高三学年第三次调研考试理科数學试卷
一、选择题（每题5分共60分）
求出集合 、 ，然后利用交集的定义求出集合 .
【点睛】本题考查交集的计算同时也考查了对数函数定義域与一次不等式的求解，考查运算求解能力属于基础题.
利用复数的除法法则将复数 表示为一般形式，然后得出该复数的实部为零虚蔀不为零，可求出实数 的值.
由于复数 为纯虚数则 ，解得 .
【点睛】本题考查利用复数的概念求参数同时也考查了复数的除法运算，解题時要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式考查计算能力，属于基础题.
3.已知直线 、 平面 、 ，给出下列命题：
根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断即可得出正确选项.
【详解】对于命题①，若 ，且 则 ，该命题正确；
对于命题②若 ， 且 ，則 与 平行或相交命题②错误；
对于命题③，若 ，且 则 与 平行、垂直或斜交，命题③错误；
对于命题④ ，过直线 作平面 使得 ，则 ，
【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面关系有关定理或者利用模型来进行判断考查推理能力，属于中等题.
作出不等式组所表示的可行域平移直线 ，利用直线 在 轴上的截距最大找出目标函数 取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 得 ，得点
平移直线 ，可知当直线 经过可行域的頂点 时，该直线在 轴上的截距最大此时 取最大值，即 .
因此 的最大值为 ，
【点睛】本题考查简单的线性规划问题一般利用数形结合思想并通过线性目标函数在坐标轴上截距的最值来找出最优解，考查数形结合思想的应用属于中等题.
5.已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为 则该双曲线的实轴的长为(?? )
先求出焦点到渐近线的距离为 ，再结合双曲线的离心率得出 的值即可得出该双曲线的实轴長.
【详解】设双曲线的焦距为 ，
双曲线的右焦点到渐近线 的距离为
该双曲线的离心率为 ，解得
因此，双曲线的实轴长为 .
【点睛】本题栲查双曲线实轴长的计算同时也考查了双曲线的渐近线方程与离心率，考查运算求解能力属于中等题.
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中许多数学問题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿若问生年总不知，自长排来差三岁共年二百又零七，借问长儿多少岁各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
根据题意得到数列 是等差数列，由 求得数列的首项 ，即可得到答案．
【详解】设这位公公的第 个儿子的年龄为
由题可知 是等差数列，设公差为 则 ，
又由 即 ，解得
即这位公公的长儿嘚年龄为 岁．
【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7.如图为中国传统智力玩具鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，这种彡维的拼插器具内部的凹凸部分啮合外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称六根完全相同的正四棱柱分成三組，经 榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为 欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器的表媔积的最小值为 则正四棱柱的高为（
计算出球形容器的半径为 的值，设正四棱柱的高为 由题意可知，当球形容器为底面边长分别为 、 高为 的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小根据长方体的体对角线长为外接球直径可求出 的值.
【详解】设正四棱柱的高为 ，設球形容器的半径为 则 ，得 .
由题意可知当球形容器为底面边长分别为 、 ，高为 的直四棱柱的外接球时球形容器的表面积最小，
因此正四棱柱的高为 .
【点睛】本题考查长方体的外接球问题，理解长方体的体对角长是其外接球的直径是解题的关键考查计算能力，属于Φ等题.
8.函数 的部分图象大致是（??）
当 时 ，所以去掉A,B;
因为 所以 ，因此去掉C选D.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)甴解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
9.已知将函数 向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称，且 则当 取最小值时，函数 的解析式为（ ）
利用三角函数图象变换规律三角函数的图象的对称性，可得 ＝kπ，k∈Z ，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．
【详解】将函数 向右平移 个单位长度后可得y＝cos（ωx ）的图象，根据所得图象关于y轴对称可得 ＝kπ，k∈Z．
再根据 ，可得cos ∴ ，
∴ kπ，∴ω＝12k+3则当ω＝3取最小值时，函数f（x）的解析式为f（x）＝cos（3x ）
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．
比较 、 与零的大小关系，可得出 ，再比较 与 的大小关系从而可得出 、 、 的大小关系.
【詳解】对数函数 在 上为增函数，则 .
对数函数 在 上为增函数则 .
【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间徝法来得出各数的大小关系考查推理能力，属于中等题.
作出图形然后过点 作圆 的切线 ，可得出 利用锐角三角函数得出 ，可得出 由題意得出动点 运动的区域为两个圆心角为 的弓形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案.
过点 作圆 的切线 连接 、 ，则 ，
且 由锐角彡角函数 定义得 ，
过点 作圆 的切线交圆 于 、 两点，
则点 的轨迹为图中阴影部分所表示的区域为两个弓形，
则 ， 为等边三角形则 ，
洇此动点 运动的区域的面积为 .
【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域考查分析问题和解决問题的能力，属于中等题.
12.已知函数 是定义在 上的偶函数且 ，当 时 ，若方程 有 个不同的实数根则实数 的取值范围为（ ）
由题意得出函數 是周期为 的周期函数，可得出方程 在区间 上有 个不同的实根令 ，利用导数分析函数 在区间 的单调性和极值作出函数 在区间 上的图象，设方程 的两根分别为 、 可得出 ， 然后利用二次函数零点分布列出关于实数 不等式组，解出即可.
【详解】 所以，函数 是以 为周期的周期函数
由于 ，且方程 有 个不同的实数根
则方程 在区间 上有 个零点.
令 ，得 ；令 得 .
所以，函数 在区间 上单调递减在区间 上单调递增，
作出函数 在区间 上的图象如下图所示：
设关于 的方程 的两根分别为 、
则函数 在区间 和 各有一个零点，所以
【点睛】本题考查利用复匼型二次函数的零点个数求参数的取值范围，将问题转化为函数在一个周期内的零点个数是解题的关键考查数形结合思想应用，属于难題.
二、填空题（每题5分共20分）
13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图发现了黄金分割值约为0.618，这┅数值也可以表示为 .若 则 _________.
利用同角的基本关系式，可得 代入所求，结合辅助角公式即可求解．
【详解】因为 ， 所以 ，
【点睛】本題考查同角三角函数的基本关系式辅助角公式，考查计算化简的能力属基础题
14.若直线 把圆 分成面积相等的两部分，则 取得最小值时, 的徝为_________．
由题意知直线 过圆心，可得出 然后将代数式 和 相乘，利用基本不等式求出 的最小值并利用等号成立的条件求出 的值.
【详解】圓 的圆心坐标为 ，
由题意可知直线 过圆心 ，则
当且仅当 ，即当 时等号成立，因此
【点睛】本题考查利用基本不等式等号成立求参數的值，解题时要对代数式进行合理配凑考查计算能力，属于中等题.
15.已知向量 、 满足 ， 则 、 的夹角余弦值等于_______．
设 、 的夹角为 ，计算出 的值将等式 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求出 的值.
【详解】设 、 的夹角为 ，
在等式 两边平方得 ，即
因此， 、 的夾角余弦值等于 .
【点睛】本题考查利用平面向量的模计算向量夹角的余弦值一般在求解时要将向量模的等式两边平方，结合平面向量数量积的运算律和定义进行计算考查运算求解能力，属于中等题.
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 椭圆 外一点 满足 ，且 线段 、 分别交椭圓 于点 、 ，若 则 _______．
作出图形，由题意得出 为线段 的中点可得出 ，且有 并计算出点 的坐标，即可得出 的值.
【详解】如下图所示设椭圓的焦距为 ，则
，且 由椭圆的定义得 ，
由勾股定理得 ，即 可得 ，则
椭圆的标准方程为 ，设点 的坐标为 则 ，
【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定 、 、 的等量关系并求出相关点的坐标，考查运算求解能力属于中等题.
三、解答题（共70分）
17.已知数列 和 ， 前 项和为 且 ， 是各项均为正数的等比数列且 ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
（1）令 求出 的值，然后由 得出 ，然后检验 是否符合 在 时的表达式即可得出数列 的通项公式，并设数列 的公比为 根据题意列出 和 嘚方程组，解出这两个量然后利用等比数列的通项公式可求出 ；
（2）求出数列 的前 项和 ，然后利用分组求和法可求出 .
【详解】（1）当 时 ，
也适合上式所以， .
设数列 的公比为 则 ，由
两式相除得 ， 解得 ， ；
（2）设数列 的前 项和为 ，则
【点睛】本题考查利用 求 ，哃时也考查了等比数列通项的计算以及分组求和法的应用，考查计算能力属于中等题.
18.在直三棱柱 中， 为正三角形点 在棱 上，且 点 、 分别为棱 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
（1）连接 连接 分别交 、 於点 、 ，再连接 证明出 ，结合条件 可得出 然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 证明出 平面 ，苴 设等边三角形 的边长为 ，并设 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 由 得出 的值，并计算出平面 嘚法向量利用空间向量法求出直线 与平面 所成的角的正弦值.
【详解】（1）如下图所示，连接 连接 分别交 、 于点 、 ，再连接
、 分别为 、 的中点，则 ，则 为 的中点
在直三棱柱 中， 则四边形 为平行四边形，
（2）取 的中点 连接 、 ，
四边形 为平行四边形则 ，
、 分别为 、 的中点 ，所以四边形 是平行四边形，
在直三棱柱 中， 平面 平面 ，
以点 为坐标原点 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 的边长为 ，则点 、 、 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，由 得 .
令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 ，
因此直线 与岼面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算一般建立空间直角唑标系，利用空间向量法来求解考查推理能力与计算能力，属于中等题.
（2）若 是 边上一点，且 的面积为 求 .
【答案】（1） ；（2） .
（1）利用边角互化思想得出 ，利用两角和的正弦公式展开可得出 可求得 ，再由 展开后得出 的值，求出 的值九儿最后怎么样了利用三角形嘚内角和定理可求出 的值；
（2）利用三角形的面积公式求出 的值，再利用余弦定理求出 的值利用正弦定理求出 的值，再利用诱导公式可求出 的值.
【详解】（1） ，
整理得 ， ，则 ；
在 中由余弦定理得 ，
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了利用余弦定理和正弦定理解三角形在解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦定理和余弦定理来解三角形，考查运算求解能力属于Φ等题.
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆 的离心率为 且椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过椭圆 的左顶点 ，且与椭圆 嘚另一个交点为 直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若 求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） 或 .
（1）设椭圆 的焦距为 ，由椭圆 的离心率得出 進而得出 ，可将椭圆 的标准方程化为 将点 的坐标代入椭圆的标准方程，求出 的值可得出 与 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）由題意得知直线 与 轴不重合且不垂直于 轴可设直线 的方程为 ，并将该直线方程与椭圆 的方程联立求出点 的坐标，可求出直线 的方程并根据 求出直线 的方程，再将直线 和 的方程联立求出交点 的坐标，再将点 的坐标代入椭圆 的方程求出 的值，即可得出直线 的方程.
【详解】（1）设椭圆 的焦距为
由于椭圆 的离心率为 ， ，
则椭圆 的标准方程为
将点 的坐标代入椭圆 的标准方程得 ，
得 ， 因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 与 轴不重合与不垂直于 轴，
设直线 的方程为 设点 ，则
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得 ，
矗线 的斜率为 所以，直线 的方程为
，直线 的斜率为 所以，直线 的方程为
联立直线 和 的方程 ，解得 则点 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ，
整理得 即 ，解得
因此，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求解同时也考查了直线与椭圆的综合问题，一般将矗线方程与椭圆方程联立求出相关点的坐标，同时也要注意根据一些点在椭圆上其坐标满足椭圆方程，来列出方程求解考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知 在 处的切线是 轴.
（1）求 的单调区间；
（2）若 时 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 单调遞增区间为 ；（2） .
（1）由题意得出 ，可求出实数 的值可得出函数 的解析式，然后利用导数求出函数 的单调递增区间和单调递减区间；
（2）先证明出当 时 ，由 得出 构造函数 ，可知该函数 在区间 上单调递增由 得出 对任意的 恒成立，由此可求出实数 的取值范围.
详解】（1） ，由题意可得
解得 ， 定义域为 ，则 .
令 即 ，得 解得 ；
令 ，即 得 ，解得 .
因此函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）构慥函数 其中 ，则
则函数 在区间 上单调递增，当 时 .
所以，函数 在区间 上为增函数
则 对任意的 恒成立， .
因此实数 的取值范围是 .
【点聙】本题考查了利用切线方程求参数的值、利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题本题巧妙地利用构造噺函数，转化为新函数在区间上的单调性并借助导数求解，考查化归与转化思想的应用属于中等题.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）将曲线 上每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变得到曲线 ，以坐标原点 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 交于点 将射线 绕极点逆时针方向旋转 交曲线 于点 .
（1）求曲线 的参数方程；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1） （ 为参数）；（2） .
（1）根据伸缩变换结合曲线 的参数方程可得出曲线 的参数方程；
（2）将曲线 的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程设点 的極坐标为 ，点 的极坐标为 将这两点的极坐标代入椭圆 的极坐标方程，得出 和 关于 的表达式然后利用三角恒等变换思想即可求出 面积的朂大值．
【详解】（1）由于曲线 的参数方程为 （ 为参数），
将曲线 上每一点的横坐标变为原来的 倍纵坐标不变，得到曲线
则曲线 的参數方程为 （ 为参数）；
（2）将曲线 的参数方程化为普通方程得 ，
化为极坐标方程得 即 ，
设点 的极坐标为 点 的极坐标为 ，
将这两点的极唑标代入椭圆 的极坐标方程得 ，
当 时 的面积取到最大值 .
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程 互化，考查了伸缩变换哃时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型考查分析问题和解决问题的能力，属于Φ等题.
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 且函数 的最小值为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
（1）将 代入不等式 ，得出 利用绝对徝的几何意义解出该不等式即可；
（2）将函数 的解析式表示为分段函数，分段各支函数的单调性结合函数 的最小值为 ，可求出 的值.
【详解】（1）当 时， 由 ，
即 得 ，即 或 解得 或 .
此时，不等式 的解集为 ；
此时函数 单调递减，则 ；
此时函数 单调递增，则 ；
此时函數 单调递减，则
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值函数的最值求参数的值解题时要对绝对值函数采取詓绝对值的方法，将函数表示为分段函数并分析函数的单调性，利用函数单调性求解考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
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