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教学设计-三角形全等的条件（二）.doc122页
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授课教师：马述文
年 8月 26 日
题 §11．2．1
三角形全等的条件（二）
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
教学重点 三角形全等的条件．
教学难点 寻求三角形全等的条件．
教学方法 参与式 授课时数
计 §11．2．1
三角形全等的条件（二）
1．三角形全等的判定（二）2、边角边公理．3、例题
教学设计（续页）
计 补 充 内 容
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？
3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：
图 1 中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；
图 2 中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．
４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、导入新课
1．三角形全等的判定（二）
1 全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：
如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
∠AOB＝ ∠COD，
教学设计（续页
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八年级第一学期数学教学计划一、 学生基本情况： 这个学期我任教八年级的 200、201 班两个班级。在学生所学知识的掌握程度上，两 个班级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也 较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，在几何中，教 材安排三角形全等知识，我在教学中进行了补充，相对正规教学来说，学生仍然缺少大量 的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关 知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，前面的教学中， 面对山里的孩子，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自 主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养，在以后的教学中，对有条件的孩子 应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课 外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提 升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质； 在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对 数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促， 这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学 生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯， 主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶 行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。 二、教材分析 本学期教学内容，共计四章，知识的前后联系，教材的德育因素，重、难点分析如 下： 第一章 实数 主要内容为算术平方根，平方根，立方根的概念及求法，另外有关 实数的概念和实数的分类 第二章 一次函数 主要内容为通过探索活动抽象出函数的概念，一次函数的概念 进而研究一次函数的有关性质和应用。 第三章 全等三角形主要内容为图形的旋转，图案的设计，三角形全等的性质和判 定方法等。 第四章 频数和频率主要内容为频数与频率的有关概念及频率的计算。 总的来说，本册内容较七年级难度上有圈套较大程度上的加深，重在学生思维能力 的培养，教材注重与学生的实际生活相联系，且版面形成有改变，让学生能主动参与到教 学活动中去。 二、 本学期教学任务： 通过本期的学习，要使学生认识旋转，并用它来解决相关问题，设计图案。掌握全 等三角形的概念、判定和性质，体会化归的数学思想，培养逻辑思维与逻辑推理能力，掌 握实数，二次根式，三次根式概念及其它相关概念，体会并理解频率频数概念及其他一些 概念，这是在知识与技能上。在情感与态度上，通过本期的学习使学生认识到数学来源于 实践，又反作用于实践，认识现实生活中图形间的数量关系，能够设计精美的图案，提高 学生的审美情趣，培养学生实事求是、严肃认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，培养 学生对数学的热爱，对生活的热爱，在民主、和谐、合作、探究、有序、分享发现快乐， 感受学习的快乐。在过程与方法，通过学生积极参与对知识的探究，经历发现知识，发现-1-知识间的内在联系， 让学生经历发现知识道路上坎坎坷坷， 达到深刻理解掌握知识的目的， 达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界，在经历这些活动中，提高学生的动手实践能力，提 高学生的逻辑推理能力与逻辑思维能力，自主探究，解决问题的能力，提高运算能力，使 所有学生在数学上都有不同的发展，尽可能接近其发展的最大值，培养学生良好的学习习 惯，发展学生的非智力因素，使学生潜移默化的接受辩证唯物主义的熏陶，提高学生素质。 三、 提高学科教育质量的主要措施： 1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新 课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅 导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。 2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数 学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。 3、 引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、 交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写 小论文，写复习提纲，使知识来源于学生的构造。 4、 引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现 象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发 散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。 6、 培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提 高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。 7、指导成立“课外兴趣小组”的民间组织，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数 题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。 8、开展分层教学，布Z作业设Z A、B、C 三类分层布Z分别适合于差、中、好三 类学生，课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。 9、 进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识， 辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。 五、全期教学进度安排：内容 周次 1-2 3-5 6-12 13-15 16教学内容 实数 一次函数 全等三角形 频数与频率 期末复习-2-第一章 实数 1．1 平方根（第 1 课时）?教学目标?1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根求某些非负数的平方根。 ?教学重点难点?了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 ?教学方法?观察、比较、合作、交流、探索. ?设计思路?本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到平方根的意义， 并且能够知道正负数以及 0 的平方根的规律。在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的 乐趣，提高学习数学的兴趣，教学千万不能在走老路，先告诉规律，然后讲例题，在做练习。 ?教学过程? （一）创设情景，感悟新知 情景一：设图中的小方格的边长为 1，你能分别说出图中 2 个长方形的对角线 AB,A’B’的长吗？情景二:在等式 x ? a 中 ，已知 x ? ?3 ，你能求 a 吗？已知 a ? 5 ，你能 x 求吗？2（二）探索规律，揭示新知 问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：2 2 ? 4, (?2) 2 ? 4, 1 1 1 1 ( ) 2 ? , (? ) 2 ? , 3 9 3 9 2 2 0.5 ? 0.25, (?0.5) ? 0.25 .（1） 请你举例与上面的式子类同的式子； （2） 你得到什么结论？ （分小组讨论，老师适当参与给予帮助。 ） 如果一个数的平方等于 a， 那么这个数叫做的 a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果 x ? a ，那么 x 就叫做 a 的平方根。2?设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受 平方根的概念? 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能， 请说明理由，并与同学交流。?? ? ? ? 5, ? ? ? 10, ? ?? ?22? 9, ??22? 25,2?1 , 4???22?1 ; 22? 0, ?? ?4.一个正数的平方根有 2 个，它们互为相反数。 一个正数 a 的正的平方根，记作“ a ” ，正数 a 的负的平方根记作“ ? 这两个平方根合起来记作“ ?a” 。a” ，读作“正，负根号 a”.-3-?设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的 平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解? 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？一个正数的平方根有 2 个，它们互为相反数； 0 只有 1 个平方根，它是 0 本身； 负数没有平方根。?设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，我们教师要给 与适当的帮助，要给与鼓励? （三）尝试反馈，领悟新知 例 1 求下列各数的平方根： （1） 25； （2）16 2 （3）15； （4） ?? 2 ? 。 81分析：1、判断这些数是否都有平方根； 2、根据规律各个数的平方根有几个？ ?设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平 方根有两个，对解题方式有提醒按要求? 练习题一：完成书本 4 页练习。 练习题二：1、平方得 81 的数是 ，因此 81 的平方根是 。 2、平方根是它本身的数是 。 3、如果－b 是 a 的平方根，那么 A、 b ? a ；2B、 a ? b2；C、 b ? ?a ；2D、 a ? ?b 。2?设计说明：在练习的过程中，无论哪个层次的学生其回答只得法，我们教师要给与鼓励和肯定? （四）布Z作业，巩固新知 P6 1、2 可选用：一、下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根；如果没有，请说明理由。（1） ； （2） ?? 4.3?2 ； （3） ? 9 ； （4） ? 5 2 。1 41．1 平方根（第 2 课时）?教学目标?1、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的算术平方根。 3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。 ?教学重点难点?理解算术平方根的意义，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题 ?教学方法?观察、比较、合作、交流、探索. ?设计思路?本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到算术平方根的意 义，并且能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感 受学习的乐趣，提高学习数学的兴趣，教学千万不能在走老路，先告诉规律，然后讲例题，在做练习。 ?教学过程? （一）创设情景，感悟新知 情景一：小明家装修新居，计划用 100 块地板砖来铺设面积为 25 平方米的客厅地面，请帮他计 算：每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？-4-情景二：求 4 个直角边长为 10 厘米的等腰直角三角形纸片拼合成的正方形的边长？ ?设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,便于学生主动发现一个数的算 术平方根――正的平方根,为解决问题提供方便? 教师讲解：正数有个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4 的平方根是 ? 2 ，2 叫做 4 的算术平方根，记作 4 = 2 ； 2 的平方根是 ?2 ， 2 叫做 2 的算术平方根，记作 2 ? 2 。（二）探索规律，揭示新知 例题讲解: 例 2 求下列各数的算术平方根: （1）625； （2）0.0081； （3）6； （4）0。 ?设计说明：在书写时仍采用结合文字语言叙述是写法，以利于学生加深对开平方与平方互为逆 运算关系的理解。此题虽然比较简单但也考查了学生对算术平方根的理解情况，我们从学生的角度尤 其学习有困难的学生来思考的话也许讲解起来学生更容易理解了? （三）尝试反馈，领悟新知 完成下列习题,做题后思考讨论交流。 （1）0.01 ?16 2 =（2）? 5?2?? 1? ? （3） ? ? 4? = ? ?， (6)2(4)， (5)?? 16 ?2??? 5?2 =。从这些题目中要引导学生探索发现一般形式：a 2 ? a(a ? 0), a 2 (a ? 0),a 2 ? ?a (a ? 0).?设计说明：在讨论中我们要相信学生只要他们能发现一点规律或自己的看法，都应给予鼓励和 肯定，同时对于学习有困难的学生要提供一定的帮助。 ? （四）归纳小结，巩固提高 1、 你能说出一些数的平方根与算术平方根吗？ 2、 算术平方根与平方根有什么区别与联系？ ?设计说明： 在教学中要学生在解决问题中表现出的不同水平， 让学生交流各自解决问题的策略， 不断获得解决问题的经验，提高思维水平。不要把归纳概括出一般形式作为本节课思维拓展的主要目 标。 ? （五）布Z作业，巩固新知 完成课本 P6 习题 3、4 补充思考题： 1、已知 2a－1 的平方根是?3，3a＋b－1 的平方根是?4，求 a 和 b 的值 2、若 2a ? 8 ? b ? 1 ? 0 ，求 a、b 的值2小测试题 一、选择题 1、下列说法正确的是（）2A、-8 是 64 的平方根，即 64 ? ?8 B、8 是 ?? 8? 的算术平方根，即 C、?5 是 25 的平方根，即? 25 ? 5?? 8?2?8D、?5 是 25 的平方根，即 25 ? ?5-5-2、下列计算正确的是（ A、 1）9 5 ? 16 4B、 41 1 ?2 2 2）C、 0.25 ? 0.05D、 ? ? 25 ? 53、 81 的算术平方根是（A、?9 B、9 C、?3 4、下列说法错误的是（ ） A、 3 是 3 的平方根之一 C、3 的平方根就是 3 的算术平方根D、3B、 3 是 3 的算术平方根 D、 ? 3 的平方是 3二、填空题 1、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ； 2、若 3a+1 没有算术平方根，则 a 的取值范围是 。若 3x-6 总有平方根，则 x 的取 值范围是 。若式子 x－1 的平方根只有一个，则 x 的值是 3，n= ；。3、若 4a+1 的平方根是?5，则 a= 。 4、一个正数的两个平方根为 m+1 和 m－3，则 m= 5、若 a ? 1.2, 则a ?2。；若 m ? 2, 则m ?26、若 x ? 16, 则5 ? x的算术平方根是 7、若 a ? 4 ? b ? 9 ? 0, 求 的平方根。b a1．2立方根教学目标： 1 在一定的情境只，理解立方根的概念，使学生不断获得解决问题的经验，提高思维水平，学 习中要注意感悟“类比”在知识产生和发展过程中的作用。 2 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用 立方运算求一些数的立方根 3 能用立方根解决一些简单的实际问题。 教学重点与难点：正确地理解立方根的概念及符号表示能熟练应用 （一） 创设情境，感悟新知 情境一体积为 1 的正方体，棱长为多少？体积增加 1，棱长为多少？ 情境二做一个正方体纸盒，使它的容积为 64cm ，正方体纸盒的棱长是多少？如果要使正方体纸 盒容积为 25cm ，它的棱长是多少？ 引入课题 1、2 立方根 从实际问题的计算，感受学习立方根的必要性，教学中引导学生借助平方根的定义，平方根的符 号表示，开平方运算，自己给立方根下定义，给出立方根的符号表示和什么叫开立方运算3 3-6-（二） 探索活动 问题一根据立方根的定义，你能举出某个数的立方根吗？你能用符号表示吗？ 例题求下列各数的立方根 (1)-64 （２）－8 125（３）９（４）０问题一 根据计算结果，与平方根作比较有什么不同？与同学交流 巩固练习： １、下列说法正确的是（ ） Ａ任意数 a 的平方根有２个，它们互为相反数 Ｂ任意数 a 的立方根有１个 Ｃ－３是２７的负的立方根 Ｄ（－１） 2 的立方根是－１ ２、下列判断正确的是（ Ａ６４的立方根是 ? ４ Ｂ（－１） ?1 的立方根是１ Ｃ 64 的立方根是２ Ｄ如果 3 a ＝a，则 a＝０ ３、求下列各式中的Ｘ x 3 ＋７２９＝０ （三） 思维拓展，运用新知 （x－３） 3 ＝６４ ）3 3 3 3 １、讨论( ? 8 ) 等于多少？( 2 ) 等于多少？3(?8 ) 3 等于多少? 3 2 3 等于多少？２、练习Ｐ10～11 四、课堂小结，内化新知 1、 立方根和平方根有何异同？ 2、 利用立方根概念进行有关计算 五、布Z作业： 1、 填空题 （1 ）(-1)2005的立方根是，―0.0027 的立方根是2 （2）已知 x =64，则 3 x =（3） 3 ? 155 = 8，3(?1) 2 n ?1 =2 （4） a 为何值时，则 a , a , 3 a , a 中，必是非负数的有-7-2、 选择题 （1）-6 的立方根用符号表示，正确的是（ A3） D? ）3?6B -3 6C-3 ? 6?6（2）若 3 x + 3 y =0，则 x 与 y 的关系是（ AB C D 3、 求下列各式中的 X 3 3 （1）27x －512=0 （2） （2－x） +1=64 4、 如果一个正方体的体积增大为原来的 27 倍，那么它的棱长增大为原来的多少倍？ 5、 计算 ，你能从中找到规律吗？若把 6 换成其他数，规律能成立吗？ 设计说明：第 5 题的练习可以提高学生的探究能力，概括能力，为后续学习打下基础1．3 实数（第一课时）一、教学目的：1、 知道无理数是客观存在的， 了解无理数和实数的概念， 能对实数按要求进 行分类同时会判断一个数是有理数还是无理数。2、 知道实数和数轴上的点一一对应。 3、 经历用有理数估算 2 的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，发展数感，激 发学生的探索创新精神。 二、教学重点与难点： 重点：会判断一个数是有理数还是无理数。 难点： 2 不是有理数， 2 有多大？ 三、设计思路： 本节课通过问题情境，使学生在研究、交流的过程中经历数系的扩充，感受数学的逼近思想，发 展数感等。在引导学生经历感受 2 不是有理数的过程中，通过交流、讨论和探索，让学生感受客观 世界中“无理数的客观存在性” ，从而感受引入新数的必要性。 四、教学过程。 （一）创设情境 情境一：提出问题―我们通过研究边长为 1 的正方形的对角线的长为 2 ，说说你对 2 的认识。 [设计说明：由学生熟知的实例提出问题，从而激发学生的学习兴趣和求知欲。] 情境二：现有一个直角三角形，直角边均为 1，斜边为多少？你认识这个数吗？ [设计说明：在学生运用学过的知识解决一个问题的同时，引出了新的问题，激发学生的探索创 新精神。] 情境三：大家都知道 2 是一个有理数，它的算术平方根为多少？还是一个有理数吗？ [设计说明：通过提出问题和解决问题，让学生感受 2 的客观存在性，同时又产生一个疑问，从 而会主动探索研究这个新问题，直至完全没有疑问。]-8-情境四：为了生活的需要人们引入了负数，数就由原来的正数和 0 扩充为有理数。细心的同学会 发现还有一些不是有理数的数，和有理数一起构成了实数，它们到底是什么数呢？引出课题：实数。 [设计说明：让学生明白引入负数和引入无理数一样，都是生活的需要，同时说明了它们的客观 性，同时告诉学生作好准备，迎接新的“挑战” 。] （二）探索活动 问题 1： 2 是有理数吗？ [设计说明：有理数范围很大，不少学生想到：整数和分数统称有理数，自然会将此问题变成两 个小问题：a、 2 是整数吗？b、 2 是分数吗？若两者都不是，就说明 2 不是有理数。] 问题 2： 2 是一个整数吗？ [设计说明： 从说说对 2 的认识中部分学生就认识到 2 不是整数， 如： 用刻度尺测量， 可知 2 约等于 1.4；在等腰直角三角形中，斜边大于直角边，可知 2 大于１，三角形中两边之和大于第三 边，可知 2 &2，所以１& 2 &2，而在 1 与 2 之间没有整数。 问题 3： 2 是 1 与 2 之间的一个分数吗？（也就是 1 与 2 之间的分数的平方会等于 2 吗？） [从直观上认识 2 ，从中可以让学生感知 2 不是分数，因 2 不是整数，即 2 不是有理数， 是一个新数。] [设计说明：引导学生经历“有理数―实数”的又一次扩充，使学生从中不断积累数学活动的经 验，教学中学生面对这个问题时，可能表现出比较盲目，不知如何着手，教师可以引导学生思考、交 流，并给予适当的指导。] 问题 4： 2 有多大？ [设计说明：问题 2 是定性的研究，知道7 3 & 2 & ，即 1.4& 2 &1.5，问题 3 上升到定量的研 5 2究――更精确的描述 2 。学生借助研究问题 2 的思路容易整理出研究问题 3 的思路。教学中可能学 生夹逼的方法各有不同，要鼓励学生进行充分的探索，在探索中体会“无限”的过程。] （三）课堂反馈 例题 1、把下列各数填入相应的集合内：1 ? 3 、 3 ? 8 、0、 27 、 、 0.5 、3.14159、-0. 30.… （1）有理数集合{ （2）无理数集合{ （3）正实数集合{ （4）负实数集合{ } } } }分析：要正确地将以上各数分类，就必须对各类书的概念十分清晰，用概念来判定。 练习一：课本练习 P13-9-练习二：判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。 （1）无理数都是无限小数。 （2）带根号的数不一定是无理数。 （3）无限小数都是无理数。 （4）数轴上的点表示有理数。 （5）不带根号的数一定是有理数。 练习三：课本练习 P14 [设计说明：在例题后安排了一组练习，练习一主要是对有关概念的强化，练习二主要是通过学 生对概念的进一步理解，比较和判断，提高他们的是非辨别力，它是在课本练习第 2 题的基础上增加 了几个问题，其目的是通过一组判断题，帮助学生澄清概念，杜绝两者混淆。练习三可留作课后思考， 时间允许的话最好课内解决，先让学生独立思考，然后小组讨论，教师也要参与，这种合作学习不仅 可以激活学生的思维，培养合作精神，而且有助于因材施教，可以弥补教师难以面对有差异的众多学 生的不足，有助于每个学生的全面及自主发展。] （四）课堂小结 ⒈怎样的数是无理数？请举例说明 ⒉说说你对数的认识。 （可以小论文的形式出现） （五）布Z作业 课本习题 P18 T1，21．3 实数（第二课时）一、 教学目的： 1、了解有理数的运算在实数范围内仍然适用，能用有理数估计一个无理数的大致范围。 2、理解有效数字的概念，会根据要求进行近似值的运算。 3、能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算。 4、通过用不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义、发展数感和估算能力，在 运用实数运算解决实际问题的过程中，增强应用意识，提高解决问题的能力，体会数学的应用价 值。 二、教学重点和难点： 重点：在实数范围内会运用有理数运算。 难点：用有理数估算一个无理数的大致范围。 三、设计思路： 在实际生活中，经常会遇到无理数，常常需要估算这些无理数的大小，到目前为止，学生经 历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原由的运算法则和运算性质，从中让学生体会到数学的和谐 美。 四、教学过程： ? 回顾旧知 ⑴ 在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？ ⑵ 比较两个有理数的大小有哪些方法？ ⑶ 你能借用有理数范围内的规定举例说明无理数的绝对值、无理数的倒数、两个无理数互为相 反数吗？ [设计说明：回顾（2）后，教师应指出实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全 相同，并且有理数大小比较的方法、运算性质及运算律在实数范围内仍然适用，通过回顾旧知，在此- 10 -基础上学生更易接受新知，把握新知和运用新知。] ? 探求新知 问题 1、比较 3 与 7 的大小，说说你的方法。 [设计说明：问题 1 起着承上启下的作用，在比较的过程中，学生可能有各种不同的方法，教师 要鼓励学生进行充分的交流。] 问题 2、你还会比较- 7 与-1.5 的大小吗？问题 3、你认为5 ?1 与 0.5 哪个大？你是怎么想的？与同学交流。 2 5 ?1 3 与 的大小吗？ 2 4问题 4、通过估算，你能比较[设计说明：教师应先让学生独立思考，然后进行充分的交流，在交流中应更多的关注学生能否 运用有理数估算一个无理数的大致范围， 把握数的相对大小， 同时理解一些比较两个数大小的方法： a、 通过估算 b、作差 c、作商 d、利用已有的结论 e、利用计算器。] ? 例题教学 例题 1、利用计算器比较 ? 3 9 与 ? 4.3265 的大小 分析：两个负数比较大小，先比较其绝对植，大的反而小。要比较 ? 3 9 与 ? 4.3265 的大小， 应先比较 3 9 与 4.3265 ，这时需用计算器显示出结果。 [设计说明：有些简单的无理数，可通过估算直接比较大小，而有些无理数需借助高科产品，如 计算器或计算机来完成，此题就属于后者，没有便用计算器的地区，可以考虑为学生提供常用数学表 或提供相关数据]。 练习 P15 第 2 题 [设计说明：让学生学会用各种方法比较两个数的大小，练习二主要是对知识的应用，同时对学 生提出了更高的要求，会灵活运用各种方法比较两个数的大小，同根号的数可以将系数带进去后应比 较根号里新数的大小，即互为相反数的两个数可以只估算其中一个数与 1 的大小关系，则另一个数与 之相反，当然还可以借助其他工具（计算器或计算机或常用数学用表等） 。] 例 2，计算 ⑴ 5 ? ? （保留 2 位小数） ⑵ 2 ? 3 2 （保留 2 位有效数字）[设计说明：例 1 主要让学生会用计算器求一个无理数，例 2 是在例 1 的基础上增加了难度，对 学生也提出了更高的要求，让学生学会用计算器求多个无理数的混合运算及实数运算，在实数运算中 涉及无理数的计算，可根据问题的要要取其近似值转化成有理数进行计算，向学生说明：在计算过程 中，取近似值时，可以按照计算结果要求的精确度，多保留一位。有效数字是指从一个数的第一个非 零数字开始， 一直到数的结尾， 所有的数字称之为这个数的有效数字。 有效数字有包括数字左端的 0。 ] 练习：课本 P17 练习 [设计说明：此练习主要是对刚学过知识的强化，教师应针对不同层次的学生提出不同的要求。] ? 课堂小结 ⑴说说你是如何估算一个无理数的大小，你在生活中见过估算的方法吗？或举例说明- 11 -⑵请你尝试用估算的方法比较5 ?1 5 与 的大小 2 8⑶我们经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原有的运算法则和运算性质，从中我们可 以体会到数学的和谐 ? 布Z作业，巩固新知 课本 P18 习题 1.3 T3，4，51．4 平面直角坐标系（一）教学目标: 1、知识目标:认识平面直角坐标系，知道点的坐标及象限的含义。 2、能力目标:能够在给定的直角坐标系中，根据点的坐标指出点的位Z，会由点的位Z写出点的 坐标。 3、情感目标:经历画坐标系，由点找坐标等过程，让学生进一步感受“数形结合”的数学思想， 感受“类比”和“坐标”的思想，体验将实际问题数学化的过程与方法。 教学重点:平面直角坐标系 教学过程: 一、复习铺垫 1、什么是数轴？ 2、数轴上的点与_______实数一一对应。 3、写出数轴上 A、B、C 各点的坐标。 C A B 教学难点:确定点的坐标-5-4-3-2-10123456二、探究活动 1、想一想：在教室里怎样确定一个同学的位Z？ 2、上电影院看电影，电影票上至少要有几个数字才能确定你的位Z？ 解 3、怎样表示平面内的点的位Z？ 放 商业城 路 （小明和小亮是网上认识的好朋友， 今年暑假，小亮邀小明到他家所在 的镇江市去玩，他发了 E_mail 给 小明：我家在镇江市中山路南边 20 米，解放路西边 50 米。你能根据 小亮的提示从右图中找出他家的位Z吗？ 想一想： 中山路城市 客厅 中山路解 放 路国际 饭店- 12 -1、小亮是怎样描述他家的位Z的？ 2、小亮可以省去“南边”和“西边”这几个字吗？ 3、若小亮说在“中山路南边、解放路东边” ，你能找到他家吗？ 4、若小亮只说在“中山路南边 20 米”或只说在“解放路西边 50 米“，你能找到他家吗？ 三、接受新知 平面上有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。 水平方向的数轴称为 x 轴或横轴，竖直方向的数轴称为 y 轴或纵轴，它们统称坐标轴。 公共原点 O 称为坐标原点。 四、确定点的位Z 1、若平面内有一点 P（如图） ，我们应该如何确定它的位Z？ （过点 P 分别作 x、y 轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，即为点 P 的坐标， 可表示为 P（a，b） ） 2、若已知点 Q 的坐标为（m，n） ，该如何确定点 P 的位Z？ （分别过 x、y 轴上表示 m、n 的点作 x、y 轴的垂线，两线的交点即为点 Q） 例：分别在平面内确定点 A(3,2)、B(2,3)的位Z，并确定点 C、D、E 的坐标。 五、练习： （判断： ）⑴对于坐标平面内的任一点，都有唯 一的一对有序实数与它对应.（ ⑵在直角坐标系内，原点的坐标是 0.（ 六、课堂小结： 今天我们学到了什么？ 1、怎样建立坐标系？ 2、怎样确定点的位Z？ 3、不同位Z的点的坐标的特征。 七、分别在坐标系中描出下列各点的位Z：A（－3,4） 、B（5，－4） 、 C（－6，－3） 、D（－4，２） 八、 “坐标之父”――笛卡尔介绍 法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔()，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国 外避难。他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。但在今天，法国 首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以 来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。 ） ）- 13 -笛卡尔的著作， 无论是数学、 自然科 学， 还是哲学， 都开创了这些学科的崭新时代。 《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽 则只有 117 页，但它标志着代数与几何的第一 次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不 同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为 代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著 作都是在荷兰完成的， 其中 1637 年出版的 《方 法论》一书成为哲学经典。这本书中的 3 个著 名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了 笛卡儿在数学、 物理和天文学中的地位。 《几 在 何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺 点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多 的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的 思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决 这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。笛卡尔一生作出了多方面的 贡献，他在 1634 年写的《宇宙学》，包含当时被教会视为“异端”的观点：他提出地球自转和宇宙无 限；他提的漩涡说是当时最权威的太阳起源理论；他还提出了光的本性是粒子流的假说，并认为在广 袤无垠的太空中存在着极其精细的以太。直到二三百年以后，笛卡尔的这些观点仍具有很高的研究价 值。笛卡尔出生于法国拉哈的律师家庭，他一出世母亲就病故了，依靠保姆照料长大。笛卡尔在当时 欧洲最著名的拉夫雷士学校读书，他虽身体孱弱，但尊敬师长，勤奋刻苦。笛卡尔生活在资产阶级与 封建领主、科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说教有强烈的怀疑批判精神，坚定 不移地寻找真理。笛卡尔在获得法学博士学位后，为了“读世界这本大书”，曾到荷兰服役，一边到 各地旅行，一边和朋友讨论数学和科学问题。他探求正确的思想方法，创立为实践服务的哲学，“才 能成为自然的主人”。退伍以后，主要居住在荷兰，也曾回到法国，从事学术研究。1649 年应邀去瑞 典担任女王的教师，最后因肺炎病逝在异国。1．4平面直角坐标系(二)教学目标 1.能建立适当的直角坐标系,描述物体的位Z; 2.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位Z. 3.经历画坐标系、描点、连线,等过程,发展学生的数形结合的意识, 合作交流的意识. 重点、难点 重点：建立适当直角坐标系,描述物体的位Z; 难点：建立适当直角坐标系. 教学过程 一、复习旧知,导入新课 问题:1.为什么叫做直角坐标系,画出直角坐标系. 2.写出图中点 A、B、C、D,E 的位Z.- 14 -y B5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6y E5 4 3 2 1-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2xA-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5123456x-3 -4 -5D C二、师生共同活动 例:在平面直角坐标系中描出下列各点: A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,4). 分析:先在 x 轴上找出表示 4 的点,再在 y 轴上找出表示 5 的点, 过这两个点分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂线的交点就是 A. 师生共同活动作出点 A、B、C、D、E 由学生独立完成. 探究:如图,正方形 ABCD 的边长为 6.DCA(O)Bx(1)如果以点 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,建立平面坐标系,那么 y 轴是哪条线? (2)写出正方形的顶点 A、B、C、D 的坐标. (3)请另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点 A、B、C、D 的坐标又分别是多少?与同 学交流一下. 学生讨论、交流后,得到以下共识: ①y 轴是 AD 所在直线. ②A(0,0),B(0,6),C(6,6),D(6,0). ③让部分学生描述,并投影作法,同学讨论. ④建立的平面直角坐标系不同,则各点的坐标也不同. 三、巩固练习 教科书 P21 做一做；练习 T1 四、作业 一、填空题. 1.若点 P(x,y)满足 xy=0,则点 P 在___________. 2.在平面直角坐标系中,顺次连结 A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),D(3,4)四点, 所组成的图 形是________. 3.若线段 AB 的中点为 C,如果用(1,2)表示 A,用(4,3) 表示 B, 那么 C 点的坐标是 ________. 4.若线段 AB 平行 x 轴,AB 长为 5,若 A 的坐标为(4,5),则 B 的坐标为________.- 15 -二、解答题. 1.在图直角坐标系中描出下列各组点,并将各组点用线段依次连结起来,观察所得到的图 形,你觉得它像什么? (1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5); (2)(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3); (3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(3.5,9); (4)(3,7),(1,5)(2,5),(5,5),(6,5),(4,7); (5)(2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5). 2.如图长方形 ABCD 的长和宽分别是 6 和 4.以 C 为坐标原点,分别以 CD、 所在的直 CB 线为 x 轴、 轴建立直角坐标,则长方形各顶点 y 坐 标 分 别 是 多y B A少?C(O) D x1．4 平面直角坐标系（三）?教学目标? 1、能根据坐标描出点的位Z（坐标都为整数） ； 2、能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位Z； 3、能根据点的位Z关系探索坐标之间的关系，以及根据坐标之间的关系探索点的位Z关系． ?重点难点? 重点：根据点的坐标在直角坐标系中描出点的位Z。 难点：探索特殊的点与坐标之间的关系。 ?教学过程? 一、提出问题 1、在图 1 的平面直角坐标系、中，你能说出三角形 ABC 三个顶 点 A，B，C 的坐标吗？ 2、思考： 在上面的问题中，点 B 和点 C 的坐标之间有什么关系？每一个点 的横坐标与纵坐标的符号与什么有关？ 设计意图：设计这两个问题，一方面是复习上一节课的知识，一方面又为本节课的学习做准备． 由于本节课是建立在上一节课的基础之上的，因此以复习的方式来引入新知的学习，也不失为 一种好的方法。 二、学习新知 1、象限的概念： 以教师讲解的方式介绍四个象限的概念，如图 2 注意：坐标轴上的点不属于任何象限。 2、探究点的位Z与它的坐标的符号之间的关系． 分组讨论： （1）四个象限内的点的坐标的符号有什么规律？- 16 -（2）从上表中你还能发现什么规律？ 最后归纳出一、二、三、四象限内点的坐标的符号分别是（＋，＋）（－，＋）（－，－） ， ， ， （＋，－） ．同时还可以让学生说出：x 轴的正半轴上的点的横坐标为正数，纵坐标是零…… 设计意图：通过学生自己的探究，既有利于对四个象限概念的理解，又有利于对点的坐标的理解。 3、口答：分别说出下列各个点在哪个象限内或在哪条坐标轴上？ A（6，－2） ，B（0，3） ，C（3，7） ，D（－6，－3）E（－2，0） ， F（－9，5）] 设计意图：这里安排一组口答练习，是为了及时运用前面的规律，培养学生的空间想象能力；二 是为下面例题的学习做准备。 三、探究活动 活动一：教材第 24 页的“做一做” ． 处理方法：先让学生独立尝试，然后小组内交流，最后教 师进行归纳：用方位角与距离也可以描述点的位Z。 活动二：在方格纸上分别描出下列点的坐标，看看这些点在什么位Z上，由此你有什么发现？ A(2，3)，B(2，－1)，C(2，7)，D(2，0)，E(2，－5)，F(2，－4) 设计意图：活动二主要是让学生发现与 y 轴平行的直线上的点的坐标的特征。 四、巩固新知 1、在平面直角坐标系中描出下列各点： A（－3，－1） ，B（－3，2） ，C（0，2） ，D（3，2） ，E（3，－1） ， F（0，－1） 并用线段顺次连接各点，看看你画出的图形是什么形状？ 五、总结归纳 让学生围绕教师的问题进行回答： 1、本节课学习了哪些知识和方法？ 2、你认为应该注意哪些方面的问题？ 3、你有什么收获？ 六、布Z作业 1、 必做题：教材 P1.4 习题 A 组． 2、 选做题：教材 P1.4 习题 B 组实数复习课一. 教材分析： 本章是学习二次根式，一元二次方程的预备知识。在中招考试中多以填空、选择形式出现， 有的与后续知识综合出现。本章的概念多，并且比较抽象，但却是以后学习的基础，一定要好好掌握。 二. 复习目标： 1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。 2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。 3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。 三. 重点、难点 1. 重点是无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。 2. 难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则的进行有关计算题目，特别是平 方根与算术平方根的不同之处。 四. 复习内容- 17 -（一）基本知识回顾 实数的应用 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。?算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x 2 ? a ? ?那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为 a ， ? ?算术平方根为非负数 a ? 0 ? ?正数的平方根有 2 个，它们互为相反数 ? ? ? ? 平方根 ?0的平方根是 0 ? ? ? ?负数没有平方根 ? ? ? 2. 无理数的表示 ?定义：如果一个数的平方等于a，即x 2 ? a，那么这个数就 ? 叫做a的平方根，记为 ? a ? ? ?正数的立方根是正数 ? ? ?立方根 ?负数的立方根是负数 ? ? ? ? ?0的立方根是 0 ? ? ?定义：如果一个数x的立方等于a，即x 3 ? a，那么这个数x ? ? 就叫做a的立方根，记为 3 a . ??概念有理数和无理数统称实数 ? ?正数 ? ?有理数 ? ? ? ? ?分类 ?无理数 或 ? 0 ? ? ? ? ?负数 ? ? 3. 实数及其相关概念 ? ?绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 ? ?实数与数轴上的点是一一对应 ?实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 ? ?运算规律相同。 ?（二）专题总结： 专题一 利用非负数解题的常见类型2 例 1. 已知 x ? 5 ?| y ? 3| ? 0，求x ? 2 y的值。解：? x ? 5 ? 0，| y ? 3| ? 0，且 x ? 5 ?| y ? 3| ? 0? x ? 5 ? 0，| y ? 3| ? 0? x ? 5 ? 0，y ? 3 ? 0 ? x ? 5，y ? 3? x 2 ? 2 y ? 25 ? 6 ? 19- 18 -点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。已知y ?例 2.x?2 ? 2? x ? 5，求y x 的值。 ( x ? 1) ? 2003解：? x ? 2 ? 0，2 ? x ? 0? x ? 2 ? 0，即x ? 2? y ? 5， ? y x ? 52 ? 25点拨：利用被开方数的非负性。 （三）中考突破 （1）中考典题在实数 ?例 1. A. 1 个2 ，0， 3， ? 314 ， 4 中无理数有（ . 3B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个）解： 无理数只有 3，所以选A 点拨：依据无理数、有理数的定义进行判别。2 例 2. 已知x、y为实数， 3x ? 4 ? y ? 6 y ? 9 ? 0，若axy ? 3x ? y，则实数a 的值是（）A.1 4B. ?1 4C.7 4D. ?7 42 2 解：? 3x ? 4 ? y ? 6 y ? 9 ? 0， 3x ? 4 ? ( y ? 3) ? 0又 ? 3x ? 4 ? 0，( y ? 3) 2 ? 0 ? 3x ? 4 ? 0，( y ? 3) 2 ? 0? 3x ? 4 ? 0，y ? 3 ? 0，4 ? x ? ? ，y ? 3 3又 ?axy ? 3x ? y，? 4? ? 4? ?a ? ?? ? ? 3? 3? ?? ? ? 3 ? 3? ? 3?? 4a ? 1，a ?1 4∴选 A。 （四）学科内综合题 例 3. 下列计算中正确的有（）- 19 -A. 2 3 ? 3 2 ? 5 5B. a 2 ? a 3 ? a 6C. 3?2 ?1 90D. ?3 ? ? ? ? 0解： A中的两项不能合并；B中a ? a ? a ；D中3 ? ? ? 0，2 3 5? (3 ? ? ) 0 ? 1，只有C中3?2 ?点拨：1 是对的，故选C。 9注意实数计算中只有如 2 3 ? 3 3 ? ?2 ? 3? 3才能合并2 例 4. 已知△ABC 的三边长分别为 a、 c， a、 c 满足： a ? 3 ?|b ? 4|?c ? 10c ? 25 ? 0 b、 且 b、试判断△ABC 的形状。2 解：? a ? 3 ?|b ? 4|?c ? 10c ? 25 ? 0? a ? 3 ?|b ? 4|?(c ? 5) 2 ? 0 ? a ? 3 ? 0，|b ? 4| ? 0，(c ? 5) 2 ? 0? a ? 3 ? 0，b ? 4 ? 0，c ? 5 ? 0 ? a ? 3，b ? 4 ，c ? 5又 ? a 2 ? b2 ? c2∴△ABC 是直角三角形。 点拨：此题综合地利用了非负数的性质以及直角三角形的判定条件。? ? ?? 例 5. ? 3 ? 2? ? ? 3 ? 2? 解： ? ? 3 ? 2? ? ? 3 ? 2? ? ? ? ?? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?? ? ?化简： 3 ? 23? 2?2002200220023? 23?2002? 2? ?；20023? 2点拨：利用幂的乘方的逆运算。 例 6. 计算：（1）?2 ?1??2 ?1 ??- 20 -? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ? ? （ 3） ?2 ? 3 ??2 ? 3 ? ? （ 4 ） ? 5 ? 2?? 5 ? 2? ?（2）2 2 2； ； .通过以上计算，观察规律，写出用 n（n 为正整数）表示上面规律的等式___________。? 2 ? ? 1 ? 1；? 3? ? ? 2 ? ? 1；4 ? ? 3? 解： ? n ? 1 ? n ?? n ? 1 ? n ? ? 1 规律：2? 1； 5? ?2?4 ?1（五）应用题 例。小明要用体积是 125cm3 的木块做成八个一样的小正方体，那么这八个小正方体的 棱长是多少？ 解：设八个小正方体的棱长为 x。则8 x 3 ? 125，x 3 ? 所以x ? 5 cm 2125 8答：小正方体的棱长为 2.5cm。 点拨：做成小正方体后，体积不变。 例 3. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ? 16 df 。其中v表示车速（单位：km / h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m） 表示摩擦 ，f系数，在某次交通事故调查中测得 d=24m，f=1.3，则肇事汽车的车速大约是__________km/h。. . 解：?v ? 16 24 ? 13 ? 16 312 ? 89.6点拨：?5 ? 25， 6 ? 362 2? 5 ? 312 ? 6 .又 ?5.6 2 ? 3136 .? 312 ? 5.6 .8 ? x 2 ? 25，x 2 ? 28125，x ? 28125 . . 9? 52 ? 25，62 ? 36， ? 5 ? x ? 6，又 ? 5.32 ? 28.09? 28125 ? 5.3cm .（六）思想规律方法总结本章的数学思想有转化和分类，比如：求一个负数的立方根时，转化为求一个- 21 -正数的立方根的相反数。又如：讨论数的平方根、立方根时，采用的是分类的思想，还有 实数的分类等。 方法有类比的方法，学习实数的有关概念及其运算律、运算法则时，通过类比 认识了新旧知识的区别及它们之间的联系， 实数的相反数、 绝对值等概念是完全类比有理 数建立起来的，运算律和运算法则也是通过类比得出的。八年级实数单元复习检测题（3 课时）姓名 得分 一、选择题： 1． 0.0196 的算术平方根是（ ） A、0．14 B、0.014 C、 ?0.14 D、 ?0.014 2． (?6) 的平方根是（2） C、±6 D、± 63 3A、－6B、362 3．下列计算或判断：①±3 都是 27 的立方根；② a ? a ；③ 64 的立方根是 2；④ 3 (?8) ? ?4 ，其中正确的个数有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 4、在下列各式子中，正确的是（ ）3 A. 3 ( ?2) ? 2 ;D、4 个2 B. 3 ?0.064 ? ?0.4 ; C. (?2) ? ?2 ;D. (? 2) ? ( 3 2) ? 02 35、下列说法正确的是（ A.有理数只是有限小数 C.无限小数是无理数 6、下列说法错误的是2 A. ( ?1) ? 1） B.无理数是无限小数 D.? 是分数 33() B. 3 ?? 1? ? ?1C.2 的平方根是 ? 7． 2 ， 3 3 , 12D. (?3) ? ?? 2? ??3? ?22 的大小关系是（ ） 5 2 2 2 A. 2 & 3 3 & 1 ; B. 1 & 2 & 3 3 C. 2 & 1 & 3 3 ; 5 5 5D. 3 3 & 12 & 2 58.下列结论中正确的是（ ） A.数轴上任一点都表示唯一的有理数; B.数轴上任一点都表示唯一的有理数; C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 9．-27 的立方根与 81 的平方根之和是（ A.0 B.6 二．填空题: C.0 或-6 ） D.-12 或 6- 22 -1 ． 下 列 各 数 ： ①3.141 、 ②0.33333 ? ? 、 ③5 ? 7 、 ④ π 、 ⑤ ? 2.25 、 ⑥ ?2 、 3⑦0.3??（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2） 、⑧0 中。其中是有理数的有＿＿＿ ＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。 （填序号） 3.4 的平方根是＿＿＿＿；0.216 的立方根是＿＿＿＿。 9；绝对值等于 2 的数是 ．4.算术平方根等于它本身的数是＿＿＿＿；立方根等于它本身的数是＿＿＿＿。 5. 6 的相反数是6.估算面积是 20 平方米的正方形，它的边长是＿＿＿＿＿米（误差小于 0.1 米） 7.一个正方体的体积变为原来的 27 倍，则它的棱长变为原来的＿＿＿＿倍。 8.若一正数的平方根是 2a-1 与-a+2，则 a= . 9.满足- 2 &x& 5 的整数 x 是 10. 若 4a ? 1 有意义，则 a 能取的最小整数为 . .四、小明从家出发向正东方向走了 160 千米，然后又向正北出发走到离家 200 千米远的地方。小明向 正北方向走了多远？五、李国涛同学家的客厅是面积为 28 平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长 x 是不是有理数，为什么？如果误差要求小于 0.1 米，那么边长 x 的取值是多少？六、如图,已知 OA=OB:（1）说出数轴上表示点 A 的实数; (2) 比较点 A 所表示的数与-2.5 的大小.B1 -3A -2-10123七． 探索猜想: 1． 判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（ ）内打对号 ，不成立的打错号 。 ① 2?2 2 ?2 3 3（） ；② 3?3 3 ?3 ( 8 8)- 23 -③4?4 4 ?4 （ 15 15） ；④ 5?5 5 ?5 ( 24 24)(1)你判断完以后，发现了什么规律？请用含有 n 的式子将规律表示出来，并说明 n 的取值范围？ (2)请用你学过的数学知识说明你所写式子的正确性。附加题: 2． 1 ?1 1 ? ? 12 22;1?1 1 1 1 ? 2 + 1 ? 2 ? 2 =________; 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ? 2 + 1? 2 ? 2 + 1? 2 ? 2 2 1 2 2 3 3 41 1 ? =_______; 2 n (n ? 1) 2.1?由此猜想 1 ?1?1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ?? ? 1? ? = 2 2 1 2 2 3 3 4 - 24 -第二章 一次函数 2．1 函数和它的表示法（第一课时）〖教学目标〗 1、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。 2、了解函数与自变量的概念能在某一简单的过程中辨别函数与自变量。 〖教学重点与难点〗 教学重点：自变量与函数的概念。 教学难点：本节范例由于学生知识的限制，对一些量不熟悉，而且涉及一定的物理知识，是本 节教学的难点。 〖教学过程〗 引言： 一辆长途客车从杭州驶向上海，全程哪些量不变？哪些量在变？ 当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量，如物体运动中的速度、时 间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中各时刻变化着的 气温；某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。 合作交流，探求新知： 1、请讨论下面的问题： （1）圆的周长公式为 C ? 2? r ，请取 r 的一些不同的值，算出相应的 C 的值：r? r? r? r?cm cm cm cms? s? s? s?cm cm cm cm…… 在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？ （ 2 ） 假 设 钟 点 工 的 工 资 标 准 为 6 元 / 时 ， 设 工 作 时 数 为 t, 应 得 工 资 额 为 m, 则 m =6 t 取一些不同的 t 的值，求出相应的 m 的值： cm m? t? cm m? t? cm m? t? cm m? t? …… 在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量在改变？哪些量不变？ 设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？ 2、变量与常量的概念形成： 在一个过程中，固定不变的量称为常量，如上面两题中，圆周率 ? 和钟点工的工资标准 6 元/ 时。可以取不同数值的量称为变量，如上面两题中，半径 r 和圆面积 s，工作时数 t 和工资额 m 都是- 25 -变量。又如购买同一种商品时，商品的单价就是常量，购买商品数量和相应的总价就是变量；某段河 道一天中各时刻变化着的水位也是变量。 注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需这两个方面： ①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。 3、巩固概念： （1）向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆，①在这个变化过程中 有哪些是变量？②若面积用 s ， 半径用 r 表示， s 和 r 的关系是什么？ ? 是常量还是变量？③若周长 则 用 C，半径用 r 表示，则 C 和 r 的关系是什么？ （2）在行程问题中，当汽车在匀速行驶的过程中，速度、行驶的时间和路程哪些是常量，哪些 是变量？若一辆汽车从甲地向乙地行驶，所需的时间、行驶速度和路程哪些是常量，哪些又是变量？ 常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。 三．函数的概念 在第一个环节的基础上，教师归纳得出函数的概念： 一般地，如果对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值，那么就说 y 是 x 的函数， x 叫 做自变量． 例如，上面的问题 1 中，m 是 t 的函数，t 是自变量；问题 2 中，s 是对 v 的的函数，v 是自变量． 教师指出：①函数概念的教学中，要着重引导学生分析问题中一对变量之间的依存关系 ――当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值． ②函数的本质是一种对应关系――映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说是难以接受的， 所以课本对函数概念采取了比较直观的描述．这种直观的描述也和传统教材有所区别：描述中改变了 过去那种“y 都有唯一确定的值和它对应”的说法，即避开“对应”的意义． ③实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足①代数式有意义；②符合实际． 如问题 1 中自变量 t 表示一个月工作的时间，因此 t 不能取负数，也不能大于 744；如问题 2 中 自变量 v 表示助跑的速度 v ，它的取值范围为 0& v &10.5． 练习巩固： 课内练习 1、2、 小结回顾，反思提高 常量和变量的概念。 常量与变量必须存在与一个变化过程中。常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言 的。 函数与自变量的概念。 作业：P32 说一说 P36 习题第 1，2 题2．1 函数和它的表示法(第二课时)〖教学目标〗 ◆1、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． ． ◆2、理解函数值的概念． ◆3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：函数的表示法，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的 基础，因此函数的有关概念是本节的重点．- 26 -◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过 程，是本节教学的难点． 〖教学过程〗教学过程分以下 6 个环节： 创设情境 问题 1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按 16 元／时计算．设小 明的哥哥这个月工作的时间为 t 时，应得报酬为 m 元，填写下表： 工作时间 t （时） 报酬 m （元） 然后回答下列问题： （1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量 16，变量 t 、 m ） （2）能用 t 的代数式来表示 m 的值吗？（能， m =16 t ） 教师指出：在这个变化过程中，有两个变量 t ， m ，对 t 的每一个确定的值， m 都有唯一确定的 值与它对应． 问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离 s (米)与助跑的速度 v (米／秒)有关．根 据经验，跳远的距离 s ? 0.085v 2 (0& v &10.5) ． 然后回答下列问题： （1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量 0.085，变量 v 、 s ） (2)计算当 v 分别为 7.5，8，8.5 时，相应的跳远距离 s 是多少(结果保留 3 个有效数字)? (3)给定一个 v 的值，你能求出相应的 s 的值吗? 教师指出：在这个变化过程中，有两个变量 v ， s ，对 v 的每一个确定的值， s 都有唯一确定 的值与它对应． 本环节设计的意图：通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概 念，又为本节课学习函数的概念作好准备． 探究新知 ：函数的表示法 ①解析法：问题 1、2 中， m =16 t 和 s ? 0.085v 2 这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的 等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法． ②列表法：有时把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方 法是列表法．如表（图 7-2）表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系． 月份 m 平均气温 T （℃） 1 3 .1 2 5 .3 3 9 5.4 4 1 0.2 5 2 4.3 6 2 8.6 7 2 8.0 8 2 3.3 9 0 2 7.1 1 1 1 2.2 1 2 1 .3 1 6 1 5 10 1 5 0 2 …t….8③图象法: 我们还可以用法来表示函数，例 如图中的图象就表示骑车时热量消耗 W (焦)与身 体质量 x (千克)之间的函数关系．解析法、图象法 和列表法是函数的三种常用的表示方法． 教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是 表示函数的三种方法， 都很重要， 不能有所偏颇． 尤 其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习 中经常用到，教学中应引起学生的重视． （2）对于列表法，图象法，如何表示两个变 量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学- 27 -中可以用课本表 7-2 和图 7-1 来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法． （3）函数值概念 与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化． 若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值． 例如对于函数 m =16 t ，当 t =5 时，把它代人函数解析式，得 m =16?5=80(元)． m =80 叫做当自变量 t =5 时的函数值． 由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的 概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象． 若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系 中，当 m =2 时，函数值 T =5.1；当 m =10 时，函数值 T =17.1． 若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗 W (焦)与身体质量 x (千克)之间的函数关系中，对 给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如 x=50，我们只要作一直线垂直于 x 轴，且垂足为点(50， 0)，这条直线与图象的交点 P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值 x=50 时的函数值，即 W=399(焦)． 教师指出：当函数用解析法表示时，函数值的概念与学生已经学过的代数式的值的概念几乎没 有什么区别，所以课本没有对函数值的概念作重新定义，教学中可以增加一些求函数值的练习，使学 生感悟函数值与代数式的值两个概念之间的关系． 应用新知 例 1 等腰△ABC 的周长为 20，底边 BC 长为 y ，腰 AB 长为 x ，求： （1） y 关于 x 的函数解析式； （2）当腰长 AB=7 时，底边的长； （3）当 x =11 和 x =4 时，函数值是多少？ 答案： （1） y =20-2 x ； （2）腰长 AB=7，即 x =7 时， y =6，所以底边长为 6； （3）当 x =11 和 x =4 时，函数值不再有意义． 说明（1）第 1 问中的函数解析式不能写成 y ? 2x ? 20 的形式，一定要把 y 写成 x 的代数式 （2） 实际问题中， 自变量的取值范围往往受到条件的限制， 本题的自变量的取值范围是 5& x &10, 具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当 x =11 和 x =4 时，尽管可求出它对应的值， 但自变量 x 的值都不在相应的取值范围内，因此当 x =11 和 x =4 时，函数值不再有意义． 例 2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示: 月用水量 x(度) 收费标准 y （元/度） 0&x≤12 2.00 12&x≤18 2.50 x&18 3.00（1）y 是 x 的函数吗？为什么？ （2）分别求当 x=10,16,20 时的函数值，并说明它的实际意义． 答案： （1）是，根据函数的概念，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值； （2）当 x=10 时，y=2?10=20（元） ．月用水量 10 度需交水费 20（元） ； 当 x=16 时，y=2?12+4?2.50=34（元） ．月用水量 16 度需交水费 34（元） ； 当 x=20 时，y=2?12+6?2.50+2?3=45（元） ．月用水量 45 度需交水费 45（元） ． 说明 本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法 给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义， 即月用水量不超过 12 度时每度 2 元，超过 12 度不超过 18 度时每度 2.5 元，超过 18 度时每度 3 元，如月用水量为 38 度时，应交水费 y =2?12+6?2.5+3?20=99（元）． 例 3 下图是小明放学回家的折线图，其中 t 表示时间，s 表 示离开学校的路程． 请根据图象回答下面的问题： (1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程 s 可以- 28 -看成 t 的函数吗？ (2)求当 t=5 分时的函数值？ (3)当 10≤t≤15 时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？ (4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？ 答案： （1）折线图反映了 s、t 两个变量之间的关系，路程 s 可以看成 t 的函数； （2）当 t=5 分时函数值为 1km； （3） 10≤t≤15 时， 当 对应的函数值是始终为 2， 它的实际意义是小明回家途中停留了 5 分钟； （4）学校离家有 3.5km，放学骑自行车回家共用了 20 分钟． 4．作业 课本 P34 练习第 1，2，3．2．1 函数及它的表示法（第三课时） 〖教学目标〗◆知识技能目标 1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式； 2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值； 3.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围. ◆过程性目标 1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识； 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：求函数解析式是重点． ◆教学难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)学生不易理解． 〖教学过程〗 一、创设情境 问题 1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有 10 的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这 些涂黑的格子横向的加数用 x 表示，纵向的加数用 y 表示，你能写出 y 与 x 的函数关系式吗?解 如图能发现涂黑的格子成一条直线． 函数关系式为： y＝10－x． 问题 2 试写出等腰三角形中顶角的度数 y 与底角的度数 x 之间的函数关系式． 解 y 与 x 的函数关系式：y＝180－2x．- 29 -问题 3 下图是表 示某一个月的日平均温 T 度变化的曲线，根据图 象回答问题： 这个曲线反映了 哪两个变量之间的关 系？日平均温度 T 是 x 的函数吗？ ② 求 当 x=5,13,16,25 时 的 函 x 数值？ ③这个月中最高与最低的日平均温度各是多少? 二、探究归纳 思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值 范围． (2)在上面问题 1 中，当涂黑的格子横向的加数为 3 时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为 6 时，横向的加数是多少？ 分析 问题 1，观察加法表涂黑的格子的横向的加数的数值范围． 问题 2，因为三角形内角和是 180°所以等腰三角形的底角的度数 x 不可能大于或等于 90°． 问题 3，开始时 A 点与 M 点重合，MA 长度为 0cm，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐 渐增长，最后 A 点与 N 点重合时，MA 长度达到 10cm． 解 (1)问题 1，自变量 x 的取值范围是：1≤x≤9； 问题 2，自变量 x 的取值范围是：0＜x＜90； 问题 3，自变量 x 的取值范围是：0≤x≤10． (2)当涂黑的格子横向的加数为 3 时，纵向的加数是 7；当纵向的加数为 6 时，横向的加数是 4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如： s＝60t， S＝πR2． 在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取 2 值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式 S＝πR 中自变量 R 的取 值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积 S 与圆半径 R 的关系，那么自变量 R 的取值范围就应该是 R＞0． 三、实践应用 例 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x ＋7；(3) y ?21 ； x?2(4) y ?x?2．分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2) 中，x 取任意实数，3x－1 与 2x ＋7 都有意义；而在(3)中，x＝－2 时， ＜2 时， x ? 2 没有意义． 解 (1)x 取值范围是任意实数； (2)x 取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是 x≠－2；21 没有意义；在(4)中，x x?2- 30 -(4)x 的取值范围是 x≥2． 归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是 分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式． 例 2 等腰三角形 ABC 的周长为 10,底边长为 y,腰 AB 长为 x.求: y 关于 x 的函数解析式； 自变量 x 的取值范围； 腰长 AB=3 时,底边的长. 分析 (1)问题中的 x 与 y 之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出? (2x+y=10) (2)这个等式算不算函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形? (3)结合实际,x 与 y 应满足怎样的不等关系? 归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的 函数解析式； (2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑: ①代数式要有意义；②要符合实际. 例 3 如图， 正方形 EFGH 内接于边长为 1 的正方形 ABCD． AE=x， 设 试 G D C 求正方形 EFGH 的面积 y 与 x 的关系， 写出自变量 x 的取值范围， 并求 当1 x= 时，正方形 EFGH 的面积． 4 解：正方形 EFGH 的面积=大正方形的面积-4 ? 一个小三角形的面积， 则 y 与 x 之间的函数关系式为H Fy ? 1? 4?1 x(1-x) 2AxEB(0&x&1)y ? 2x2 ? 2x ? 1(0&x&1)1 2 1 5 1 当 x＝ 时， y ? 2 ? ( ) ? 2 ? ? 1 ? 4 4 8 41 5 所以当 x＝ 时，正方形 EFGH 的面积是 ． 8 4例 4 求下列函数当 x = 2 时的函数值： 2 (1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x ； (3) y ?2 ； x ?1(4) y ?2? x．分析 函数值就是 y 的值，因此求函数值就是求代数式的值． 解 (1)当 x = 2 时，y = 2?2－5 =－1； 2 (2)当 x = 2 时，y =－3?2 =－12； (3)当 x = 2 时，y =2 = 2； 2 ?1(4)当 x = 2 时，y = 2 ? 2 = 0． 例 5 游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水 936 立方米,换水时打开排水孔,以每小时 312 立方米的速度将水放出.设放水时间为 t 时,游泳池内的存水量为 Q 立方米.- 31 -(1)求 Q 关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围； (2)放水 2 时 20 分后，游泳池内还剩水多少立方米? (3)放完游泳池内的水需要多少时间? 分析 此题要先弄清楚放出的水量,剩余的水量和原存水量之间的关系.然后让学生直接得出函 数解析式；第(2)题是由自变量的值求函数值,可由学生自己完成；第(3)题则与第(2)题相反，是已知 函数值,求相应自变量的值,可化归为解方程. 四、交流反思 1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义． ①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数； ②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0． (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义． 2.求函数值的方法： 跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中， 即可求出相应的函数值． 五、检测反馈 1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为 3 cm，它的各边长减少 x cm 后，得到的新正方形周长为 y cm．求 y 和 x 间的关系式； (2)寄一封重量在 20 克以内的市内平信，需邮资 0.60 元，求寄 n 封这样的信所需邮资 y（元） 与 n 间的函数关系式； 2 (3)矩形的周长为 12 cm，求它的面积 S(cm )与它的一边长 x(cm)间的关系式，并求出当一边长 为 2 cm 时这个矩形的面积． 2.求下列函数中自变量 x 的取值范围： 2 (1)y＝－2x－5x ； (3) y＝x(x＋3)； (3) y ?6x ； x?3(4) y ?2x ? 1 ．23.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间 t（秒）滑下的距离 s（米）由下式给出：s＝10t＋2t ．假 如滑到坡底的时间为 8 秒，试问坡长为多少？ 4.当 x＝2 及 x＝－3 时，分别求出下列函数的函数值： (1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x －3x＋2； (3) y ?2x?2 ． x ?1六、作业布Z P36～37 习题 2。12.2 一次函数和它的图象(1) 〖教学目标〗 ◆1、理解正比例函数、一次函数的概念。 ◆2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式。 ◆3、会求一次函数的值。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：一次函数、正比例函数的概念和解析式。 ◆教学难点：例 2 的问题情境比较复杂，学生缺乏这方面的经验。- 32 -〖教学过程〗 比较下列各函数，它们有哪些共同特征？m ? 6t ,y ? ?2x,y ? 2 x ? 3, Q ? ?3.2t ? 936提示：比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。 定义：一般地，函数 y ? kx ? b(k、b都为常数，且k ? 0) 叫做一次函数。当 b ? 0 时， 一次函数y ? kx ? b 就成为 y ? kx(k为常数，k ? 0) 叫做正比例函数，常数 k 叫做比例系数。 y ? kx ? b ，其中 k , x, b, y 中，哪些是常量，哪些是变强调： （1）作为一次函数的解析式量？哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？其中 k, b 符合什么条件？ （2）在什么条件下，y ? kx ? b(k ? 0) 为正比例函数？（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？ 做一做： 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数 k 和常数项 b 的值各为多少？2 x ? 200 , t ? 200 , y ? 2?3 ? x ?, s ? x?50 ? x ? 3 v 例 1：求出下列各题中 x 与 y 之间的关系，并判断 y 是否为 x 的一次函数， 是否为正比例函数：C ? 2?r ,y?某农场种植玉米，每平方米种玉米 6 株，玉米株数 正方形周长 x 与面积y 与种植面积 x(m 2 ) 之间的关系。y 之间的关系。假定某种储蓄的月利率是 0.16%，存入 1000 元本金后。本钱 y (元） 与所存月数 x 之间的关系。 此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。 解： （1）因为每平方米种玉米 6 株，所以 x 平方米能种玉米 6 x 株。得 y 次函数，也是正比例函数。? 6 x ， y 是 x 的一? x? （2）由正方形面积公式，得 y ? ? ? ?4?和 y ? 1000 ? 1.6 x ， 练习：1.已知 2.已知 求2， y 不是 x 的一次函数，也不是正比例函数。（3）因为该种储蓄的月利率是 0.16%，存 x 月所得的利息为 0.16%x ?1000 ，所以本息y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。y ? mx m?2 , 若 y 是 x 的正比例函数，求 m 的值。y 是 x 的一次函数，当 x ? ?1 时， y ? 2 ；当 x ? 2 时， y ? ?3y 关于 x 的一次函数关系式。- 33 -求当 y? 10 时， x 的值。例 2：按国家 1999 年 8 月 30 日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过 500 元的税率为 5%，超过 500 元至 2000 元部分的税率为 10% 设全月应纳税所得额为 x 元，且 500 ? x ? 2000 。应纳个人所得税为 y 元，求 y 关于 x 的函 数解析式和自变量的取值范围。 小明妈妈的工资为每月 2600 元，小聪妈妈的工资为每月 2800 元。问她俩每月应纳个人所得税 多少元？ 提示：此题较为复杂，而有关个人所得税的计算方法和一些专有名词学生可能很生疏。所以讲 解时，首先要帮助学生理解问题，对个人所得税，应纳税所得额这些名词的含义要予以说明。尤其是 根据累进税率计算个人所得税的方法，要举例说明。例如，某人某月工资收入为 2400 元，则应纳税所 得 额 为2400 ? 800 ? 1600 (元），应纳个人所得税为500 ? 5% ? ?1600 ? 500 ? ? 10% ? 135 （元） 。讲解第（2）题时，要提醒学生注意函数解析式y ? 0.1x ? 25 中自变量 x 的意义， x 表示的是工资中应纳税的部分，所以不能把题设中的工资额直接代入函数解析式计算个人所得税。 解： （1） y ? 500 ? 5% ? ?x ? 500 ? ?10% ? 0.1x ? 25(500 ? x ? 2000 )所求的函数解析式为 y ? 0.1x ? 25 ，自变量 x 的取值范围为 500 ? x ? 2000 。 （2）小明妈妈的全月应纳税所得额为 2600 ? 800 ? 1800 (元） x ? 1800 代入函数解析 将 式，得 y ? 0.1?1800 ? 25 ? 155 (元） 小聪妈妈的全月应纳税所得额为 2800 ? 800 ? 2000 (元） 将x ? 2000 代入函数解析式，得 y ? 0.1? 2000 ? 25 ? 175 (元）答：小明妈妈每月应纳个人所得税 155 元，小聪妈妈每月应纳个人所得税 175 元。 练习：教科书 P40 第 1，2 题。 作业：教科书 P45 第 1，2，3 题2．2 一次函数和它的图象(第 2 课时)〖教学目标〗 1、通过具体操作，感受一次函数的图象是一条直线； 2、学会选择的点，正确地画出一次函数的图象； 3．在现实情境中会列一次函数解析式并画出其图象解决实际实际问题。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：了解一次函数的图象是一条直线并会画一次函数的图象。 ◆教学难点：画一次函数的图象选点的技巧。 〖教学过程〗- 34 -（一）复习回顾，感受一次函数的图象 某地 1 千瓦〃时电费为 0.8 元，豕公式法表示电费 y（元）与所用的电 x（千瓦时）之间的 函数关系式是： ，你能画出这个函数的图象吗？ 学生活动：在教师的指导下，学生有序地动手操作实践。 （二）做一做，会画图象 1．画出正比例函数 y=-2x 的图象 学生活动：在练习本上独立完成，一名学生上台板演，教师查视全体同学练习的情况。 教师活动：教师与学生共议。 2．画出一次函数 y=2x+1 的图象 学生活动：学生在练习本上独立完成，充分讨论交流结果，教师查巡了解情况，师生共议 教师活动：探讨后点出结论给出板书。 解：略。 教师小结：一般地 y=kx+b (k≠0),通常选取它与两轴的交点（0，b） ，(-b/k,0),即横纵坐标为 0 的点，当然，选其它在象限内的点也可以。 三．学以致用，范例分析 P42 例 3 教师活动：引导学生积极分析和思考，针对答题情况师生共同评判； 学生活动：鼓励学生在练习本上独立完成将解答与同伴交流，指定一名学生上台板演。 提醒学生： （1）具体问题中，列出函数关系式后，会找准自变量的取值范围； 由自变量取值范围会在所作的直线上找到表示函数图象的部分。 四．随堂练习：课本 P42 练习 五．小结：本节课学习了一次函数的图象是一条直线，会用两点法作其图象，对具体问题会用 一次函数的相关知识求解。 六．作业：课本 P45 习题 2。22．2 一次函数和它的图象(第 3 课时)〖教学目标〗 ◆1、使学生掌握一次函数的性质． ◆2、通过画一次函数，探究一次函数的性质，体验学习的乐趣． ◆3、培养学生的观察、比较、归纳能力． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：一次函数的性质． ◆教学难点：例 2 的问题情境及函数的图象和性质等多方面知识的应用． 〖设计理念〗 ◆从画一次函数图象着手，理解一次函数的性质：函数 y=Kx+b(k≠0),当 k&0 时，函数值随自 变量的增加而增大；当 k&0 时，函数值随自变量的增加而减小。并运用这一性质判别函数的增减变化． 〖教学过程〗- 35 -（一） 回顾 1. 画函数图象的一般步骤有哪些？ 2. 请你快速画出函数 y=2x+3 的图象。 （二） 探究 1. 从你画的函数图象中能否看出，对于一次函数 y=2x+3,当自变量的取值由小变大时，对应的函数值怎样变 化？ 2.画出函数 y=-2x+3 的图象。 演示动画，帮助学有困难的学生巩固画函数图象知识。 刚才画的函数图象上，你能不能看出，当自变量 x 由小变大时，对应的函数值怎样变化？ 3.猜猜看：一次函数 y=kx+b(k≠0)中，k 的取值与函数变化有什么关系？ （三） 归纳： 一次函数的性质：一次函数 y=kx+b(k≠0),当 k&0 时，函数值随自变量的增加而增大；当 k&0 时，函数值随自 变量的增加而减小。 学生做一做，巩固一次函数的性质。 （四）例题分析： 例 2 我国某地区现有人工造林面积 12 万顷，规划今后 10 年新增造林 6 公顷。请估算 6 年后该 地区的造林总面积达到多少公顷？ 分析：1、有造林面积和时间得到什么？（用怎样的函数解析式来表示） 2、6 年后的造林总面积应该怎样算？ 例 3 要从甲、乙两仓库向 A，B 两工地运送水泥。已知甲仓库可运出 100 吨水泥，乙仓库可运出 80 吨水泥； A 工地需 70 吨水泥，B 工地需 110 吨水泥。两仓库到 A，B 两工地的路程和每吨每千米的运费如下：路程（千米） 甲仓库 乙仓库运费（元/吨.千米） 甲仓库 乙仓库A地 B地20 2515 201．2 11．2 0．8（1）设甲仓库运往 A 地水泥 x 吨，求总运费 y 关于 x 的函数解析式，并画出图象； （2）当甲、乙两仓库各运往 A，B 两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 1、库运出的水泥吨数和运费列表分析。 2、利用图象法求出最小值。 （五） 练习：P45 练习 （六）小结：学生归纳本堂学到的知识 （七）作业：P46 作业题 （八）拓展：课后学生探索函数 y=kx+b(k≠0)中 b 的变化对函数图象影响。2．3 建立一次函数模型(第 1 课时)〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗- 36 -教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化 的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一、课前预习 1、判断题（1）正比例函数是一次函数 （ √ ） （2）一次函数是正比例函数 （ ? ） （3）一次函数图像是一条直线 （ √ ） 2、已知直线 y= ― 2 X，下列说法错误的是 （1D ）A 比例系数为-1/2 B 图像不在一、三象限 C 图像必经过（-2 ，1）点 D y 随 x 增大而增大 二、新课教学 1、引出概念 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法 步骤是： （1）通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。 （2）建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。 （3）观察图像特征，判定函数的类型。 2、例题分析： 例 1、生物学家测得 7 条成熟雄性鲸的全长 y 和吻尖到喷水孔的长度 x 的数据如下表 （单位： m） 吻尖到喷水孔的长度 X（m） 全长 y（m） 0.00 1 .78 1 0.25 .91 1 0.72 1 .06 1 1.52 2 .32 1 2.50 2 .59 1 3.16 2 .82 1 3.90 2 .95 1 2能否利用一次函数刻画这两个变量 x 和 y 的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式 解：在直角坐标系中画出以表中 x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标的 7 个点。Y(m )18 16 14 12 10 8 6 4 2 0(2.95,13.90) (2.59,12.50) (1.91,10.25)过 7 个点几乎在同一条直线上所以所求 的函数可以看成一次函数，即可用一次函数来 刻画这两个量 x 和 y 的关系。 设这个一次函数为 y=kx+b,把点（1.91， 10.25）（2.59,12.50）的坐标分别代入 ， y=kx+b 得 ??10.25 ? 1.91k ? b ?12.50 ? 2.59 k ? b12345X(m )解得：k≈3.31 b≈3.93 所以所求函数解析式为 y=3.31x+3.93 相应练习：通过实验获得 u,v 两个变量的各对应值如下表u00.511.522.534- 37 -v50100155207260290365470判断变量 u,v 是否近似地满足一次函数关系式，如果是，求 v 关于 u 的函数关系式，并利用函 数解析式求出当 u=2.2 时，函数 v 的值。 3、小结与练习 本节课主要学习了从现实情境中建立一次函数模型，并用待定系数法求解。判定是否为一次函 数模型的关键是因变量是不是随自变量均匀变化的或者看函数图象是否为直线型（干线，射线，线段， 成直线形状的孤立的点） 课本 P49 练习 4、作业 课本 P54 习题第 2，3 题2.3 建立一次函数模型(第 2 课时)教学目标：在具体情景中，会建立一次函数模型，并会运用所建立的模型进行预测。 重点：建立一次函数模型。 难点：分析变量间的关系抽象出函数模型 教学过程： 一．创设问题情境引入 国际奥林匹克运动会早期，撑杆跳高的记录近似地由下表给出：年 份1 9 0 0 3 ． 3 3 ． 5 3 9 0 4高 度 （ 米 ）问题：观察表格中第二行数据，可以为奥运会的撑杆跳高记录与时间的关系建立函数模型吗？ 学生活动：学生讨论，交流结果，师生共议。 教师引导学生发现：上表中每一届比上一届的记录提高了 0.2 米，即成绩是随年份均匀地变化， 由此可建立一次函数的模型。 教师提示：用 T 表示从 1900 年起增加的年份，则在奥运会早期，撑杆跳高的主记录 Y 与时间的 函数关系式是怎样的？ 学生独立写出两个变量的函数关系式，并用待定系数法求解，做完后，与同伴交流结果，教师 点评。 教师规范地板书解的过程。 二．做一做，学会预测 学生活动：1，试用上述所求的公式预测 1912 年奥运会的撑杆跳高记录。 学生在练习本上独立完成，做完后与同伴讨论交流结果，教师作出评价。 教师提供 1912 年奥运会撑杆跳高主记录约为 3.93 米。这说明所建立的函数模型在已知数据邻- 38 -近作预测是与实际事实比较吻合的。 试用所求公式预测 1988 年的奥运会撑杆跳高记录， 求得结果为 7.73 米， 但当年的记录只有 6.06 米，经比较远低于所求的结果，这表明用所建立的函数模型，远离已知数据作预测是不可靠的。 2．展开讨论，为什么用公式预测 1988 的奥运会的撑杆跳高会不可靠？（让同学们展开激烈讨 论，畅所欲言，此乃开放性问题，教师应作出鼓励性评价。 ） 三．随堂练习 P51 练习 四．小结 本节课主要学习了在具体的情境中建立一次函数模型，并用此模型进行预测，但预测要求 在已知数据邻近预测结果才与事实更好吻合。 五．作业 P54 习题2.3 建立一次函数模型（第 3 课时）〖教学目标〗 ◆1、会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题． ◆2、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组 成的二元一次方程组的解之间的关系． ◆3、会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解） ． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：本节教学的重点是运用一次函数的解析式和图象等解决简单实际问题． ◆教学难点：构造数学模型（包括函数解析式和图象）与实际问题情景之间的对应关系，是本 节教学的难点．〖教学过程〗 一．创设情景， 引入新课：我们知道在日常生活 和生产实践中有不少问题的 数量关系可以用一次函数来 刻画。比方说行程问题，如 果速度是常量，则路程与时 间成一次函数关系。 二．合作学习，思考 探究 活动一：思考以下几 个问题： 1． 涉及几个一次函数 关系？ 2．各个函数关系中，- 39 -包含哪些常量，哪些变量？ 3．小聪和小慧出发的时刻是否相同？出发的地点呢？ 4．如果这两个一次函数都用 t 表示自变量，那么 t=0 的实际意义是什么?如果分别用 s1, s2 表 示小聪与小慧的行驶的路程，那么当 t=0 时，s1, s2 分别是多少？ 小组讨论后汇总，一起制定解题的政策和方法，老师做启发： 1．如果能求出经过多少时间小聪能追上小慧，那么问题解决了吗？ 2．对于求小聪追及小慧的时间，可以用几种不同的方法来解决？ （用方程 s1 =s2，或图象法，这里学生不一定想到图象，给予提示） 3．不管是采用方程（s1 =s2） ，还是利用图象（图象交点的横坐标表示追及所经过时间，交点的 纵坐标表示追及时两人行驶的路程） ，解决问题首先要做的工作是什么？ 教师总结，板书解题过程。 （见书本） 三．应用新知，拓展提高 1．一次招聘会上，A，B 两公司都在招聘销售人员。A 公司给出的工资待遇是：每月 1000 元基 本工资，另加销售额的 2作为奖金；B 公司给出的工资待遇是：每月 600 元基本工资，另加销售额的 4%作为奖金。如果你去应聘，那么你将怎样选择？ 小组讨论，然后请同学黑板上板书。 2．利用一次函数的图象，求下列二元一次方程组的解（或近似解） ：?2 x ? y ? 0 （1） ? ?y ? x ? 6?x ? y ? 2 ? （2） ? 1 ?y ? 2 x ?1 ?3．某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收 1 元印刷费，另收 1500 元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费。 （1）分别写出两厂的收费 y（元）与印制数量 x（份）之间的关系式； （2）在同一直角坐标系中画出它们的图象。 （3）根据图象回答下列问题：印制 800 份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划 花费 3000 元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印刷宣传材料多一些？ 四．课堂练习 P54 练习。 五．知识整理 1．直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二 元一次方程组的解之间的关系。 2．会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解） 。 六．作业 P54 习题 2.3一次函数复习课[教学目标] 1．进一步感受生活中的常量与变量，领会变量之间的相互依存与制约的函数关系． 2．进一步明确函数表示法的灵活性与多样性． 3．进一步领会一次函数的定义、图象、性质、应用以及它与正比例函数的关系． 4．进一步感知本章课本体现和渗透的重要数学思想方法。- 40 -[教学过程(第一课时)] 1．情境创设 可以用问题引导学生回顾、梳理本章的基础知识，例如： (1)本章学习了常量、变量、函数、一次函数、正比例函数以及一次函数的图象、性质和应 用，请你根据知识的发生发展过程，梳理本章基础知识，然后与同学交流． 展示学生成果，结合学生梳理的知识结构图，也可按下面框图制作的课件，逐步展示本章 结构，用问题串的方式，帮助学生回顾知识要点．例如： (2)请举例说明什么是常量?什么是变量?什么是函数? (3)我们可用怎样的方式表达变量之间的函数关系? (4)什么样的函数是一次函数?它与正比例函数有什么关系? 在回顾图象与性质时，无非是探讨一次函数关系式中的 k 与 b 对函数图象的升降趋势及图 象位Z的影响，要特别注意帮助学生进一步从“形”与“数”的两个方面去认识．例如，如果从“形” 上看具有上升的特征， 那么从 “数” 上看函数值随自变量的增大而增 大， 究其原因是因为 “k&0”在 ．“k&0” 的条件下， “形”与“数”的特征得 到了统一，构成了一次函数的一个 特有的性质． 复习课教学也应注重知 识发生发展的过程，而不只是注意 结论． 2．例题教学 课本没有配Z例题，教 学时可以选择“复习巩固”中的部 分基础习题为例题，更提倡教师根 据教学班学生的实际情况编制一些 体现基本要求的问题，穿插在基础知识回顾的过程中，使本节复习课上的生动活泼、有血有肉． [教学过程(第二课时)] 本课时可以选编一些例题和习题，通过学生动脑动手的课堂活动，帮助学生进一步落实本 章对基本技能的要求．可以选择诸如“复习题”中的第 7 题、第 9 题、第 12 题、第 14 题等体现本章 基本技能要求的习题，还可以补充 1-2 个实际应用问题，提升学生分析问题、解决问题及：书写表达 能力。一次函数单元测试（3 课时）(一)填空题： 1.已知如图①，直线 y=kx+b 过点(0,2)、(3，-1)，当 y≥-1 时，x 的取值范围是___。 2.如图②，直线 y=kx+b 与 x 轴交于点(-5，0)当 x&-5 时，y 的取值范围是____。 3.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程 S 与时间 t 的关系如图③所示，下列说法： ①甲比乙先}