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请问一阶线性微分方程的那个通解公式里e的指数上的那个积分积出来要不要带常数？
提问时间： 20:10:22提问者：
同学，那个是不用带常数的 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 21:06:33
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京公安备110-10819402013考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结_甜梦文库
2013考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结
1 高数部分1.1高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于0 ? 型和 型的题目直接用洛必达法 0 ?则，对于 0?、 ? 、 1 型的题目则是先转化为01?0 ? 型或 型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括 0 ?limx ?0x ? 1 、 lim (1 ? x) x ? e 、 lim (1 ? 1 ) x ? e ；4.夹逼定理。 x sin x x ?? x ?0高数第二章《导数与微分》 、第三章《不定积分》 、第四章《定积分》1.2第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》 、后面的第三章《不定积分》 、第四章《定积分》 都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中 需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》 ，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提 醒一点：不定积分? f ( x)dx ? F ( x) ? C 中的积分常数 C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个 C 会失? f ( x)dx 的结果可以写为 F(x)+1，1 指的就是那一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分 一分，把它折弯后就是? f ( x)dx ? F ( x) ? C 中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1 分。a a第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分 方法以外还要注意定积分与不定积分的差异――出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?a?af ( x )dx 型定积分， f(x)是奇函数则有 ? f ( x )dx =0； f(x)为偶函数则有 ? f ( x )dx =2 ? f ( x )dx ； 若 若?a ?aa0对于??20f ( x)dx 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用 t ??2? x 的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x=-u 和利用性质?a?a奇函数 ? 0、?a?a偶函数 ? 2? 偶函数 。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路0a化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推 导公式 A ?E、(A ? B) ?C、(C ? D ? E) ?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一 个可以是这样的：条件给出 A、B、D，求证 F 成立。 为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明 称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。 如对于证明 F 成立必备逻辑公式中的 A ?E 就可能有 A ?H、A ?(I ? K)、(A ? B) ?M 等等公式同时存在，有的1逻辑公式看起来最有可能用到，如(A ? B) ?M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A ? B) ? C， 如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。 通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出 答案是我们解决不了证明题的两大原因。 针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复 地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。 当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的 东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的 角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。 “尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路， 同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中， 如果做题时一开始就想到了公式(C ? D ? E) ?F 再倒推想到 (A ? B) ?C、 A ? E 就可以证明了。 如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论 启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。 下表列出了中值定理证明问题的几种类型： 条件 A 关于闭区间上的 连续函数，常常 是只有连续性已 知 欲证结论 存在一个 ? 满足某个式 子 可用定理 介值定理（结论部分为：存在一个? 使得 ? 使得f f(? )?k） ?0） f (?x0 ) ? 0 ） f (? ) ? 0 ） ?零值定理（结论部分为：存在一个(? )B条件包括函数在 闭区间上连续、 在开区间上可导 条件包括函数在 闭区间上连续、 在开区间上可导存在一个 ? 满 足费尔马定理（结论部分为：f(n)(? )?0洛尔定理 （结论部分为： 存在一个 ? 使得C存在一个 ? 满 足拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个 ? 使得f(n)(? )?kf (? ) ? ?f (? ) ? ? g(?? )f ( b )? f ( a ) ） b?a柯西中值定理（结论部分为：存在一个 ? 使得f ( b )? f ( a ) g ( b )? g ( a ) ）另外还常利用构造辅助函数法， 转化为可用费尔马或 洛尔定理的形式来证明 从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中 B、C 的条件是一样的，同时 A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作 一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗 日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一 个 ? 使得f(? )?k” 、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个 ? 使得 ff (? ) ? ? f (? ) ? 0 ；而见到式子 ? g(?? )(? )? k ”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子f ( b )? f ( a ) g ( b )? g ( a ) 也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说， “牢记定理的结论 部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从2条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能” 。 希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案 中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多 记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要 求之间的差别。 这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数 学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高 效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜 算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。 1.4 高数第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了 方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形 式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶 部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。 对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类型以后按照对应的求解 方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类 型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采 取相对机械的“辨明类型――〉套用对应方法求解”的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便 于以这样的方式使用。 先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做 出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循――这些方法 最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于 可分离变量型方程f1 ( x) g1 ( y)dx ? f 2 ( x) g 2 ( y)dy ? 0 ，就是变形为 f1 ( x) dx =- g 2 ( y) dy ，再积分求解；对f 2 ( x) g1 ( y )y x ，则于齐次方程y y ? ? f ( x ) 则做变量替换 u ?y ? 化为 u ? xdu dx，原方程就可化为关于 u和x 的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程 后将变形得到的 ydyy ? ? p( x) y ? q( x) 第一步先求 y ? ? p( x) y ? 0 的通解，然? ? p( x)dx 积分， 第二步将通解中的 C 变为 C(x)代入原方程 y ? ? p( x ) y ? q( x ) 解出 C(x)y ? ? p( x) y ? q( x) y n ，先做变量代换 z ? y 1?n 代入可得到关于 z、x 的一?M后代入即可得解；对于贝努利方程阶线性方程，求解以后将 z 还原即可；全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件 ?y 解题时直接套用通解公式? ?N ?x，而且?xx0M ( x, y 0 )dx ??yy0N ( x, y )dy ? C .( n ?1)所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也 有类似的规律。对于y ( n ) ? f ( x) 型方程，就是先把 y的一阶方程形式，积分即得；再对 叫不显含当作未知函数 Z，则y (n) ? Z ?原方程就化为dz ? f ( x)dxy ( n?2) 、 y ( n?3) 依次做上述处理即可求解；y? ? p 、 y?? ? p?(p 为 x 的函y?? ? f ( x, y?)y的二阶方程，解法是通过变量替换数)将原方程化为一阶方程； y ??? f ( y, y ?) 叫不显含 x 的二阶方程，变量替换也是令 y? ? p （但此中的 p 为3y 的函数） ，则y?? ? dp dy ? p dp ? pp? ，也可化为一阶形式。 dy dx dyy所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换 x? u ”“求解贝努利方程就用变量替换 ，”“求解不 、z ? y 1?n ”一样，在这里也要记住“求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换 y? ? p 、 y?? ? p?显含 x 的二阶方程就用变量替换y? ? p 、 y ?? ? pp ? ” 。大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性 代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆： 若y1 ( x)、y 2 ( x)是齐次方程若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有(n-r)个线性无 关的解向量，则齐次方程组的通解为y ? ? p( x) y ? ? q( x) y ? 0 的两个线性无关的 x ? k1 y1 ? k 2 y 2 ? ? ? ? ? k n?r y n?r特 解 ， 则 该 齐 次 方 程 的 通 解 为? ( x) ? c1 y1 ( x) ? c2 y2 ( x)非 齐 次 方 程y ? ? p ( x ) y ? ? q ( x ) y ? f ( x)? y ? c1 y1 ( x) ? c2 y 2 ( x) ? y1 ( x) ? y1 ( x)的 通 解 为 ， 其 中非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 Ax=b 的一个特 解与其导出组齐次方程 Ax=0 的通解之和是 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 ， 是 对 应 齐 次 方 程c1 y1 ( x) ? c2 y 2 ( x)y ? ? p( x) y ? ? q( x) y ? 0 的通解若非齐次方程有两个特解 y1 ( x ) 次方程的一个解为y2 ( x) ，则对应齐若 1 、 2 是 方 程 组 Ax=b 的 两 个 特 解 ， 则 ( 1 - 2 )是其对应齐次方程组 Ax=0 的解rry( x) ? y1 ( x) ? y2 ( x)r r由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较 难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法” ，也可以说 本章难就难在记忆量大上。 1.5 高数第七章《一元微积分的应用》本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点； 而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体 积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分?xaf (t )dt 单 独 分 离 到 方 程 的 一 端 形 成“?xaf (t )dt ＝∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。对于导数应用，有以下一些小知识点： 1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则4须注意以下两点： A. 极值的定义是： 对于 x0 的邻域内异于 x0 的任一点都有f (x) ＞ f ( x0 ) 或 f (x) ＜f ( x0 ),注意是＞或＜而不是≥或≤；B. 极 值 点 包 括 图 1 、 图 2 两 种 可 能 ，所以只有在 取极值时才有 2.f (x) 在 x0 处可导且在 x0 处f ?( x) ? 0 。以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分为f (? ) ? 0 ） 、洛尔定理（结论部分为f (? ) ? 0 ） ；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的 ?题目，结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数f (x) 在区间 I 上的f ??( x) ? 0 ，则f (x) 在 I 上是凸的；若 f (x) 在 I 上的 f ??( x) ? 0 ，则 f (x) 在 I 上是凹的；B.若 f (x) 在点 x0 处有f (?x) ? 0 且 f ??( x0 ) ? 0 ，则当 f ??( x0 ) ? 0 时 f ( x0 ) 为极大值，当 f ??( x0 ) ? 0 时 f ( x0 )其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，为极小值。f ?(x) 是 f (x) 的变化率， f ??(x) 是 f ?(x)的变化率。f (?x) ? 0 可以说明函数是增函数，典型图像是f (x) 的变化率在区间 I 上是递减的，包括以下两种可能：；f ??( x) ? 0可以说明函数a.此时f ?(x) 为正，且随 x 变大而变小（大小关系可参考图 3） ；5b. 同样，此时f ?(x) 为负，随 x 变大而变小（大小关系可参考图 3） ；f ??( x) ? 0 也只有两种对应图像：c.此时f ?(x) 为正，随着 x 变大而变大；d.此时f ?(x) 为负，随 x 变大而变大。f ??( x) ? 0 时，所以，当f ??( x) ? 0 时，对应或的函数图像，是凸的；当对应或的函数图像，是凹的。相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“f (?x) ? 0 且? f ??( x0 ) ? 0 ” ，这从图像上也很容易理解：满足 f ? ( x) ? 0 的图像必是凸的，即或，当f (?x) ? 0 且 f ??( x0 ) ? 0 时不就一定是的情况吗。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题中，有大量的题是利用微元法来获得方 程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对 于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳 微元法的三种常见类型：61. 薄桶型.本例求的是由平面图型 a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕 y 轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示） ，则根据微元法思想可得薄桶体积dv ? 2?xf ( x)dx对,其中f (x) 是薄桶的高， 2?xf ( x) 是薄桶展开变成薄板后的底面积， dx 就是薄积分可得板的厚度；二者相乘即得体积。dv ? 2?xf ( x)dxV ? ? 2?xf ( x ) dx 。在这个例子中，体现微元法特色的地方在于 ： 1. 虽 然 薄 桶 的 高 是 个 变 化 量 ， 但 却 用f (x) 来 表 示 ； 2. 用 dx表 示 薄 桶 的 厚 度 ； 3. 核 心 式dv ? 2?xf ( x)dx 。2. 薄饼型.本例求的是由抛物线y ? x 2 及 y ? 4x 2 绕 y轴旋转形成的高H的旋转体体积，方法是取如上图阴影部分所示的一个薄饼型形体，可得微元法核心式 是薄饼的底面积， 薄饼与 ；同理薄饼与y y dv ? ? ( y ? 4 )dy。其中 ? ( y ? 4 )y ? x2旋转面相交的圆圈成的面积是?r 2 ,∵ r ? x ，∴ ?r 2 ? ?x 2 ? ?yy ? 4x 2旋转面相交的圆圈成的面积是?y4 ， 二者相减即得薄饼底面积。核心式中的dy是薄饼的高。这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求解，这一点也体现了微元法的特色。3. 薄球型.本例求球体质量，半径为R，密度? ? r2 ，其中r指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形形体，其内径为 有r厚度为dr ，对于这个薄球的体积dv ? 4?rr 2 dr ，其中 4?r 2 是薄球表面积， dr 是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一个薄面以后再用底面积乘高得到的。由于 dr 很小，故可认为薄球内质量均匀，为? ? r 2 ，则薄球质量7dm ? 4?r 2 ? r 2 dr ? 4?r 4 dr ，积分可得结果。本例中“用内表面的表面积 4?r 2 乘以薄球厚度 dr得到核心式”“将 dv 内的薄球密度视为均匀”体现了微元法的特色。 、 通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体 会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法 的原因。 关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格： 求平面图形 面积s??求旋转体体 积（可用微 元法也可用 公式）baf ( x)dx左图中图形绕x 轴旋转体的体积Vx ? ? ?ba bf 2 ( x)dx， 绕y轴 旋 转 体 得 体 积Vy ? 2? ? xf ( x)dxa左图中图形绕b 2x轴旋转体的体积Vx ? ? ? [ f 22 ( x) ? f1 ( x)]dx ， 绕 y a Vy ? 2? ? x[ f 2 ( x) ? f1 ( x)]dxa b轴旋转体得体积8已知平行截 面面积求立 体体积V ? ? s( x)dxab求平面曲线 的弧长l??1.6 数第八章《无穷级数》ba1 ? ( y ?) 2 dx本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”“级数求和函数”和“函数的幂级数展开” 、 。其 中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。这一章与前面的常微分方程、 后面的曲线曲面积分等章都是比较独立的章节，在考试时会出大题，而且章内包含的内容多、比较复杂。陈文灯复 习指南上对相关章节的指导并不尽如人意，因为套题型的方法在这些复杂章节中不能展现其长处，故整体来说结构 比较散乱。 对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形 式和极限形式， 使用比较判敛法一般形式有以下典型例子： 1. 已知级数?a2n 收敛， 判断级数?|an | n2 ??的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式|a n | n ??22 ? 1 (a n ? n 21?? ) ，再应用比较法的一般形式即可判明。其实 2这种 “知一判一” 式的题目是有局限性的――若已知级数收敛， 则所要求判敛的级数只能也是收敛的， 因为只有 “小 于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中 一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）。 ” 2． 上一种题型是“知一判一” ，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放 缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列an 满足lim ax ?0n? a, a ? 0 ， 判 断 级 数 ? ( a 1?1 ) n n的 敛 散 性 。 关 键 步 骤 是 ： 由 an ?11?1 a ?1?1 得到( an1?1 ) n ? ( a1 1 ) n ，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出 ?“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。 幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。通过做历年真题，我发现像 一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与展开这样倍受出题人青睐的知识点都有一个相似之处，就是 这些知识点从表面上看比较复杂、难于把握，实际上也必须通过认真思考和足量练习才能达到应有的深度，但在领 会到解决方法的精髓思想以后这些知识点又会“突然”变的十分简单。 也就是说，掌握这样的知识点门槛较高，但只要跨过缓慢的起步阶段，后面的路就是一马平川了；同时，具 有这种特点的知识点也可以提供给出题人更大的出题灵活性，而通过“找到更多便于灵活出题的知识点来跳出题型 套路”正是近几年考研真题出题专家致力达到的目标，这一趋势不仅体现在了近年来的考卷上，也必然是今后的出9题方向。 所以我们在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于 无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对 “复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一 次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。 另外， “求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在 对 6 个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此 6 个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等 式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公 式，将出错概率降到最小。公式如下： 1.1 1?u? 1 ? u ? u ? ? ? ? ? u ? ? ? ? ? ?u n2 n n ?0?（-1，1） 2.1 1? u? 1 ? u ? u ? u ? ? ? ? ? (?1) u ? ? ? ? ? ? (?1) n u n2 3 n n n ?0?（-1，1）3.ln(1 ? u ) ? u ? u ? u ? ? ? ? ? (?1)1 2 2 1 3 3n u n ?1 n ?1? ? ? ? ? ? (?1)n un ?1n ?0?n ?1(??,??)4.e ? 1 ? u ? u ? ? ? ? ? u ? ? ? ? ? ? un!u 1 2! 2 1 n! nn?n ?0(??,??)5.sin u ? u ? u ? ? ? ? ? (?1)1 3! 2n1 ( 2 n ?1)!u2 n ?1? ? ? ? ? ? (?1) nn ?0 ? 2n?u 2 n ?1 ( 2 n ?1)!(??,??)6.cosu ? 1 ? u ? u ? ? ? ? ? (?1)1 2! 2 1 4! 4n1 ( 2 n )!u ? ? ? ? ? ? (?1) nn?0u2 n ( 2 n )!(??,??)这六个公式可以分为两个部分，前 3 个相互关联，后 3 个相互关联。1 式是第一部分式子的基础。1 1 ? u ? u 2 ? ? ? ? ? u n ? ? ? ? 不就是一个无穷等比数列吗，在 | u |? 1 时的求和公式 s ? 1?u 正是函数展开1 1 式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子 2：1 式左端是 1?u ，2 式左端是 1? u ；1 式右端是?un ?0?n，102 式右端也仅仅是变成了交错级数? (?1)n ?0?nun,故可以通过这种比较来记忆式子 2；对于 3 式来说，公式左端1 ? 1?u的ln(1 ? u ) 与1 2 式 左 端 的 1? u 存 在 着 关 系 “ [ln( ? u)]?1? n u n ?1 n ?1 。这三个式子中的” 故 由 1? u 的 展 开 式 可 以 推 导 出 ，1ln(1 ? u ) 的展开式为 ? (?1)n ?0u ? (?1,1) ，相互之间存在着上述的清晰联系。后 3 个式子的u ? (??,??) ，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基? u un n! n 与 之 相 比 ， si nu 的 展 开 式 是 ? ( ?1) n ?0 ? u 2 n ?1 ( 2 n ?1)! ，本式是公式4： e ? ?n ?0cosu 的 展 开 式 是? (?1)n ?0?n u2 n ( 2 n )! 。一个可看成是将e u 展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将 e u 展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的 搭配： sin u 、cosu 习惯上说“正余弦” ，先正后余；而 sin u 的展开式对应的是奇数项， cosu 的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性” ，先奇后偶。 记好 6 个关键式是解决幂级数求和与函数的幂级数展开问题的基础，不仅在记忆上具有规律性，在解题时也 大有规律可循。 在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前 3 式)的展开式都 不带阶乘，其中只有 1?u 的展开式不是交错级数；第二部分（后 3 式）的展开式都带阶乘，其中只有 e 的展开式 不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数， 则应该用公式 4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和 (?1) ；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从 2、3 两式中选择公式，其它情况也类似。 对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出 所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开） 、 四则运算（用于展开、求和） 、逐项微积分（用于展开、求和） 。 对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换 ? an ?0 ?1unn? lim ? an x nx ?1 n ?0?求得幂级数?an ?0?nxn的和函数s(x) 以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的 x n ，一般情况下如果 n 、(2n ? 1) 这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的 x n 应为 x (???) ?1 的形式，如 x ( n ) ?1 、n ( ???) ( 2 n ?1) ( 3n ?1) 1 1 x ( 2 n?1)?1 ， 以方便先积分； 若题目有 ( 2 n ?1) 、( 3n ?1) 这样的项， x 应为 x 则 的形式， x 如 、x ，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。 本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到，属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花时间掌握还是比 较划算的。函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析，即把一个复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。 首先需记住付立叶展开式和收敛定理，在具体展开时有以下两种情况：111.题目给出的函数至少有一个完整的周期，如图则直接套用公式即可，不存在奇开拓和偶开拓的问题。对于形状类似上图的函数，展开以 后级数中既有正弦级数也有余弦级数；若为奇函数如 2.，则展开后只有正弦级数；若为偶函数则展开后只有余弦函数；题目给出函数后没有说明周期，则需要根据题目要求进行奇开拓或偶开拓。如图，若要求进行奇开拓就是展开成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数，图像为；若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时得到的展开式中只有余弦级数，图像为。1.7高数第九章《矢量代数与空间解析几何》本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住 本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆 的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：12a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很 明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量关系性质知此时二矢量的数积为 0，若直线方程为x? x0 l?y ? y0 m?z ? z0 n ，平面方程为Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ， 则 有Al ? Bm ? Cn ? 0 。同理可对线面、线线、面面关系进行判定。b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式??为ab ?| a || b | cos? ，故有 cos? ????? ? ?ab| a || b |，这个式子是所有线线、线面、面面夹角公式的源公式。举例来说，设直线l1 :x ? x1 l1??y ? y1 m1?? ? ??z ? z1 n1 ， 直 线 1? ?l :x ? x2 l2?y ? y2 m2?z ? z2 n2 ， 则 二 直 线 夹 角??l1l2 ?m1m2 ?n1n22 2 2 2 2 2 l1 ?m1 ?n1 ? l2 ?m2 ?n2ab| a || b |，其中 a 、 b 分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是线面夹角公式中不是c o ? ? ??? s而是s i ? ? ??? n，因为如右图所示由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却与平面垂直，所以线面 夹角 ? 是两矢量夹角? ? 的余角，即 ? ? ? ? ? 90? ，故求夹角公式的左端是 sin ? 。对于线线夹角和面面夹角A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C( z ? z0 ) ? 0{ A, B, C}为 法 矢 量 ） 可 变 形 为则无此问题。 c) 平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、 三点式、 截距式中， 点法式和截距式都可以化为一般式。 点法式 （ 点( x0 , y 0 , z 0 )为 平 面 上 已 知 点 ，Ax ? By ? Cz ? ( Ax0 ? By0 ? Cz 0 ) ? 0 ，符合一般式 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 的形式；截距式x a y z ? b ? c ? 1（ a, b, c 为平面在三个坐标轴上的截距）可变形为 bcx ? acy ? abz ? abc ? 0 ，也符合一般式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以 方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过） 。 同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式和标准式之间可以相互转化。直线方程的参数? x ? x 0 ? lt ? ? y ? y0 ? m t 形式 ? z ? z ? nt 0 ?即 为 标 准 式? x ?lx0 ? t ? y ? y0 ? m ?t （ ( x0 , y 0 , z 0 ) 是平面上已知点， {l , m, n} 为方向矢量）可变形为 ? z ? z0 ? t ? n，x? x0 l?y ? y0 m?z ? z0 n； 标 准 式13x? x0 l?y ? y0 m?z ? z0 n若 变 形 为x? x0 l?y ? y0 m?z ? z0 n? t 则也可以转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过不止一次。y, z ) ? 0 表示的是一个空间曲面；由于空间曲线可视为由两个空d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联 系。关于这些方程的基础性知识包括： F ( x,? F1 ( x, y, z ) ? 0 2 2 2 间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为 ? ；柱面方程如圆柱面 x ? y ? R 、椭圆柱面 ? F2 ( x, y, z ) ? 0x2 y2 ? 2 ? 1 可视为是二元函数 f ( x, y) ? 0 在三维坐标系中的形式。 2 a b? f ( x, y ) ? 0 在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如 ? 可视为是由空间曲面――柱面与特殊的空间曲面 ? z?0――坐标平面 z? 0 相交形成的空间曲线，即右图中的曲线 2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事，如上图中曲线 1 的投影是由过曲线 1 的投影柱面与坐标平面相交得到的，所? F1 ( x, y, z ) ? 0 以也就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程 ? 求投影方程时，需要先从方程组中消去 z 得到 ? F2 ( x, y, z ) ? 0? f ( x, y, z ) ? 0 一个母线平行于 z 轴的柱面方程； ；再与 z ? 0 联立即可得投影方程 ? 。 z?0 ?1.8 高数第十章《多元函数微分学》复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以 避免混淆， 又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。 本章主要内容可以整理成一个大表格： 二元函数的定义（略） 二元函数的连续性及极限： 二元函数的极限要求点 路径趋向 （ 一元函数的定义（略） 相 似 一元函数的连续性及极限： 一 元 函 数 的极 限 与 路径无 关 ， 由 等价 式 不 同x? x0? ( x, y ) 以任何方向、任何P( x0 , y0 ) 时 均 有 f ( x, y) ? Alim f ( x) ? A即可判x ? x 0 、 y ? y0 ） 如 果 沿 不 同 路 径 的 。14? f ? ( x0 ) ? f ? ( x0 ) ? A断。x ? x0 y ? y0lim f ( x, y ) 不相等，则可断定 lim f ( x, y )x ? x0 y ? y0不存在。 二元函数z ? f ( x, y) 在点 P( x0 , y0 ) 处连续lim f ( x, y )存在且等于y ? y0相 似一元函数y ? f (x) 在点 x0 处连续性lim f ( x ) 且等于 f ( x ) 0性 判 断 条 件 为 ： x ? x0判断条件为 x? x0f ( x0 , y0 )二元函数的偏导数定义 二 元 函 数 一元函数的导数定义 的 偏 导 数 定 义 相 似 一元函数z ? f ( x, y)y ? f (x) 的 导 数 定 义 ：f ( x0 ? ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) ?z lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x段函数在分界点处求偏导数要用 偏导数的定义 二元函数的全微分： 简化定义为：对于函数分?x ?0limf ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim 分 ?x ?x?0 ?x段函数在分界点处求导数需要用导数定义一元函数的全微分： 相 似 简化定义为：若函数 处 的 增 量z ? f ( x, y) ，若其在点?z可 表 示 为y ? f (x) 在点 x可 表 示 为P( x0 , y0 )?处 的 增 量?y?z ? A?x ? B?y ? o( ? ) ， 其 中 o( ? ) 为的 高 阶 无 穷 小 ， 则 函 数?y ? A?x ? d ，其中 d是 ? x 的高f ( x, y)在阶无穷小，则函数在该点可微，即P( x0 , y0 ) 处可微，全微分为 A?x ? B?y ，一般有 dz?z ?z ? ?x dx ? ?y dydy ? A?x ，一般有 dy ? f ?( x)dx二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微 多元函数的全导数 设不 同二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微z ? f (u, v, w) ， u ? g (t ) ， v ? h(t ) ，且都可导，则不 同一元函数没有“全导数”这个概念，但是左 边多元函数的全导数其实可以从 “一元复合 函 数 ” 的 角度 理 解 。一元 复 合 函 数是 指w ? k (t )z对t的全导数y ? f (u )dy dy du ? dx du dx、u ? g (x)时 有dz ?f du ?f dv ?f dw ? ? ? dt ?u dt ?v dt ?w dt多元复合函数微分法 复合函数求导公式：设。 与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。z ? f (u, v, w)、一元复合函数求导公式如上格所示， 与多元 复合函数求导公式相似，只需分清式子中dz ?z 与 的不同即可 dx ?x15u ? j ( x, y)、v ? h ( x, y )， 则、 有w ? k ( x, y )相 似? ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w ? ? ? ? ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x ? ?z ?z ?u ?z ?z ?z ?w 。对于多元 ? ? ? ? ? ? ? ? ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y ?复合函数求导，在考研真题中有一个百出不厌的点就 是函数z 对中间变量 u , v, w 的偏导数 ?z 、 ?z 、?u?z 仍是以 u , v, w 为中间变量的复合函数，此时在 ?w求偏导数时还要重复使用复合函数求导法。这是需要 通过足量做题来熟练掌握的知识点，在后面的评题中 会就题论题作更充分的论述。 多元隐函数微分法 求 由 方 程?vF ( x, y, z ) ? 0确 定 的 隐 含 数一元复合函数、参数方程微分法 对一元隐函数求导常采用两种方法： 1.公式Z ? Z ( x, y) 的偏导数，可用公式：F ?( x, y, z) F ? ( x, y, z ) ?z ?z ?? x ?? y ， ?x Fz? ( x, y, z ) ?y Fz?( x, y, z)方 程 组 对于由dy F ?( x, y ) ?? x dx Fy?( x, y )2.将y 视为 x 的函数，在方程两边同时对x 求导? x ? x(t ) 则 ? y ? y(t )?F ( x, y, z ) ? 0 ? ?G( x, y, z ) ? 0、确 定 的 隐 含 数一元参数方程微分法：若有 ?y ? y (x)z ? z (x)可 套 用 方 程 组dy y ?(t ) ? dx x ?(t )dy dz ? Fx? ? Fy? ? Fz? ? 0 ? dx dx ? dy dz ?G x ? G ? ? ? ? Gz ?0 y dx dx ?关于这一部分，多元与一元的联系不仅是“形似” ，而且在相当大程度上是相通的，在考研真题中此处与 上面的多元复合函数求导是本章的两个出题热点，屡屡出现相关题目，在后面的评题中有更多讨论。 多元函数的极值 极值定义：函数 一元函数的极值 极值定义：函数 相 似z ? f ( x, y) 在点 P( x0 , y0 )P点的任一点 或y ? f (x) 在点 x0 的邻或的邻域内有定义，且对于其中异于域内有定义且对于其中异于该点的任一点 恒 有Q( x, y)，恒有f ( x, y) ? f ( x0 , y0 )f ( x) ? f ( x0 )，则称f ( x, y) ? f ( x0 , y0 ) ，则称 f ( x0 , y0 ) 为f ( x) ? f ( x0 )y ? f (x)f ( x0 ) 为的 极 小 / 大 值 ， 方 程f ?( x) ? 0 的解称为函数的驻点。16f ( x, y) 的极小/大值，方程组 ? ? 的 ? f y ( x, y ) ? 0解称为函数的驻点。 取极值的充分条件 函数 取极值的充分条件 相 似 函数? f x? ( x, y) ? 0z ? f ( x, y) 在点 P( x0 , y0 ) 的邻域内有f x?( x0 , y0 ) ? 0、 、y ? f (x) 在点 x0 的邻域内可导，f ?( x) ? 0 、 f ??( x) ? 0 ， 则：连续二阶偏导，且满足且满足 若 若f y? ( x0 , y0 ) ? 0f ??( x) ? 0 ，则 f ( x0 ) 为极小值； f ??( x) ? 0 ，则 f ( x0 ) 为极小值? [ f xy? ( x0 , y0 )]2 ? f x??( x0 , y0 ) f y??( x0 , y0 ) ? 0， 若f x??( x0 , y 0 ) ? 0或f y??( x0 , y0 ) ? 0则P( x0 , y0 ) 为极小值点；若f x??( x0 , y 0 ) ? 0或f y??( x0 , y0 ) ? 0则P( x0 , y0 ) 为极大值点。大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日 乘数法求条件极值” ，是一种比较简单而且程式化的 方法。一元函数则无对应的内容。1.9高数第十章《重积分》大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中 值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） ，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标） 。 这一部分在历年真题中直接考到的情况很少，但却经常涉及，尤其是在关于曲线、曲面积分的题中，一般都需要将 曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。 关于二重积分的性质，可以结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解，因为理解几何意义有利于 解应用性问题，而且定积分和二重积分的性质定理几乎是一一对应的，对比起来很直观。 在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧， 这一点在后面评题时会有针对性的讨论。171.10 线代这门课的特点 线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆 量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章 中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导 和前后印证的关系。 历年考研真题中线代部分的题目都很灵活，在一道大题甚至小题中就可以考察到多个知识点，而且过渡自然、 结构巧妙；有相当一部分题目可以找出多种解法。出现这种情况当然与出题专家水平高有关，但内在原因还是在于 线性代数这门课“知识点间联系性强”的特点。 所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”“融会”可以理解为设法找到不 。 同知识点之间的内在相通之处； “贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于――当 看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高 解题效率、增加得分胜算。 这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率，但在线代复习中的作用体现的最为明显。以第三章《向量》 、第 四章《线性方程组》为例， “线性相关”“线性表示”的概念与线性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和 、 相互印证的关系；出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现 频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于 A 的列向量组是否线性相关；非齐次方程组 Ax=b 是否有解对应于 向量 b 是否可由 A 的列向量线性表示” 。 再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在 于性质“方阵 A 可逆?|A|=0?A 的列向量组线性无关?r(A)=n” ，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知 识点间的联系。 以上简单分析了一下线代这门课本身的特点，在下面的小结中列出了对每章中一些具体知识点内在联系的分析 和实战过程中发现的一些常用的和好用的性质，作为对具体知识点的讨论。 正是因为具有这样的特点，线代与高数、概率相比，从难易程度上讲正是一门“学得不好就显得特别的难， 一旦学好以后就会变得特别容易”的科目，所以实际上把时间花在线代复习上很划算；即使你现在认为自己的线代 水平还不好，那么也不应该有放弃线代的打算，因为，在一门“已经学得差不多”的课上继续投入时间的效果肯定 要比投入等量时间在一门“学得不好但有更大提分空间”的课上的效果好，也就是说，试图把一门满分是 100 分、 现在水平是 80 分的课提高到 85 分，一般要比把一门满分 100 现在只能拿 40 分的课提高 10 分、20 分还要难得多。 1.11 线代第一章《行列式》 、第二章《矩阵》 第一章《行列式》 、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是 求行列式，包括具体（数字型）行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 n 阶两种类 型；主要方法是应用行列式按行\列展开定理和化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义 （n 阶行列式的值为取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积的代数和） 、性质 |A |? ?1 ? 2 ? ? ? ?n （其中 ?i 为矩阵 A 的特征值） 、行列式的性质（如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列”。对于抽象行列 ） 式的求值，考点不在求行列式，而在于A T 、 A ? 、 A ?1 等的相关性质，在下面对第二章的讨论中会有小结。 A T ， A ? ， A ?1 的性质、矩阵可逆的第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可 见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。 所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题 论题才有最佳的效果，故在后面的评题中会有更充分的讨论；下面的表格分类列出了逆矩阵 矩阵转置A ?1 、伴随矩阵 A? 、A T 的性质以供区别记忆：18特征值性 行列式性质 质 （ 阵? 为矩的特运算性质秩的性质A征值） 转 置 矩 阵AT| AT |? | A |( AT )T ? A( kA) T ? kATr ( AT ) ? r ( A) r ( AT ) ? r ( AT A) r ( AT A) ? r ( A)( AB)T ? BT AT( A ? B)T ? BT ? AT逆 矩 阵A ?1伴随矩阵1 | A |? | A|?1有特征值1?有特征值A?| A |?| A |?n ?1| A|A? 、 A T 、 A ?1 三者之间有一个即好记又好用的 性质?( AT ) ?1 ? ( A?1 )T ( A? ) ?1 ? ( A?1 ) ? ( AT ) ? ? ( A? )T数 乘 矩 阵? n. r ( A) ? n ? r ( A? ) ? ?1. r ( A) ? n ? 1 ?0. r ( A) ? n ? 1 ?| kA |? k n A | AB |?| A || B |kA有特r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)r ( AB) ? min{ ( A), r ( B)} rkA之积、矩阵征值 k? ，AB及矩阵之和aA ? bE有特征值AB ? 0则有：A? Ba? ? br ( A) ? r ( B) ? n若A是可逆矩阵则有r ( AB) ? r ( B) ；同样，若B可逆则有r ( AB) ? r ( A)1.12 线代第三章《向量》 、第四章《线性方程组》 线代第三章《向量》 、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩 阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内 容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。19向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效 的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练 掌握和灵活运用的前提。? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? ?a1n xn ? b1 ? a x ? a22 x2 ? ? ? ?a2 n xn ? b2 的 解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组 ? 21 1 ?a x ? a x ? ? ? ?a x ? b m2 2 mn n n ? m1 1系数矩阵是 m 行 n 列的，其有两种形式，一种是矩阵形式Ax ? b；其中A是系数矩阵? a11 a12 ? ? ? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? ?a ?x ? ?b ? a 22 a 2 n ? 21 2? ? ? x?? b ? ? 2? ? ?, ?? ? ?? , ?? ? ?? ；另一种是向量形式 x1a1 ? x2a2 ? ? ? ? ? xn an ? b ，其 ??? ? ? ? ? ? ? ?a m1 a m 2 ? ? ? a mn ? ? xn ? ?b n ?? a1i ? ?a ? ai ? ? 2i ? 中 ? ? ? ? ? i ? 1,2 ? ? ? n 。向量就这样被引入了，可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程 ? ? ? a ni ?组的问题。 先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组 x1a1 以直接看出是一定有解的，因为当 x1? x2 a 2 ? ? ? ? ? xn a n ? 0 可? x2 ? ? ? ? ? xn ? 0 式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0 向量可由任何向量线性表示” ，即当 数 k1 , k 2? ? k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an 中的 ? ? 0 时一定存在一组? ? ? k n 使等式成立，至少在 k i 全为 0 时可以满足。 ? x2 a2 ? ? ? ? ? xn an ? 0 中的 x i 只能全为 0 才能使等式成立，而第三章向量部分中判 ? ? ? k n 使得等式 k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 成立，则齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解 时，是指等式 x1a1 断向量组 a1 , a2? ? ? an 是否线性相关\无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设 a1 , a2 ? ? ? an为一组向量，如果存在一组不为零的数 k1 , k 2 称向量组a1 , a2 ? ? ? an 线 性 相 关 ； 如 果 等 式 当 且 仅 当 k1 ? k 2 ? ? ? ? ? k n ? 0 时 成 立 ， 则 称 向 量 组a1 , a2 ? ? ? an 线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 Ax ? 0 是否有非零解对应于系数矩阵 A 的列向量组是否线性相关。 （这些联系肯定不是简单的巧合，很有可能正是数学史上前后相承的发展， 说不定线性相关\无关的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程 来编制数学教科书的话，虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材，但肯定会大大方便学习者的理解和领悟， 因为这更接近于人思维自然进展的节奏，非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉，而“不明白自己学的到 底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材，也可以在教材中做一些介绍） 。 假如线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的， 那同样可以认为秩是为了更好地讨20论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数” ，向量组 a1 , a2 阵? ? ? an 组成的矩A 有 r ( A) ? n 说明向量组的极大线性无关组中有n 个向量，即a1 , a2 ? ? ? an 线性无关，也即等式k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 只有 0 解。所以，经过“秩―〉线性相关\无关―〉线性方程组解的判定”的逻辑链条，由r ( A) ? n 就 可 以 判 定 齐 次 方 程 组 x1a1 ? x2 a2 ? ? ? ? ? xn an ? 0 只 有0 解。当r ( A) ? n 时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有 n-r 个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组Ax ? 0 的系数矩阵是 m 行n 列的，则方程个数小于未知量个数时有 m&n；因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有 r ( A) 根据齐次方程组解的判定定理有非零解。 对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组 解对应于向量 b 是否可由?m?n，Ax ? b 是否有A 的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组 a1 , a2 ? ? ? an 若存在一组数k1 , k 2 ? ? ? k n 使等式 k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? b 成立，则称向量 b 可由向量组 a1 , a2 ? ? ? an 线性表示。 而使上述等式成立的 k i 就是非齐次方程组 是否由非零解对应于系数矩阵Ax ? b 的解， 故齐次方程组有性质 “齐次线性方程组 Ax ? 0A 的列向量组是否线性向关” ，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组Ax ? b 是否有解对应于向量 b 是否可由 A 的列向量线性表示” 当非齐次线性方程组 Ax ? b 与对应齐次线 。性方程组Ax ? 0 满足 r ( A) ? r ( A) ? n 时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理： “若 a1 , a2 关，则向量 b 可由向量组 a1 , a2? ? ? an 线性无关，而 a1 , a2 ? ? ? an , b 线性相? ? ? an 线性表示，且表示方法唯一” 。以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透 彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的学习并不容易“保持平庸” ，一般不是学的很好、做起题来 左右逢源、挥洒自如；就是收效欠佳、总感觉摸不准题目的脉络；其差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联 系是不是真正把握领悟了。 线代部分的题目难就难在考点的跨度大，出题老师可以借助各知识点之间天然的内在联系来编制出非常灵活 的题目，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转 向。 我记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙，感觉这门课很难；但在考研备考时经过这样“抓 本质联系”的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。每们科目都有其自身的特点，出题老师和我 们考生都可以加以利用――出题专家们利用线性代数“知识点间联系复杂”的特点可以编制出灵活的试题，我们则 可以根据各知识点之间的联系来进行归纳、对比和总结，从而深化对知识点的掌握程度。 以上所讨论的各种联系可以归纳为下面几条非常重要的定义与性质，其涵盖了大量的题眼，在实际做题时非 常好用。其含金量之高不仅在线代中是独一无二的，在高数和概率两门课的知识点中也很少见，希望你能重视： 三个双重定义： 1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数 b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数212.线性相关\无关的定义： a. 对 于 一 组 向 量a1 , a2 ? ? ? an， 若 存 在 不 全 为 零 的 数k1 , k 2 ? ? ? k n使 得k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当 k i 全为 0 时才成立。 b. 向量组 a1 , a2? ? ? an 线性相关?向量组中至少存在一个向量可由其余 n-1 个向量线性表出； 线性无关?向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。 2. 线性方程组的两种形式： a. 矩阵形式：Ax ? bb. 向量形式： x1a1 两条性质： 1.对于方阵? x2a2 ? ? ? ? ? xnan ? bAn?n 有：方阵 A 可逆?存在方阵 B 使得 AB ? BA ? E ? | A |? 0 ? A 的行\列向量? n ? Ax ? b 可由克莱姆法则判断有唯一解，而 Ax ? 0 仅有零解。组均线性无关? r ( A) 对于一般矩阵 唯一解。 3. 齐次线性方程组 程组Am?n 则有：r ( A) ? n ? A 的列向量组线性无关? Ax ? 0 仅有零解， Ax ? b 有Ax ? 0 是否有非零解对应于系数矩阵 A 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方Ax ? b 是否有解对应于 b 是否可以由 A 的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁： 行列式 线性相关 线性方程组 性质 1 中的 “|A|≠0?A 的列向量组线性无关” 秩 性质 2 性质 1 中的“r(A)=n?A 的列向量组线性无关”以上这些是大量扩展性定理性质的逻辑基础，也是出题人考虑跨章节出题和考察大跨度知识点时的必经之路― ―“兵家必争之地” ，怎么重视都不为过。 另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出 来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获： 1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组a1 , a2 ? ? ? am 可由向量组 ?1 , ? 2 ? ? ? ? n 线性表示，则有 r (a1 , a2 ? ? ? am ) ? r ( ?1 , ? 2 ? ? ? ? n ) 。等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。222.?1 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系； ? ? 、 ? ? 、 ? ? 这样的单位向量组；不同特征值 ?0 ? ?0 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?关 于 秩 的 一 些 结 论 ：对应的特征向量。 3.r ( Am?n ) ? min{ , n} m；r ( A? ) ? 1 ? r ( A) ? n ? 1 ；r r ( AT ) ? r ( A) ? r ( AT A) ； r ( AB) ? min{ ( A), r ( B)} ； r ( A?B) ? r ( A) ? r ( B) ；若有Am?n 、 Bn?s 满足 AB ? 0 ，则 r ( A) ? r ( B) ? n ；若 A逆则有 r ( AB) ? r ( A) 。非齐次线性方程组是可逆矩阵则有 r ( AB) ? r ( B) ；同样若 B 可Ax ? b 有唯一解则对应齐次方程组 Ax ? 0 仅有零解，若Ax ? b 有无穷多解则 Ax ? 0 有非零解；若 Ax ? b 有两个不同的解则 Ax ? 0 有非零解；若 A 是m? n 矩阵而 r ( A) ? m 则 Ax ? b 一定有解，而且当 m ? n 时是唯一解，当 m ? n 时是无穷多解，而若 r ( A)? n 则 Ax ? b 没有解或有唯一解。1.13 线代第五章《特征值和特征向量》 相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题 目，而且最有可能是综合性的大题。 特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容――即有行列 式、矩阵又有线性方程组和线性相关， “牵一发而动全身” ；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有 较大的出题灵活性。 从我们的角度来看， 《特征值特征向量》这一章的内容即少且条理清晰，虽然涉及其它很多知识，但需要探究 的深层次联系很少，故学好这个“必考点”实际上要比学好高数中的那些必考点如曲线、曲面积分要容易的多，这 一点也是前面说复习线代这门课很划算的原因之一。本章知识要点如下： 1. 特征值和特征向量的定义及计算方法。就是记牢一系列公式如Ax ? ?x( x ? 0) 、?x ? Ax ? 0 、 (?E ? A) x ? 0 和 | ?E ? A |? 0 。在历年真题中常用到下列性质：若n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 ?1 ? 2 ? ? ? ?n值，则有| A |? ?1?2 ? ? ? ?n ；若矩阵 A 有特征? ，则 kA 、 A 2 、 aA ? bE 、 f ( A) 、 A ?1 、 A ? 分别有特征值 k? 、?2 、 a? ? b 、1 | A|f (? ) 、?、?， 且对应特征向量等于?所对应的特征向量， 而若 1 、 2 分别为矩阵? ?A、B 的特征值，则 ?1 ??2 不一定为 A?B 的特征值。2. 相似矩阵及其性质。定义式为 B 阵? P ?1 AP ，需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 A 与矩B 等价（ A ? B ）的定义式是 PAQ ? B ，其中 P 、 Q 为可逆矩阵，此时矩阵 A 可通 B ，并有 r ( A) ? r ( B) ；当 PAQ ? B 中的 P 、 Q 互逆时就变成了矩23过初等变换化为矩阵阵相似（A ? B ）的定义式，即有 B ? P ?1 AP ，此时满足 r ( A) ? r ( B) 、 | A |?| B | 、| ?E ? A |?| ?E ? B | ，并且 A 、 B 有相同的特征值。矩阵合同的定义是 P T AP ? B ，其中 P 为可逆矩阵。 由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 不成立；合同与等价之间没有必然联系。 3. 矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件，充要条件 1 是 线性无关的特征向量；充要条件 2 是 条件 1 是 4.A 与 B 合同或相似则 A 与 B 必等价，反之n 阶矩阵 A 有 n 个A 的任意 k 重特征根对应有 k 个线性无关的特征向量；充分A 有 n 个互不相同的特征值；充分条件 2 是 A 为实对称矩阵。实对称矩阵极其相似对角化。 得P?1n 阶实对称矩阵 A 必可正交、相似于对角阵 ? ，即有正交阵 P 使AP ? P T AP ? ? 而且正交阵 P 由 A 对应的几个正交的特征向量组成。其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系： 以求方阵的幂k ?1 A k 作为思路的起点， 直接乘来求 A 比较困难， 但如果有矩阵 P 使得 A 满足 P AP ? ?（对角阵）的话就简单多了，因为此时Ak ? P?P ?1 ? P?P ?1 ? ? ? P?P ?1 ? P?k P ?1 ， 而 对 角 阵bk ? ? ? 代如上式即得 k? c ??a ? ? b ? ??? ? ? c? ? ?的幂?k?a k ? 就等于 ? ? ?Ak。而矩阵相似对角化的定义式正是P ?1 AP ? ? 。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角 化时要用到特征值和特征向量，而且P ?1 AP ? ? 中的 P 、 ? 也分别是由 A 的特征向量和特征值决定的。以上思路在本章的地位并不重要，因为与第三、四章知识点的互联关系不同，考试时这条思路一般不会被用 到。而考察线性相关和线性方程组的题目却频繁用到前面提到的各种内在联系，甚至一些题目的题眼就是小结中的 某一句话。所以前面的讨论可以用来辅助理解，但对于做题时打开思路用处不大。 1.14 线代第六章《二次型》 本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，对于其 它知识点仅要求了解。 在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特 征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 似对角化” ，其过程就是上一章相似对角化在A 存在正交矩阵 P 使得 A 可以相A 为实对称矩阵时的应用。将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆， 但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。242概率部分2.1概率这门课的特点与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽 视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数 和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占 60%和 20 的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这 些因素都可能影响到概率的复习。 概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大” 。在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一 部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系 来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且 若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过 程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题） 。 记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》 、第三章《随机变量的数字特征》中在每 章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不 看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做 题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。 记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分 20%的分值基本上就不难拿到了。2.2概率第一章《随机事件和概率》 本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如 P( AB)? P( AB) 、P( B | A) ? P( B | A) 、 P( A ? B ? C ) 这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。 在 “概率事件的关系及运算” 部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题， 比如事件A 若与事件 B 有包含关系 B? A ，则可作图长方形内的点都属于 B 的范围，圆形则代表A 的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义“A 发生时 B 必发生， B 发生时 A 不一定发生” ；事件A 与 B 的并 A ? B 可作图，则A ? B 是 A 、 B 两个圆形（包含相交部分） ，“事件对于这个大图形中的任意一点来说， 不是属于 的定义；同理，事件A 就是属于 B ，体现了 A ? BA 与 B 至少有一个发生”A 与 B 的差 A ? B 表示事件 A 与 B 同时发生，在上图中所有满足条件的点组成了两圆相交的那一部分。 对于其它的概率运算公式也可用图辅助理解，有的题甚至可以直接通过作图来得到答案。如公式25P( A ? B ? C) ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? P( AB) ? P( BC) ? P( AC) ? P( ABC)可以借助右图表示公式左端的 P( A ? B ? C ) 等于A 、 B 、C 三个圆形各自互不相交的三部分再 A 、 B 、 C 各自互不相交加上 a, b, c, d 四小部分，而公式右端中的 P( A) ? P( B) ? P(C ) 代表的区域包括 的三部分 ?(2a ? 2b ? 2c ? 2d ) ，比左端多加了一次 a, b, c 和两次 d，这时等式是不平衡的；再减去[ P( AB) ? P( BC) ? P( AC)] 即是 2a ? 2b ? 2c ? 3d? (a ? d ) ? (c ? d ) ? a ? b ? c ，与公式左端所代表的图形相比只少了一块 d ，加上即可，故再加 P( ABC) 后等式成立。 区别互斥、互逆、对立与不相容：事件 与事件 B 对立就是A 与事件 B 互斥也叫 A 与 B 不相容，即 A ? B ? ? ，事件 AA 与 B 互逆，即为 A 与 A 的关系。? P( AB) ? P( A) ? P( AB) (1) ? 公式组 ? 在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间 P( AB) ? P( A) ? P( B | A) (2) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ( A, B相互独立) (3) ?的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件 概率等于A 、 B 同时发生的A 发生的概率减去 A 发生而 B 不发生的概率； （2）式表示事件 A 、 B 同时发生的概率等于 A 发生的 A 发生的条件下 B 也发生的概率；当 A 、 B 相互独立时，也就是指事件 A 与事件 B 的发生互不影此 时 应 该 有概率乘以在 响 ，P( B | A) ? P( B)、P( A | B) ? P( A)所以P( AB) ? P( A) P( B | A) ? P( A) P( B) 由（2）式即可得出（3）式。出题人从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。2.3第二章《随机变量及其分布》 、第三章《随机变量的数字特征》 、第四章《大数定律和中心极限定理》对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用 的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们 甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。 这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾 相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多―― 因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习 过程中透彻理解概念公式和性质定理。 陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。 对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一26一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系） ，二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型 和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分 布和随机变量函数的分布相区别” 。 同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做 题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的 情况将是非常可惜的。 本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于 一 维 连 续 型 分 布 的 性 质 可 借 助 图 像 理 解因 为 分 布 函 数F ( x) ? ?示 ，b??? ( x)dx ? P{X ? x} ，所以 P{ X ? x} P{a ? x ? b} 分别可用图中的阴影部分表易 看x2容出多条性质，包括?????? ( x)dx ? 1、P( x1 ? x ? x2 ) ? ?x1? ( x)dx ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) 等；而且在具体做题时用图像辅助理解也很有效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。 陈文灯复习指南第三章《随机变量的数字特征》也是用表格说话的，同样需要认真记好。本章在历年真题中 最 常 出 现 的 题 目 考 察 点 是 几 个 重 点 公 式 ， 尤 其 是 式 子D( X ) ? E( X ? E( X ))2 ? E( X 2 ) ? E 2 ( X ) ，大\小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而以另一端设置答案。还有数学期望 EX 与方差 DX 的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：数学期望 EX方差 DXEX ? ? x? ( x)dx??x（ 连DX ? E( x 2 ) ? E 2 ( x)D (c ) ? 0续型）E (c ) ? c E (cX ) ? cE( X )E ( X ? c) ? E ( X ) ? cD(cX ) ? c 2 D( X )D( X ? c) ? D( X )27E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 cov(X , Y )若X、Y相互独立，则有 、D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y )D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) （历年真题不止一次利用这个点作为填空和选择题中的小陷阱，因为一不留神就会写 成D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y )，正如E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )一 样 ， 但 实 际 上D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 cov(X , Y ) ）若X、Y相 互 独 立 ， 则 有DX无对应性质E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )若X、Y相互 2.独立则同时具有以下 3.4条性质：1. 4.E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y )? ( x, y) ? 0cov(x, y) ? 0 ，利用各式定义可以推导出来。考试大纲对第四章《大数定理和中心极限定理》的要求是： “了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大数定律、 伯努利大数定律、辛钦大数定律，了解格林定理和林莫佛定理” 。这三个“了解”在历年真题中的体现就是本章内 容几乎是不考的，只出现过直接考察公式定义的小题。同时本章的几个公式、定理也不好记，推导就更不是什么简 单任务了。即便如此，以上的信息也还是不能成为放弃这一章的理由，因为对于这样“又难、大纲要求又低”的知 识点考试时出题的深度也会是最浅的。 如在真题中出现过的一个本章的填空题几乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，这样的情况对于难度 低的知识点和重要知识点来说是绝不可能出现的，比如若你在 06 年考研数学试卷上见到一道填空题是让填出DX ? E( x 2 ) ? E 2 ( x) 这个公式的话，那你肯定是把题义理解错了。所以花时间记住这几个公式其实是比较划算的， 因为如果考试出一道有关的填空题， 分的得失将完全取决于 4 记没记住公式。这样的 4 分当然要比在大题中绞尽脑汁得到的 4 分好拿的多。从另一方面说，这些定理也是可以理 解的：本章所有的大数定理都是指在独立同分布且存在数学期望的条件下若干随机变量的平均值依概率收敛到均值1 n 1 n P X ? E ( ? X i ) 。因为 X i 独立同分布，所以有 E ( X i ) ? ? ，故有公式右侧 ?? 的期望，即 ? i n i ?1 n i ?11 n 1 n 1 ? ? E ( X i ) ? nE( X ) ? ? ，应有 lim P( ? X i ? ? ? ? ) ? 1 ，即为辛钦大数定律； n?? n i ?1 n i ?1 n若用 Yn 表示在lim P( n 重伯努利试验中事件 A 的发生次数则可得到伯努利大数定律n??Yn ? P ? ?) ? 1。 n28通过以上的分析可以减少一些死记硬背的难度。2.4概率第五章《数理统计的基本概念》 、第六章《参数估计》 、第七章《假设检验》数理统计部分在考研数学试卷中占有概率部分 1/3 的分值，这一部分考点较少，参数估计最为重要，其次是 样本与抽样分布，假设检验部分则很少考到。 对于参数估计部分，需要记清楚据估计和极大似然估计各自的步骤，然后通过足量做题来熟练掌握；对于样 本与抽样分布，重要的是 ? 2 分布、t 分布和 F 分布各自的条件和结论公式 ，在历年真题中考察过； 对于假设检验，大纲要求为： “1.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能 产生的两类错误” 。可见大纲对于假设检验的要求还是较高的，但往年出题不多，不知道会不会在以后的考试中加 大考察力度。 概率这门课的全称是概率论和数理统计，数理统计是对概率论的实际应用，而概率论则充当了理论基础的角 色。数理统计中的统计量如样本均值、样本方差等的概念性质都能在概率论中找到出发点。其实，数理统计就是一 个先对随机变量做实际观测得到一系列具体数据，再利用“样本与抽样分布”部分的公式归纳出样本均值、方差等 统计量，在此基础上利用参数估计等方法推断出随机变量整体分布和数学特征的过程。 参数估计中的矩估计法就 是令总体矩与样本矩相等，建立等式以求出总体矩；极大似然估计中的似然函数L(? ) 就 是 指 样 本( X1, X 2 ,? ? ? X n ) 取观察值 ( x1 , x2 ,? ? ?xn ) 的概率 P( X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,? ? ? X n ? xn ) ，自然应等于? f ( x ,? ) ，其值越大就说明? 越有利于使者组样本值出现，故极大似然估计法要求求出使 L(? ) 取最大i i ?1n值的? 作为参数 ?的估计量。分析理解一下概率论和数理统计的前后联系可以起到“在大脑中进行数据压缩”的作用，而且这两部分的题目应该 可以相互结合，从近年来的真题中可以隐隐约约感受到这种趋势。31993 年数学一评题1.1 变上限积分是历年考研真题都喜欢考的点，在后面还有很多道像本题这样使用变上限积分做“界面” ， 同 时 考 察 其 他 知 识 点 的 题 。 除 求 导 外 ， 还 常 用 到 性 质F(X ) ? ?xaf (t )dt ? ? f (t )dt ? ? f (t )dt ，另有不常用的性质：1.若 f (x) 是以 T a 0290x为周期的周期函数，且?T0 xf ( x)dx ? 0 ，则 F (x) 也是以 T为周期的周期函数；2.若f (x) 为奇\偶函数，则 F ( X ) ? ?0f (t )dt 为偶\奇函数。这两条性质在做题时未必用的上，但因为比较好记，故不妨记一下。 1. 2 本题代表了考研真题对于像 “旋转曲面方程” 这样的知识点的普遍考察深度――主要就是一个公式 （下 面的填空题第 3、4 题也是这样的例子） ；但也不是仅仅考查一个求旋转曲面的公式，而是引入了“用偏导 数求法向量”这个点。反正就是不想平铺直叙地出题而便宜了我们。 1. 3 本题主考知识点是付立叶级数的系数公式，在求解过程中若用到定积分的对称性可大大方便求解。在 见到? ?? ? ? 这样的积分上下限时有必要立刻想到是否可利用对称性简化求解过程。??1. 4 本题主考的是公式 grad(u )??u ?u ?u i? j? k， 同时很自然地考到了多元函数求偏导。 1.2、 像 ?x ?y ?z1.3、1.4 这样的题目特点之一是考察的是大纲要求不高、包含内容较少、一般只有一两个公式的知识点。 这样的点是“重点”范围外的偏僻知识点，但正如前面讨论“重点问题”时分析的那样，这样的非重点复 习起来却是非常划算的， 因为记住一个公式就能保证拿到一道填空题或选择题的 4 分， 而在重点内容上花 费很多功夫也未必能从大题中轻而易举地拿到同样的 4 分； 特点之二是坚决不单独考查一个公式，而是将其它知识点巧妙编制在题目中，这也正是考研试题不同于 一般练习题的地方。分章习题一般都是就事论事，几个题练的是同一个知识点；而考研真题普遍是同时考 察若干个知识点。相比之下，一些市场上的模拟套题虽然也将几个点放在一题中考查，但“编制工艺”要 粗糙的多，常常有生拉硬凑的感觉。 另外，2001 年真题 1.2 题是“设 r? x2 ? y2 ? z2) 则 div( gradr |(1, ?2, 2) ?___ ” 。基本上与本题是一个题。这种现象以后还会遇到很多。 1. 5 各行元素之和均等于零的矩阵属于特殊矩阵，做过一个这样的题后如再见到“矩阵各行元素质和均为 零”就会想到对应齐次方程有解 d? (1,1,? ? ?1) T 。直接利用这样的矩阵构造题目技巧性过强，早期考研真题中还有，近几年越来越少了。 2.1 本题考查的是无穷小量定义、变上限积分求导、洛必达法则三个知识点，从中可有收获：1.变上限积分 果然是重点，因为出题人不避讳在同一张试卷上出到几次；求导时抓住公式即可：[? f (t )dt]? ? f ( x)ax、[?? ( x)af (t )dt]? ? f [? ( x)]? ?( x)、[?b( x)a( x)f (t )dt]? ? f [b( x)]b?( x) ? f [a( x)]a?( x) 。2.求极限时有三点特别好用：a.非零因子尽量先求极限；b.尽量用等价无穷小量来简化计算；c.做题时须留意是否有常见极限不存在的情形。3.高 阶、低阶、等价无穷小的定义式要避免混淆。 2. 4 曲线积分与路径无关是重点内容，所以像填空 1.4 题那样背两个公式就能拿分的好事就不会有了。本 题如果直接做的话比较复杂，需求偏导和求解微分方程，但是如果在由条件“积分与路径无关”得到f ?( x) ? f ( x) ? e x 后就运用试探法，很容易就能试出只有 B 项能使等式成立。这种做选择题的技巧大家都有体会， 而且肯定也是被出题专家们考虑在内的事情， 所以我们在做选择题时能在那一步尽早用 上试探法就要理直气壮地用，不算旁门左道。 3. 5 在秩的部分多记一些性质、结论有时会很方便，比如本题用“ PQ ?0, 则r ( P) ? r (Q) ? n ”30可迅速求解。相关的资料大家可以从各种参考书上获得，在前面相应章节中我也写了自己积累的一部分。 三.本题中的三个小题都很典型，第 1 小题是幂指函数求极限，方法固定；第 2 小题的题眼在于变量替换 “u ? e x ?1 ” ，类似的题目都需使用这样的代换；第 3 小题主考知识点是伯努利方程，将其转化为一阶线性方程后按照“辨明类型――〉套用求解方法”的流程操作就行了。这些题现在看起来都很典型， 但在十几年前考研风气未兴、参考书匮乏的时候实际难度有多大就很难估计了。 五.本题考查级数求和，用到了六大公式、逐项积分和四则运算法则，其中需要注意的是对于级数四则运算法 则的应用。在解决包括级数求和\展开在内的很多问题时，对于四则运算法则的运用都容易被忽视，因为其 不构成很有意义的考察点；但是，虽然没有一道题是专门为了考查四则运算法则而设置的，在考试时却要 常常用到它。因为出题老师编制题目时，在加入各种考点并使题目基本成型后往往还要通过四则运算来使 题目形式变得更为复杂。 我们解题的过程是把题目条件和结论一步步转化为已知的公式和结论，而出题老师编制题目的过程正 好与之相反，是通过加入各种变形和推导把已知公式和结论一层层地变复杂，最后把推导结果中小的不能 再小的那部分作为题目中的已知条件，其余的用来设置题目的问题。所以我们在做题时必须要有变形的意 识，并不断在做题中积累经验。如下一题条件中的a b ? b a ，如果可以迅速想到它等价于不等式b ln(a) ? a ln(b) ，求解就方便多了。七. 线代部分出题的特点是“深度不大但涉及知识点多，思路简单但十分灵活” 。本题的思路相对简单，但却 并没有降低要求，需要理解掌握二次型部分各知识点并能在线代第五、六章之间灵活切换思路。主要应用 的是：1.二次型的标准型对应矩阵是 ?? ? ? ? ??1?2? ? ，其中 ? 为二次型对应矩阵的特征值；2.正交矩阵是 i ? ? ????? ? ?n ?由二次型对应矩阵的特征向量单位化得到的。 九．本题利用了导数的几何意义和求弧长公式来建立微分方程，其中不容易想到的是对条件“物体 B 速度为 2v”的应用，有必要记住这种形式。 十. 10.1 题其实是不用计算的，可直接应用“抽签原理” ：若共有 a 支签，其中 b 支是好签，则任意抽取不放 回时抽到好签的概率与抽签的先后次序无关，都等于 b/a。 10.2 对于求一维随机变量函数的分布，本题所用的“分布函数法”是最主要的方法，套路清晰，比较典型。 十一. 这个题考查了期望、方差、协方差和随机变量独立性的判定，考查面很广。第 1 问求 EX 和 DX 时利用了“对称区间+奇偶函数”可以简化定积分计算的技巧，这一点如前面所述在见到 样的积分上下限时就要想到；第 3 问证明?????? ? ? 、? ? ? ? 这???X与|X | 是否相互独立时利用了“两个事件同时成立的概率不等于两事件概率乘积”来证明，道理不复杂，但由于其不是 P ( AB) 、 P ( A) 、 P (B ) 这样的形式， 而且 P{|X |? a} 与 P{ X ? a} 的关系容易弄错，所以真正考查到了“理解”层次。证 A 与 B 相 P( AB) ? P( A) P( B)；互独立有以下等价条件：P( A | B) ? P( A)( P( B) ? 0) ；P( A | B) ? P( A | B) (P(B) ? 0) ；P( A | B) ? P( A | B) ? 1 (P(B) ? 0) 。因为事件的关系及运算是重点，故有必要多记一点这样的性质，有时可以大大方便解题。3141994 年数学一评题1. 1 本题是应用等价无穷小代换球极限的好例子。使用等价无穷小代换时需注意“乘除可换、加减不可换” ，例如本 题 中 若 在 x ?0limx ? sin x x sin x ? tgx这 一 步 就 将sin x换 成x结 果 就 等 于 零 了 。 另 外 ，x ?0lim ctgx(1 1 1 1 ? ) 看起来很容易拆开变为 lim ctgx ? lim ctgx ，但经验告诉我们，看 x ?0 sin x x sin x x?0 x起来越好拆的就越不能拆，起码也要先试试不拆能否做出来，因为考研题很多都有误导倾向。 1. 2 本题与上一年同一位置的填空题多少有些相似，这种连续出现相似题的情况在早期数学真题中出现较多，近 年来也有。 1. 5 本题题眼在于 列向量，则 c.向量 阵，? ?? 等于常数这一性质，同类性质我有一个小总结：a.向量 ? 是 n 维行向量，向量 ? 是 n 维条件如上，?? 得到一个常数，简称“横竖数” ；b.? ? 得到一个 n? n 矩阵，简称“竖横阵” ；? 是 n 维行向量，A 是 n? s 矩阵，则 ?A 得到一个 s 维列向量，称之为“横阵横” 是 s ? n 矩 ；d.A? 1? 1 ，即一个常数；b 对应 (n ?1) ? (1? n) ? n ? n ，即一个? 是 n 维列向量，则 A? 得到一个 s 维列向量，称之为“阵竖数” 。更简捷的记法是利用下标相乘，如 a对应的下标乘式是 (1 ? n) ? (n ? 1)n? n 方阵；c 对应 (1? n) ? (n ? s) ? 1? s ，即 s 维行向量；d 对应 (s ? n) ? (n ? 1) ? s ? 1 ，即s 维列向量。 2.2 本题有明显的误导倾向，一元函数有性质“可导一定连续、连续不一定可导” ，而对于二元函数来说连续性与 可偏导性之间没有任何联系。真题中的选择题是不会“看起来是张三、实际上也正是张三”的，不是“看起来是 张三、实际上是李四” ，就是“看不出来是张三李四” 。 2.5 陈文灯复习指南《向量》那一章引用本题作为一个例题，提供了两种解法。其中一种对求解线性相关性问题 具 有 普 遍 意 义 ： 对 于 选 项 B ， 可 设k1 (a1 ? a2 ) ? k 2 (a2 ? a3 ) ? k3 (a3 ? a4 ) ? k 4 (a4 ? a1 ) ? 0? k1 ? k 4 ?k ? k ? 2 1 ? 关，所以有 k3 ? k 2 ? ?k 4 ? k3 ? ?0，变形为(k1 ? k 4 )a1 ? (k 2 ? k1 )a2 ? (k3 ? k 2 )a3 ? (k 4 ? k3 )a4 ? 0 ，因为 a1 , a2 , a3 , a4 线性无?0 ? 0 ，解得 k i 在 k1 ? k 2 ? k3 ? k 4 时即可使等式成立，故线性相关；对于选项 C ?0来说，求解类似方程得到的 k i 结果是全等于 0，故线性无关。三.本题求参数方程的一、二阶导数，在求解过程中使用了一些常用技巧，如将dy dx变形为dy dt dt dx，则有32dy dy dy d( ) d( ) 2 dy dt y ?(t ) d y dt ? ? ? dx ? dx ? dx dt dx dx dx x ?(t ) 、 dx 2 dtd(dy ) dx dtdx dtdy dy dt ? 。 dx dt dx这步变形在本题中作用有限，因为求参数方程二阶导数有现成的公式，但类似的变形在没有现成公式可用的复杂题目中会有 更重要的应用。 五. 全微分方程是唯一有条件的常微分方程类型，其求解的公式不对称容易记错；除此之外本题还考查了二阶常 系数非齐次方程的解法。在考研真题中，二阶常微分方程部分的重点考查类型是可降阶的二阶方程，经常出成填 空题，对于本章中这样的类型则要求不高。六.本 题 中 由 条 件 x ? x0limf ( x) ?0 x推出f (0) ? 0、f ?(0) ? 0，其实对于任意 a 都有f ( x) lim ? A ? f (a ) ? 0 、 f ?(a) ? A ，在题目中出现类似形式时需想到这一点。本题利用 f (x) 的 x?a x ? a麦克劳林展开式求阶的方法在历年真题中比较少见，有一定参考意义。 八. 求齐次线性方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的公共解可用以下三种方法：1.求出方程组（Ⅱ）的通解后代入方程组（Ⅰ） 、 得到公共解；2.令齐次方程组（Ⅰ）Ax ? 0 与齐次方程（Ⅱ） Bx ? 0 的通解相等而得到公共解；3.将两个? Ax ? 0 ? A? X ? 0 ，其解即为两方程组的公共解。 方程组联立成 ? ，即 ? ? ? Bx ? 0 ? B?十.? P( AB) ? P( A) ? P( AB) (1) ? 10.1 题利用前面提到过的三个常用式子 ? 也可求解：因为 P( AB) ? P( A) ? P( B | A) (2) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ( A, B相互独立) (3) ?P( AB) ? P( A) ? P( AB) 、 P( AB) ? P( B) ? P( AB) ，所以若 P( AB) ? P( AB) 则必有 P( A)? P(B) ，故 P( B) ? P( A) ? 1 ? P 。这三个式子在 98 年第 2.5 题、99 年第 1.5 题、00 年第 1.5 题中的应用也与本题大同小异。另外，如果在考试的重点内容上扩大一些知识面有时会大大方便做题，比如事件A, B 互逆的判定条件除了定义以外，还有 A ? B ? A ? B ，对应的韦恩图为 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 c o v (Y ) X,。 、协方差性质十一.本题考查了方差性质c o v 1 ? X 2 , Y ) ? c o v 1Y ) ? c o v (Y ) 及正态分布的独立与不相关等价的性质。题目中有一 X( X( X2个需要弄清楚的地方，就是“ ( X , Y ) 服从二维正态分布而且 性质：若随机变量X , Y 分别服从正态分布” 。对于正态分布有下列X ,Y分别服从正态分布2 N (?1 , ? 12 ) 、 N (? 2 , ? 2 ) ，则 ( X , Y ) 服从二维正态分布332 N (?1 , ? 2 , ? 12 , ? 2 ) ，同时 C1 X ? C2Y 也服从正态分布，故上述三种分布其实是一回事，因为反过来也成立。对于这样“貌似不同实则统一”的点，出题人可以只在题设条件中给出一个而让我们在做题过程中推出 其它；但对于那些不要求深入掌握的点这样考查不太合适，只能将相互等价的各部分同时放在题设条件中以起到 迷惑我们的效果。 “X , Y 分别服从正态分布，则 C1 X ? C2Y 服从二维正态分布”叫做正态分布的可加性，二项分布和泊松分布也有类似性质：若X ~ B(n, p) 、 Y ~ B(m, p) 且 X、与 Y 相互独立，则 相 互 独 立 ， 则X ? Y ~ B(n ? m, p)； 若X ~ P(?1 )Y ~ P(?2 )且X与YX ? Y ~ P(?1 , ?2 ) 。5 1995 年数学一评题1.299 年相同位置的填空题是求d x 2 ?0 sin( x ? t ) dt ，与本题有着相同的题眼，就是在变上限积分的被积函 dx数中加入 x。这样的 x 应视为被积函数中的参数，而由于对变上限积分求导要求被积函数中不含参数，故须先通 过变形将参数 x 转移到积分上下限中或移到积分号之外。本题是将 x 移到积分函数之外，然后求导得解；99 年的 1.2 题是通过换元 u 住了。 1.3 本题考查了向量数}