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分解因式a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b). 分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c). 问题：a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式好说，但第4个因式a+b+c是怎么想到的？答案中由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c 说得太快了，什么是轮换对称性？求详细解释
悬赏雨点：5 学科：【】
∵当a=b时，a^3(b－c)+b^3(c－a)+c^3(a－b)＝0.∴有因式a－b及其同型式b－c, c－a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得a^3(b－c)+b^3(c－a)+c^3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a) 比较左右两边a3b的系数，得m=－1.∴a^3(b－c)+b^3(c－a)+c^3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）
&&获得：5雨点
轮换对称性，就是f（x1,x2,...x(n-1),xn）=f(x2,x3,...xn,x1)=f(x3,x4,...x1,x2)=....=f(xn,x1,...x(n-2),x(n-1))可以理解为：关于x,y,z的函数，但你发现其中的x,y,z互相交换并不改变函数的值望采纳！
答案在图片上
轮换对称性是一个数学的解题时使用的术语：比如告诉你个关于x,y,z的函数，但你发现其中的x,y,z互相交换并不改变函数的值，如x+y+z=1.则x,y,z具有轮换对称性，这样解题的时候就可以利用，比如让你求x，你就可以写成1/3倍的（x+y+z)对于像以上这样的式子要进行因式分解，先假设a+b+c=k，然后设k=1再代入式子进行因式分解。自己试一下一下！第四章因式分解复习课教学设计-免费数学教学资料
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第四章因式分解复习课教学设计
&&加入日期：15-06-08
第四章& 因式分解
回顾与思考
江西省九江市同文中学& 钟敏
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.
学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．
2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：知识回顾――总结归纳――小试牛刀――总结归纳
――能力提升DD活学活用――永攀高峰．
第一环节& 知识回顾
活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
&&&&&&&&& 2、分解因式与整式乘法有什么关系？
&&&&&&&&& 3、分解因式常用的方法有哪些？
&&&&&&&&& 4、试着画出本章的知识结构图。
活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．
注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
第二环节& 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）
活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（&&&&& ）。
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：引导学生说出相应的理由．
活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
知识点三：利用公式法分解因式
&例3.把下列各式分解因式
活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．
注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。
第三环节& 小试牛刀
活动内容：练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2C16a2&&&&&&&&&&&&&&
活动目的： 连续两次使用公式法进行分解因?。当多项式形式上是二项式时，应?虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
注意事项：区分两个公式法分解因式。
第四环节& 总结归纳
活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
活动目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。
注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。
活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值
&你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例5考察分别考察运用公式法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第五环节& 能力提升
活动内容：知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
&（1）用代数式表示剩余部分的面积；
&（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．
第六环节& 活学活用
活动内容：练一练
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。
注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。
第七环节：& 永攀高峰
活动内容：例10.利用分解因式说明：&&&&&&&&& 能被120整除。
练一练：&&&&&&&& 可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。
活动目的： 利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学习。
注意事项： 练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。
课后练习：完成课后习题。
四、教学设计反思
在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。培养学生的整体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那?可尝试运用公式；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。
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第四章因式分解复习课教学设计
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第四章分解因式
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16-07-05(试卷)
16-06-03(试卷)
14-05-26(试卷)
14-05-18(试卷)
14-05-15(试卷)
14-04-12(试卷)
14-03-23(试卷)
14-03-19(课件)
14-02-26(教案)
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[] &&版权所有@12999教育资源网因式分解初见于九年教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲解，但它的内容却渗透于全部教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培育学生的察看、注意、运算能力，又可以提高学生综合剖析和解决问题的能力。其中四个注意，则必需引起的高度器重 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏１，括号里面分到“底”。现举数例，阐明如下，供参考。例１ 把－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４分解因式。解：－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４＝－（ａ^２－２ａｂ＋ｂ^２－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生涌现诸如－９ｘ^２＋４ｙ^２＝（－３ｘ）^２－（２ｙ）^２＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的过错。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行剖析，如例２ △ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ有如下关系式：－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，求证这个三角形是等腰三角形。剖析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，∴（ａ＋ｃ）（ａ－ｃ）＋２ｂ（ａ－ｃ）＝０，∴（ａ－ｃ）（ａ＋２ｂ＋ｃ）＝０．又∵ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三条边，∴ａ＋２ｂ＋ｃ＞０，∴ａ－ｃ＝０，即ａ＝ｃ，△ＡＢＣ为等腰三角形。例３把－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１分解因式。解：－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１＝－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１（２ｘ^ｎｙ－３ｘ^２ｙ^２＋１）这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“１”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉１。防止学生涌现诸如６ｐ（ｘ－１）３－８ｐ２（ｘ－１）２＋２ｐ（１－ｘ）２＝２ｐ（ｘ－１）２［３（ｘ－１）－４ｐ］＝２ｐ（ｘ－１）２（３ｘ－４ｐ－３）的过错。例４ 在实数范围内把ｘ^４－５ｘ^２－６分解因式。解：ｘ^４－５ｘ^２－６＝（ｘ^２＋１）（ｘ^２－６）＝（ｘ^２＋１）（ｘ＋６）（ｘ－６）这里的“底”，指分解因式，必需进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“清洁”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生涌现诸如４ｘ^４ｙ^２－５ｘ２ｙ^２－９ｙ^２＝ｙ^２（４ｘ^４－５ｘ^２－９）＝ｙ^２（ｘ^２＋１）（４ｘ^２－９）的过错。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种根本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考次序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要适合”是一脉相承的。
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