【期中专题】初二数学角平分线的应用精讲
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【期中专题】初二数学角平分线的应用精讲
【考点精讲】1. 角平分线的性质定理：（1）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）符号语言：∵OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB&&&&&&∴CF＝DF（3）定理证明：在△DOF和△COF中， & & &&∴△DOF≌△COF∴CF＝DF（全等三角形的对应边相等）（4）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。2. 角平分线性质定理的逆定理：（1）文字语言：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（2）符号语言：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD∴∠DOF＝∠COF（OP为∠AOB的平分线）。（3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。3. 关于三角形三条角平分线的定理：（1）文字语言：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。（2）符号语言：∵AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线&&& &&∴① AP、BQ、CR相交于一点I；②若 ID⊥BC，IE⊥CA，IF⊥AB，则DI＝EI＝FI。（3）定理证明：∵ AP平分∠BAC，IE⊥CA，IF⊥AB∴EI＝FI（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理DI＝EI，DI＝FI∴DI＝EI＝FI（等量代换）（4）定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于几何作图问题。（5）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。&【典例精析】例题1& 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB＝AC，P为∠A内一点，PB＝PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＝PF。思路导航：连接AP，然后利用“边边边”证明△ABP和△ACP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAP＝∠CAP，再利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可。答案：证明：如图，连接AP，在△ABP和△ACP中， & & &∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠BAP＝∠CAP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF。点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键。&例题2& 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。思路导航：首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可。答案：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形。∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线。点评：此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定。由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键。&例题3& 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC。求证：AE是∠DAB的平分线。思路导航：先过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，由平行线的性质可知EG⊥AC，由于E是BC的中点，可得出Rt△CGE≌ Rt△BHE，故GE＝EH，再根据角平分线的性质可知EF＝GE，故EF＝EH，进而可得出结论。答案：证明：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，∵AB∥CD，EH⊥AB，∴EG⊥DC，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE，在△CGE与△BHE中∴△CGE≌△BHE（ASA），∴GE＝EH，∵DE平分∠ADC，∴GE＝EF，∴GE＝EH，∴EF＝EH，∴AE是∠DAB的平分线。点评：本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键。随堂练习：下列各语句中不正确的是（　　）A. 全等三角形的周长相等B. 全等三角形的对应角相等C. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D. 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等答案：两个三角形全等，则对应边和对应角都相等，故A,B都是正确的。D选项是线段垂直平分线的性质，故D正确。到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选C。&【总结提升】角平分线与线段垂直平分线的对比理解：角平分线线段垂直平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合（点的集合是一条射线）线段的垂直平分线可以看做是和线段上两端点距离相等的所有点的集合（点的集合是一条直线）三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等&&（答题时间：15分钟）1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上。下列条件中不能推出AB＝AB′的是（　　）A. BB′⊥AC&&&&&&&&&& B. BC＝B′C&&&&&&&&&& C. ∠ACB＝∠ACB′&&&&&& D. ∠ABC＝∠AB′C3. 如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（　　）A. 全部正确&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 仅①和②正确&C. 仅①正确&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 仅①和③正确4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于（　　）A. 2cm&&&&&&&&&&&&&&&&& B.3cm&&&&&&&&&&&&&&&&& C. 4cm&&&&&&&&&&&&&&&&& D.5cm5. 如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只须写出一对即可）______。6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是________cm。7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB。交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6，求△DEB的周长。8. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＋AD，AE平分∠BAD交CD于点E。求证：BE⊥AE。&1. D&解析：因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形三边的距离相等的点是三条角平分线的交点。故选D。2. B&解析：如图：∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，A. 若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，∴△ABC≌△AB′C，AB＝AB′；B. 若BC＝B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB＝AB′；C. 若∠ACB＝∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，△ABC≌△AB′C，AB＝AB′；D. 若∠ABC＝∠AB′C，则，△ABC≌△AB′C，AB＝AB′。故选B。3. B 解析：∵PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，AP＝AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS＝AR，∠RAP＝∠SAP∵AQ＝PQ∴∠QPA＝∠SAP∴∠RAP＝∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足条件∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确。故选B。4. B&解析：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥CB，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴CE＝DE，∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝3cm故选B。5. PC＝PD& 解析：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD（角平分线的性质）。故填PC＝PD。 6. 3&解析：由∠C＝90°，AD平分∠CAB作DE⊥AB于点E所以D点到直线AB的距离是DE的长由角平分线的性质可知DE＝CD又BC＝8cm，BD＝5cm所以DE＝CD＝3cm。所以D点到直线AB的距离是3cm。 7. 解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6根据勾股定理得2CB2＝AB2，，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA＝90°＝∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）& & 故△DEB的周长为：。8. 证明：延长AE、BC交于点F，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF＝∠CFE，∴AB＝BF，∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF，∴AD＝CF，∴△ADE≌△CFE，∴AE＝FE，∴BE⊥AE。&太原101远程学习小、初、高春季课程火热招生中……太原101远程教育相关文章：回复“101”免费获取价值268元北京101网校专用学习卡；回复“年级+学科”获取相关学科课程讲解及试题；如果您很随性，随意说点什么，小编也是很欢迎滴！&
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[初二数学解答题及答案]传说韦东奕出题聂子佩解答的题目及解答
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相关资料一 : 传说韦东奕出题聂子佩解答的题目及解答对于这种……大神之间的交锋……吾等凡人还真是得跪一道不等式居然可以做出图、均值、二次方程判别式、6次Schur……实在是不得不……唉……相关资料二 : 初二数学课本答案初二数学课本答案1. 如图5—19，已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．分析 用加倍法．为了证明CD=2CE，考虑CE是△ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系．证明 如图5—20，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证△EBF≌△EAC．∴BF＝AC＝AB＝BD．又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用，∴△CBF≌△CBD．（SAS）∴CF＝CD，即2CE＝CD．3. 如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．分析 本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）证明 延长FD到G，使DG=DF，连结BG．∵∠BDG=∠CDF，BD=DC．∴△BDG≌△CDF初二数学书答案 初二数学课本答案∴BG=CF连结EG∵ED⊥DF，又DG=DF∴EG=EF在△EBG中，BE+BG&EG，∴BE+CF&EF.5．（本题8分）如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点。（](1).求K的值；(2).当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3).探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积为27／8，并说明理由6、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二）7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）D C初二数学书答案 初二数学课本答案8、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二）9.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD.OB C D10.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，∠1=∠C，点E在AC上．求证：AC=AB+BD．BAEDC.证明：∵∠4=∠1+∠C，∠1=∠C，∴∠4=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠B=∠4． ???????? 1分∵AD是△ABC的角平分线，∴∠2=∠3．∵AD=AD，∴△ABD≌△AED． ???????? 3分∴AB=AE，BD=ED． ???????? 4分∵∠1=∠C，∴ED=EC． ???????? 5分∴EC=BD．∴AC=AE+EC=AB+BD． ???????? 6分0011、△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90,D、E在BC上，且∠DAE=45,若BD=3,CE=4求DE的长。［） BA2ECD初二数学书答案 初二数学课本答案解：作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OA∴∠BAD＝∠OAD，AB＝AO，BD＝OD∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD＋∠CAE＝∠OAD＋∠OAE∴∠CAE＝∠OAE∵AB＝AC，∴AC＝AO在△OAE与△CAE中，AO＝AC∠OAE＝∠CAEAE＝AE∴△OAE≌△CAE（SAS）∴∠AOE＝∠C 又∵∠B＝∠AODOE＝CE∴∠DOE＝∠B＋∠C＝90°∴DE＝OD?OE＝BD?CE＝512．已知：如图，且B△ABC中，?ABC?45°，CD?AB于D，E?ACBE平分?ABC，于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF?AC；（2）求证：CE?22221BF； 2（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．（1）证明：∵CD?AB，?ABC?45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD?CD．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵?DBF?90°??BFD，?DCA?90°??EFC，且?BFD??EFC， ∴?DBF??DCA．又∵?BDF??CDA?90°，BD?CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC．∴BF?AC．（2）证明：在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分?ABC，∴?ABE??CBE．又∵BE?BE，?BEA??BEC?90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE?AE?∴CE?1AC．又由（1），知BF?AC，211AC?BF． 22（3）CE?BG．证明：连结CG．又H是BC边的中点， ∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD?CD．∴DH垂直平分BC．初二数学书答案 初二数学课本答案∵CG是斜边，CE是直角边，∴BG?CG．在Rt△CEG中，∴CE?CG．∴CE?BG13.（10分）(1)如图①，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN、MN.则△CMN的形状是________三角形；(2)如图②，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE．∠ACD=∠BCE=90°，连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接 CM、CN,MN.则△CMN的形状是______三角形；(3)如图③，在图②的基础上，将△BCE绕点C旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整．试判断△CMN的形状，并说明理由．14.（12分）一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，E为OA上一动点，D为OB的延长线上一动点，且AE=BD(1)当E为OA中点时，求C点坐标．(2)当E运动到x轴正半轴上，仍有AE=BD，过E作EF⊥AB于F,化？若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围． FC的值是否变AB初二数学书答案 初二数学课本答案15、已知：以△ABC的两边AB、AC为边向外作等腰△ADB和等腰△AEC，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC，DC、BE交于O .（1）求证：DC=BE (2)若△ADB与△ACE均为等边三角形，求∠BOC的度数（3）若∠BOC=150°，AD=10，求△ABD的面积.初二数学书答案 初二数学课本答案（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC∴∠DAC＝∠BAE在△DAC与△BAE中，AD＝AB∠DAC＝∠BAEAC＝AE∴△DAC≌△BAE（SAS ∴DC＝BE（2）∵△DAC≌△BAE∴∠1＝∠2∴∠BOC＝∠OCE+∠OEC=∠ACE+∠AEC又∵△ACE是正△，∴∠ACE＝∠AEC＝60° ∴∠BOC＝120°（3）过点B作BP⊥AD，垂足为P∵△DAC≌△BAE，∴∠3＝∠4∴∠BOC＝∠OBD+∠BDO＝∠ABD+∠ADB＝150°∴∠DAB＝30° 又∵BP⊥AD1AB 又∵AB＝AD＝10 21 ∴BP＝5 ∴S △ ABD ＝BP×AD＝25 2 ∴BP＝16．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，－4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m&0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限。[）（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由。初二数学书答案 初二数学课本答案解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．则??4k?b?0，解得?k?1?b??4??b??4∴直线AB的解析式为y=x－4（2）作MN⊥y轴于点N．（见图5）图5∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，∴∠APM=90°∴∠OPA+∠NPM=90°∵∠NMP+NPM=90°∴∠OPA=∠NMP又∵∠AOP=∠PNM=90°，∴△AOP≌△PNM。（AAS） ∴OP=NM，OA=NP∵PB=m（m&0），∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．∵点M在第四象限，∴点M的坐标为（m+4，－m－8）（3）答：点Q的坐标不变．解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．∴NB=NM∵∠BNM=90°∴∠MBN=45° ∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45°∴OQ=OB=4∵点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，∴点Q在x轴的负半轴上∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0） 解法二：设直线MB的解析式为y=nx－4（n≠0） 2分 3分 4分 5分 6分初二数学书答案 初二数学课本答案∵点M（m+4，－m－8）在直线MB上， ∴?m?8?n(m?4)?4 整理，得(m?4)n??m?4 ∵m&0 ∴m?4?0 解得n??1 ∴直线MB的解析式为y??x?4 5分 6分 ∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）17．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。(]（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（见图6）图6∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°．又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE．∴△ACD≌△ABE．（SAS）∴∠1=∠2∵∠BAC=90°，∴∠3+∠2=90°．∵FG⊥CD，∴∠1+∠4=90°．∴∠3=∠4．∴∠GEM=∠GME 1分初二数学书答案 初二数学课本答案∴EG=MG，△EGM为等腰三角形． 2分（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG3分 证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N（见图6）∵BN⊥AB，∠ABC=45°．∴∠FBN=45°=∠FBA∵FG⊥CD∴∠BFN=∠CFM=90°－∠DCB∵AF⊥BE∴∠BFA=90°－∠EBC，∠5+∠2=90°由（1）可得∠DCB=∠EBC，∴∠BFN=∠BFA．又∵BF=BF．∴△BFN≌△BFA．（ASA）∴NF=AF，，∠N=∠5．又∵∠GBN+∠2=90°∴∠GBN=∠5=∠N∴BG=NG又∵NG=NF+FG，∴BG=AF+FG证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AF=BN，再证FG=NG。[］6分 5分 4分图7证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AH=BE，再证FM=FH。初二数学书答案 初二数学课本答案图818．如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线AC垂直x轴 于点C，点C的坐标为（2，0），直线OA关于直线AC的 对称直线为AB交x轴于点B． （1）写出点A及点B的坐标；（2）如图，直线AD交x轴与点D，且△ADB的面积为1， 求点D的坐标；（3）作OE⊥AD于点E，交AC于点H，作BF⊥AD于点F， 求证：OE=AF，并直接写出点H的坐标．解：（1）A(2,2),B(4,0) ????????2分 （2）∵AC⊥BD于点C，AC=2，S△ADB=1， ∴S△ADB=11BD·AC =BD×2=1． 22∴BD=1． ????????3分 ∴OD=OB－BD=4－1=3．∴D(3，0) ????????4分 （3）由直线OA的解析式为y=x，可知 OC=AC． 又∠ACO=90°， ∴∠OAC=∠AOC=45°．∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB， ∴∠BAC=∠OAC=45°，OA=BA． ∴∠OAB=90°． ∴∠2=90°－∠OAE．在△AOE中，∠OEA=90°，初二数学书答案 初二数学课本答案∴∠1=90°-∠OAE． ∴∠1=∠2．在△AOE≌△ABF中，∠1=∠2∠OEA=∠AFB=90° OA=BA∴△AOE≌△ABF． ????????5分 ∴OE=AF．????????6分H(2,1) ????????7分19 .如图，在△ABC中，?B?60?．（1）请你用直尺和圆规分别作出?BAC和?BCA的平分线AD和CE，分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F． （2）请你判断并写出FE与FD然后证明关系成立．AC解:（1）作图，必须用圆规。(）否则扣分??????4分 （2）FE与FD之间的数量关系为FE?FD．?????5分证法一：过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．?????6分∵?B?60?，且AD，CE分别是?BAC，?BCA的平分线， ∴ FG?FH． ???8分∴?GEF?60??1，又?HDF??B??1?60??1， ∴?GEF??HDF．?????11分???2??3?60?，?????10分图初二数学书答案 初二数学课本答案∴△EGF≌△DHF． ∴FE?FD．?????12分证法二： 如图，在AC上截取AG?AE，连结FG．?????6分 ∵?1??2，AF为公共边，可证△AEF≌△AGF． ∴?AFE??AFG，FE?FG．?????7分由?B?60?，AD，CE分别是?BAC，?BCA的平分线， 可得?2??3?60?．?????9分 ∴?AFE??CFD??AFG?60?．∴?CFG?60?．?????10分由?3??4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD． ?????11分 ∴FG?FD．∴FE?FD．?????12分20. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1 图221．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0&x&3），过点P作直线m与x轴垂直．（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1&y2？（2）设△COB中 位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式． （3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？（10分）初二数学书答案 初二数学课本答案21题:（1）解方程组??y?x?x?2 得??y??2x?6?y?2∴C点坐标为（2，2）； ??3分（2）作CD⊥x轴于点D，则D（2，0）．①s=21x（0&x≤2）； 22②s=-x+6x-6（2&x&3）； ??3分（3）直线m平分△AOB的面积，则点P只能在线段OD，即0&x&2．又△COB?的面积等于3， 故11x=3×，解之得.??4分 22222.已知如图AE=AC，EF//BC交AB于E交AC于F，EC平分∠FED，求证：AD⊥CE。（]23. （10分） 08年5月12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，甲、乙两重灾区急需一批大型挖掘机，甲地需25台，乙地需23台；A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．若从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从A省调往甲地x台，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．（1）求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？（3）怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？初二数学书答案 初二数学课本答案23．⑴ y＝0.4X＋0.3(26-X) ＋0.5(25－X) ＋0.2〔23－(26-X)〕=19.7－0.2X (1≤X≤25)⑵ 19.7－0.2X≤15解得:X≥23.5 ∵ 1≤X≤25∴ 24≤X≤25即有2种方案，方案如下：方案1：A省调运24台到甲灾区，调运2台到乙灾区,B省调运1台到甲灾区，调运21台到乙灾区；方案2：A省调运25台到甲灾区，调运1台到乙灾区,B省调运0台到甲灾区，调运22台到乙灾区；⑶ y＝19.7－0.2X, y是关于x的一次函数，且y随x的增大而减小，要使耗资最少，则x取最大值25。即：y最小=19.7－0.2×25=14.7(万元)24某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；初二数学书答案 初二数学课本答案（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．［分析］ 利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表．则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为W=35x+40（90-x）+30（100-x）+45[60-（100-x）]=10x+4800．自变量x的取值范围是40≤x≤90．解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨． D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨．由题意可知W＝35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）＝10x+4800．自变量x的取值范围为40≤x≤90．∴总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为w＝1Ox+480O（40≤x≤9O）．（2）∵10＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x=40时，W最小值=10×40+（元）．运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．∴当总运费最低时，运送方案是：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县．25.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意单位：cm初二数学书答案 初二数学课本答案设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？【关键词】函数的运用 【答案】解：（1）0 ，3．1（2）由题意，得x?2y?240， ∴y?120?x．22x?3z?180，∴z?60?2x． 312（3）由题意，得 Q?x?y?z?x?120?x?60?x．231整理，得 Q?180?x．61?120?x??2由题意，得?2?60?x?3?解得 x≤90．【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】 由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．26、南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车的运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1、W2、W3与x之间的函数关系式；（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出最少？27．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠ BAC的平分线于E，EF⊥AB，初二数学书答案 初二数学课本答案交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论。、答：相等。 ???????????????????? 1分证明：∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G∴EF＝EC ???????????????????? 4分连EB、EC，∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC ???? 8分∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF=CG ?????????????? 10分28. （本题8分）已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（－1，0），过点C的直线l绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E.（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若△OCD 与△BDE的面积相等，① 求直线CE的解析式； ② 若y轴上一点P满足∠APE=45°，请直接写出P28．解：（1）见图23，∵ A（1，0），B（0，1）， ∴ OA=OB=1．∵ ∠AOB=90°，∴ ∠OAB=45°．- - - - -- - - - - - - - - - 1分设直线AB的解析式为y?kx?b．∵ A（1，0），B（0，1），初二数学书答案 初二数学课本答案则 ??k?b?0, b?1.?解得 k??1,b?1.∴ 直线AB的解析式为y??x?1.- - - - - - - - - - - - - - - - 2分（2）①解：设直线CE的函数解析式为y?mx?n.则D（0，n），且0＜n＜1，BD=1－n.∵ C（－1，0），∴ ?m?n?0，直线CE的函数解析式可化为y?nx?n.- - - -4分 ∵ 点E为直线CE与线段AB的交点，∴ 点E的坐标是方程组 ?解得 E(?y?nx?n ，的解. y??x?1?1?n2n,).- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 n?1n?1∵ S?OCD?S?BDE，点E在第一象限，11∴ ?OC?OD??BD?xE. 22111?n∴ ?1?n??(1?n)?. 22n?1整理，得 n(n?1)?(n?1)2.1解得 n?.- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - 6分 31经检验，n?是原方程的解. 311∴直线CE的解析式为y?x?.- - - - - - - - - - - - - - -- - - 7分 33② P点的坐标为（0，0）. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分相关资料三 : 解答题 有答案全等三角形的判定 /1如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS得出即可． 解答：证明：∵AE∥CF∴∠AED=∠CFB，?（3分）∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，?（6分）在△ADE和△CBF中，AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF ，?（9分）∴△ADE≌△CBF（SAS）?（10分）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．2. 如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等． 解答：证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ，∴△ABC≌△ADC．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D． 求证：△BEC≌△CDA．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA． 解答：证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．4. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF．解答：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5. 如图，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：△AFB≌△AEC．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据中点的定义可知AE=1/2AB，AF=1 /2AC，可知AE=AF，根据SAS即可证明△AFB≌△AEC．解答：证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=1/ 2 AB，AF=1 /2 AC，∵AB=AC，∴AE=AF，在△AFB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AF，∴△AFB≌△AEC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．6. 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据题意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定△AOF≌△DOC．解答：答：△AOF≌△DOC．证明：∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，∴AB=BD，BF=BC，∴AB-BF=BD-BC，∴AF=DC∵∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，即 ∠A=∠D ∠AOF=∠DOC AF=DC ，∴△AOF≌△DOC（AAS）．点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据题意得出AF=DC，AO=DO．7. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：由已知条件AD=CE，CD=BE，和AC=CB，根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE．解答：证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BEAC=CB （5分）∴△ACD≌△CBE（SSS）．（6分）点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8. 已知：如图，∠A=∠DCF，F是AC的中点．求证：△AEF≌△CDF．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：要证明两三角形全等，已知的条件有一组对顶角相等，∠A=∠DCF，那么只要得出一组对应边相等即可，题中F是AC的中点，因此AF=CF，由此构成了全等三角形判定中的ASA，于是两三角形全等．解答：证明：∵F是AC的中点，∴AF=CF．∵∠A=∠DCF，∠AFE=∠CFD，∴△AEF≌△CDF（ASA）．点评：本题考查了全等三角形的判定，证明三角形全等的过程中，要先看已知了什么条件，然后缺什么再证什么即可．9. 如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．考点：全等三角形的判定．专题：探究型．分析：由平行的性质可证∠C=∠F，又已知AC=DF，BC=EF，满足SAS，即可证结论． 解答：解：△ABC与△DEF全等．证明：∵AC∥DF，∴∠C=∠F．在△ABC与△DEF中AC=DF∠C=∠FBC=EF ，∴△ABC≌△DEF（SAS）．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，是一道较为简单的题目．10. 已知：如图，CF=AE，AB∥CD，且AB=CD．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：要证△CDE≌△ABF，就要找出满足两个三角形全等的条件：边角边对应相等．由平行可得两对应角相等，由CF=AE可得AF=CE，全等的条件就具备了．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠FAB．∵CF=AE，∴AF=CE，AB=CD，∴△CDE≌△ABF．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．11. 巳知：如图AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OC，求证：△AOB≌△COD．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：由AB∥CD可得内错角相等，这样可利用AAS证三角形全等，本题比较简单． 解答：证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，又∵OA=OC，∴△AOB≌△COD．点评：本题考查了全等三角形的判定方法；要充分利用已知条件中的平行线提供的角相等，这点在三角形全等的证明中经常用到，要牢固掌握，熟练应用．12. 如图，点E、F在上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：△ABF≌△DCE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：由AB=DC，推得∠B=∠C，根据等式的基本性质，证出BF=CE，具备了两边和夹角相等的条件，再证明三角形的全等．解答：证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又∵AB=DC，∠ABF=∠DCE，∴△ABF≌△DCE．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE， 求证：△ADB≌△DEC．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：解题关键是找准三角形全等的条件，本题可利用角角边公式进行解决．找准并利用外角的性质是比较关键的．解答：证明：∵∠B+∠BAD=∠1+∠EDC，又∵∠B=∠1，∴∠BAD=∠EDC．又AB=AC，∴∠B=∠C．又AD=DE，∴ADB≌△DEC．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．14. 如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：三角形全等条件中必须是三个元素，我们只要能证明∠EAD=∠CAB这一条件可用SAS判定两个三角形全等．解答：证明：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD，∴∠EAD=∠CAB，又∵AE=AC，AD=AB，∴△EAD≌△CAB．点评：本题考查了全等三角形的判定；由∠EAC=∠DAB得出∠EAD=∠CAB是正确解决问题的关键，这种方法在三角形全等的证明中经常用到．15. 如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：可以根据FC∥AB，得出∠ADE=∠CFE，然后联立∠AED=∠CEF及DE=EF，从而根据AAS来判定△ADE≌△CFE．解答：证明：∵FC∥AB，∴∠ADE=∠CFE．在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠CFE，DE=FE，∠AED=∠CEF．∴△ADE≌△CFE．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．用上对顶角相等是本题的关键．16. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．解答：解：△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．点评：此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．17. 如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：依据题中有条件AB=AC，隐含AD=AD，再证明出∠DAB=∠DAC，从而利用SAS来证明两个三角形全等．解答：解：∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE；∴180°-∠BAE=180°-∠CAE，即∠DAB=∠DAC；又∵AB=AC，AD=AD，∴在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD＜DAB=＜DAC∴△ABD≌△ACD（SAS）．点评：本题主要考查等角的补角相等，SAS的判定定理．题目比较简单18..如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，且CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC． 求证：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC．考点：全等三角形的判定；相似三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据矩形的性质可得出等量关系：HE=EH，HF=EC，∠EHF=∠HEC，所以△HEF≌△EHC；（2）直接根据∠HFE=∠HCB，∠FHE=∠CHB=90°，可证明△HEF∽△HBC． 解答：证明：（1）由条件可知四边形HECF为矩形．HE=EH ∠EHF=∠HEC=90° HF=EC ∴△HEF≌△EHC；（2）由（1）得，∠HFE=∠HCB，又∠FHE=∠CHB=90°，所以△HEF∽△HBC．点评：本题考查三角形全等的判定方法与相似三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．相似的判定有：AA、SAS等．19. 如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．考点：全等三角形的判定．专题：探究型．分析：根据折叠前后不变的量，找到△ABN≌△AEM，两边和夹角对应相等． 解答：解：有，△ABN≌△AEM．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，∴∠BAN=∠EAM．在△ABN与△AEM中，∠B=∠E AB=AE ∠BAN=∠BAM ∴△ABN≌△AEM．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20. 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量代换）．（1分）∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）点评：本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．添加条件证明全等三角形1. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ． （不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵ BD=CD∠EDC=∠FDBDE=DF∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2. 如图，∠B=∠D，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明．（1）添加的条件是 ；（2）证明：考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，由此可添加的条件有：①AB=AD，②BC=DE，③AC=AE．解答：解：（1）添加的条件是：AB=AD，答案不唯一；（2）证明：在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，AB=AD，∠A=∠A，∴△ABC≌△ADE．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，难度适中．3. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，并且BF=CE，∠B=∠E．（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使得△ABC≌△DEF．你添加的条件是： ．（2）添加了条件后，证明△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：（1）根据A全等三角形的判定定理AS得出添加的条件∠A=∠D；（2）求出BC=EF，再根据全等三角形的判定定理AAS证△ABC≌△DEF即可． 解答：解：（1）故答案为：∠A=∠D．（2）证明：∵BF=CE，∴BF+FC=EC+FC，∴在△ABC和△DEF中，∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ，∴△ABC≌△DEF（AAS）点评：本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，关键是理解全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS．题型较好，是一道具有开放性的题目．4. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： ，并给予证明．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．解答：解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．点评：本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．5. 如图，已知CA=CD，∠1=∠2．（1）请你添加一个条件使△ABC≌△DEC，你添加的条件是 ；（2）添加条件后请证明△ABC≌△DEC．考点：全等三角形的判定；等式的性质．专题：证明题．分析：（1）根据SAS即可得到答案；（2）根据等式的性质求出∠ACB=∠ECD，根据全等三角形的判定SAS证明即可． 解答：（1）解：添加的条件是：CB=CE．（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，∴∠ACB=∠ECD，在△ABC和△DEC中CB=CE ∠ACB=∠DCE CA=CD ，∴△ABC≌△DEC．点评：本题主要考查对全等三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．6. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．（1）你添加的条件是： ；（2）证明：考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：（1）由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：BD=DC（或点D是线段BC的中点）或FD=ED或CF=BE．（2）以BD=DC为例进行证明，由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，可根据AAS判定△BDE≌△CDF．解答：解：（1）BD=DC（或点D是线段BC的中点）或FD=ED或CF=BE中任选一个即可．（2）以BD=DC为例进行证明：∵CF∥BE，∴∠FCD﹦∠EBD，又∵BD=DC，∠FDC﹦∠EDB，∴△BDE≌△CDF（ASA）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．7. 如图，已知AC∥DF，且BE=CF．（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ；（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：（1）证明两三角形全等的现有条件是BC=EF，∠ACB=∠F，所以可以添加边AC=DF利用SAS，也可以添加角相等，利用AAS或ASA．（2）根据添加的条件利用三角形全等的判定证明即可．解答：（1）解：添加的条件是AC=DF．（2）证明：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F∵BE=CF，∴BC=EF在△ABC和△DEF中， BC=EF ∠ACB=∠F AC=DF ，∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了三角形全等的判定方法；是开放型题目，根据已有条件，结合判定方法即可找出还差哪一条件，就是所要添加的条件，要根据现有已知的位置结合判定方法进行添加．8. 如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF．（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：（1）本题要判定△ABC≌△EFD，已知BC=DF，AB=EF，具备了两组边对应相等，故添加∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED后可分别根据SAS、AAS、SSS来判定其全等；（2）因为AB=EF，∠B=∠F，BC=FD，可根据SAS判定△ABC≌△EFD．解答：解：（1）∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED；（2）证明：当∠B=∠F时在△ABC和△EFD中 AB=EF ∠B=∠F BC=FD∴△ABC≌△EFD（SAS）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．找出全等的三角形并给予证明．1. 如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上．（1）你能找出 对全等的三角形；（2）请写出一对全等三角形，并证明．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：本题要判全等三角形，已知AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上．具备了一组边对应相等，一组对应角相等，可分别根据SSS、SAS、AAS，ASA能判定有几对全等三角形．解答：解：（1）△ABC≌△ABD（SAS），△BCE≌△BED，△ACE≌△AED， 故有3对．（2）△ABC≌△ABD，证明：在△ABC和△ABD中，AC=AD ∠BAC=∠BAD，AB=AB ，∴△ABC≌△ABD（SAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2. 如图，OP平分∠AOB，且OA=OB．（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（1）中任选一个结论进行证明．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：先根据∠AOP=∠BOP，OP=OP，OA=OB，（SAS）得出△APO≌△BPO，其他三角形全等就能依次得出．解答：解：（1）△APO≌△BPO，△ADO≌△BCO，△OCP≌△ODP，△ACP≌△BDP．（2）证明△APO≌△BPO，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP，又∵OP=OP，OA=OB，（SAS）∴△APO≌△BPO．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．考点：全等三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：根据全等三角形的判定定理：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或者“边边边”）（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称SAS或者“边角边”）（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简称ASA或者“角边角”）（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称AAS或者“角角边”）（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL或者“斜边，直角边”）解答：解：△ADC≌△ADF、△ADC≌△CEB，若选择△ADC≌△ADF，证明如下：∵AD平分∠FAC，∴∠CAD=∠FAD，∵AD⊥CF，∴∠ADC=∠ADF=90°，在△ADC和△ADF中∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF ，∴△ADC≌△ADF（ASA）．点评：考查了全等三角形的判定定理；做题时要结合已知条件图形在图形上的位置与判定方法在图形上做题，多个直角在一题中出现时常常能提供角相等，注意应用．4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．（1）图中除了△ABE≌△DCF外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）求证：△ABE≌△DCF考点：全等三角形的判定；梯形．专题：证明题；开放型．分析：（1）AP=DP?∠PAD=∠PDA，∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP，∵AB=DC PA=PB?△ABP≌△DCP；△ABE≌△DCF?∠AEB=∠DFC?∠BEP=∠CFP，又∠BPE=∠CPF，BP=CP?△BEP≌△CEP；△BFP≌△CEP也可以推理得到．（2）AP=DP?∠PAD=∠PDA，又∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP．∵AB=DC，∠ABE=∠DCF?△ABE≌△DCF．解答：（1）解：△ABP≌△DCP；△BEP≌△CEP；△BFP≌△CEP．（3分）（2）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∴∠BAD=∠CDA，∠ABE=∠DCF．（4分）又∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∴∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA．即∠BAP=∠CDP．（6分）在△ABE和△DCF中， ∠BAP=∠CDP AB=DC ∠ABE=∠DCF ∴△ABE≌△DCF．（7分）点评：本题要熟练等腰梯形的性质，并且考查判定三角形全等的方法，难度属于中等．5. 如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．考点：全等三角形的判定；相似三角形的判定．专题：证明题；开放型．分析：因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．解答：解：△MON≌△EOD．证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC．∴∠AMN=∠ABC，MN=1 /2 BC．∴MN∥BC．∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．∵DE=BD+EC，∴DE=1 / 2 BC．∴MN=DE．∴△MON≌△DOE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．6. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，DB平分∠ADC，BE⊥CD于点F，交AD的延长线于点E，CF=DF．（1）找出图中与△DEF全等的三角形；△DEF≌△DEF≌ ；（2）请您从（1）中选择一对全等三角形加以证明．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据已知条件利用全等三角形的判定方法可得到；△DEF≌△CBF，△DEF≌△DBF． 解答：解：△CBF，△DBF．试证明△DEF≌△CBF．证明：∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF．∵BE⊥CD于点F，∴∠DFE=∠CFB=90°．∵CF=DF，∴△DEF≌△CBF（ASA）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7. 将图甲中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的△A1D1C1．连接AD1，BC1．除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形？（不能另外添加辅助线和字母）请选择其中的一对加以证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题；开放型．分析：图中全等三角形还有：△AA1D1≌△C1CB，△AD1C1≌△C1BA，因为∠ACB=∠C1A1D1，则∠AA1D1=∠C1CB，又知AA1=C1C，A1D1=CB，利用SAS判定△AA1D1≌△C1CB．解答：解：△AA1D1≌△C1CB，△AD1C1≌△C1BA．证明：在△AA1D1和C1CB中，由题意得：∵AC=A1C1，∴AC-A1C=A1C1-A1C，即AA1=C1C，由平移可知A1D1=CB，∠ACB=∠C1A1D1，∴∠AA1D1=∠C1CB．∴△AA1D1≌△C1CB（SAS）．证△AD1C1≌△C1BA．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定的理解及运用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．8. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．（要求：写出证明过程中的重要依据）考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质．专题：证明题；开放型．分析：根据AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，得到相等的线段和相等的角，从而可知全等的三角形有：△BCD≌△CBE；△DBF≌△EFC．解答：解：△ABE≌△ACD，∠FAE=∠EAD或△BFD≌△CFE（写出两个即可）（1）选△ABE≌△ACD．证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD=1 2 AB，AE=1 2 AC．又∵AB=AC，∴AD=AE．在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD. ，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）选△BCD≌△CBE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴BD=1 2 AB，CE=1 2 AC．∴BD=CE．在△BCD和△CBE中， BD=CE ∠ABC=∠ACB BC=CB ，∴△BCD≌△CBE（SAS）．（3）选△BFD≌△CFE．方法一：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD=1 2 AB，AE=1 2 AC又∵AB=AC，∴AD=AE在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD ∴△ABE≌△ACD（SAS） ∴∠ABE=∠ACD（全等三角形对应角相等）∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴BD=1 2 AB，CE=1 2 AC∵AB=AC，∴BD=CE在△BFD和△CFE中， ∠ABE=∠ACD ∠DFB=∠EFC(对顶角相等) BD=CE. M（m，0） 方法二：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴BD=1 2 AB，CE=1 2 AC．∴BD=CE．在△BCD和△CBE中， BD=CE ∠ABC=∠ACB BC=CB ，∴△BCD≌△CBE（SAS）．∴∠BDC=∠CEB（全等三角形对应角相等）．在△BFD和△CFE中， ∠BDC=∠CEB ∠DFB=∠EFC(对顶角相等) BD=CE. ， ∴△BFD≌△CFE（AAS）．点评：本题考查三角形全等的判定及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．用直尺和圆规作图1. 如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图．专题：作图题；证明题． 分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．解答：（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ，∴△ABE≌△ACE（SAS）．点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考查学生的动手操作能力和推理能力．2. 如图，在△ABC和△ACD中，CB=CD，设点E是CB的中点，点F是CD的中点．（1）请你在图中作出点E和点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）连接AE、AF，若∠ACB=∠ACD，请问△ACE≌△ACF吗？请说明理由．考点：全等三角形的判定；作图—复杂作图．分析：（1）根据尺规作图的要求，分别作出线段BC，CD的垂直平分线交点即为所求；（2）有已知条件可以用SAS判定△ACE≌△ACF．解答：解：（1）如图所示：（2）∵CB=CD，设点E是CB的中点，点F是CD的中点．∴CE=CF，∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴△ACE≌△ACF．点评：本题考查了全等三角形的判定，常见的判断方法有5种，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．3. 如图所示，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB=AC．（1）按下列语句画出图形：①AD⊥BC，垂足为D；②∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E；③连接BE．（2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形： ≌ ， ≌ ；并选择其中的一对全等三角形，予以证明．考点：全等三角形的判定．专题：作图题．分析：（1）①从A作AD⊥BC，垂足为D，D在线段BC上；②作∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E，E在线段AD的延长线上；③连接BE就是过B、E两点画线段；（2）还有△ABE≌△ACE；△BDE≌△CDE．其中证明△ABE≌△ACE的条件有AB=AC、∠BAE=∠CAE、AE公共，由此即可证明；证明△BDE≌△CDE的全等条件有 BD=CD∠BDE=∠CDE=90°DE=DE ，由此即可证明结论．解答：解：（1）①②③，如图所示：（2）△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．（3）选择△ABE≌△ACE进行证明．∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中 AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）；选择△BDE≌△CDE进行证明．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在△BDE和△CDE中 BD=CD ∠BDE=∠CDE=90° DE=DE ，∴△BDE≌△CDE（SAS）．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．4. 如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）连接AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．考点：全等三角形的判定．专题：作图题．分析：（1）由作一条线段中垂线的方法作出点E和点F．（2）由题意BC=BD推出BE=BF，然后证明△ABE≌△ABF．解答：解：（1）能看到“分别以B，C为圆心，以大于1 2 BC，长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F（或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F）”的痕迹（凡正确作出点E，F中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置．（2）∵BC=BD，E，F分别是BC，BD的中点，∴BE=BF，在△ABE和△ABF中BE=BF，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴△ABE≌△ABF．点评：本题考查了全等三角形的判定；命题意图：掌握知识同时要培养学生的能力，尺规作图就是考查动手能力，三角形全等的证明是几何证明的基础，考查是必要的．中点作法用作垂直平分线的方法，三角形全等利用边角边定理．5. 如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．考点：全等三角形的判定．专题：作图题；开放型．分析：（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加AF⊥CE或∠CAF=∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF≌△AEF．解答：解：（1）作图如右；（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；添加∠CAF=∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）点评：是一个尺规作图题．[常见错误]主要问题有作图后没有留下痕迹，没有在图中标出应有的字母F．补充的条件时，只是补充∠ACE=∠CEA，没有对这种图形分析．全等三角形与平行四边形综合1. 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：△DFE≌△ABE．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：依据平行四边形的性质可知FC∥AB，则∠1=∠2，进而通过ASA说明三角形全等． 解答：证明：∵ABCD是平行四边形，∴FC∥AB．∴∠1=∠2．∵E为AD的中点，∴DE=AE．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△ABE．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（在直角三角形中）．2. 如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：△BEF≌△DGH．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：由三角形全等的判定定理和平行四边形的性质，结合已知条件，利用SAS判定． 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的四边中点，∴BE=DG，BF=DH．∴△BEF≌△DGH．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理和平行四边形的性质的综合运用．3. 如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；菱形的性质．专题：证明题．分析：先利用菱形的性质可求出一组对应角相等，一组对应边相等，再结合已知条件中的垂直条件，又可得一组对应角相等，从而利用AAS可证两个三角形全等．解答：证明：在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，（2分）又DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，（4分）∴△ADE≌△CDF．（6分）点评：本题利用了菱形的性质、全等三角形的判定．4. 已知：如图，在?ABCD中，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：要证明三角形全等，可根据三角形全等的判定来寻找条件，再结合平行四边形的性质，很容易确定SAS，只需一一对应证明就可以了．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF．∴在△ABE和△CDF中，AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ．∴△ABE≌△CDF（SAS）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．5. 如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：△BEF≌△DGH．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：由三角形全等的判定定理和平行四边形的性质，结合已知条件，利用SAS判定． 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的四边中点，∴BE=DG，BF=DH．∴△BEF≌△DGH．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理和平行四边形的性质的综合运用．6. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF． 求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D（2分）在△ABE和△CDF中，AB=CD∠B=∠DBE=DF∴△ABE≌△CDF．点评：本题考查平行四边形及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．7. 如图，已知平行四边形ABCD，延长CB到点E，使得BC=BE．求证：△ADF≌△BEF考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质，证得∠ADF=∠BEF，AD=BE，∠AFD=∠BFE，再根据AAS判定全等．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠BEF．∵BC=BE，∴AD=BE．又∵∠AFD=∠BFE，∴△ADF≌△BEF．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8. 如图，?ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．（1）图中有哪些三角形是全等的？（2）选出其中一对全等三角形进行证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：探究型．分析：（1）根据题意，结合图形可知△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA；（2）先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求证．解答：解：（1）△AOB≌△COD、△AOD≌△COB、△ABD≌△CDB、△ADC≌△CBA；（2）以△AOB≌△COD为例证明；∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，9. 已知：如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=1 2 AB，CF=1 2 CD．∴AE=CF．∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴四边形AGBD是矩形．点评：主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．10.如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．.考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题；探究型．分析：根据全等三角形的判定定理．解答：（1）解：∠ACB=∠GCD．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵CG∥AB，∴∠ABC=∠GCD，∴∠ACB=∠GCD（2）证明：∵四边形CDFE是平行四边形，∴EF∥CD．∴∠ACB=∠GEC，∠EGC=∠GCD．∵∠ACB=∠GCD，∴∠GEC=∠EGC，∴EC=GC，∵∠GCD=∠ACB，∴∠GCB=∠ECD．在△BCG和△DCE中GC=EC ∠GCB=∠ECD BC=DC ∴△BCG≌△DCE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．11. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=12AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．解答：（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=1 2 AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．12. 己知：如图，E、F分别是?ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定，在△ABE和△CDF中，很容易确定SAS，即证结论；（2）在已知条件中求证全等三角形，即△ABE≌△CDF，△MBF≌△NDE，得两对边分别对应相等，根据平行四边形的判定，即证．解答：证明：（1）∵?ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF；（2）四边形MFNE平行四边形．由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，又∵ME=BM=1/2 BE，NF=DN=1 / 2 DF∴ME=NF=BM=DN，又∵∠ABC=∠CDA，∴∠MBF=∠NDE，又∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF，∴△MBF≌△NDE，∴MF=NE，∴四边形MFNE是平行四边形．点评：此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．运动型1. （2009?铁岭） △ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．2. （2009?本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．3. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE=β．（1）如图1，若α=90°，求β的大小；（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明，若不成立，试找出α与β之间的新关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：动点型；探究型． 分析：（1）先利用边角边定理证明△DAB与△EAC全等，再根据全等三角形的对应角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；（2）方法同（1）证出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根据三角形内角和定理即可得到α+β=180°；（3）方法同（2）证出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β． 解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°．∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，∴∠EAC=∠DAB．又AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC．∴∠ECA=∠B=45°．∴β=∠ACB+ECA=90°（2）α+β=180°．证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．又AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β．∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论不能成立，此时：α=β成立．其理由如下：类似（2）可证∴△DAB≌△ECA，∴∠DBA=∠ECA，又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA，而∠ACE=β+∠DCA，∴α=β．点评：本题主要考查三角形等腰三角形的性质及全等的判定和全等三角形的对应角相等，做题中，注意题中各角度之间的关系并灵活运用是解题的关键．4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明△PCM≌△QDM．（2）当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：几何综合题；动点型．分析：（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．求证∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP．（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．解答：（1）证明：∵AD∥BC∴∠QDM=∠PCM∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP∴△PCM≌△QDM．（2）解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=（8-5）÷2=1.5．∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．点评：本题综合考查全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．5. 如图所示，∠ADB=∠ADC，BD=CD．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）设E是AD延长线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形ACEB为菱形？说明你的理由．考点：全等三角形的判定；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）直接利用SAS判定△ABD≌△ACD；（2）由（1）可知AB=AC，BD=DC，利用菱形的判定定理（四条边都相等的四边形是菱形）可知道当AB=BD时，AB=AC=BD=DC，四边形ACEB为菱形．解答：（1）证明：∵∠ADB=∠ADC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）．（2）解：根据菱形的性质可知，当点E移动到使AB=BD的位置时，四边形ACEB为菱形． 理由：由（1）可知，AB=AC，BD=DC，当AB=BD时，AB=AC=BD=DC，所以四边形ACEB为菱形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．相关资料四 : 有没有专门解答数学题目的地方速度帮忙，跪求正确答案有没有专门解答数学题目的地方速度帮忙，跪求正确答案①t=logx在1/4≤x≤4上单调增加，所以t的取值范围为[log1/4,log4]，即[-2,2].②f(x)=log(4x)*log(2x)=[log4+logx]*[log2+logx]=(2+t)*(1+t)=(t+1.5)^2-0.25，在-2≤t≤2上，t=-1.5时，f(x)有最小值f[2^(-1.5)]=-0.25；t=2，即x=4时，f(x)有最大值f(4)=12。
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