当 x＝ 4＋c 8－c ＝3，y＝ ＝1 时，z 取得最大值，zmax＝3× 3＋1＝10. 3 319
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案 A y 3.解析根据约束条件作出可行域，可知目标函数 z＝ 在点 A(－1，－2)处取得最小值－2， x＋2 在点 B(－1，2)处取得最大值 2，故选 C. 答案 C2 2 ?y －x ≤0， ? 4.解析由? 作出可行域，如图. ?0≤x≤a ?由图可得 A(a，－a)，B(a，a)， 1 由 S△OAB＝ ? 2a? a＝4，得 a＝2，∴A(2，－2). 2 化目标函数 z＝2x－y 为 y＝2x－z，∴当 y＝2x－z 过 A 点时，z 最大，zmax＝2× 2－(－2)＝6. 答案 A k z 5.解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z＝kx＋2y 得 y＝－ x＋ ， 2 2 要使目标函数 z＝kx＋2y 仅在点 B(1，1)处取得最小值，则阴影部分应该在直线 z＝kx＋2y 的 右上方， k 所以直线的斜率－ 大于直线 x＋y＝2 的斜率，小于直线 2x－y＝1 的斜率， 2 k 即－1&－ &2，解得－4&k&2，所以实数 k 的取值范围为(－4，2). 2答案 D20
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .6.解析该线性约束条件表示的平面区域如下图所示，该区域为边长为 2的正方形，故其面积 为( 2)2＝2.答案 B第四节a＋b 基本不等式： ab≤ 2A 组三年高考真题（ 年）1 2 1.(2015? 湖南，7)若实数 a，b 满足 ＋ ＝ ab，则 ab 的最小值为( a b A. 2B.2 C.2 2D.4 x y 2.(2015? 福建，5)若直线 ＋ ＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于( a b A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2015? 陕西，10)设 f(x)＝ln x,0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f? 关系式中正确的是( A.q＝r＜p C.p＝r＜q ) B.q＝r＞p D.p＝r＞q ) a＋b? 1 ，r＝ (f(a)＋f(b))，则下列 2 ? 2 ? ) )4.(2014? 重庆，9)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的最小值是( A.6＋2 3 C.6＋4 3 B.7＋2 3 D.7＋4 35.(2014? 福建，9)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造 价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( A.0 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 )6.(2015? 天津，12)已知 a＞0，b＞0，ab＝8，则当 a 的值为________时，log2a? log2(2b)取得最 大值．21
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .x ，x≤1， ? ? 7.(2015? 浙江，12)已知函数 f(x)＝? 6 则 f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是 ? ?x＋x－6，x＞1， ________． x2－y2 8.(2015? 山东，14)定义运算“?”：x?y＝ (x,y∈R,xy≠0),当 x＞0,y＞0 时,x?y＋(2y)?x 的 xy 最小值为________． 9． (2014? 浙江， 16)已知实数 a， b， c 满足 a＋b＋c＝0， a2＋b2＋c2＝1， 则 a 的最大值是________．2B 组两年模拟精选( 年)1.(2016? 济南一中高三期中)若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 3a＋3b 的最小值是( A.18 C.2 3 B.6 4 D.2 4 ) )2.(2016? 山东济南质量调研)已知直线 ax＋by＝1 经过点(1，2)，则 2a＋4b 的最小值为( A. 2 C.4 B.2 2 D.4 2 )1 1 1 2 3.(2016? 安徽安庆第二次模拟)已知 a&0，b&0，a＋b＝ ＋ ，则 ＋ 的最小值为( a b a b A.4 C.8 B.2 2 D.16 )1 1 4.(2015? 衡水中学四调)已知 x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则 ＋ 的最小值是( x 3y A.4 C.2 B.3 D.15.(2016? 山东北镇中学、莱芜一中，德州一中 4 月联考)若直线 ax－by＝2(a&0，b&0)过圆 x2 －4x＋2y＋1＝0 的圆心，则 ab 的最大值为________. 6.(2015? 吉林市高三摸底)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的最大值是________. 7.(2015? 山东济宁模拟)正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________.22
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .答案精析A 组三年高考真题（ 年）1 2 1.解析由 ＋ ＝ ab，知 a＞0，b＞0， a b 1 2 ∵ ＋ ≥2 a b 答案 C 1 1? 1 1 b a ＋ ＝2＋ ＋ ≥4，当且仅当 a＝b＝2 时取等号． 2.解析由题意 ＋ ＝1，∴a＋b＝(a＋b)? a b ? ? a b a b 故选 C. 答案 C a＋b 3.答案 C 解析∵0＜a＜b，∴ ＞ ab， 2 又∵f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故 f? a＋b? ? 2 ?＞f( ab)，即 q＞p. 2 2 2 ，∴ ab≥ ，∴ab≥2 2.故选 C. ab ab1 1 1 1 1 又 r＝ [f(a)＋f(b)]＝ (ln a＋ln b)＝ ln a＋ ln b＝ln(ab)2＝f( ab)＝p. 2 2 2 2故 p＝r＜q.选 C. 4.解析因为 log4(3a＋4b)＝log2 ab，所以 log4(3a＋4b)＝log4(ab)，? ?3a＋4b&0， 即 3a＋4b＝ab，且? 即 a&0，b&0， ?ab&0， ?4 3? 4 3 4b 3a 所以 ＋ ＝1(a&0，b&0)，a＋b＝(a＋b)? ?a＋b?＝7＋ a ＋ b ≥7＋2 a b 4b 3a 当且仅当 ＝ 时取等号，选择 D. a b 答案 D 5.解析设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长为 xm，234b 3a ? ＝7＋4 3， a b
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .4 因为无盖长方体的容积为 4 m3，高为 1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m， x 4 2×4? x＋ ?≥80＋20×2 依题意得，y＝20×4＋10?2x＋ ＝80＋20? x? ? x ? ? 4 x? ＝160(当且仅当 x4 x＝ ，即 x＝2 时取等号)，所以该容器的最低总造价为 160 元．故选 C. x 答案 C 6.解析 log2a? log2(2b)＝log2a? (1＋log2b)≤? log2a＋1＋log2b?2 ?log2ab＋1?2 ?log28＋1?2 2 2 ? ? ＝? ? ＝? 2 ? ＝4，当且仅当 log2a＝1＋log2b，即 a＝2b 时，等号成立，此时 a＝4，b＝2. 答案 4 x ，x≤1 ? ? 7.解析∵f(x)＝? 6 ? ?x＋x－6，x＞1， 1 ∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－ . 2 当 x≤1 时，f(x)min＝f(0)＝0， 6 当 x＞1 时，f(x)＝x＋ －6≥2 6－6，当且仅当 x＝ 6时“＝”成立． x ∵2 6－6＜0，∴f(x)的最小值为 2 6－6. 1 答案－ 2 6－6 2 x2－y2 （2y）2－x2 x2＋2y2 2 x2?2y2 8.解析由题意得，x?y＋(2y)?x＝ ＋ ＝ ≥ ＝ 2，当且仅当 xy 2yx 2xy 2xy x＝ 2y 时取等号． 答案 2 9.解析由 a＋b＋c＝0，得 a＝－b－c， 则 a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2). 又 a2＋b2＋c2＝1，所以 3a2≤2， 解得－ 答案 6 3 6 6 6 ≤a≤ ，所以 amax＝ . 3 3 32B 组两年模拟精选( 年)1.解析 3a＋3b≥2 3a? 3b＝2 3a b＝2 32＝6.＋答案 B 2.解析因为直线 ax＋by＝1 过点(1，2)，所以 a＋2b＝1，24
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .则 2a＋4b＝2a＋22b≥2 2a? 22b＝2 2a 答案 B＋2b＝2 2.1 1 a＋b 1 2 3.解析由 a＋b＝ ＋ ＝ 有 ab＝1，则 ＋ ≥2 a b ab a b 答案 B 4.解析因为由对数的运算可知 lg 2x＋lg 8y＝lg 2x＋3y11 ? ＝2 2. ab＝lg 2，∴x＋3y＝1，1 1? 1 1 3y x 3y x 1 1 ＋ (x＋3y)＝2＋ ＋ ≥4，当且仅当 ＝ 时，即 x＝ ，y＝ 时取等号， ∴ ＋ ＝? x 3y ?x 3y? x 3y x 3y 2 6 所以 A 正确. 答案 A 5.解析圆 x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 的圆心为(2，－1)，代入直线方程得 2a＋b＝2， 1 1 因为 2＝2a＋b≥2 2ab，所以 ab≤ ，当且仅当 2a＝b，即 a＝ ，b＝1 时等号成立， 2 2 1 所以 ab 的最大值为 . 2 答案 1 26.解析 由 x&0，y&0，得 4x2＋9y2＋3xy≥2?(2x)? (3y)＋3xy(当且仅当 2x＝3y 时等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，即 xy≤2，∴xy 的最大值为 2. 答案 2 7.解析 ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3，ab－2 ab－3≥0，( ab－3)( ab＋1)≥0，故 ab－3≥0， 即 ab≥9，由 a＞0，b＞0 知，当且仅当 a＝b＝3 时等号成立. 答案[9，＋∞)第五节推理与证明A 组三年高考真题（ 年）1.(2016? 新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况， 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点 表示十月的平均最高气温约为 15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温 约为 5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在 0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同25
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .D.平均最高气温高于 20 ℃的月份有 5 个 2.(2016? 浙江，8)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋2, n∈N*， |BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|， Bn≠Bn＋2， n∈N*(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合).若 dn＝|AnBn|， Sn 为△AnBnBn＋1 的面积，则( A.{Sn}是等差数列 C.{dn}是等差数列 ) B.{S2 n}是等差数列 D.{d2 n}是等差数列3.(2014? 山东，4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时， 要做的假设是( )A.方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B.方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C.方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D.程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根 4.(2016? 新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各 取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡 片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲 的卡片上的数字是________. 5.(2016? 山东，12)观察下列等式： －2 －2 ?sin π? ＋?sin 2π? ＝4×1×2； 3? ? 3? ? 3 －2 －2 －2 －2 ?sin π? ＋?sin 2π? ＋?sin 3π? ＋?sin 4π? ＝4×2×3； 5? 5? 5? ? 5? ? ? ? 3 －2 －2 －2 －2 ?sin π? ＋?sin 2π? ＋?sin 3π? ＋…＋?sin 6π? ＝4×3×4； 7? 7? 7? ? 7? ? ? ? 3 －2 －2 －2 －2 ?sin π? ＋?sin 2π? ＋?sin 3π? ＋…＋?sin 8π? ＝4×4×5； 9? 9? 9? ? 9? ? ? ? 3 … －2 π 2π －2 ? 3π －2 … ? 2nπ －2 照 此 规 律 ， ?sin 2n＋1? ＋ ?sin 2n＋1? ＋ sin 2n＋1? ＋ ＋ sin 2n＋1? ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ________. 6.(2015? 陕西，16)观察下列等式 1 1 1－ ＝ ， 2 2 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＝ ＋ ， 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ ＋ ， 2 3 4 5 6 4 5 6…据此规律，第 n 个等式可为________．26
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .7.(2014? 福建，16)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则 100a＋10b＋c 等于________． 8.(2014? 课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 1 9.(2016? 浙江，20)设函数 f(x)＝x3＋ ，x∈[0，1]， 1＋x 证明：(1)f(x)≥1－x＋x2； 3 3 (2) ＜f(x)≤ . 4 2 10.(2015? 四川，21)已知函数 f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中 a&0. (1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性； (2)证明：存在 a∈(0,1)，使得 f(x)≥0 恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解． 11.(2015? 江苏，20)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列；3 4 (2)是否存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列？并说明理由； n+k n+2k +3k (3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k，使得 an ，an 依次构成等比数列？并说明理由． 1,a2 ,a3 412.(2014? 天津，20)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合 M＝{0,1,2,…,q－1},集合 A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn 1,xi∈M,i＝1,2,…,n}．－(1)当 q＝2,n＝3 时,用列举法表示集合 A； (2)设 s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋anqn 1,t＝b1＋b2q＋…＋bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i＝1,2,…,n.－ －证明：若 an＜bn,则 s＜t.B 组两年模拟精选( 年)1 1 1 1.(2016? 吉林四校调研)设 a、b、c 都是正数，则 a＋ ，b＋ ，c＋ 三个数( b c a A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 2.(2016? 河南六市联考)给出下列两种说法： ①已知 p3＋q3＝2，求证 p＋q≤2，用反证法证明时，可假设 p＋q≥2； ②已知 a，b∈R，|a|＋|b|&1，求证方程 x2＋ax＋b＝0 的两根的绝对值都小于 1，用反证法证 明时，可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1，即假设|x1|≥1. 以下结论正确的是( A.①与②的假设都错误27)B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不小于 2)
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确；②的假设错误 D.①的假设错误；②的假设正确 3.(2015? 山东青岛模拟)定义 A ? B，B ? C，C ? D，D ? B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示 A ? D，A ? C 的分别是( A.(1)(2) C.(2)(4)) B.(2)(3) D.(1)(4) )4.(2015? 广东佛山调研)设 a、b、c、d∈R＋，若 a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则有( A.ad＝bc C.ad＞bc B.ad＜bc D.ad≤bc5.(2015? 广州模拟)若数列{an}是等差数列， 则数列{bn}(bn＝a1＋a2＋…＋an )也为等差数列.类比 n )这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则 dn 的表达式应为( c1＋c2＋…＋cn A.dn＝ nn … n n cn 1＋c2＋ ＋cn C.dn＝ n … c1? c2? ? cn B.dn＝ nn … D.dn＝ c1? c2? ? cn6.(2015? 石家庄二中一模)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛，其中只有一位获奖.有同 学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”， 丁说：“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( A.甲 C.丙 7.(2015? 江西南昌二模)观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13， 15，17，19，21，23，25，27，29，…)B.乙 D.丁28
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .设 1 027 是该表第 m 行的第 n 个数，则 m＋n 等于________. 8.(2015? 洛阳统考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； Sn (2)设 bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n答案精析A 组三年高考真题（ 年）1.解析由题意知，平均最高气温高于 20 ℃的六月，七月，八月，故选 D. 答案 D 1 2.解析 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn)乘以|BnBn－1|长度一半，即 Sn＝ hn|BnBn－1|， 2 由题目中条件可知|BnBn－1|的长度为定值，过 A1 作垂直得到初始距离 h1，那么 A1，An 和两个 垂足构成等腰梯形，则 hn＝h1＋|A1An|tan θ(其中 θ 为两条线所成的锐角，为定值)， 1 1 从而 Sn＝ (h1＋|A1An|tan θ)|BnBn＋1|，Sn＋1＝ (h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|， 2 2 1 则 Sn＋1－Sn＝ |AnAn＋1||BnBn＋1|tan θ，都为定值，所以 Sn＋1－Sn 为定值，故选 A. 2 答案 A 3.解析至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根”． 答案 A 4.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与29
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“2 和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同 的数字不是 2”，所以甲只能为“1 和 3”. 答案 1 和 3 4 5.解析观察等式右边的规律：第 1 个数都是 ，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n＋1. 3 4 答案 × n× (n＋1) 3 6.解析等式左边的特征：第 1 个等式有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错， 1 1 1 1 1 故第 n 个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1－ ＋ － ＋…＋ － ； 2 3 4 2 2n－1 n 等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个有 n 项，且由前 1 1 1 几个的规律不难发现第 n 个等式右边应为 ＋ ＋…＋ . 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 1 1 1 1 答案 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ 2 3 4 2n 2n－1 2n n＋1 n＋2 7.解析可分下列三种情形： (1)若只有①正确，则 a≠2，b≠2，c＝0，所以 a＝b＝1 与集合元素的互异性相矛盾，所以只有 ①正确是不可能的； (2)若只有②正确，则 b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是 不可能的； (3)若只有③正确，则 c≠0，a＝2，b≠2，所以 b＝0，c＝1，所以 100a＋10b＋c＝100× 2＋ 10× 0＋1＝201. 答案 201 8.解析根据甲和丙的回答推测乙没去过 B 城市，又知乙没去过 C 城市，故乙去过 A 城市． 答案 A 1－（－x）4 1－x4 9.证明 (1)因为 1－x＋x2－x3＝ ＝ ， 1－（－x） 1＋x 1－x4 1 由于 x∈[0，1]，有 ≤ ， 1＋x x＋1 1 即 1－x＋x2－x3≤ ，所以 f(x)≥1－x＋x2. x＋1 (2)由 0≤x≤1 得 x3≤x， 1 1 1 3 3 （x－1）（2x＋1） 3 3 故 f(x)＝x3＋ ≤x＋ ＝x＋ － ＋ ＝ ＋ ≤ ， 2 2 x＋1 x＋1 x＋1 2 2 2（x＋1） 3 所以 f(x)≤ . 2 1 2 3 3 x－ ? ＋ ≥ ， 由(1)得 f(x)≥1－x＋x2＝? ? 2? 4 430
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .1? 19 3 3 又因为 f? ?2?＝24＞4，所以 f(x)＞4. 3 3 综上， ＜f(x)≤ . 4 2 10.解(1)由已知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)， 2 2（x－1） 所以 g′(x)＝2－ ＝ ， x x 当 x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． (2)由 f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0，解得 a＝x－1－ln x， 令 φ(x)＝－2xln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2＝(1＋ln x)2－2xln x， 则 φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在 x0∈(1，e)，使得 φ(x0)＝0， 令 a0＝x0－1－ln x0＝u(x0)，其中 u(x)＝x－1－ln x(x≥1)， 1 由 u′(x)＝1－ ≥0 知，函数 u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， x 故 0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1， 即 a0∈(0，1)， 当 a＝a0 时，有 f′(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0， 再由(1)知，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当 x∈(1，x0)时，f′(x)＜0， 从而 f(x)＞f(x0)＝0； 当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0， 从而 f(x)＞f(x0)＝0； 又当 x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xln x＞0， 故 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0， 综上所述，存在 a∈(0，1)，使得 f(x)≥0 恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解． 2an＋1 11.(1)证明因为 ＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数， 2an 所以 2a1，2a2，2a3，2a4 依次构成等比数列， (2)令 a1＋d＝a，则 a1，a2，a3，a4 分别为 a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．3 4 假设存在 a1，d，使得 a1，a2 2，a3，a4依次构成等比数列，则 a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4. 1 d ? 令 t＝ ，则 1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4? ?－2＜t＜1，t≠0?， a31
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .化简得 t3＋2t2－2＝0(*)，且 t2＝t＋1. 将 t2＝t＋1 代入(*)式，t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0， 1 1 则 t＝－ ，显然 t＝－ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立． 4 43 4 因此不存在 a1，d，使得 a1，a2 2，a3，a4依次构成等比数列． n+k n+2k +3k (3)解假设存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 an ，an 依次构成等比数列， 1，a2 ，a3 4 n+2k 则 an ＝(a1＋d)2(n+k)，且(a1＋d)n+k(a1＋3d)n+3k＝(a1＋2d)2(n+2k) 1(a1＋2d) n+k) n 分别在两个等式的两边同除以 a2( 及 a2( 1 1＋2k) ．1 d t＞－ ，t≠0?， ，并令 t＝ ? 3 ? a1?＋3k则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n k(1＋3t)n＋＝(1＋2t)2(n＋2k)．将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)， 且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)． 化简得 2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]， 且 3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]． 再将这两式相除，化简得 ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)． 令 g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)， 则 g′(t)＝ 2[（1＋3t）2ln（1＋3t）－3（1＋2t）2ln（1＋2t）＋3（1＋t）2ln（1＋t）] . （1＋t）（1＋2t）（1＋3t）令 φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)， 则 φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]． 令 φ1(t)＝φ′(t)，则 φ1′(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]． 12 令 φ2(t)＝φ1′(t)，则 φ2′(t)＝ ＞0. （1＋t）（1＋2t）（1＋3t） 由 g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)＞0， 1 ? 知 φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在? ?－3，0?和(0，＋∞)上均单调． 故 g(t)只有唯一零点 t＝0，即方程(**)只有唯一解 t＝0，故假设不成立．n+k n+2k n+3k 所以不存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 an ，a4 依次构成等比数列． 1，a2 ，a312.(1)解当 q＝2，n＝3 时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2? 2＋x3? 22，xi∈M，i＝1，2，3}． 可得 A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明由 s，t∈A， s＝a1＋a2q＋…＋anqn 1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn 1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n 及 an&bn，－ －可得 s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn 2＋(an－bn)qn 1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋－ －(q－1)qn－2－qn－1（q－1）（1－qn 1） n－1 ＝ －q ＝－1&0. 1－q－所以 s&t.32
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .B 组两年模拟精选( 年)1 1 1 1 1 1 1.解析假设三个数都小于 2，则 a＋ ＋b＋ ＋c＋ ＜6，而 a＋ ＋b＋ ＋c＋ ≥2＋2＋2＝6， b c a b c a 与假设矛盾.故选 D. 答案 D 2.解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是 p＋q&2，所以①错误； 对于②，其假设正确. 答案 D 3.解析由 A ? B，B ? C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是―，由 C ? D 知，D 是小正方形， ∴A ? D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A ? C 为＋，即(4)正确.故选 C. 答案 C 4.解析|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc， 又∵a＋d＝b＋c?(a＋d)2＝(b＋c)2?a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc， ∴－4ad＜－4bc，∴ad＞bc，故选 C. 答案 C n（n－1） 5.解析若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋…＋an＝na1＋ d， 2 （n－1） d d ∴bn＝a1＋ d＝ n＋a1－ ，即{bn}为等差数列； 2 2 2 若{cn}是等比数列，则 c1? c2?…＋ ＋ ＋ ? cn＝cn q1 2 … (n-1)＝cn q 1? 1?n（n－1） 2 ，n－1 n ∴dn＝ c1? c2?…?cn＝c1? q 2 ，即{dn}为等比数列，故选 D. 答案 D 6.解析若甲获奖了，则四位同学说的都是错的，不符合题意； 若乙获奖了，则甲、乙、丁说的是对的，丙说的是错的，不符合题意； 若丙获奖了，则甲、丙说的是对的，乙、丁说的是错的，符合题意； 若丁获奖了，甲、丙、丁说的都是错的，乙说的是对的，不符合题意. 综上所述，丙获奖了，故选 C. 答案 C 7.解析该数表的通项公式为 ak＝2k－1， 由 2k－1＝1 027 得 k＝514，所以 1 027 是第 514 个奇数， 前 m 行共有 1＋2＋22＋…＋2m-1＝2m－1 个奇数， 当 m＝9 时，2m－1＝511，所以 1 027 是第 10 行的第 3 个数，33
年高考文科汇编专题：第七章不等式、推理与证明(含答案精析) .所以 m＋n＝13. 答案 13 8.(1)解由已知得 ??a = 2+1 ， ? 13a +3d =9+3 2， ? ? 1∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2). Sn (2)证明由(1)得 bn＝ ＝n＋ 2. n2 假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 bq ＝bpbr.即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，∴(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴ ∴? p＋r?2 2 ? 2 ? ＝pr，(p－r) ＝0.∴p＝r，与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.34}