本题难度：0.45&&题型：综合题
如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=，∠ACB=45°．计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．（1）证明：A1C1⊥CC1；（2）求四边形A1BCC1的面积；探究：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．连结AA1，CC1，如图3．若△ABA1的面积为5，求点C到BC1的距离；拓展：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，如图4．（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值；（2）若点P是线段AC上的任一点，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
来源：2014年河北省邯郸市中考数学二模试卷 | 【考点】几何变换综合题．
（2013秋o安岳县期末）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图1，∠BAB′=θ，===n，我们将这种变换记为旋转伸缩变换．（1）如图1，对△ABC作变换得△AB′C′，若===，∠BAB′=60°，则△AB′C′与△ABC的面积比=&&&&；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为&&&&度；（2）如图2，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形AB&B′C′为矩形，求θ和n的值；（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形AB&B′C′为平行四边形，求θ和n的值．
如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6，AD=4，动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作EF∥BC，EF交AB于E．交AC于F，以EF为边向下作正方形EFGH．（1）设AP长为x，利用相似三角形的性质．可用含x的代数式表示正方形的边长为EF=&&&&；如图2，当x=&&&&时，GH恰好落在边BC上，此时EF长为&&&&；（2）如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求AP的值）
（2015秋o滨湖区期中）已知：如图1，射线MN⊥AB，AM=1cm，MB=4cm．点C从M出发以2cm/s的速度沿射线MN运动，设点&C的运动时间为t（s）（1）当△ABC为等腰三角形时，求t的值；（2）当△ABC为直角三角形时，求t的值；（3）当t满足条件：&&&&时，△ABC为钝角三角形；&当&&&&时，△ABC为锐角三角形．
如图所示，⊙O的半径为2，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且sin∠CBD=，则OM=（　　）
A、B、C、1D、
已知点A（n，m）和点B（n+1，t）在二次函数y=x2的图象上，n为正整数，直线AB与x轴所成的锐角的大小为α，则tanα=（　　）
A、n+1B、2n+1C、n-1D、2n-1
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45°．计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．（1）证明：A1C1⊥CC1；（2）求四边形A1BCC1的面积；探究：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．连结AA1，CC1，如图3．若△ABA1”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】过点A作AG⊥BC于G根据∠ACB=45°得出AG=CG再由锐角三角函数的定义得出AG的长根据勾股定理求出BG的长由BC=BG+CG可得出结论操作：（1）根据旋转的性质可得∠A1C1B=∠ACB=45°BC=BC1故可得出∠C&nbspC1A1=90°由此得出结论（2）根据四边形A1BCC1的面积=△C&nbspC1B的面积+△A1C1B的面积得出结论探究：设△A1BA中A1B边为的高为m△C1CB中BC1边为的高为n由△ABA1的面积为5可求出m的值由相似三角形的判定定理得出△A1BA∽△C1BC根据相似三角形的对应边成比例可求出n的值拓展：（1）过点P做PH⊥BC得到：PH=CH=2故可得出BH的长在Rt△BHP中根据勾股定理可求出BP的长．①△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段BA的延长线上时EP1最小最小值为BP1-BE=BP-BE②△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB的延长线上时EP1最大最大值为BP1+BE=BP+BE．（2）过点B作BD⊥ACD为垂足在Rt△BCD中根据BD=BC×sin45°求出BD的长．①当P在AC上运动至垂足点D△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB上时EP1最小②当P在AC上运动至点C△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB的延长线上时EP1最大．
【解答】解：过点A作AG⊥BC于G∵∠ACB=45°∴∠GAC=45°∴AG=CG∴在Rt△AGC中AG=CG=42sin∠C=4∴在Rt△ABG中由勾股定理得BG=3∴BC=BG+CG=4+3=7操作：（1）证明：∵由旋转的性质可得∠A1C1B=∠ACB=45°BC=BC1∴∠C&nbspC1B=∠C1CB=45°∴∠C&nbspC1A1=∠C&nbspC1B+∠A1&nbspC1B=45°+45°=90°∴A1C1⊥CC1（2）四边形A1BCC1的面积=△C&nbspC1B的面积+△A1C1B的面积=12×7×7+12×7×4=772探究：解：设△A1BA中A1B边为的高为m△C1CB中BC1边为的高为n．∵12×5m=5∴m=2∵∠ABC=∠A1B&nbspC1∴∠C1BC=∠A1BA∵A1BBC1=ABBC=57∴△A1BA∽△C1BC∴mn=ABBC=57∴n=145∴点C到BC1的距离145．拓展：（1）如图2过点P做PH⊥BC得到：PH=CH=2∴BH=BC-CH=7-2=5．在Rt△BHP中根据勾股定理得：BP=22+52=29．①△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段BA的延长线上时EP1最小最小值为BP1-BE=BP-BE=29-52②△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB的延长线上时EP1最大最大值为BP1+BE=BP+BE=29+52．（2）如图3过点B作BD⊥ACD为垂足∵△ABC为锐角三角形∴点D在线段AC上在Rt△BCD中BD=BC×sin45°=722．①当P在AC上运动至垂足点D△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB上时EP1最小最小值为722-52②当P在AC上运动至点C△ABC绕点B旋转点P的对应点P1在线段AB的延长线上时EP1最大最大值为52+7=192．
【考点】几何变换综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=4”主要考察你对
等考点的理解。
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1.已知：如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,且DE=DF.求证：AB=AC2.如图,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD=CE.求证：△ABC说等腰三角形.3.如图,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点,试判断OE和AB的位置关系,幷给出证明.图自己画的可能不是很准,
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1题：因D为中点,故BD=DC DE=DF 角BED=角DFC=90 根据边边角定理,三角形BDE=三角形DFC 故角EBD=角DCF 从三角形ABC得知,AB=AC2题：同理 三角形BCE及三角形DBC 中 BC=BC BD=CE 其中直角相等 故该两个三角形相等 得知 角B=角C 三角形ABC为等腰三角形3题：没有图,无法做
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连接AD.因为ED=DF且DE垂直于DF ，DF垂于Ac， 所以角EAD＝角FAD，所以三角形AED全等于三角形AFD，所以AE=AF。又因为D为BC的中点所以BD=Dc，所以三角形BED全等于三角形DCF，所以BE=CF所以AB=AC
扫描下载二维码在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D是直线BC上一点，BD=1，将射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，交直线BC于点E，则DE=．
解：过A作AH⊥BC与H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，
∴AH=BH=BC=2，
当点D在线段BC上，如图．
∴DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，
在Rt△AHD中，AD=2+DH2
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，
当点D在线段CB的延长线上，如图，
∴DH=BH+BD=2+1=3，DC=BC+BD=4+1=5，
在Rt△AHD中，AD=2+DH2
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：5=DE：，
故答案为或．
先根据直角三角形的性质得到BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，AH=BH=BC=2，然后讨论：当点D在线段BC上，则DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，利用勾股定理可计算出AD=，易得△DAE∽△DCA，则DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，得到DE=；当点D在线段CB的延长线上，同样的方法可计算出DE=．本题难度：0.48&&题型：选择题
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2FC；其中正确的结论有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
来源：学年江苏省无锡市江阴市青阳片八年级（上）期中数学试卷 | 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BDC=90°，那么图中互为余角有&&&&对，它们是&&&&，∠1=∠A的根据是&&&&．
如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？
如图，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，求证：AB-AC＞BD-CD．
如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA=AB，延长CA到E，使EA=2AC，延长CB到F，使FB=3BC．如果三角形ABC的面积是1，求出三角形DEF的面积．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，AC=3EC．已知△CDE的面积是6平方厘米，那么△ABC的面积是多少？
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=12AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2FC；其中正确的结论有（　　）1个2个3个4个”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】过E作EQ⊥AB于Q作∠ACN=∠BCD交AD于N过D作DH⊥AB于H根据角平分线性质求出CE=EQDF=DH根据勾股定理求出AC=AQAF=AH根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE即可求出③根据三角形外角性质求出∠CND=45°证△ACN≌△BCD推出CD=CN即可求出②①证△DCF≌△DBH得到CF=BHAF=AH即可求出④．
【解答】解：如图过E作EQ⊥AB于Q∵∠ACB=90°AE平分∠CAB∴CE=EQ∵∠ACB=90°AC=BC∴∠CBA=∠CAB=45°∵EQ⊥AB∴∠EQA=∠EQB=90°由勾股定理得：AC=AQ∴∠QEB=45°=∠CBA∴EQ=BQ∴AB=AQ+BQ=AC+CE∴③正确作∠ACN=∠BCD交AD于N∵∠CAD=12∠CAB=225°=∠BAD∴∠ABD=90°-225°=675°∴∠DBC=675°-45°=225°=∠CAD∴∠DBC=∠CAD在△ACN和△BCD中∠DBC=∠CADAC=BC∠ACN=∠DCB∴△ACN≌△BCD∴CN=CDAN=BD∵∠ACN+∠NCE=90°∴∠NCB+∠BCD=90°∴∠CND=∠CDA=45°∴∠ACN=45°-225°=225°=∠CAN∴AN=CN∴∠NCE=∠AEC=675°∴CN=NE∴CD=AN=EN=12AE∵AN=BD∴BD=12AE∴①正确②正确过D作DH⊥AB于H∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=675°∠DBA=90°-∠DAB=675°∴∠FCD=∠DBA∵AE平分∠CABDF⊥ACDH⊥AB∴DF=DH在△DCF和△DBH中∠F=∠DHB=90°∠FCD=∠DBADF=DH∴△DCF≌△DBH∴BH=CF由勾股定理得：AF=AH∴AC+ABAF=AC+AH+BHAF=AC+AM+CMAMAC+AF+CFAF=2AFAF=2∴AC+AB=2AFAC+AB=2AC+2CFAB-AC=2CF∵AC=CB∴AB-CB=2CF∴④正确．故选D
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠”主要考察你对
等考点的理解。
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