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齿轮变位系数计算公式
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喜欢该文的人也喜欢变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择 中煤北京煤机公司退休职工
周万峰 摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“k?z??2xctg??”和“公法线长度Wk(Wkn) 表”进行选择。其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。 关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。
目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： ??k?z?2x?0.5?ctg?
（1） 0?180z??n2xn?0.5?ctg?n （斜齿）
（1） 0?1800k?用查表法手册大都给出的是“m?mn?1
、???n?20的标准齿轮的公法线长度（见表1）。笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，表1也不是个Wk(Wk) 表”跨齿数合理的选择用表。下面进行分析和论证。
公法线长度Wk(Wkn)
m?mn?1 ，?????20 0??z(z?) 86 x(xn) ≤0.6 k 10 Wk(Wkn) 29.0 35.0 ??z(z?) 97 x(xn) ≤0.5 k 11 Wk(Wkn) 32.0 38.0 ?＜0.6～1.2 11 12 ＞1.2～2 13 ＞2～2.8 ＞0.5～1.1 12 ＞1.1～1.9 13 ＞1.9～2.5 14
注：本表选自1991年版由徐灏任主编的《机械设计手册》第三卷“表23?2――13”。该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。今天各家手册大都有这个表。
1、表1不是跨齿数合理的选择用表 今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度Wk(Wk) 表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表： ⑴ 该表是将“公法线长度”与“基圆弧长”混为一谈的。该表称“Wk(Wkn) 为 ????m?1（或mn?1)的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。对z=86这个齿轮而言，经验 1 证当k=10、k=11时，它们对应的Wk(Wkn)?29.2497和Wk(Wkn)?32.2020是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的????Wk(Wkn)?35.1540和Wk(Wkn)?38.1060就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它们不是公法线长度。下面对Wk?35.1540 (k?12 )这条所谓公法线长度的合理性进行验证如下： ① 计算Wk?35.1540的测量点所在圆直径dk ??????dk?Wk?db Wk?35.1540，db为基圆直径，?22db?dcos?，
d?mz?1?86?86 ，?db?86cos200?80.8136。 ?dk?35.62?88.1286。 ② 计算标准齿轮的齿顶圆直径da da?d?2ha ，ha为齿顶高，ha?m?1 ，?da?86?2?1?88。 ③ 计算公法线测量点至齿顶的距离sa sa?(da?dk)2
，?sa?(88?88..0643 。 公法线测量点至齿顶的距离为负值，这说明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，所以Wk?35.1540
(k?12 )这条线段不是公法线长度。K=12的这条都不是公法线长度，那k=13的这条就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；而教材、手册一概称它们都是公法线长度，显而易见这种说法是站不住脚的。那么k=12、k=13这两条线段是什么呢？它们是该齿轮含12个齿和13个齿的基圆弧长而不是公法线长度。然而把“基圆弧长”说成是“公法线长度”这显然是指鹿为马了。 那么在这种情况下（如表1中既有公法线长度，又有基圆弧长）怎么办呢？笔者认为在这种情况下应将它们一概称做“基圆弧长”是说得通的。因为凡是公法线长度必然是基圆弧长，而没有公法线长度功能的基圆弧长，它本身就是基圆弧长。因此在这种情况下一概称它们是“基圆弧长”是合理的，而一概称它们为“公法线长度”是不合理的。 ⑵ 表1给出的变位系数范围过大，因而有些跨齿数是不合理的 比如z=86这个齿轮当x>0.6~1.2时k=11，变位系数范围过大了，不合理。 x>0.26~0.903时k=11才是合理的；当x>0.903~1.2时就该按k=12计算了（见表2）。表1误差如此之大，怎能保证公法线长度的合理性及合理测量呢？须知：跨齿数多跨或少跨1齿有时会给公法线长度的测量造成“测量点在齿顶部或齿根部，使公法线长度测量不准或无法测量”，而且还会给斜齿轮造成不良的后果。详见拙作《从斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的验算结果，看跨齿数选择合理的重要性》一文。表1的问题是：跨齿数偏少，公法线测量点靠近齿根；公法线长度测量不准，影响齿厚精度。 ⑶ 表1只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。 表1中只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。谁能说只设计正变位齿轮而不设计负变位齿轮呢？当设计负变齿轮时设计者还需另找资料，这不是增加麻烦吗？鉴于表1种种不合理、不完整之情况，笔者不揣冒昧，将表1改造成表2的样子（见表2）。笔者认为：表2才是变位齿轮跨齿数选择和公法线长度计算的合理用表。 ?2、公式(1)并不是个情况良好的公式
2 公式（1）是今天众多手册如《机械设计手册》、《机修手册》等手册热选的公式，但它并不是个情况良好的公式。它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（见表3）。在众多跨齿数计算公式中下面的公式是情况良好的公式： k?zzcos?arccos?0.5
（2） 0z?2x180z?cos?nz?arccos?0.5
（2） z??2xn1800k?经验证，公式（2）确定的跨齿数一般都是合理的，公法线的测量点一般都在齿高的中点部位，情况良好（见表3）。
基 圆 弧 长 L? m?mn?1???n?200 齿数 z? 变位系数 x ＞1.235～1.602 ＞0.804～1.235 ＞0.306～0.804 ＜0.307～0.261 ＞0.261～0.903 ＞0.903～1.626 ＞1.626～2.434 ＞2.434～3.335 跨（含）齿数 k 7 8 9 10 11 12 13 14 基圆弧长 L? 20.5 26.7 32.0 38.3 86 注 ：① 表2是笔者根据表1改造的。② 绝对值符号内数字是负变位系数的据对值。负变位系数按绝对值的大小查取跨齿数是为了习惯上的方便。如x??0.95则取k?8；如x??1.25则取k?7。如此而已。③ 变位系数的范围是由本文公式（2）计算的。 表3
变位齿轮跨齿数选择方法优劣之比较
m?5mm ，??200 ，h?11.25mm 齿数 变位 系数 x 2.7 2.5 1.4 确定的跨齿数 k 表1
13 14 6 公式（1） 15 16 8 公式（2） 14 15 7 测量点至齿顶、齿根的距离（SaSf）
1 公式（1） 公式（2）
z 86 97 41 8.123.13 1..766.49 8.622.63 1.999.26 8.432.82 1.459.80 5.45.85 5.136.12
注：① 从本表明显看出，表1公法线的测量点靠近齿根，公式（1）的测量点靠近齿顶，情况均不良。而公式（2）和表2的测量点都在齿高的中点部位，情况甚好。② k?41 ，x?1.4的跨齿数k?6也是从“表23?2――13”选取的（见表1的“注”）。③ 本表的齿数和变位系数肯定不是用于高度变位、而是用于角度变位的。之所以取h?11.25mm（实际上h?11.25mm)是为了计算上的方便、省事（偷懒，因为角度变位齿轮的全齿高计算非常麻烦），其说明的道理是一样的。
3 3、表1、表2、公式（1）、公式（2）优劣之比较 下面用表3的数据分析几个齿数，看看表1、公式（1）以及公式（2）和表2是否如笔者所说的那样。例如当z=86、x=2.7时从表1知k=13，用公式（1）计算k=15 ；而用公式（2）计算或从表2查取都是k=14。当K=13、k=15、k=14时它们的公法线测量点至齿顶、齿根的距离分别、依次为8.123.13 ，
1.2010.05 ，
4.766.49 （见表3）。显然表1的跨齿数偏少（k=13），公法线的测量点靠近齿根（8.123.13)了；而公式（1）的跨齿数又偏多（k=15），公法线的测量点靠近齿顶（1.2010.05）了。只有公式（2）和表2确定的跨齿数k=14才是合理的，公法线的测量点正在齿高的中点部位（4.766.49），情况甚好。其他几个齿数亦是如此（见表3）。这就证明了“公法线长度Wk(Wkn)表”（即表1）和公式（1）确定的跨齿数在这几个算例中都是不合理的。而公式（2）和表2确定的跨齿数才是合理的。有鉴于此，笔者建议手册应该选公式（2）或其他情况良好的公式和表2作为变位齿轮跨齿数计算公式和公法线长度的选择用表。这样才能更好地保障公法线长度的合理性和合理测量，从而更好地保证齿厚精度。
注：该文写于2001年；同年10月投稿给《机械制造》杂志，未发表。 ??
作者赘言 齿轮的跨齿数不论用公式计算还是查图表，它们确定的跨齿数本来都应该是一样的。比如某个齿轮的跨齿数用公式计算是k=5，那么用查图表的方法也应是k=5才对。然而就在同一本教材或同一部手册上，用它们给出的公式和它们给出的图表查取，它们的结果有时并不一样：有的相差一齿，有的相差2齿，有的甚至相差还多。比如上世纪90年代以来由徐灏任主编的《机械设计手册》上就是这种情况。本文的公式（1）和表1就是从该手册上节录下来的。有的教材也是这样。让人不解的是各家手册也大都选这样的公式和图表。然而当有人对教材、手册上的说法、作法等提出异议时，有些学者、专家、权威、教授不是“闻过则喜”，看看人家的说法有无道理；而是“闻过则怒”“闻过则恼”。千方百计，想方设法否定人家的论点。实在无法否定时甚至用给作者出难题的办法应付，这就不是实事求是的治学态度和学术态度了。欲知详情，请看附在该文后面的“附录（9）”《何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？――就〈变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择〉一文作者对“审稿意见”的评述》一文。 读者肯定要问了：“本文既然将‘公法线长度表’（见表1）改称‘基圆弧长表’（见表2）了，那么公法线长度的计算还怎样表述呢？”笔者考虑到了，这是牵一发而动全身的问题，不能只改此，不改彼。欲知公法线长度计算如何表述等等问题，请看《变位齿轮公法线长度计算的研究与探索》和《谈谈对〈机械设计手册〉上“公法线长度表”的看法》两篇文章。
4 何必在毫无意义的问题上下大功夫呢? ――就《变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择》一文 作者对“审稿意见”的评述 周万峰 《变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择》这篇文章于上世纪90年代投给江南一家杂志。之所以写这篇文章是基于以下几个原因：①上世纪90年代以来出版的手册上大都选了k?z??2xctg??（直齿）和k?z???2xnctg?n?（斜齿）及“m?1(或mn?1)的公法线长度Wk(Wkn)表”作为变位齿轮的跨齿数计算公式和跨齿数的选择用表。然而这个公式并不是个情况良好的公式，“公法线长度Wk(Wkn)表”也不是个合理的选择用表。② 在同一本教材或同一部手册上，跨齿数不论用它们给出的公式计算还是查它们给出的图表，它们的跨齿数都应该是相同的。然而并不相同：有的相差1齿，有的相差2齿，有的甚至相差还多，这无论怎样辩解都是说不过去的。然而这种情况在手册上的存在已有多年的历史了。③ 机修手册》和上世纪90年代以来由徐灏任主编的《机械设计手册》上选择了上述公式后，各家手册大都不约而同的选择了它。其实变位齿轮的跨齿数计算公式多得很，为何偏偏选择了一个情况不良的公式呢？为何那么多后来的手册编写者不自己选个公式而步他人之后尘呢？有鉴于此，笔者写了上述的那篇文章。 然而审稿人却认为：文章中的公式（1）虽然有时情况不良，但在很多情况下还是可以用的。它的缺点是“手册上没有给出公式的适用范围，这是它的不足之处”。建议作者下功夫找出它的适用范围。称这样才是“推陈出新”，称这样才是“在原有的基础上再提高一步”云云。笔者对审稿人的这种说法很不理解，很不以为然：找出公式的适用范围谈何容易（但是下番功夫也有可能做到，问题是有无必要）！有现成的，能适用于一切情况的，而且也不复杂的公式放在那里不推荐使用，反而推荐了一个情况不良的公式；当有人指出公式情况不良时，审稿人又要作者下大力量给情况不良的公式找“适用范围”，有这个必要吗？即便找出适用范围，它不是还有适用范围吗？哪如没有适用范围的公式好呢？假设有人找出当x?0.8时公式就不适用了，现在有个x?0.95的齿轮，这时怎么办呢？难道再用别的公式计算？别的公式有无“适用范围”以及“适用范围的大小”你清楚吗？ 在上世纪五六十年代，不论教材、手册还是科技书上，变位齿轮的跨齿数都是用下面的公式计算的： ????k?z?2x?0.5?tg?
（直齿） 0?180z??n2xn?0.5?tg?n
（斜齿） 0?180k?直到上世纪70年代末期在新编的教材和手册上仍有选这个公式的。但今天所有手册都不选它了。何也？因为这个公式也有适用范围的问题。那么按照这位审稿人的说法：应该下功夫找这个公式的适用范围呀？为何今天众多学者、专家、权威、教授们编写的教材、手册 5 上都摒弃了这个公式，只换了个别的公式就完了呢？他们怎么没有一个人下大功夫找这个公式的“适用范围”呢？他们怎么没有一个人“在前人的基础上发展”，“在前人的基础上再提高一步”呢？审稿人的这种说法是让人匪夷所思、无法理解的。 其实据笔者看来并不是什么找“适用范围”的问题，也不是“在前人的基础上发展”，“在前人的基础上再提高一步”的问题。说透了，就是这位审稿人对文章讨论的问题没有研究，不甚了了。其实有些人并不知道公式还有适用范围的问题。只是当有人提出这个问题来了，这时他才知道公式有适用范围的问题。承认自己对这个问题“没有研究”，“不甚了了”面子上过不去，于是就“东拉西扯”，“王顾左右而言他”，不涉及文章的具体内容而讲大道理，目的是使文章不能发表。教材、手册毕竟是学者、专家、权威、教授们编写的，公式是他们选的；同意文章发表，审稿人要承担责任的；而且也得罪人呐。所以只得找个“理由”、“说法”退稿了事。这就是今天有见地、有新意、有价值的文章往往不能发表的一个重要原因。笔者看了“审稿意见”之后立即给该杂志写信，指出审稿人的说法令人无法理解，并表示与审稿人进行争鸣。但此后就杳无音信了。奈何，奈何？！您的位置： >
来源：　　作者：张卫东
变位斜齿轮的测绘计算　 斜齿轮螺旋角的测绘计算是较为麻烦的一项工(2)分度圆螺旋角计算作,特别是角变位传动的齿轮副。由于生产厂家一般 由中心距的计算公式对齿顶圆的尺寸精度控制得较低,且因变位系数及齿/,。,\.___。 、——”——””—”””————————”“”—’————,卜2十、J”肌co测顶降低系数等因素的影响,用滚印法测定的螺旋角误“一一二厂无汞一“无面了差很大,不能正确地确定齿轮的变位系数。本文介绍____。】叩an“‘“”“”““—””“”““”“”“““““一“——人“‘”“而CO8p=——一种较为简便的直接计算方法,具体介绍如下.ta”… __.(Z1+2)·刃吧。·111”t 。。,,。—、——.、、、,;、。即有:a’。二十&子了二L芒二二 。矣册 卅谁乃 伤皆从女抡q‘“”2·们叩。·二O。十, 可得分度圆压力角: 1.所需测绘的参数、数据 I。。^。。。。。。。。。,,。、。、。,,、卜·d·Iana。·c0s丫。1\ 齿轮的法向模数mn,法向压力角 an,中心距a’,at==sin-‘J WIj 一In”“·一I’、——一“”l—l.’J——。、““””‘——”-罗“”“““;i(本文共计1页)　　　　　　　　　　
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