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线性规划讲义
【知识梳理】
简单的线性规划问题一、知识点
1.目标函数:Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
积储知识：
一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B&0时，Ax0+By0+C&0;当B&0时，Ax0+By0+C&03.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B&0时，Ax0+By0+C&0;当B&0时，Ax0+By0+C&0注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)&0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)&0
二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C&0（或&0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不包括边界;．②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C&0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：
1.Ax+By+C&0,当B&0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B&0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C&0,当B&0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B&0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：①线性约束条件：②线性目标函数：③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：
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高二数学不等式及线性规划单元测试题
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2015年高二数学同步作业：第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时《简单的线性规划问题》（新人教A版必修五）.doc9页
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2015年高二数学同步作业：第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时《简单的线性规划问题》（新人教A版必修五）.doc
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3.3.2　简单的线性规划问题
【选题明细表】
知识点、方法 题号
线性规划的相关概念 1、6
线性规划的最值 或范围 问题 2、3、4、7、8、9、12
实际应用问题 5、10、11
1.目标函数z 3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是 　C A 该直线的截距 B 该直线纵截距
C 该直线的纵截距的相反数
D 该直线横截距
解析:由z 3x-y得y 3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.
2. 2014德州联考 设实数x,y满足约束条件则z 3x-2y的最小值为 　A A -2
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z 3x-2y得y x-,平移直线y x,
经过A 0,1 时,-最大,此时z最小,
z最小 3×0-2×1 -2.故选A.
3. 2014泉州质检 若点 x,y 在曲线y -|x|与y -2所围成的封闭区域内 包括边界 ,则2x-y的最大值为 　C A -6
解析:如图点 x,y 在阴影部分区域内,
当直线y 2x-z过点A 2,-2 时-z最小,此时z最大.
z最大 2×2- -2
4. 2012年高考新课标全国卷 已知正三角形ABC的顶点A 1,1 ,B 1,3 ,顶点C在第一象限,若点 x,y 在△ABC内部,则z -x+y的取值范围是 　A A
解析:由△ABC是等边三角形易知C 1+,2 .由图
当目标函数线l过区域内点C时,z取最小值,
zmin - 1+ +2 1-,
过区域内点B时,z取到最大值,
zmax -1+3 2,∴z的取值范围是 1-,2 .故选A.
5.在“节能补贴”活动中,某厂要将100台彩电运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装彩电20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装彩电10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 　B A 2000元
解析:设需甲型货车x辆,乙型货车y辆,
作出其可行域如图.
可知目标函数z
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高二数学简单线性规划
yoxx -4y≤ - 3 表示的平面区域。 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1更多资源 更多资源x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大
(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ ２yx=1C问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３x-4y=-3A B3x+5y=25ox设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚx-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1y x=1C x-4y=-3 4y=-ＡB3x+5y=25ox设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。x-4y≤-3 4y≤3x+5y≤25 ， x≥1ｙ＝ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? z 斜率为-2的直线在 的直线在y轴上的截距 斜率为 的直线在 轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。yCl 析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,则直线 l： 2 2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故 =z 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直x-4y=-3线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即 zmax＝2×5+2＝12 。oB3x+5y=25Ａxx=1ｘ、ｙ的不等式 方程）构成的不等式组。 的不等式（ 约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、 的一次不等式或方程 的一次不等式或方程。 线性约束条件：约束条件中均为关于 、y的一次不等式或方程。 目标函数：欲求最值的关于x、 的一次解析式 目标函数：欲求最值的关于 、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、 的一次解析式 的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于 、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解：满足线性约束条件的解（ ， ）。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。 可行域：所有可行解组成的集合。 y 最优解： 目标函数达到最大值 最优解：使目标函数达到最大值 或 最小值 的可 行 解。 设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ C有关概念满足下列条件x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1x-4y=-3oB3x+5y=25Ａx求ｚ的最大值和最小值。x=1式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，－z 最小，即ｚ最大。 最小， 最大。x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1y3x+5y=252x－y＝0 ＝C (1,4.4)平移l 当 经过可行域上点C时 平移l0 ， l0经过可行域上点 时，－ｚ最大，即ｚ最小。 最大， 最小。x－4y=－3oB(5,2)Ａx=1x=1x由点坐标_____； 点坐标_______； 得A点坐标 (5,2) ； 点坐标 由 得C点坐标 (1,4.4) ； 点坐标 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25 ＋ ＝ ＋ ＝ zmax＝2×5－2＝8 × ＝ zmin＝2×1－4.4＝ －2.4 ×x－4y＝－3 －∴解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、例2：已知 、y满足 ：已知x、 满足x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1，设z＝ax＋y (a&0)， 若ｚ ，取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与直线重合时，有无数个点， 直线重合时，有无数个点，使 函数值取得最大值，此时有： 函数值取得最大值，此时有： k l ＝kACy3x+5y=25 x-4y=-3C∵4 .4 ? 2 3 =? kAC＝ 1 ? 5 5k l = -a ∴ ∴ -a=?3 5 3 5Ａ Ba=oxx=13x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 ： 多少个整数解。 多少个整数解。x+4y≤11 的可行域中共有 x&0 y&0y5 4 3 2 1由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 、 可行域中的整点为 (1,2)、(2,1)、(2,2) 、 、 故有四个整点可行解. 故有四个整点可行解x +4y=110123453x +２y=10x练习： 练习：设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ Z ｘ、ｙ满足下列条件 +3ｙ ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ2x+3y≤24 x-y≤7 ， y ≥0 y ≤6 x≥0小结: 小结:1．线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤; 3. 求可行域中的整点可行解。更多资源 更多资源
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