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设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b）．证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0．
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证明：∵在[a，b]连续的f（x）不恒为常数，且f（a）=f（b），∴至少存在点c∈（a，b），使得：f（c）≠f（a）=f（b），由题意知：f（x）在[a，c]和[c，b]满足拉格朗日中值定理，∴存在点ξ1∈（a，c）、ξ2∈（c，b），使得：1)，2)，又 f（c）-f（a）和f（b）-f（c）中必有一个大于0，∴f′（ξ1）、f'（ξ2）中必有一个大于0，即：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得：f′（ξ）＞0，证毕．
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由题目的条件“f（x）不恒为常数”表明至少有一点c∈（a，b）使得f（c）≠f（a）=f（b），然后在（a，c）和（c，b）上分别使用拉格朗日中值定理，得到两个导数值，很容易看出这两个导数值必有一个大于0，这样就证明了问题．
本题考点：
拉格朗日中值定理及推论的应用；罗尔中值定理．
考点点评：
此题是满足罗尔定理的，根据图形显而易见，题目的结论是成立，但是为了证明题目的结论，最好是用拉格朗日中值定理．
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四川大学春微积分1-2试题A
&&四川大学春微积分1-2试题A
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大一微积分设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,切f(1)=0 证明：在(0,1)内至少存在一点ε,使得cosεf(ε)+sinεf'(ε)=0
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证明：令F(x)=sinxf(x)则F(0)=0,F(1)=0.且F(X)在(0,1)内可导,在[0,1]连续,F'(x)=cosxf(x)+sinxf'(x)根据罗尔定理有在在(0,1)内至少存在一点ε,使得F'(ε)=0,即cosεf(ε)+sinεf'(ε)=0
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大学微积分题.急求,设F（X）在闭区间(0,1)上连续,在开区间（0,1）内可导,且F（0）=F（1）=0,F（1/2）=1,证明：存在M属于（0,1）使F（M）=M拜托了~~~~没看到还有第二小题。。对任意实数A，必存在至少一点B属于（0，M），使得F'(B)-A(F（B）-B)=1谢谢。。答出2的送五十分。。
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考虑函数g（x）=F(x)-x
,只要证明g（x）在（0,1）上有零点就OK了因为F（X）在闭区间[0,1]上连续,在开区间（0,1）内可导因此g（x）在闭区间[0,1]上连续,在开区间（0,1）内可导因为g（1/2）=F(1/2)-1/2=1/2>0而g（1）=F(1)-1=-1
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微积分 奇偶函数设f(x)为（—∞ +∞）上连续的偶函数,且单调增加,F(x)=∫0 x (2t-x)f(x-t)dt...题目给出的分析：（?由于f(x)为偶函数,故∫0 x f(u)du为奇函数,x∫0x f(u)du为偶函数,uf(u)为奇函数,从而∫0x uf(u)du为偶函数?）括号内的话一句也不明白,请较哪位能为我详解,谢谢!
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这些话的意思是：因为：f(x)为偶函数考虑函数：∫0 x f(u)du作积分变量替换：v=-u∫0 －x f(u)du＝∫0 x f(-v)-dv=-∫0 x f(-v)dv所以：∫0 －x f(u)du为奇函数因为：奇＊奇＝偶x为奇,∫0x f(u)du为奇所以x∫0x f(u)du为偶函数奇＊偶＝奇所以uf(u)为奇函数考虑函数：∫0x uf(u)du作积分变量替换v=-u∫0 -x uf(u)du=：∫0 x -vf(-v)-dv=：∫0x uf(u)du所以∫0x uf(u)du为偶函数
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