若mn是若关于x的分式方程方程x2+px+8=0的两相异实根，则必有
点击联系发帖人
时间：2017-09-17 07:45
& 若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan
本题难度：0.46&&题型：解答题
若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；&数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．
来源：2009秋o上海月考 | 【考点】数列的求和；数列的函数特性．
已知f（n）=，若数列{an}满足a1=，an=f（an-1）（n≥2），求证{n}为等差数列．
若数列{an}满足|an+1-an|=p，当p=时，则称{an}为“规则数列”；当p=n时，则称{an}为“收缩数列”，记Sn=a1+a2+…+an（1）若{an}是首项为2的“规则数列”，求a2016的不同取值个数以及最大值，求使得Sn=0成立的n的最小值（2）已知{an}是首项为3的“规则数列”，求证：a99=52成立的充要条件是数列{an}是递增数列；（3）是否存在首项a1≥1的“收缩数列”{an}，使得Sn存在，若存在，求出极限；若不存在，请说明理．
若数列{an}满足a2-a1＞a3-a2＞a4-a3＞…＞an+1-an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列，若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn（n∈N*）满足2Sn=3an+2λ-1（n∈N*），则实数λ的取值范围是&&&&．
（2016春o南京期中）若数列{an}满足a11=，n+1-n=5（n∈N*），则a1=&&&&．
若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1=m（m＞0），n+1=an-1，an＞11an，0＜an≤1，若a3=4，则m的所有可能取值为（ ）
A、{6，}B、{6，，}C、{6，，}D、{6，}
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；②若”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据已知条件求出an+2=5an+1-6an的特征方程为：x2-5x+6=0及其特征根x1=2x2=3利用待定系数法求出c1=c2=1进一步求出数列{an}的通项公式（2）先将已知条件变形为（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）设bn=an+1构造新数列{ bn}通过求特征方程的特征根求出数列{ bn}的通项公式进一步求出数列{an}的通项公式（3）先通过求特征方程的特征根的方法求出通项公式an=15[(1+52)n-(1-52)n]n∈N*代入Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn化简得到 Sn+2=3Sn+1-Sn通过不完全归纳找规律得到结论．
【解答】解：（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0x1=2x2=3…（3分）所以 设 an=c1o2n+c2o3n由c1o2+c2o3=5c1o4+c2o9=13得到c1=c2=1所以   an=2n+3n …（6分）（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）设bn=an+1则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）b1=a1+1=2b2=a2+1=12所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0x1=-1x2=3…（10分）所以令   bn=c1o3n+c2o（-1）n由b1=2b2=12可以得出c1=76c2=32所以bn=76o3n+32o(-1)n…（11分）即  an=76o3n+32o(-1)n-1n∈N*…（12分）（3）同样可以得到通项公式an=15[(1+52)n-(1-52)n]n∈N*…（14分）所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=15C1n[(1+52)1-(1-52)1]+15C2n[(1+52)2-(1-52)2]+15C3n[(1+52)3-(1-52)3]+…+15Cnn[(1+52)n-(1-52)n]=15[C1n(1+52)1+C2n(1+52)2+C3n(1+52)3+…+Cnn(1+52)n]-15[C1n(1-52)1+C2n(1-52)2+C3n(1-52)3+…+Cnn(1-52)n]=15[(1+1+52)n-(1+1-52)n]=15[(3+52)n-(3-52)n]即     Sn=15[(3+52)n-(3-52)n]  n∈N*…（14分）Sn+2=15[(3+52)n+2-(3-52)n+2]=15[(3+52)n+1-(3-52)n+1]oo[(3+52)+(3-52)]-[(3+52)n-(3-52)n]=3Sn+1-Sn即   Sn+2=3Sn+1-Snn∈N*…（16分）因此Sn+2除以8的余数完全由Sn+1Sn除以8的余数确定因为a1=1a2=1所以  S1=C11a1=1S2=C21a1+C22a2=3S3=3S2-S1=9-1=8S4=3S3-S2=24-3=21S5=3S4-S3=63-8=55S6=3S5-S4=165-21=144S7=3S6-S5=432-55=377S8=3S7-S6=S9=3S8-S7=4由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知数列{Sn}各项除以8的余数依次是：…它是一个以6为周期的数列从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数所以n=3kk∈N*即所求集合为：{n|n=3kk∈N*}…（18分）
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
查看答案和解析
微信扫一扫手机看答案
知识点讲解
经过分析，习题“若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列的求和
数列的求和：1、数列求和的常用方法：（1）裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； （2）错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； （3）倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。（5）公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
2、数列求和特别提醒：（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
知识点试题推荐
1&&&&2&&&&3&&&&4&&&&5&&&&6&&&&7&&&&8&&&&9&&&&10&&&&11&&&&12&&&&13&&&&14&&&&15&&&&
作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)& （2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2
本题难度：0.52&&题型：计算题
（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程的系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1ox2=．根据该材料完成下列填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则：（1）m+n=&&&&，mn=&&&&；（2）（m2-）（n2-）=&&&&．
来源：学年福建省泉州六中九年级（上）期中数学试卷 | 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
（2013o蚌埠校级自主招生）阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是&&&&；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．
阅读材料，解答问题．利用图象法解一元二次不等式：x2+2x-3＜0．解：设y=x2+2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3．∴由此得抛物线y=x2+2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，y＜0．∴x2+2x-3＜0的解集是：-3＜x＜1时．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2+2x-3＞0的解集（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-2x2-4x+6＞0．
已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料&& 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．&& 即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，&& 则：x1+x2=-，x1ox2=&& 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．&& 例：不解方程，求方程x2-3x=15两根的和与积．&& 解：原方程变为：x2-3x-15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=-，x1ox2=∴原方程两根之和=-=3，两根之积==-15．
阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是&&&&；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．
（1）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1ox2=．根据该材料：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求2x1+1x2的值．（2）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，试判断y1与y2的大小关系．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程的系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1ox2=ca．根据该材料完成下列填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则：（1）m+n=，mn=；（2）（m2-）（n2-）=．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据根与系数的关系求解（2）先根据一元二次方程的解的定义得到m2==0n2=则原式可化简为（-）（-）整理为1-（m+n）+mn然后把（1）的结论代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得m+n=2013mn=2014（2）∵mn是方程x2-=0的两根∴m2-=0n2-=0∴m2==0n2=∴（m2-）（n2-）=（-）（-）=（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-．故答案为．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
查看答案和解析
微信扫一扫手机看答案
知识点讲解
经过分析，习题“（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元二次方程的解
1.一元二次方程的解(根)的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。 ax1?+bx1+c=0(a≠0)，ax2?+bx2+c=0(a≠0)3.对一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)来说当判别式△=b?-4ac>0时方程有两个解△=b?-4ac=0时方程有一个解△=b?-4ac<0时方程无解
知识点试题推荐
1&&&&2&&&&3&&&&4&&&&5&&&&6&&&&7&&&&8&&&&9&&&&10&&&&11&&&&12&&&&13&&&&14&&&&15&&&&
作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)当前位置：
＞＞＞若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..
若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的最小值是______．
题型：解答题难度：中档来源：不详
依方程有两个实根得到△=4a2-4（a+6）≥0，即a2-a-6≥0，∴a≤-2或a≥3，（3分）由根与系数的关系得到m+n=2a，mn=a+6，y=（m-1）2+（n-1）2=m2+n2-2（m+n）+2=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2=4a2-6a-10，=4（a-34）2-494，∴根据二次函数的性质知a=3时，y的最小值为8．（12分）故答案为：8
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，一元一次方程及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用一元一次方程及其应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。一元一次方程的定义：
在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。一元一次方程的分类：
1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.
（1）方程为整式方程。（2）方程有且只含有一个未知数。（3）方程中未知数的最高次数是1。
一元一次方程判断方法:
通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件：
⑴它是等式；⑵分母中不含有未知数；⑶未知数最高次项为1；⑷含未知数的项的系数不为0。
发现相似题
与“若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..”考查相似的试题有：
486680248903278254248364430416441603当前位置： >>
高中数学复习资料大全
高中数学第一章-集合榆林教学资源网
考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： 榆林教学资源网
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用
它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条 、 、 件、必要条件及充要条件的意义．§ 集合与简易逻辑 知识要点 01.一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简） 简易逻辑三部分： 、二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 A ? A ； ②空集是任何集合的子集，记为 ? ? A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 A ? B ，同时 B ? A ，那么 A = B. 如果 A ? B，B ? C，那么A ? C . [注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （?） ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（?） （例：S=N； A= N ? ， 则 CsA= {0}） ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B，则 CBA= ? ，CAB = ? CS（CAB） D = 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R （注： AB = ? ） C .? 二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x ? y ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是 ? . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ） 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n －1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n－2 个. 5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例：①若 a ? b ? 5，则a ? 2或b ? 3 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② x ? 1且y ? 2， 解：逆否：x + y =3? x ? 1且y ? 2x ? y ? 3.x = 1 或 y = 2.x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且y ? 2 的既不是充分，又不是必要条件.?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 x ? 5， x ? 5或x ? 2 . ? 4. 集合运算：交、并、补.交：A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并：A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 补：C U A ? {x ? U , 且x ? A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.（2） 等价关系： A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U （3） 集合的运算律： 交换律： A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) 0-1 律： ? ? A ? ?, ? ? A ? A,U ? A ? A,U ? A ? U 等幂律： A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ =U 反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式：(1)card ( A ? B ) ? card ( A) ? card ( B ) ? card ( A ? B ) (2)card ( A ? B ? C ) ? card ( A) ? card ( B ) ? card (C ) ? card ( A ? B ) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C )(3) card(?UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)&0(&0)形式， 并将各因式 x 的系数化 “+” (为 ； 了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？） ； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“&0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等 式是“&0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.x1x2x3x m-3-x m-2 x m-1+-xm+x（自右向左正负相间） 则不等式 a0 x ? a1 xn n ?1? a 2 x n?2 ? ? ? a n ? 0(? 0)( a0 ? 0) 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式 ax&b 解的讨论； 2 ②一元二次不等式 ax +box&0(a&0)解的讨论.??0二次函数??0??0y ? ax2 ? bx ? c（ a ? 0 ）的图象 一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax ? bx ? c ? 02?a ? 0?的根ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集x1 , x2 ( x1 ? x2 )x1 ? x2 ? ?b 2a无实根?x x ? x 或x ? x ?1 2? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?Rax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集?x x1? x ?x2???2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) &0(或 &0)； ≥0(或 ≤0)的形式， g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)（2） 转化为整式不等式 （组） 3.含绝对值不等式的解法f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)（1）公式法： ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布” ：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布” ：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 、 、 由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。 、 、 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记 作“┑q” ) 。 3、 “或” “且” “非”的真值判断 、 、 互 逆 原命题 逆命题 （1） “非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相 若 p则 q 若 q则 p 互 否 反； 为 逆 互 互 （2） 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为 “p 否 否 逆 为 真，其他情况时为假； 否 互 逆否命题 （3） 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为 否 命 题 “p 若 ┐q则 ┐p 若 ┐p则 ┐q 逆 互 假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p ? q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p?q.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设） ，引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从 而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章-函数考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4） 理解分数指数幂的概念， 掌握有理指数幂的运算性质， 掌握指数函数的概念、 图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§ 函数 知识要点 02.一、本章知识网络结构：定义 F:A?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 为这二者确定后， 值域也就相应得到确定， 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数y ? f ( x)( x ? A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= ? (y)，x 在 A 中都有唯一 的值和它对应， 那么， ? (y)就表示 y 是自变量， 是自变量 y 的函数， x= x 这样的函数 x= ? (y) (y ? C)叫 做 函数y ? f ( x)( x ? A) 的 反 函 数， 记 作 x ? f ?1 ( y ) , 习 惯 上 改 写成y ? f ?1 ( x)（二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ?若当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题： （1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 f (x) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件； （2） f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反. 4． 如果 f (x) 是偶函数， f ( x) ? f (| x |) ， 则 反之亦成立。 x ? 0 时有意义，则 f (0) ? 0 。 若奇函数在7. 奇函数，偶函数： ?偶函数： f (? x) ? f ( x) 设（ a, b ）为偶函数上一点，则（ ?a, b ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称，例如： y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ，或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，若 f ( x) ? 0 时， ?奇函数： f (? x) ? ? f ( x) 设（ a, b ）为奇函数上一点，则（ ?a,?b ）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如： y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ，或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，若 f ( x) ? 0 时，y轴对称 ? 8. 对称变换：①y = f（x） ??? ? y ? f（ ? x）f ( x) ? 1. f (?x)f ( x) ? ?1 . f (?x)x轴对称 ? ②y =f（x） ??? ? y ? ? f（x）??? ③y =f（x） ?原点对称 ? y ? ? f（ ? x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： （x1 ? x 2）x1 ? x 2 ) ( 2 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1 2 2 2 x x ? b ? x1 ? b 2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（x）= 1+B?A 集合 B 之间的关系是 . 解：f (x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B ，f (x) 的值域 ? R ， B? R ， A ? ?x | x ? 1? ， B ? A . 故 而 故x 的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则集合 A 与 1? x11. 常用变换： ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ?f ( x) . f ( y) 证： f ( x ? y) ?x yf ( y) ? f ( x) ? f [(x ? y) ? y] ? f ( x ? y) f ( y) f ( x)② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证： f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y) 12. ?熟悉常用函数图象： 例： y ? 2 → | x | 关于 y 轴对称.| x|▲▲x yx y?1? y?? ? ? 2?y| x ? 2|?1? ?1? → y ?? ? →y?? ? 2? ? ? 2?▲| x|| x ? 2|yy(0,1)x(-2,1)xx▲y ?| 2 x 2 ? 2 x ? 1 | → | y | 关于 x 轴对称.yx?熟悉分式图象： 例： y ?2x ? 1 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} ， ? 2? x ?3 x ?3▲值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数y2 x 3指数函数y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质0&a&14.54.5 4a&1 图 象43.53.5332.52.5221.51.51y=11 0.5y=10.5-4-3-2-11234-4-0.5-3-2-11234-0.5-1-1(1)定义域：R 性 质 （2）值域： （0，+∞） （3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 (4)x&0 时，y&1;x&0 时，0&y&1 （5）在 R 上是增函数 (4)x&0 时，0&y&1;x&0 时，y&1. （5）在 R 上是减函数 a&1 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算：0&a&1loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb aloga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log aN?N换底公式： a N ? log推论： a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an（以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a? 1, b ? 0, b ? 1,c ? 0, c ? 1, a1, a 2 ...an ? 0且 ? 1 ） yy=logaxa&1图 象Oxx=1a&1（1）定义域： （0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0） ，即当 x=1 时，y=0 性 质 （4）x ? (0,1) 时 y ? 0x ? (0,1) 时 y ? 0x ? (1,??) 时 y&0（5）在（0，+∞）上是增函数x ? (1,??) 时 y ? 0在（0，+∞）上是减函数注?：当 a, b ? 0 时， log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?：当 M ? 0 时，取“+” ，当 n 是偶数时且 M ? 0 时， M n ? 0 ，而 M ? 0 ，故取“―”.2 例如： loga x ? 2 loga x ? (2 loga x 中 x＞0 而 loga x 2 中 x∈R）.? y ? a x （ a ? 0, a ? 1 ）与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时， y ? loga x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 ? a ? 1 时，则相反.（四）方法总结 ?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算： loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb aloga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log aN?N换底公式： a N ? log推论： a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an（以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a 2 ...an ? 0且 ? 1 ）注?：当 a, b ? 0 时， log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?：当 M ? 0 时，取“+” ，当 n 是偶数时且 M ? 0 时， M n ? 0 ，而 M ? 0 ，故取“―”. 例如： loga x 2 ? 2 loga x ? (2 loga x 中 x＞0 而 loga x 2 中 x∈R）. ? y ? a x （ a ? 0, a ? 1 ）与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时， y ? loga x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 ? a ? 1 时，则相反. ?.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法. ?.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法： 布列使函数有意义的自变量的不等关系式， 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0； ②偶次根式中被开方数不小于 0； ③对数的真数 大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义 等. ?.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法” ；③反函数法；④换元法； ⑤不等式法；⑥函数的单调性法. ?.单调性的判定法： ①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量， x 1 ＜x 2 ； 且 ②判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 )的大小；③作差比较或作商比较. ?.奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称， 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ?.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学 第三章 数列考试内容： 数列． 等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式． 考试要求： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实 际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实 际问题． §03. 数 列 知识要点数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系项 项数 通项数列等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和等差数列等差数列 定义 递推公 式a n?1 ? a n ? d a n ? a n?1 ? d ； a n ? a m?n ? md等比数列a n ?1 ? q(q ? 0) ana n ? a n?1q ； a n ? a m q n ? m 通项公 式 中项a n ? a1 ? (n ? 1)da n ? a1 q n?1 （ a1 , q ? 0 ）G ? ? a n ? k a n ? k (a n ? k a n ? k ? 0)A?a n?k ? a n? k 2（ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） 前 n 项 和Sn ? n (a1 ? a n ) 2（ n, k ? N * , n ? k ? 0 ）?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? qn(n ? 1) S n ? na1 ? d 2??重要性 质am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)1. ?等差、等比数列： 等差数列 定义 等比数列{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数）{a n }为G ? P ?a n ?1 an? q(常数）通项公 式 求和公 式a n = a1 + n-1） a k + n-k） dn + a1 -d （ d= （ d=a n ? a1 q n ?1 ? a k q n ? kn(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?A=(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?中项公 式a?b 2推广： a n = a n ? m ? a n ? m 2G 2 ? ab 。推广： a n ? a n ? m ? a n ? m2性 质1 2若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 {k n } 成 A.P （其中 k n ? N ） {a k n } 则 也为 A.P。若 m+n=p+q，则 a m a n ? a p a q 。 若 {k n } 成等比数列 （其中 k n ? N ） ， 则 {a k n } 成等比数列。3 4． s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等比数列。d?a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?nq n ?1 ?an a1，q n?m ?an am( m ? n)5 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ， a n a n?1a n?1 ? 0 )①注①：i. b ? ac ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即 b ? ac ii. b ? ac （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.a、b、c 等比数列.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }（ x ? 1 ）成等比数列. ?数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系： a n ? ??s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)[注]： ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?（ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数 列也是等差数列）→若 d 不为 0，则是等差数列充分条件）. d? d ?d ? ? ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n → 可以为零也可不为零→为等差 2? 2? 2 ? ? 的充要条件→若 d 为零， 则是等差数列的充分条件； d 不为零， 若 则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．． 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 ， 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ； ②若等差数列的项数为 2 n n ?N??? ，则 S 偶?S 奇 ? nd，?S奇 S偶?an a n ?1；? n n ?1③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ，则 S 2n?1? ?2n ? 1?a n ，且 S 奇 ?S 偶?a n ， S 奇? 代入n到2n ? 1得到所求项数.?S偶3. 常用公式：①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?3 2 ? ?n 2 ?n?n ? 1? 2n?n ? 1??2n ? 1? 6 ③ 13 ?2 3 ?3 3 ?n 3 ? ?? n?n ? 1? ? ? ? 2 ?2[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… ? a n ? 10n ? 1 ； 5，55，555，… ? a n ?5 n 10 ? 1 . 9??4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题： ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a ，年增长率为 r ，则每年的产 量成等比数列，公比为 1? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n ?1 ，且过 n 年后总产量为：a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a 元，利息为 r ，每月利息按 复利计算，则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r 为年利率.a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m?1 ? x?1 ? r ?m ? 2 ? ......x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 15. 数列常见的几种形式： ? a n? 2 ? pa n?1 ?qa n （p、q 为二阶常数） ? 用特证根方法求解. 具体步骤： ①写出特征方程 x 2 ? Px ? q x 2 对应 a n ? 2 ， 对应 a n?1 ） 并设二根 x1 , x 2 ②若 x1 ? x 2 （ x ， 可设 a n. ?c 1 x n ?c 2 x n ，若 x1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ；③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2 ? a n ? Pa n?1 ?r （P、r 为常数） ? 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为 a n?2 ? Pa n?1 ?qan 的形式，再用特征根方法求 a n ；④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 （公式法） c 1 ,c 2 ， 由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差，等比： a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pa n ? Px ? x ? x ? ②选代法： a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?? P n ?1a1 ? P n ?2 ?r ? ? ? Pr? r .r . P ?1r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1③用特征方程求解：a n ?1 ? Pa n ? r ? ? （ ） ?相减， a n?1 ?a n ? Pa n ?Pa n?1 ?a n?1 ? P ? 1 a n ?Pa n?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?④由选代法推导结果： c1 ?r r r r . ，c 2 ?a1 ? ，a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? （ ）P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P6. 几种常见的数列的思想方法： ?等差数列的前 n 项和为 S n ，在 d ? 0 时，有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值，有 两种方法： 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ， 成立的 n 值； 二是由 S n ?d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 2 2的值. ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积， 求此数列前 n 项和可依 照等比数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： 1? ,3 ,...(2n ? 1)1 2 1 4 1 2n ,...?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列， 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项，公差是两个数列公差 d1，d 2 的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 a n ?12 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 (a n ?1 ? a n a n ? 2 )n ? N 都成立。3. 在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：(1)当 a1 &0,d&0 时，满足 ??a m ? 0 的项数 m ?a m ?1 ? 0使得 s m 取最大值. (2)当 a1 &0,d&0 时，满足 ??a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝 ?a m ?1 ? 0对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三） 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ??c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部 ? a n a n ?1 ?分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?a n bn ? 其中{ a n }是等差数列， ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n =n(n ? 1) 222） 1+3+5+...+(2n-1) = n3 3 3?1 ? 3） 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?4） 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?2 2 2 221 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 5）1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 11 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 26）1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数 y=Asin(ω x+φ )的图像．正切函数的图 像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图，理解 A.ω 、φ 的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8） “同角三角函数基本关系式：sin2α +cos2α =1，sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1” ．§ 三角函数 知识要点 04.1. ① 与 ? （ 0°≤ ? ＜ 360°） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ） ：?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ??▲y2 sinx 1 cosx cosx 4②终边在 x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180 , k ? Z??? ? ?3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2③终边在 y 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合： ? | ? ? k ? 90? , k ? Z?x?sinx 3SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z?? ?⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z?⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系：360° ? 180° ? 1°=0..30°=57°18′ =2 = 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式： 1rad＝ 180 °≈57.30°=57°18@．?1°＝ ? ≈0.01745 （rad）1803、弧长公式： l?| ? | ?r .扇形面积公式： s扇形 ?4、三角函数：设 ? 是一个任意角，在 ? 的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则cos? ? x； r1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2y a的 终边P（x,y) ry sin ? ? ； rtan? ?y； xcot? ?x； ysec? ?r r ；. csc? ? . x yox5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）y y+ + o x - 正弦、余割- + o - + x余弦、正割yy P T- + o x + 正切、余切OMAx6、三角函数线 正弦线：MP; AT. 余弦线：OM; 正切线：16. 几个重要结论 : (1)y(2)y|sinx|&|cosx| sinx&cosxO x |cosx|&|sinx| O |cosx|&|sinx| x7. 三角函数的定义域：cosx&sinx |sinx|&|cosx| ? (3) 若 o&x& ,则sinx&x&tanx 2三角函数 f (x) ? sinxf (x) ? cosx?x | x ? R? ?x | x ? R?定义域 f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?cos?co? s ? c o? t s in ?8、同角三角函数的基本关系式： sin ? ? tan ?tan? ? cot? ? 1 csc? ? sin ? ? 12 22 2s e c ?c o s ?1 ? ?sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc2 ? ? cot2 ? ? 19、诱导公式：把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数，概括为： 2“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式： （一）基本关系公式组一 sinx?cscx=1 cosx?secx=1 tanx?cotx=1 tanx= x=sin x cos x cos x sin xsin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 s i n (? x ) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o s ? x t a n (? x) ? ? t a n ? x c o ? (? x) ? ? c o x t t公式组三 s i n?(x) ? ? s i n x c o s (x) ? c o s ? x t a n () ? ?t a n ?x x c o t () ? ?c o x ?x t公式组四 sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?公式组五 s i n2? ? x) ? ? s i n ( x c o s ? ? x) ? c o s 2( x t a n ? ? x) ? ? t a n 2( x c o t ? ? x) ? ? c o x 2( t（二）角与角之间的互换公式组一 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?公式组二 s i n? ? 2s i n c o ? 2 ? s2 2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? s s st a n? ? 22t a ? n 1? t a 2 ? n1? c o ? s 2 1 ? cos? 2sin ?? 2 cos?tan( ? ? ) ? ??2??tan( ? ? ) ? ?tan?2??1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?公式组三sin ? cos ? ?1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2公式组四公式组五 sin ? ?2 tan 1 ? tan?22?2? ?? cos 2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin ? 2 2 2 tan ??? ? ?? 2 cos? ? cos ? ? 2 cos cos tan ? ? 2 2 2 ? 1 ? tan ??? ? ?? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 6 ? 2 , tan15 ? ? cot 75 ? ? 2 ? 3 , tan 75 ? ? cot15 ? ? 2 ? 3 . 6? 2, ? ? ? ? sin 75 ? cos15 ? sin15 ? cos 75 ?1 ? tan2 2cos? ?1 ? tan2? ?2sin ? ? sin ? ? 2 sin???1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 24410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y ? sin xy ? cos xy ? tan x1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?y ? cot xy ? A sin ??x ? ? ?（A、 ? ＞0） R定义域 值域 周期性 奇偶性R[?1,?1]R[?1,?1]?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?R?R??? A, A?2?2?2?奇函数?2偶函数[?2k ? 1?? , 2k? ]奇函数? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?奇函数? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??[?? 2k? ,； ???k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数（ k ? Z ）??2? 2k? ]上为增函 数 ； 单调性[上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 （ k ?Z ）上 为 增 函 数 （ k ?Z ）?2 3? ? 2 k? ] 2? 2 k? ,上为增函数； ? ? ? 2k? ? ? ?2上为减函 数 k ?Z ） （? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?上 为 减 函 数 （ k ?Z ） 注意：① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反； y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增（减） ，则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减（增）.▲yx O ② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . ③ y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) （ ? ? 0 ）的周期 T ?y ? tan2??.x 的周期为 2 ? （ ? T? ? T ? 2? ，如图，翻折无效）. 2 ?④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ??2（k ?Z ） ，对称中心（ k? ,0 ） y ? (s ； o c?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k?（ k ? Z ） 对称中心 k? ? 1 ? ,0 ） y ? a ， （ ； n t (2（ ?x ? ? ) 的对称中心k? . ,0 ） 2y ? cos 2 x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2 x) ? ? cos 2 x ?? ?⑤当 tan? ? ? ? 1, ? ? ? ? k? ? tan?2tan (k ? Z ) ； tan? ? ? ? ?1, ? ? ? ? k? ??2(k ? Z ) .⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数，则 ? ? 2 ? ?1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( x) . ? 2⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.（× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， ）y ? tan x 为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定 义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f (? x) ? f ( x) ，奇函数： f ( ? x) ? ? f ( x) ）1 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y ? tan x 是奇函数， y ? tan(x ? ? ) 是非奇非偶.（定 3 义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 0 ? x 的定义域，则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .（ 0 ? x 的定义域，则无此性 质）▲⑨ y ? sin x 不是周期函数； y ? sin x 为周期函数（ T ? ? ） ； ； ； y ? cos x 是周期函数（如图） y ? cos x 为周期函数（ T ? ? ）y▲yx1/2 xy=cos|x|图象1 ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y ? cos 2 x ? 的周期为 ? （如图） 2y=|cos2x+1/2|图象y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin(? ? ? ) ? cos? ?b 有 a 2 ?b 2 ? y . a11、三角函数图象的作法：１） 、几何法： ２） 、描点法及其特例――五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲 线）. ３） 、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数 y＝Asin（ω x＋φ）的振幅|A|，周期 T ? 2? ，频率 f ? 1 ? | ? | ，相位 ? x ? ? ; 初相 ?|? |T2?（即当 x＝0 时的相位）（当 A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号） ． ， 由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A| ＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换． （用 y/A 替换 y） 由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长 （0＜|ω |＜1） 或缩短 （|ω |＞1） 到原来的 | 1 | 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用ω x?替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向左 （当 φ＞0） 或向右 （当 φ＜0） 平行移动｜φ｜个单位， 得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x＋φ 替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜b｜个单位， 得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移． （用 y+(-b)替换 y） 由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ω x＋φ） （A＞0，ω ＞0） （x∈R）的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 4、反三角函数： 函数 y＝sinx， ? x ? ?? ? ， ? ? 的反函数叫做反正弦函数，记作 y＝arcsinx，它的定义域是［－1， ? ? ?? ? ? 2 2 ?? ? ??1］ ，值域是 ?－? ， ? ． ?? ? 2 2? ?函数 y＝cosx， （x∈［0，π ］ ）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，它的定 义域是［－1，1］ ，值域是［0，π ］ ． 函数 y＝tanx， x ? ? ? ? ， ? ? 的反函数叫做反正切函数， 记作 y＝arctanx， 它的定义域是 （－ ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ?? ?∞，＋∞） ，值域是 ? ? ? ， ? ． ?? ? ? 2 2?函数 y＝ctgx， ［x∈（0，π ） ］的反函数叫做反余切函数，记作 y＝arcctgx，它的定义域 是（－∞，＋∞） ，值域是（0，π ） ． II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数： ?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数， arcsin(? x) ? ? arcsin x ， ? ?? 1,1（一 故 ? x 定要注明定义域，若 x ? ?? ?,??? ，没有 x 与 y 一一对应，故 y ? sin x 无反函数） 注： sin(arcsin x) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶，但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? ， x ? ?? 1,1? . 注：① cos(arccosx) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arccos x ? ?0, ? ? . ② y ? cos x 是偶函数， y ? arccosx 非奇非偶，而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ?反正切函数： y ? arctan x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?arctan(? x) ? ? arctan x ， x ? (??,??) .? ?， n c t a r , ） y ?a 2 2x 是奇函数，注： tan(arctanx) ? x ， x ? (??,??) . ?反余切函数： y ? arc cot x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?? ?arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? ， x ? (??,??) . 注：① cot(arc cot x) ? x ， x ? (??,??) . ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数，y ? arctanx 同理为奇而 y ? arccosx 与 y ? arc cot x 1 非奇非偶但满足 arccos(? x) ? arccosx ? ? ? 2k? , x ?[?1,1]arc cot x ? arc cot(? x) ? ? ? 2k? , x ?[?1,1] .， c o r t , ） y ? a c x 是非奇非偶. 2 2? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： 解集 a 的取值范围 ① sin x ? a 的解集a 的取值范围解集② cos x ? a 的解集?a ＞1a ＞1?a =1a ＜1?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?a =1?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ??x | x ? k? ? ??1?karcsin a, k ? Z?a＜1?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?③ tan x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arctana, k ? Z ? ③ cot x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z ?二、三角恒等式. sin 2 n?1? 组一 cos? cos 2? cos 4? ...cos 2 n ? ? n ?1 2 sin ? 组二sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?? cos 2k ?1n?k? cos?2cos?4cos?8? cos?2n?sin ? 2 sinn?2n? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d tan( ? ? ? ? ) ? ?tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan? ? tan? tan?组三 三角函数不等式sin x ＜ x ＜ tan x, x ? (0, ) 2?f ( x) ?sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x若 A ? B ? C ? ? ，则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C高中数学第五章-平面向量考试内容： 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面 向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用 掌握平移公式．§ 平面向量 知识要点 05.1.本章知识网络结构?2.向量的概念? (1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.? (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.? (4)特殊的向量：零向量 a＝O ? ｜a｜＝O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? ｜aO｜＝1.? (5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） ? ?? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2(6) 相反向量：a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质? ? ? ? a?b ? b?a向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)AB ? BC ? AC向量的 减法三角形法则? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB? ?1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? &0 时, ? a与a 同向;???? ( ? a) ? (?? )a? ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a? ? ? ?? a ? (? x, ? y )? ( a ? b) ? ? a ? ? b? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? a ?b ? b? a? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b)? ???? &0 时, ? a与a 异向;? =0 时, ? a ? 0 .? ? a ? b 是一个数??向 量 的 数 量 积? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时，? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时， 2. ? ? ? ? a ? ?| a || b | cos( a, b) b? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2? ? ? ? | a ? b |?| a || b |4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一 对实数λ 1， λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a＝λ b(b≠0) ? x1y2－x2y1＝O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a?b＝O ? x1x2＋y1y2＝O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ，即 P P ＝λ PP2 ，则? 1 OP ＝1 1 OP1 ＋ OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1? ? 1? ?? ?x ? ? ? ?y ? ? ?x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? y1 ? ?y 2 . 1? ?当λ ＝1 时，得中点公式：?x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP ＝ （ OP1 ＋ OP2 ）或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?(5)平移公式 设点 P(x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′） ， 则 O P ? ＝ OP +a 或 ?? x ? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.曲线 y＝f（x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理? 正弦定理：a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C2 2 2余弦定理：a ＝b ＋c －2bccosA，? 2 2 2 b ＝c ＋a －2cacosB，? 2 2 2 c ＝a ＋b －2abcosC.? （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内切圆的半径 为 R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA ⑤S△= P?P ? a ??P ? b ??P ? c ? [海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb [注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心.A 如图： AAEbFA cD I B aE Crac a E D ra ra Ic b OBFC NF bBCCaB1图图2图3图4图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心， S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心” ； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ?已知⊙O 是△ABC 的内切圆， BC=a， 若 AC=b， AB=c [注： 为△ABC 的半周长,即 s 则：①AE= s ? a =1/2（b+c-a） ②BN= s ? b =1/2（a+c-b） ③FC= s ? c =1/2（a+b-c） 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）. 特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=a?b?c ab （如图 3）. ? 2 a?b?c tan A ? tan B ? ? tan C ，? 结论！ 1 ? tan A tan Ba?b?c ] 2?在△ABC 中，有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明：因为 A ? B ? ? ? C, 所以 tan? A ? B? ? tan?? ? C ? ，所以 ?在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 AD 2 ?AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ?2 ? AB ? BD cos B ? ① 在△ABC 中，由余弦定理有 cos B ? 可得， AD 2 ?AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②，②代入①，化简 2 AB ? BCAAC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC （斯德瓦定理） BC图5①若 AD 是 BC 上的中线， ma ? ②若 AD 是∠A 的平分线， t a ? ③若 AD 是 BC 上的高， ha ? ?△ABC 的判定：2 a1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ； 2D C2 B bc ? p? p ? a ? ，其中 p 为半周长； b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ，其中 p 为半周长.c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?2c 2 ＜ a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B＜ c 2 ＞ a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B＞? 2 ? 22 2 2 附：证明： cosC ? a ?b ?c ，得在钝角△ABC 中， cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 22ab?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 ) 空间向量 1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b? OP ? ?a (? ? R)运算律：?加法交换律： a ? b ? b ? a??????加法结合律： (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?数乘分配律： ? (a ? b ) ? ?a ? ?b王新敞奎屯 新疆?????????3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b 的充要条件是存在实数 λ， ， 使 a ＝λ b . 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式???????????????????? OP ? OA ? t a ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5．向量与平面平行：?已知平面 ? 和向量 a ，作 OA ? a ，如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内，那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ，记作： a // ? ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：王新敞奎屯 新疆???? ??王新敞奎屯新疆如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 ， p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使? ??? ? ? ? ? p ? xa ? yb王新敞奎屯新疆推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ，使 ???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ，有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① ①式叫做平面 MAB 的向量表达式王新敞奎屯 新疆7 空间向量基本定理：王新敞奎屯 新疆如果三个向量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组? ? ??? ? ? ? x, y, z ，使 p ? xa ? yb ? zc王新敞奎屯新疆推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个 有序实数 x, y, z ，使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 8 空间向量的夹角及其表示：王新敞奎屯 新疆??? ???? ???? ?????王新敞奎屯 新疆已知两非零向量 a , b ， 在空间任取一点 O ， OA ? a , OB ? b ， ?AOB 叫做向量 a 与 作 则? ???? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 ， 记 作 ? a , b ? ； 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? ， 显 然 有 ? a , b ??? b , a ? ； 若? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ，则称 a 与 b 互相垂直，记作： a ? b . 29．向量的模： 设 OA ? a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： | a | . 10．向量的数量积： a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? ． 已知向量 AB ? a 和轴 l ， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 A 在 l 上的射影 A? ， 作点 B 在 l 上的射影 B? ，则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | ． 11．空间向量数量积的性质： （1） a ? e ?| a | cos ? a, e ? ． （2） a ? b ? a ? b ? 0 ． （3） | a | ? a ? a ．2??? ????? ????? ??? ???? ??????? ???? ?????? ????? ???? ?? ?? ?? ??? ???? ??? ?12．空间向量数量积运算律： （1）(? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ． （2）a ? b ? b ? a（交换律） （3）a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c （分配律） ． 空间向量的坐标运算 一．知识回顾： （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标） 轴是纵轴（对应 ，y 为纵轴） 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ，z? ?? ???? ?? ?? ??? ?? ? ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ，则a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |2(用到常用的向量模与向量之间的转化： a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b32 a12 2 2 2 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3②空间两点的距离公式： d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . （2）法向量：若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ，则称这个向量垂直于平面 ? ，记作 a ? ? ， 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. （3）用向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 ? 的法向量，AB 是平面 ? 的一条射 线，其中 A ?? ，则点 B 到平面 ? 的距离为| AB? n | |n|.②利用法向量求二面角的平面角定理： n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量， 设n 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同， （ 则为补角， 1 , n 2反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线 a ?? 平面 ? ， A ? B ? a, C ? D ?? ，且 CDE 三点不共线， 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE . 常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解 （?, ? 若 ?, ? 存在即证毕，若 ?, ? 不存在，则直线 AB 与平面相交）.A n▲BB??C A▲n1CD En2?? 高中数学第六章-不等式考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义： a ? b ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1） a ? b ? b ? a （对称性） （2） a ? b, b ? c ? a ? c （传递性） （3） a ? b ? a ? c ? b ? c （加法单调性） （4） a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d （同向不等式相加） （5） a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d （异向不等式相减） （6） a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc （7） a ? b, c ? 0 ? ac ? bc （乘法单调性） （8） a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd （同向不等式相乘）(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b （异向不等式相除） ? c d(10) a ? b, ab ? 0 ?1 1 （倒数关系） ? a b（11） a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) （平方法则） （12） a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) （开方法则） 3.几个重要不等式 （1） 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 （2） 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) （当仅当 a=b 时取等号） （3）如果 a,b 都是正数，那么ab ? a ? b （当仅当 a=b 时取等号） . 2极值定理：若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P, 则： 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc （当仅当 a=b=c 时取等号） 3 b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 （当仅当 a=b 时取等号） a b(6)a ? 0时，x |? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? || x |? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a（7） 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么2 1 1 ? a b ? ab ? a?b ? 2 a 2 ? b 2 （当仅当 . 2a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数） ：2 2 2 2 特别地， ab ? ( a ? b ) 2 ? a ?b （当 a = b 时， ( a ? b ) 2 ? a ?b ? ab ） 2 2 2 2a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?2 2 ? 幂平均不等式： a12 ? a 2 ? ... ? a n ?2 2 2 221 (a1 ? a 2 ? ... ? an ) 2 n2注：例如： (ac ? bd ) ? (a ?b )(c ? d ) .1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法：① ? ? ? ? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n 2 n(n ? 1) n ? 1 n② n ?1 ? n ?1 n ? n ?1?1 2 n?1 n ? n ?1? n ? n ? 1(n ? 1)（2）柯西不等式： 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则2 2 2 2 2 2 2 （a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? ? a n bn ) 2 ? (a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) a a a a 当且仅当 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 时取等号 b1 b2 b3 bn（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2则称 f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解. 特例① 一元一次不等式 ax&b 解的讨论； 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c&0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ? 1 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? 定义域 ? ? f ( x) ? g ( x) ?? f ( x) ? 0 ?2 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)] ?或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 2 ?3 ○? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)] 2 ?（4）.指数不等式：转化为代数不等式a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b（5）对数不等式：转化为代数不等式? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(0 ? a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?（6）含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值； 3 ○应用化归思想等价转化2 ○应用数形思想；| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?| f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?注：常用不等式的解法举例（x 为正数） ： ① x(1 ? x) 2 ?1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 272 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 92② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?2类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ，③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号，故取等) ? 2x x x 高中数学第七章-直线和圆的方程考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．§ 直线和圆的方程 知识要点 07.一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角，其中直线与 x 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .注：①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x1 时，直线 l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都 有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地， 当直线经过两点 (a,0), (0, b) ， 即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a, b(a ? 0, b ? 0) 时， 直线方程是： 注：若 y??y?? x y ? ? 1. a b 2 2 x?2 是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y ? ? x?2 ， 但 若 3 32 x ? 2( x ? 0) 则不是这条线. 3附：直线系：对于直线的斜截式方程 y ? kx ? b ，当 k, b 均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果 k, b 变化时，对应的直线也会变化.①当 b 为定植， k 变化时，它们表示过定点 （0， b ）的直线束.②当 k 为定值， b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行： l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是：① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个D前提‖都会导致结论的 错误. （一般的结论是：对于两条直线 l 1,l 2 ，它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 ， 且 b1 ?b 2 或 l 1,l 2 的斜率均不存在，即 A1 B 2 ? B1 A 2 是平行的必要不充分条件，且 C 1?C 2 ） 推论：如果两条直线 l 1,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ?两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ，则有 l 1?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1,l 2 的斜率都存在. ② l 1?l 2 ?k 1? 0 ，且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ，且 l 1 的斜率不 存在. （即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： ?直线 l 1 到 l 2 的角（方向角） ；直线 l 1 到 l 2 的角，是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转动的角 ? ，它的范围是 (0, ? ) ，当 ? ? 90? 时 tan? ?k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2?两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角：两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角，是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四? ?? 个角中最小的正角 ? ，又称为 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范围是 ? 0, ? ，当 ? ? 90? ，则有 ? 2 ? ? k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2 ?l 1 :A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的交点的直线系方程 A1 x ? B1 y ?C 1?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? ?l 2 :A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0tan? ?5. 过两直线 ?为参数， A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ?点到直线的距离公式：设点 P( x 0 , y 0 ) ，直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ，则有d? Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2.注： 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： | OP |? 2.x2 ? y 2??? ? ????定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 PP2所成的比为?即PP ? ? PP2 , 其 中 1 1 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ,y ? 1 1? ? 1? ? 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤ ? ＜180°） 、斜率: k ? tan? x?4. 过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式：k ?y 2 ? y1 . x 2 ? x1( x1 ? x2 )当 x1? x2 , y1 ? y 2 （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ? ＝ 90? ，没有斜率新疆 学案王新敞?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 l 1: Ax ? By ?C 1? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1?C 2 ) ， 它们之间的距离为 d ，则有 d ?C 1 ?C 2 A2 ?B 2.注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程： 1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） （A 直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： ?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行， 则对称直线必过两条直线的交点， 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①） ，过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 注：①曲线、直线关于一直线（ y ? ? x ? b ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=xC2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x C2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a C x, 2b C y)=0. 二、圆的方程. 1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数 建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 M ( x, y) 其坐标与方程 f ( x, y) ? 0 的一种关系， 曲线上任一点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y) ? 0 的解；反过来，满足方程 f ( x, y) ? 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点 C (a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： x 2 ? y 2 ?r 2 . 注：特殊圆的方程：①与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 3. 圆的一般方程： x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .? D E? ,? ? ，半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]注：该[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)][r ? a , 圆心(?a,?a)]当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程表示一个圆，其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程表示一个点 ? ?? D E? ,? ? . 2? ? 2当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程无图形（称虚圆）. ? x ? a ? r cos? 注：①圆的参数方程： ? （ ? 为参数）. ? y ? b ? r sin ? ② 方 程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B ? 0 且 A ? C ? 0 且D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .③圆的直径或方程： 已知 A( x1 , y1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 （用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C}
本题难度：0.46&&题型：解答题
若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；&数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．
来源：2009秋o上海月考 | 【考点】数列的求和；数列的函数特性．
已知f（n）=，若数列{an}满足a1=，an=f（an-1）（n≥2），求证{n}为等差数列．
若数列{an}满足|an+1-an|=p，当p=时，则称{an}为“规则数列”；当p=n时，则称{an}为“收缩数列”，记Sn=a1+a2+…+an（1）若{an}是首项为2的“规则数列”，求a2016的不同取值个数以及最大值，求使得Sn=0成立的n的最小值（2）已知{an}是首项为3的“规则数列”，求证：a99=52成立的充要条件是数列{an}是递增数列；（3）是否存在首项a1≥1的“收缩数列”{an}，使得Sn存在，若存在，求出极限；若不存在，请说明理．
若数列{an}满足a2-a1＞a3-a2＞a4-a3＞…＞an+1-an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列，若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn（n∈N*）满足2Sn=3an+2λ-1（n∈N*），则实数λ的取值范围是&&&&．
（2016春o南京期中）若数列{an}满足a11=，n+1-n=5（n∈N*），则a1=&&&&．
若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1=m（m＞0），n+1=an-1，an＞11an，0＜an≤1，若a3=4，则m的所有可能取值为（ ）
A、{6，}B、{6，，}C、{6，，}D、{6，}
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；②若”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据已知条件求出an+2=5an+1-6an的特征方程为：x2-5x+6=0及其特征根x1=2x2=3利用待定系数法求出c1=c2=1进一步求出数列{an}的通项公式（2）先将已知条件变形为（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）设bn=an+1构造新数列{ bn}通过求特征方程的特征根求出数列{ bn}的通项公式进一步求出数列{an}的通项公式（3）先通过求特征方程的特征根的方法求出通项公式an=15[(1+52)n-(1-52)n]n∈N*代入Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn化简得到 Sn+2=3Sn+1-Sn通过不完全归纳找规律得到结论．
【解答】解：（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0x1=2x2=3…（3分）所以 设 an=c1o2n+c2o3n由c1o2+c2o3=5c1o4+c2o9=13得到c1=c2=1所以   an=2n+3n …（6分）（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）设bn=an+1则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）b1=a1+1=2b2=a2+1=12所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0x1=-1x2=3…（10分）所以令   bn=c1o3n+c2o（-1）n由b1=2b2=12可以得出c1=76c2=32所以bn=76o3n+32o(-1)n…（11分）即  an=76o3n+32o(-1)n-1n∈N*…（12分）（3）同样可以得到通项公式an=15[(1+52)n-(1-52)n]n∈N*…（14分）所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=15C1n[(1+52)1-(1-52)1]+15C2n[(1+52)2-(1-52)2]+15C3n[(1+52)3-(1-52)3]+…+15Cnn[(1+52)n-(1-52)n]=15[C1n(1+52)1+C2n(1+52)2+C3n(1+52)3+…+Cnn(1+52)n]-15[C1n(1-52)1+C2n(1-52)2+C3n(1-52)3+…+Cnn(1-52)n]=15[(1+1+52)n-(1+1-52)n]=15[(3+52)n-(3-52)n]即     Sn=15[(3+52)n-(3-52)n]  n∈N*…（14分）Sn+2=15[(3+52)n+2-(3-52)n+2]=15[(3+52)n+1-(3-52)n+1]oo[(3+52)+(3-52)]-[(3+52)n-(3-52)n]=3Sn+1-Sn即   Sn+2=3Sn+1-Snn∈N*…（16分）因此Sn+2除以8的余数完全由Sn+1Sn除以8的余数确定因为a1=1a2=1所以  S1=C11a1=1S2=C21a1+C22a2=3S3=3S2-S1=9-1=8S4=3S3-S2=24-3=21S5=3S4-S3=63-8=55S6=3S5-S4=165-21=144S7=3S6-S5=432-55=377S8=3S7-S6=S9=3S8-S7=4由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知数列{Sn}各项除以8的余数依次是：…它是一个以6为周期的数列从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数所以n=3kk∈N*即所求集合为：{n|n=3kk∈N*}…（18分）
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
查看答案和解析
微信扫一扫手机看答案
知识点讲解
经过分析，习题“若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列的求和
数列的求和：1、数列求和的常用方法：（1）裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； （2）错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； （3）倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。（4）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。（5）公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
2、数列求和特别提醒：（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
知识点试题推荐
1&&&&2&&&&3&&&&4&&&&5&&&&6&&&&7&&&&8&&&&9&&&&10&&&&11&&&&12&&&&13&&&&14&&&&15&&&&
作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)& （2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2
本题难度：0.52&&题型：计算题
（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程的系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1ox2=．根据该材料完成下列填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则：（1）m+n=&&&&，mn=&&&&；（2）（m2-）（n2-）=&&&&．
来源：学年福建省泉州六中九年级（上）期中数学试卷 | 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
（2013o蚌埠校级自主招生）阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是&&&&；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．
阅读材料，解答问题．利用图象法解一元二次不等式：x2+2x-3＜0．解：设y=x2+2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3．∴由此得抛物线y=x2+2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，y＜0．∴x2+2x-3＜0的解集是：-3＜x＜1时．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2+2x-3＞0的解集（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-2x2-4x+6＞0．
已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料&& 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．&& 即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，&& 则：x1+x2=-，x1ox2=&& 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．&& 例：不解方程，求方程x2-3x=15两根的和与积．&& 解：原方程变为：x2-3x-15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=-，x1ox2=∴原方程两根之和=-=3，两根之积==-15．
阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是&&&&；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．
（1）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1ox2=．根据该材料：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求2x1+1x2的值．（2）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，试判断y1与y2的大小关系．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程的系数之间有如下关系：x1+x2=-ba，x1ox2=ca．根据该材料完成下列填空：已知m，n是方程x2-=0的两根，则：（1）m+n=，mn=；（2）（m2-）（n2-）=．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）根据根与系数的关系求解（2）先根据一元二次方程的解的定义得到m2==0n2=则原式可化简为（-）（-）整理为1-（m+n）+mn然后把（1）的结论代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得m+n=2013mn=2014（2）∵mn是方程x2-=0的两根∴m2-=0n2-=0∴m2==0n2=∴（m2-）（n2-）=（-）（-）=（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-．故答案为．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
查看答案和解析
微信扫一扫手机看答案
知识点讲解
经过分析，习题“（2014秋o鲤城区校级期中）阅读材料：设一元二次方程ax2”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元二次方程的解
1.一元二次方程的解(根)的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。 ax1?+bx1+c=0(a≠0)，ax2?+bx2+c=0(a≠0)3.对一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)来说当判别式△=b?-4ac>0时方程有两个解△=b?-4ac=0时方程有一个解△=b?-4ac<0时方程无解
知识点试题推荐
1&&&&2&&&&3&&&&4&&&&5&&&&6&&&&7&&&&8&&&&9&&&&10&&&&11&&&&12&&&&13&&&&14&&&&15&&&&
作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)当前位置：
＞＞＞若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..
若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的最小值是______．
题型：解答题难度：中档来源：不详
依方程有两个实根得到△=4a2-4（a+6）≥0，即a2-a-6≥0，∴a≤-2或a≥3，（3分）由根与系数的关系得到m+n=2a，mn=a+6，y=（m-1）2+（n-1）2=m2+n2-2（m+n）+2=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2=4a2-6a-10，=4（a-34）2-494，∴根据二次函数的性质知a=3时，y的最小值为8．（12分）故答案为：8
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，一元一次方程及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用一元一次方程及其应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。一元一次方程的定义：
在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。一元一次方程的分类：
1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.
（1）方程为整式方程。（2）方程有且只含有一个未知数。（3）方程中未知数的最高次数是1。
一元一次方程判断方法:
通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件：
⑴它是等式；⑵分母中不含有未知数；⑶未知数最高次项为1；⑷含未知数的项的系数不为0。
发现相似题
与“若m，n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）2+（n-1）2的..”考查相似的试题有：
486680248903278254248364430416441603当前位置： >>
高中数学复习资料大全
高中数学第一章-集合榆林教学资源网
考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： 榆林教学资源网
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用
它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条 、 、 件、必要条件及充要条件的意义．§ 集合与简易逻辑 知识要点 01.一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简） 简易逻辑三部分： 、二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 A ? A ； ②空集是任何集合的子集，记为 ? ? A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 A ? B ，同时 B ? A ，那么 A = B. 如果 A ? B，B ? C，那么A ? C . [注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （?） ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（?） （例：S=N； A= N ? ， 则 CsA= {0}） ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B，则 CBA= ? ，CAB = ? CS（CAB） D = 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R （注： AB = ? ） C .? 二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x ? y ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是 ? . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ） 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n －1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n－2 个. 5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例：①若 a ? b ? 5，则a ? 2或b ? 3 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② x ? 1且y ? 2， 解：逆否：x + y =3? x ? 1且y ? 2x ? y ? 3.x = 1 或 y = 2.x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且y ? 2 的既不是充分，又不是必要条件.?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 x ? 5， x ? 5或x ? 2 . ? 4. 集合运算：交、并、补.交：A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并：A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 补：C U A ? {x ? U , 且x ? A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.（2） 等价关系： A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U （3） 集合的运算律： 交换律： A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) 0-1 律： ? ? A ? ?, ? ? A ? A,U ? A ? A,U ? A ? U 等幂律： A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ =U 反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式：(1)card ( A ? B ) ? card ( A) ? card ( B ) ? card ( A ? B ) (2)card ( A ? B ? C ) ? card ( A) ? card ( B ) ? card (C ) ? card ( A ? B ) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C )(3) card(?UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)&0(&0)形式， 并将各因式 x 的系数化 “+” (为 ； 了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？） ； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“&0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等 式是“&0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.x1x2x3x m-3-x m-2 x m-1+-xm+x（自右向左正负相间） 则不等式 a0 x ? a1 xn n ?1? a 2 x n?2 ? ? ? a n ? 0(? 0)( a0 ? 0) 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式 ax&b 解的讨论； 2 ②一元二次不等式 ax +box&0(a&0)解的讨论.??0二次函数??0??0y ? ax2 ? bx ? c（ a ? 0 ）的图象 一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax ? bx ? c ? 02?a ? 0?的根ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集x1 , x2 ( x1 ? x2 )x1 ? x2 ? ?b 2a无实根?x x ? x 或x ? x ?1 2? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?Rax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集?x x1? x ?x2???2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) &0(或 &0)； ≥0(或 ≤0)的形式， g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)（2） 转化为整式不等式 （组） 3.含绝对值不等式的解法f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)（1）公式法： ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布” ：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布” ：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 、 、 由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。 、 、 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记 作“┑q” ) 。 3、 “或” “且” “非”的真值判断 、 、 互 逆 原命题 逆命题 （1） “非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相 若 p则 q 若 q则 p 互 否 反； 为 逆 互 互 （2） 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为 “p 否 否 逆 为 真，其他情况时为假； 否 互 逆否命题 （3） 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为 否 命 题 “p 若 ┐q则 ┐p 若 ┐p则 ┐q 逆 互 假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p ? q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p?q.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设） ，引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从 而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章-函数考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4） 理解分数指数幂的概念， 掌握有理指数幂的运算性质， 掌握指数函数的概念、 图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§ 函数 知识要点 02.一、本章知识网络结构：定义 F:A?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 为这二者确定后， 值域也就相应得到确定， 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数y ? f ( x)( x ? A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= ? (y)，x 在 A 中都有唯一 的值和它对应， 那么， ? (y)就表示 y 是自变量， 是自变量 y 的函数， x= x 这样的函数 x= ? (y) (y ? C)叫 做 函数y ? f ( x)( x ? A) 的 反 函 数， 记 作 x ? f ?1 ( y ) , 习 惯 上 改 写成y ? f ?1 ( x)（二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ?若当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题： （1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 f (x) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件； （2） f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反. 4． 如果 f (x) 是偶函数， f ( x) ? f (| x |) ， 则 反之亦成立。 x ? 0 时有意义，则 f (0) ? 0 。 若奇函数在7. 奇函数，偶函数： ?偶函数： f (? x) ? f ( x) 设（ a, b ）为偶函数上一点，则（ ?a, b ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称，例如： y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ，或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，若 f ( x) ? 0 时， ?奇函数： f (? x) ? ? f ( x) 设（ a, b ）为奇函数上一点，则（ ?a,?b ）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如： y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ，或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，若 f ( x) ? 0 时，y轴对称 ? 8. 对称变换：①y = f（x） ??? ? y ? f（ ? x）f ( x) ? 1. f (?x)f ( x) ? ?1 . f (?x)x轴对称 ? ②y =f（x） ??? ? y ? ? f（x）??? ③y =f（x） ?原点对称 ? y ? ? f（ ? x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： （x1 ? x 2）x1 ? x 2 ) ( 2 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1 2 2 2 x x ? b ? x1 ? b 2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（x）= 1+B?A 集合 B 之间的关系是 . 解：f (x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B ，f (x) 的值域 ? R ， B? R ， A ? ?x | x ? 1? ， B ? A . 故 而 故x 的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则集合 A 与 1? x11. 常用变换： ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ?f ( x) . f ( y) 证： f ( x ? y) ?x yf ( y) ? f ( x) ? f [(x ? y) ? y] ? f ( x ? y) f ( y) f ( x)② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证： f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y) 12. ?熟悉常用函数图象： 例： y ? 2 → | x | 关于 y 轴对称.| x|▲▲x yx y?1? y?? ? ? 2?y| x ? 2|?1? ?1? → y ?? ? →y?? ? 2? ? ? 2?▲| x|| x ? 2|yy(0,1)x(-2,1)xx▲y ?| 2 x 2 ? 2 x ? 1 | → | y | 关于 x 轴对称.yx?熟悉分式图象： 例： y ?2x ? 1 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} ， ? 2? x ?3 x ?3▲值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数y2 x 3指数函数y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质0&a&14.54.5 4a&1 图 象43.53.5332.52.5221.51.51y=11 0.5y=10.5-4-3-2-11234-4-0.5-3-2-11234-0.5-1-1(1)定义域：R 性 质 （2）值域： （0，+∞） （3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 (4)x&0 时，y&1;x&0 时，0&y&1 （5）在 R 上是增函数 (4)x&0 时，0&y&1;x&0 时，y&1. （5）在 R 上是减函数 a&1 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算：0&a&1loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb aloga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log aN?N换底公式： a N ? log推论： a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an（以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a? 1, b ? 0, b ? 1,c ? 0, c ? 1, a1, a 2 ...an ? 0且 ? 1 ） yy=logaxa&1图 象Oxx=1a&1（1）定义域： （0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0） ，即当 x=1 时，y=0 性 质 （4）x ? (0,1) 时 y ? 0x ? (0,1) 时 y ? 0x ? (1,??) 时 y&0（5）在（0，+∞）上是增函数x ? (1,??) 时 y ? 0在（0，+∞）上是减函数注?：当 a, b ? 0 时， log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?：当 M ? 0 时，取“+” ，当 n 是偶数时且 M ? 0 时， M n ? 0 ，而 M ? 0 ，故取“―”.2 例如： loga x ? 2 loga x ? (2 loga x 中 x＞0 而 loga x 2 中 x∈R）.? y ? a x （ a ? 0, a ? 1 ）与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时， y ? loga x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 ? a ? 1 时，则相反.（四）方法总结 ?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算： loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb aloga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log aN?N换底公式： a N ? log推论： a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an（以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a 2 ...an ? 0且 ? 1 ）注?：当 a, b ? 0 时， log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?：当 M ? 0 时，取“+” ，当 n 是偶数时且 M ? 0 时， M n ? 0 ，而 M ? 0 ，故取“―”. 例如： loga x 2 ? 2 loga x ? (2 loga x 中 x＞0 而 loga x 2 中 x∈R）. ? y ? a x （ a ? 0, a ? 1 ）与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时， y ? loga x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 ? a ? 1 时，则相反. ?.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法. ?.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法： 布列使函数有意义的自变量的不等关系式， 求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0； ②偶次根式中被开方数不小于 0； ③对数的真数 大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义 等. ?.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法” ；③反函数法；④换元法； ⑤不等式法；⑥函数的单调性法. ?.单调性的判定法： ①设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量， x 1 ＜x 2 ； 且 ②判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 )的大小；③作差比较或作商比较. ?.奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称， 再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数. ?.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学 第三章 数列考试内容： 数列． 等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式． 考试要求： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实 际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实 际问题． §03. 数 列 知识要点数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系项 项数 通项数列等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和等差数列等差数列 定义 递推公 式a n?1 ? a n ? d a n ? a n?1 ? d ； a n ? a m?n ? md等比数列a n ?1 ? q(q ? 0) ana n ? a n?1q ； a n ? a m q n ? m 通项公 式 中项a n ? a1 ? (n ? 1)da n ? a1 q n?1 （ a1 , q ? 0 ）G ? ? a n ? k a n ? k (a n ? k a n ? k ? 0)A?a n?k ? a n? k 2（ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） 前 n 项 和Sn ? n (a1 ? a n ) 2（ n, k ? N * , n ? k ? 0 ）?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? qn(n ? 1) S n ? na1 ? d 2??重要性 质am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)1. ?等差、等比数列： 等差数列 定义 等比数列{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数）{a n }为G ? P ?a n ?1 an? q(常数）通项公 式 求和公 式a n = a1 + n-1） a k + n-k） dn + a1 -d （ d= （ d=a n ? a1 q n ?1 ? a k q n ? kn(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?A=(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?中项公 式a?b 2推广： a n = a n ? m ? a n ? m 2G 2 ? ab 。推广： a n ? a n ? m ? a n ? m2性 质1 2若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 {k n } 成 A.P （其中 k n ? N ） {a k n } 则 也为 A.P。若 m+n=p+q，则 a m a n ? a p a q 。 若 {k n } 成等比数列 （其中 k n ? N ） ， 则 {a k n } 成等比数列。3 4． s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等比数列。d?a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?nq n ?1 ?an a1，q n?m ?an am( m ? n)5 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ， a n a n?1a n?1 ? 0 )①注①：i. b ? ac ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即 b ? ac ii. b ? ac （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.a、b、c 等比数列.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }（ x ? 1 ）成等比数列. ?数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系： a n ? ??s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)[注]： ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?（ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数 列也是等差数列）→若 d 不为 0，则是等差数列充分条件）. d? d ?d ? ? ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n → 可以为零也可不为零→为等差 2? 2? 2 ? ? 的充要条件→若 d 为零， 则是等差数列的充分条件； d 不为零， 若 则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．． 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 ， 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ； ②若等差数列的项数为 2 n n ?N??? ，则 S 偶?S 奇 ? nd，?S奇 S偶?an a n ?1；? n n ?1③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ，则 S 2n?1? ?2n ? 1?a n ，且 S 奇 ?S 偶?a n ， S 奇? 代入n到2n ? 1得到所求项数.?S偶3. 常用公式：①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?3 2 ? ?n 2 ?n?n ? 1? 2n?n ? 1??2n ? 1? 6 ③ 13 ?2 3 ?3 3 ?n 3 ? ?? n?n ? 1? ? ? ? 2 ?2[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… ? a n ? 10n ? 1 ； 5，55，555，… ? a n ?5 n 10 ? 1 . 9??4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题： ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a ，年增长率为 r ，则每年的产 量成等比数列，公比为 1? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n ?1 ，且过 n 年后总产量为：a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a 元，利息为 r ，每月利息按 复利计算，则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r 为年利率.a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m?1 ? x?1 ? r ?m ? 2 ? ......x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 15. 数列常见的几种形式： ? a n? 2 ? pa n?1 ?qa n （p、q 为二阶常数） ? 用特证根方法求解. 具体步骤： ①写出特征方程 x 2 ? Px ? q x 2 对应 a n ? 2 ， 对应 a n?1 ） 并设二根 x1 , x 2 ②若 x1 ? x 2 （ x ， 可设 a n. ?c 1 x n ?c 2 x n ，若 x1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ；③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2 ? a n ? Pa n?1 ?r （P、r 为常数） ? 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为 a n?2 ? Pa n?1 ?qan 的形式，再用特征根方法求 a n ；④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 （公式法） c 1 ,c 2 ， 由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差，等比： a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pa n ? Px ? x ? x ? ②选代法： a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?? P n ?1a1 ? P n ?2 ?r ? ? ? Pr? r .r . P ?1r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1③用特征方程求解：a n ?1 ? Pa n ? r ? ? （ ） ?相减， a n?1 ?a n ? Pa n ?Pa n?1 ?a n?1 ? P ? 1 a n ?Pa n?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?④由选代法推导结果： c1 ?r r r r . ，c 2 ?a1 ? ，a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? （ ）P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P6. 几种常见的数列的思想方法： ?等差数列的前 n 项和为 S n ，在 d ? 0 时，有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值，有 两种方法： 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ， 成立的 n 值； 二是由 S n ?d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 2 2的值. ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积， 求此数列前 n 项和可依 照等比数列前 n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： 1? ,3 ,...(2n ? 1)1 2 1 4 1 2n ,...?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列， 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项，公差是两个数列公差 d1，d 2 的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 a n ?12 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 (a n ?1 ? a n a n ? 2 )n ? N 都成立。3. 在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：(1)当 a1 &0,d&0 时，满足 ??a m ? 0 的项数 m ?a m ?1 ? 0使得 s m 取最大值. (2)当 a1 &0,d&0 时，满足 ??a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝 ?a m ?1 ? 0对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三） 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ??c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部 ? a n a n ?1 ?分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?a n bn ? 其中{ a n }是等差数列， ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n =n(n ? 1) 222） 1+3+5+...+(2n-1) = n3 3 3?1 ? 3） 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?4） 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?2 2 2 221 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 5）1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 11 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 26）1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制． 任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数 y=Asin(ω x+φ )的图像．正切函数的图 像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图，理解 A.ω 、φ 的物理意义． （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8） “同角三角函数基本关系式：sin2α +cos2α =1，sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1” ．§ 三角函数 知识要点 04.1. ① 与 ? （ 0°≤ ? ＜ 360°） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ） ：?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ??▲y2 sinx 1 cosx cosx 4②终边在 x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180 , k ? Z??? ? ?3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2③终边在 y 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合： ? | ? ? k ? 90? , k ? Z?x?sinx 3SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z?? ?⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合： ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z?⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直，则角 ? 与角 ? 的关系： ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系：360° ? 180° ? 1°=0..30°=57°18′ =2 = 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式： 1rad＝ 180 °≈57.30°=57°18@．?1°＝ ? ≈0.01745 （rad）1803、弧长公式： l?| ? | ?r .扇形面积公式： s扇形 ?4、三角函数：设 ? 是一个任意角，在 ? 的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则cos? ? x； r1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2y a的 终边P（x,y) ry sin ? ? ； rtan? ?y； xcot? ?x； ysec? ?r r ；. csc? ? . x yox5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）y y+ + o x - 正弦、余割- + o - + x余弦、正割yy P T- + o x + 正切、余切OMAx6、三角函数线 正弦线：MP; AT. 余弦线：OM; 正切线：16. 几个重要结论 : (1)y(2)y|sinx|&|cosx| sinx&cosxO x |cosx|&|sinx| O |cosx|&|sinx| x7. 三角函数的定义域：cosx&sinx |sinx|&|cosx| ? (3) 若 o&x& ,则sinx&x&tanx 2三角函数 f (x) ? sinxf (x) ? cosx?x | x ? R? ?x | x ? R?定义域 f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?cos?co? s ? c o? t s in ?8、同角三角函数的基本关系式： sin ? ? tan ?tan? ? cot? ? 1 csc? ? sin ? ? 12 22 2s e c ?c o s ?1 ? ?sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc2 ? ? cot2 ? ? 19、诱导公式：把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数，概括为： 2“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式： （一）基本关系公式组一 sinx?cscx=1 cosx?secx=1 tanx?cotx=1 tanx= x=sin x cos x cos x sin xsin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 s i n (? x ) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o s ? x t a n (? x) ? ? t a n ? x c o ? (? x) ? ? c o x t t公式组三 s i n?(x) ? ? s i n x c o s (x) ? c o s ? x t a n () ? ?t a n ?x x c o t () ? ?c o x ?x t公式组四 sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?公式组五 s i n2? ? x) ? ? s i n ( x c o s ? ? x) ? c o s 2( x t a n ? ? x) ? ? t a n 2( x c o t ? ? x) ? ? c o x 2( t（二）角与角之间的互换公式组一 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?公式组二 s i n? ? 2s i n c o ? 2 ? s2 2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? s s st a n? ? 22t a ? n 1? t a 2 ? n1? c o ? s 2 1 ? cos? 2sin ?? 2 cos?tan( ? ? ) ? ??2??tan( ? ? ) ? ?tan?2??1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?公式组三sin ? cos ? ?1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2公式组四公式组五 sin ? ?2 tan 1 ? tan?22?2? ?? cos 2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin ? 2 2 2 tan ??? ? ?? 2 cos? ? cos ? ? 2 cos cos tan ? ? 2 2 2 ? 1 ? tan ??? ? ?? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 6 ? 2 , tan15 ? ? cot 75 ? ? 2 ? 3 , tan 75 ? ? cot15 ? ? 2 ? 3 . 6? 2, ? ? ? ? sin 75 ? cos15 ? sin15 ? cos 75 ?1 ? tan2 2cos? ?1 ? tan2? ?2sin ? ? sin ? ? 2 sin???1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 24410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y ? sin xy ? cos xy ? tan x1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?y ? cot xy ? A sin ??x ? ? ?（A、 ? ＞0） R定义域 值域 周期性 奇偶性R[?1,?1]R[?1,?1]?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?R?R??? A, A?2?2?2?奇函数?2偶函数[?2k ? 1?? , 2k? ]奇函数? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?奇函数? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??[?? 2k? ,； ???k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数（ k ? Z ）??2? 2k? ]上为增函 数 ； 单调性[上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 （ k ?Z ）上 为 增 函 数 （ k ?Z ）?2 3? ? 2 k? ] 2? 2 k? ,上为增函数； ? ? ? 2k? ? ? ?2上为减函 数 k ?Z ） （? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?上 为 减 函 数 （ k ?Z ） 注意：① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反； y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增（减） ，则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减（增）.▲yx O ② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . ③ y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) （ ? ? 0 ）的周期 T ?y ? tan2??.x 的周期为 2 ? （ ? T? ? T ? 2? ，如图，翻折无效）. 2 ?④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ??2（k ?Z ） ，对称中心（ k? ,0 ） y ? (s ； o c?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k?（ k ? Z ） 对称中心 k? ? 1 ? ,0 ） y ? a ， （ ； n t (2（ ?x ? ? ) 的对称中心k? . ,0 ） 2y ? cos 2 x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2 x) ? ? cos 2 x ?? ?⑤当 tan? ? ? ? 1, ? ? ? ? k? ? tan?2tan (k ? Z ) ； tan? ? ? ? ?1, ? ? ? ? k? ??2(k ? Z ) .⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数，则 ? ? 2 ? ?1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( x) . ? 2⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.（× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， ）y ? tan x 为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定 义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f (? x) ? f ( x) ，奇函数： f ( ? x) ? ? f ( x) ）1 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y ? tan x 是奇函数， y ? tan(x ? ? ) 是非奇非偶.（定 3 义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 0 ? x 的定义域，则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .（ 0 ? x 的定义域，则无此性 质）▲⑨ y ? sin x 不是周期函数； y ? sin x 为周期函数（ T ? ? ） ； ； ； y ? cos x 是周期函数（如图） y ? cos x 为周期函数（ T ? ? ）y▲yx1/2 xy=cos|x|图象1 ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y ? cos 2 x ? 的周期为 ? （如图） 2y=|cos2x+1/2|图象y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin(? ? ? ) ? cos? ?b 有 a 2 ?b 2 ? y . a11、三角函数图象的作法：１） 、几何法： ２） 、描点法及其特例――五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲 线）. ３） 、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数 y＝Asin（ω x＋φ）的振幅|A|，周期 T ? 2? ，频率 f ? 1 ? | ? | ，相位 ? x ? ? ; 初相 ?|? |T2?（即当 x＝0 时的相位）（当 A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号） ． ， 由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A| ＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换． （用 y/A 替换 y） 由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长 （0＜|ω |＜1） 或缩短 （|ω |＞1） 到原来的 | 1 | 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用ω x?替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向左 （当 φ＞0） 或向右 （当 φ＜0） 平行移动｜φ｜个单位， 得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x＋φ 替换 x) 由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜b｜个单位， 得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移． （用 y+(-b)替换 y） 由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ω x＋φ） （A＞0，ω ＞0） （x∈R）的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 4、反三角函数： 函数 y＝sinx， ? x ? ?? ? ， ? ? 的反函数叫做反正弦函数，记作 y＝arcsinx，它的定义域是［－1， ? ? ?? ? ? 2 2 ?? ? ??1］ ，值域是 ?－? ， ? ． ?? ? 2 2? ?函数 y＝cosx， （x∈［0，π ］ ）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，它的定 义域是［－1，1］ ，值域是［0，π ］ ． 函数 y＝tanx， x ? ? ? ? ， ? ? 的反函数叫做反正切函数， 记作 y＝arctanx， 它的定义域是 （－ ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ?? ?∞，＋∞） ，值域是 ? ? ? ， ? ． ?? ? ? 2 2?函数 y＝ctgx， ［x∈（0，π ） ］的反函数叫做反余切函数，记作 y＝arcctgx，它的定义域 是（－∞，＋∞） ，值域是（0，π ） ． II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数： ?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数， arcsin(? x) ? ? arcsin x ， ? ?? 1,1（一 故 ? x 定要注明定义域，若 x ? ?? ?,??? ，没有 x 与 y 一一对应，故 y ? sin x 无反函数） 注： sin(arcsin x) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶，但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? ， x ? ?? 1,1? . 注：① cos(arccosx) ? x ， x ? ?? 1,1? ， arccos x ? ?0, ? ? . ② y ? cos x 是偶函数， y ? arccosx 非奇非偶，而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ?反正切函数： y ? arctan x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?arctan(? x) ? ? arctan x ， x ? (??,??) .? ?， n c t a r , ） y ?a 2 2x 是奇函数，注： tan(arctanx) ? x ， x ? (??,??) . ?反余切函数： y ? arc cot x ，定义域 (??,??) ，值域（ ?? ?arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? ， x ? (??,??) . 注：① cot(arc cot x) ? x ， x ? (??,??) . ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数，y ? arctanx 同理为奇而 y ? arccosx 与 y ? arc cot x 1 非奇非偶但满足 arccos(? x) ? arccosx ? ? ? 2k? , x ?[?1,1]arc cot x ? arc cot(? x) ? ? ? 2k? , x ?[?1,1] .， c o r t , ） y ? a c x 是非奇非偶. 2 2? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： 解集 a 的取值范围 ① sin x ? a 的解集a 的取值范围解集② cos x ? a 的解集?a ＞1a ＞1?a =1a ＜1?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?a =1?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ??x | x ? k? ? ??1?karcsin a, k ? Z?a＜1?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?③ tan x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arctana, k ? Z ? ③ cot x ? a 的解集： ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z ?二、三角恒等式. sin 2 n?1? 组一 cos? cos 2? cos 4? ...cos 2 n ? ? n ?1 2 sin ? 组二sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?? cos 2k ?1n?k? cos?2cos?4cos?8? cos?2n?sin ? 2 sinn?2n? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?k ?0nsin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d tan( ? ? ? ? ) ? ?tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan? ? tan? tan?组三 三角函数不等式sin x ＜ x ＜ tan x, x ? (0, ) 2?f ( x) ?sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x若 A ? B ? C ? ? ，则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C高中数学第五章-平面向量考试内容： 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面 向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用 掌握平移公式．§ 平面向量 知识要点 05.1.本章知识网络结构?2.向量的概念? (1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.? (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.? (4)特殊的向量：零向量 a＝O ? ｜a｜＝O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? ｜aO｜＝1.? (5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） ? ?? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2(6) 相反向量：a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质? ? ? ? a?b ? b?a向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)AB ? BC ? AC向量的 减法三角形法则? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB? ?1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? &0 时, ? a与a 同向;???? ( ? a) ? (?? )a? ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a? ? ? ?? a ? (? x, ? y )? ( a ? b) ? ? a ? ? b? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? a ?b ? b? a? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b)? ???? &0 时, ? a与a 异向;? =0 时, ? a ? 0 .? ? a ? b 是一个数??向 量 的 数 量 积? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时，? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时， 2. ? ? ? ? a ? ?| a || b | cos( a, b) b? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2? ? ? ? | a ? b |?| a || b |4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一 对实数λ 1， λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a＝λ b(b≠0) ? x1y2－x2y1＝O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a?b＝O ? x1x2＋y1y2＝O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ，即 P P ＝λ PP2 ，则? 1 OP ＝1 1 OP1 ＋ OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1? ? 1? ?? ?x ? ? ? ?y ? ? ?x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? y1 ? ?y 2 . 1? ?当λ ＝1 时，得中点公式：?x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP ＝ （ OP1 ＋ OP2 ）或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?(5)平移公式 设点 P(x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′） ， 则 O P ? ＝ OP +a 或 ?? x ? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.曲线 y＝f（x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理? 正弦定理：a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C2 2 2余弦定理：a ＝b ＋c －2bccosA，? 2 2 2 b ＝c ＋a －2cacosB，? 2 2 2 c ＝a ＋b －2abcosC.? （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内切圆的半径 为 R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA ⑤S△= P?P ? a ??P ? b ??P ? c ? [海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb [注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心.A 如图： AAEbFA cD I B aE Crac a E D ra ra Ic b OBFC NF bBCCaB1图图2图3图4图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心， S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五个“心” ； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ?已知⊙O 是△ABC 的内切圆， BC=a， 若 AC=b， AB=c [注： 为△ABC 的半周长,即 s 则：①AE= s ? a =1/2（b+c-a） ②BN= s ? b =1/2（a+c-b） ③FC= s ? c =1/2（a+b-c） 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）. 特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=a?b?c ab （如图 3）. ? 2 a?b?c tan A ? tan B ? ? tan C ，? 结论！ 1 ? tan A tan Ba?b?c ] 2?在△ABC 中，有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明：因为 A ? B ? ? ? C, 所以 tan? A ? B? ? tan?? ? C ? ，所以 ?在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 AD 2 ?AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ?2 ? AB ? BD cos B ? ① 在△ABC 中，由余弦定理有 cos B ? 可得， AD 2 ?AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②，②代入①，化简 2 AB ? BCAAC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC （斯德瓦定理） BC图5①若 AD 是 BC 上的中线， ma ? ②若 AD 是∠A 的平分线， t a ? ③若 AD 是 BC 上的高， ha ? ?△ABC 的判定：2 a1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ； 2D C2 B bc ? p? p ? a ? ，其中 p 为半周长； b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ，其中 p 为半周长.c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?2c 2 ＜ a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B＜ c 2 ＞ a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B＞? 2 ? 22 2 2 附：证明： cosC ? a ?b ?c ，得在钝角△ABC 中， cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 22ab?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 ) 空间向量 1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b? OP ? ?a (? ? R)运算律：?加法交换律： a ? b ? b ? a??????加法结合律： (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?数乘分配律： ? (a ? b ) ? ?a ? ?b王新敞奎屯 新疆?????????3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b 的充要条件是存在实数 λ， ， 使 a ＝λ b . 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式???????????????????? OP ? OA ? t a ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5．向量与平面平行：?已知平面 ? 和向量 a ，作 OA ? a ，如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内，那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ，记作： a // ? ． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：王新敞奎屯 新疆???? ??王新敞奎屯新疆如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 ， p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使? ??? ? ? ? ? p ? xa ? yb王新敞奎屯新疆推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ，使 ???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ，有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① ①式叫做平面 MAB 的向量表达式王新敞奎屯 新疆7 空间向量基本定理：王新敞奎屯 新疆如果三个向量 a , b , c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组? ? ??? ? ? ? x, y, z ，使 p ? xa ? yb ? zc王新敞奎屯新疆推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个 有序实数 x, y, z ，使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 8 空间向量的夹角及其表示：王新敞奎屯 新疆??? ???? ???? ?????王新敞奎屯 新疆已知两非零向量 a , b ， 在空间任取一点 O ， OA ? a , OB ? b ， ?AOB 叫做向量 a 与 作 则? ???? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 ， 记 作 ? a , b ? ； 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? ， 显 然 有 ? a , b ??? b , a ? ； 若? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ，则称 a 与 b 互相垂直，记作： a ? b . 29．向量的模： 设 OA ? a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： | a | . 10．向量的数量积： a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? ． 已知向量 AB ? a 和轴 l ， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 A 在 l 上的射影 A? ， 作点 B 在 l 上的射影 B? ，则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | ． 11．空间向量数量积的性质： （1） a ? e ?| a | cos ? a, e ? ． （2） a ? b ? a ? b ? 0 ． （3） | a | ? a ? a ．2??? ????? ????? ??? ???? ??????? ???? ?????? ????? ???? ?? ?? ?? ??? ???? ??? ?12．空间向量数量积运算律： （1）(? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ． （2）a ? b ? b ? a（交换律） （3）a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c （分配律） ． 空间向量的坐标运算 一．知识回顾： （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标） 轴是纵轴（对应 ，y 为纵轴） 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ，z? ?? ???? ?? ?? ??? ?? ? ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ，则a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |2(用到常用的向量模与向量之间的转化： a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b32 a12 2 2 2 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3②空间两点的距离公式： d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . （2）法向量：若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ，则称这个向量垂直于平面 ? ，记作 a ? ? ， 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. （3）用向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 ? 的法向量，AB 是平面 ? 的一条射 线，其中 A ?? ，则点 B 到平面 ? 的距离为| AB? n | |n|.②利用法向量求二面角的平面角定理： n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量， 设n 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同， （ 则为补角， 1 , n 2反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线 a ?? 平面 ? ， A ? B ? a, C ? D ?? ，且 CDE 三点不共线， 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE . 常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解 （?, ? 若 ?, ? 存在即证毕，若 ?, ? 不存在，则直线 AB 与平面相交）.A n▲BB??C A▲n1CD En2?? 高中数学第六章-不等式考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义： a ? b ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1） a ? b ? b ? a （对称性） （2） a ? b, b ? c ? a ? c （传递性） （3） a ? b ? a ? c ? b ? c （加法单调性） （4） a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d （同向不等式相加） （5） a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d （异向不等式相减） （6） a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc （7） a ? b, c ? 0 ? ac ? bc （乘法单调性） （8） a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd （同向不等式相乘）(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b （异向不等式相除） ? c d(10) a ? b, ab ? 0 ?1 1 （倒数关系） ? a b（11） a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) （平方法则） （12） a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) （开方法则） 3.几个重要不等式 （1） 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 （2） 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) （当仅当 a=b 时取等号） （3）如果 a,b 都是正数，那么ab ? a ? b （当仅当 a=b 时取等号） . 2极值定理：若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P, 则： 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc （当仅当 a=b=c 时取等号） 3 b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 （当仅当 a=b 时取等号） a b(6)a ? 0时，x |? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? || x |? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a（7） 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么2 1 1 ? a b ? ab ? a?b ? 2 a 2 ? b 2 （当仅当 . 2a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数） ：2 2 2 2 特别地， ab ? ( a ? b ) 2 ? a ?b （当 a = b 时， ( a ? b ) 2 ? a ?b ? ab ） 2 2 2 2a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?2 2 ? 幂平均不等式： a12 ? a 2 ? ... ? a n ?2 2 2 221 (a1 ? a 2 ? ... ? an ) 2 n2注：例如： (ac ? bd ) ? (a ?b )(c ? d ) .1 1 1 1 1 1 1 常用不等式的放缩法：① ? ? ? ? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n 2 n(n ? 1) n ? 1 n② n ?1 ? n ?1 n ? n ?1?1 2 n?1 n ? n ?1? n ? n ? 1(n ? 1)（2）柯西不等式： 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则2 2 2 2 2 2 2 （a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? ? a n bn ) 2 ? (a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) a a a a 当且仅当 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 时取等号 b1 b2 b3 bn（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2则称 f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ，定解. 特例① 一元一次不等式 ax&b 解的讨论； 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c&0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ? 1 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? 定义域 ? ? f ( x) ? g ( x) ?? f ( x) ? 0 ?2 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)] ?或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 2 ?3 ○? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)] 2 ?（4）.指数不等式：转化为代数不等式a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b（5）对数不等式：转化为代数不等式? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(0 ? a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?（6）含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值； 3 ○应用化归思想等价转化2 ○应用数形思想；| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?| f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?注：常用不等式的解法举例（x 为正数） ： ① x(1 ? x) 2 ?1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 272 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 92② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?2类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ，③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号，故取等) ? 2x x x 高中数学第七章-直线和圆的方程考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．§ 直线和圆的方程 知识要点 07.一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角，其中直线与 x 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .注：①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x1 时，直线 l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都 有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地， 当直线经过两点 (a,0), (0, b) ， 即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a, b(a ? 0, b ? 0) 时， 直线方程是： 注：若 y??y?? x y ? ? 1. a b 2 2 x?2 是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y ? ? x?2 ， 但 若 3 32 x ? 2( x ? 0) 则不是这条线. 3附：直线系：对于直线的斜截式方程 y ? kx ? b ，当 k, b 均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果 k, b 变化时，对应的直线也会变化.①当 b 为定植， k 变化时，它们表示过定点 （0， b ）的直线束.②当 k 为定值， b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行： l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是：① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个D前提‖都会导致结论的 错误. （一般的结论是：对于两条直线 l 1,l 2 ，它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 ， 且 b1 ?b 2 或 l 1,l 2 的斜率均不存在，即 A1 B 2 ? B1 A 2 是平行的必要不充分条件，且 C 1?C 2 ） 推论：如果两条直线 l 1,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ?两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ，则有 l 1?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1,l 2 的斜率都存在. ② l 1?l 2 ?k 1? 0 ，且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ，且 l 1 的斜率不 存在. （即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： ?直线 l 1 到 l 2 的角（方向角） ；直线 l 1 到 l 2 的角，是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转动的角 ? ，它的范围是 (0, ? ) ，当 ? ? 90? 时 tan? ?k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2?两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角：两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角，是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四? ?? 个角中最小的正角 ? ，又称为 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范围是 ? 0, ? ，当 ? ? 90? ，则有 ? 2 ? ? k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2 ?l 1 :A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的交点的直线系方程 A1 x ? B1 y ?C 1?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? ?l 2 :A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0tan? ?5. 过两直线 ?为参数， A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ?点到直线的距离公式：设点 P( x 0 , y 0 ) ，直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ，则有d? Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2.注： 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式： | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： | OP |? 2.x2 ? y 2??? ? ????定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 PP2所成的比为?即PP ? ? PP2 , 其 中 1 1 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ,y ? 1 1? ? 1? ? 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤ ? ＜180°） 、斜率: k ? tan? x?4. 过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式：k ?y 2 ? y1 . x 2 ? x1( x1 ? x2 )当 x1? x2 , y1 ? y 2 （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ? ＝ 90? ，没有斜率新疆 学案王新敞?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 l 1: Ax ? By ?C 1? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1?C 2 ) ， 它们之间的距离为 d ，则有 d ?C 1 ?C 2 A2 ?B 2.注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程： 1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） （A 直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： ?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行， 则对称直线必过两条直线的交点， 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①） ，过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 注：①曲线、直线关于一直线（ y ? ? x ? b ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=xC2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x C2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a C x, 2b C y)=0. 二、圆的方程. 1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数 建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 M ( x, y) 其坐标与方程 f ( x, y) ? 0 的一种关系， 曲线上任一点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y) ? 0 的解；反过来，满足方程 f ( x, y) ? 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点 C (a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： x 2 ? y 2 ?r 2 . 注：特殊圆的方程：①与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 3. 圆的一般方程： x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .? D E? ,? ? ，半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]注：该[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)][r ? a , 圆心(?a,?a)]当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程表示一个圆，其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程表示一个点 ? ?? D E? ,? ? . 2? ? 2当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时，方程无图形（称虚圆）. ? x ? a ? r cos? 注：①圆的参数方程： ? （ ? 为参数）. ? y ? b ? r sin ? ② 方 程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B ? 0 且 A ? C ? 0 且D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .③圆的直径或方程： 已知 A( x1 , y1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 （用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C}
我要回帖
更多关于 若mn是方程 的文章
更多推荐
- ·什么网站在哪里可以看最全的电影电影？
- ·惠州体育学校入学条件特长生可以参加博罗普通高中招生吗？
- ·广东舞蹈专业的大学有哪些生参加博罗普通高中招生有优势吗？
- ·舞蹈生推荐哪所惠州舞蹈学校市普通高中？
- ·想找一个动画，主角是一个主角是电视机头的动漫也有可能是老式电脑头和一个手提音响头也有可能是老式磁带录音机？
- ·我毎天坚持一小时游泳感觉有点累了，是不是体能上跟不上
- ·陈家坪凯建国际健身凯少汇有人喜欢健身凯少吗
- ·马塞洛铲梅西动图肘击梅西后，马塞洛铲梅西动图后悔吗
- ·有没有球迷啊，这种足球周果断搞一个群
- ·春装新款系带运动鞋个性跑步鞋子男士系带休闲鞋韩版休闲鞋板鞋仿什么鞋子？
- ·斯普里特双色球蓝球多少个号码队
- ·大腿肚子大腿肚和小腿肚疼是怎么回事子疼
- ·小学一年级和差怎么算的孩子体育运动能力差怎么办
- ·拉莫斯这货到底是前锋还是后卫
- ·麻将类手游主要英雄联盟玩家年龄集中在哪个年龄段
- ·当初为什么黑科比·布莱恩特断腿黑得那么欢
- ·新版聚力体育搜索在哪里
- ·求问topps欧冠问什么没有1617赛季欧冠决赛
- ·萌新来问下下列技能能提高友方速度速度是怎么计算的
- ·什么的大坑填词语
- ·若mn是若关于x的分式方程方程x2+px+8=0的两相异实根，则必有
- ·苏格拉底影响的哲学思想有什么影响，对我
- ·忧伤写景400字小学生作文描写人物篇贯穿全文
- ·如何用CMAP筛选小分子
- ·我向习爷爷说句心里话怎么写，知道的麻烦发过来
- ·一个seo黑帽怎么赚钱seo的收入大概有多少？
- ·集装箱式一体化6000kw大型发电机组组里面有没有配电柜
- ·刻苦学习的妹妹满分作文开头结尾摘抄4o字
- ·"谁说我不急，不知道怎么办才好形容发急我的时间多宝贵吗
- ·我认为高考语文古诗词方面有缺陷，高中狗都快背疯了。
- ·适合汕尾这边人外语学习的学校，能给我推荐个吗？
- ·字典的<blacklabel是什么牌子>中想放两列怎么办
- ·我们人类喝水变人鱼都存在！世界上还存在外星人、人鱼、野人、蜥蜴人、海底人和谜之怪兽吗？
- ·10岁小孩有时心跳很快是咋回事心跳是什么回事
