计算三重积分的一种特殊方法
三重积分的计算是数学分析的难点,计算三重积分的常用方法是将其化成累次积分,但由于积分区域是空间立体的,图形往往难以画出,根据图形定限比较困难。很多情形即使化成累次积分,却由于被积表达式的复杂性使得三重积分的计算变得复杂。在三重积分的计算过程中,常常会遇到被积函数与积分区域的表达式相类似的情形,或者是通过适当的变换变成相类似的情形,在明确函数可积的条件下,结合三重积分的背景知识,通过函数值相近的特殊分割方法可直接将一类三重积分转换成定积分的计算,从而将三重积分计算得到简化。定理设函数f(x,y,z)在可求体积的空间有界区域V上三重积分存在,若存在[a,b]上的可积函数φ(t),ψ(t),使得对任意正数ε0,δ0,分别存在[a,b]的分割及V的分割T'∶a=t00,存在δ10,及V与[a,b]的任意两个分割T(3),T(4),使得当‖T(3)‖δ1,‖T(4)‖δ1时,有∫∫∫Vf(x,y,z)dV-∑T(3)f(ξi,ηi,ζi)...&
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一、前言高等数学是工科学生大学期间学习的一门重要基础课,学习过程中存在着一定的难度,特别是随着学习内容的不断增加和深入,这种感觉会越来越强烈。在高等数学多元积分学部分,利用球面坐标计算三重积分是较难掌握的章节。教材中是利用球面坐标把三重积分化为三次积分来计算的,而在关键的确定单积分上下限时,是根据积分区域的空间图形,由观察法来确定的[1~7]。这种方法存在逻辑性不强、规律性差的缺点,学生在学习过程中较难熟练掌握和灵活应用。为解决这一问题,给出了根据三重积分积分区域的截面图形,利用在极坐标下计算二重积分时,三种具体的确定单积分上下限的方法,来确定三重积分单积分上下限的一种规律性方法。此方法在解决利用球面坐标计算三重积分是否须对积分区域进行分割,以及如何分割这一困难问题,较通常采用的观察法更具逻辑性和规律性,直观、明了、准确。并且,在这一方法的建立过程中,充分体现了创造性学习的教学理念。二、球面坐标下计算三重积分的具体方法在极坐标系...&
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关于重积分的计算方法一直是高等数学和数学分析[1-2]中的重要内容.由于积分区域的复杂性,重积分的计算可能变得十分困难甚至不可能,因此,简化积分区域在重积分运算中十分重要.本文给出空间一般四面体、五面体和六面体到立方体C=[-1,1]3的区域变换,由此简化积分区域,然后结合区域分裂的思想,提出一种新的解决复杂多面体区域上三重积分的方法.1 3个区域变换1)XYZ空间中的任意四面体ABCD到RSQ空间中立方体C=[-1,1]3的一一映射[5-7](图1左上)为(x,y,z)=(xA,yA,zA)(1-r)(1-s)(1-q)8+(xB,xB,zB)(1+r)(7-2s-2q+sq)24+(xC,yC,zC)(1+s)(7-2r-2q+rq)24+(xD,yD,zD)(1+q)(7-2s-2r+sr)24(1)图1多面体空间区域变换2)XYZ空间中的一般五面体ABCEFG到RSQ空间中立方体C=[-1,1]3的一一映射[3-4](图...&
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0前言三重积分的计算问题一直是微积分学习的重点和难点,一些特殊类型的积分看起来更是很难计算。本文借鉴了参考文献[1-2]中所述二重积分∫∫Dmax{x,y}dxdy,D为平面区域的计算方法和三重积分的有关知识,介绍了∫∫∫Ωmax{x,y,z}dxdydz,Ω为三维空间区域这一类特殊的三重积分计算方法。这种方法的主要内容是:根据此被积函数的特征,把区域分割成若干小区域,然后分别求积分,再做积分和。下面举例说明这种方法在不同坐标系下的具体应用。1在直角坐标系下的应用举例例1计算积分I=∫∫∫Ωmax{x,y,z}dxdydz其中Ω:{(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}如果巧妙使用三重积分定义计算(当然也属于分割求积分的方法),如下述方法一所示,我们可得计算结果。方法一:分别用平行于x轴,y轴,z轴的如下平面:x=1n,x=2n,…,x=nn-1y=1n,y=2n,…,y=nn-1z=n1,z=n2,…,z=nn-...&
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三重积分的计算是高等数学中的难点,计算三重积分即要将它化成三次积分。文献[1-3]中给出了两种方法:投影法(先一后二法)和截面法(先二后一法)。但这两种方法学生初学时极易混淆,为了学生更好地掌握这部分内容,在此,将这两种常用的方法加以比较。1基本原理三重积分是化为三次积分(即三次定积分)来计算的。化为三次积分的方法有两种———投影法(先一后二法)和截面法(先二后一法)。先一后二法通过先作定积分后作二重积分,化为三次积分。假设平行于z轴且穿过区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面相交不多于两点,则把Ω投影到soy面上,得平面区域D。先对z作定积分,后对x,y在投影区域上作二重积分。先二后一法是先作二重积分后作定积分,化为三次积分。设点(x,y,z)是区域Ω内任一点,过这点作一平面垂直于z轴,这平面截区域Ω得到一个平面闭区域,记为Dz,又设区域Ω在z轴上的投影为区间[C1,C2]。是先对x,y在截面区域上作二重积分,再对z在区间[C1,C2...&
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三重积分的计算是初学者的一个难点.计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活选择计算公式和方法，以便于计算[l，2].其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学生在这方面的能力，作者在教学中总结出三重积分计算中的若干处理方法. 1在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算〔‘，z1当空间积分区域是由长方体、四面体或任意体形成时，将三重积分转化成累次积分.例‘皿(，+二+，+:)一’d。，。:由x+，+一‘，:=0，y=o及:=0所成D解积分闭区域在xoy面的投影是一个三角形区域刀二10‘二‘1，0‘y‘l一:}，o‘:‘l- :一y，故三重积分盯(1+:+，+:)一，d，=f‘、f’一’即f，一’一’(1+二，，+:)一，、二冬(、- J理J 0 J 0 JO‘t，于) 2坐标变换法[’，2] ...&
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~~三重积分中的一题多解问题$渤海大学数学系@王晓锋本文着重讨论了学生在高等数学学习过程中对三重积分的几种解题方法之...&
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设f(t)在R上严格单调增加，并且为连续的奇函数，积分区域是上半单位球体x^2+y^2+z^2=0),I=H上的三重积分f(x-y+z)dv,则：
C:I=0 D:I的符号不定
正确选项为【B】
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如果三重积分∫∫∫Ω f（x,y,z)dxdydz的被积函数f（x, y, z)是三个函数f1（x), f2（y), f3（z)的乘积，即f（x ,y, z)=f1（x)·f2（y)·f3（z)，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积
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高等数学复旦大学出版第三版下册课后习题答案习题十如果三重积分∫∫∫Ω f(x,y,z)dxdydz的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x), f2(y), f3(z)的乘积，即f(x ,y, z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积&
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