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补集及综合应用
第2课时 补集及综合应用问题 引航1.全集与补集的含义是什么?如何求给定 集合的补集? 2.怎样用Venn图表达集合的运算呢?1.全集的概念及表示所有元素 那 (1)概念:如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________,么就称这个集合为全集. U ”表示. (2)
全集的符号表示:全集通常用“__2.补集 不属于集合A的所 (1)自然语言:全集U中子集A的补集是由U中________________ 有元素 组成的集合. _______ {x|x∈U,且x?A} (2)符号语言: ?U A=_______________. (3)图形语言:1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个集合的补集一定含有元素.( (2)集合 ?B C与 ?A C相等.( ) ) )(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.(2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},则 ?U M= (2)设全集U=R,A={x|0≤x≤6},则 ?U A= . .(3)已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若 ?A B={5},则实数 m= .【解析】1.(1)错误.当把一个集合同时看作全集时,它的补集 是空集,不含任何元素. (2)错误.若A=B,则?B C= ?AC;否则不相等. (3)正确.由补集的定义可知正确. 答案:(1)× (2)× (3)√2.(1)由补集的定义可知 ?U M={4,5}. 答案:{4,5} (2)由补集定义可知 ?U A={x|x&0或x&6}. 答案:{x|x&0或x&6} (3)因为 ?A B={5},所以A=B∪ ?A B={3,4,5},所以m=5. 答案:5【要点探究】 知识点 全集与补集的概念1.对全集概念的两点说明 (1)全集并不是一个包罗万象含有任何元素的集合,它仅包含我 们研究问题所涉及的所有元素. (2)全集并不是固定不变的,它是依据具体问题来加以选择的.2.补集的三个关注点(1)补集是以“全集”为前提的,离开了全集,补集就无意义了.集合A在不同全集中补集也是不同的,因而在描述补集概念时应注明是在哪个全集中的补集.(2)补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,同时也是一种思想方法.(3) ?U A的三层含义: ① ?U A表示一个集合; ②A是U的子集,即A?U; ③ ?U A是U中不属于A的所有元素组成的集合.3.补集的相关性质 (1) ?U U?U; ?UU=?, ?U?=U. (2)A∪ ?U A=U,A∩ ?U A=?. (3) ?U ( ?U A)=A.【知识拓展】并集、交集、补集的关系 (1) ?U (A∪B)=( ?U A)∩( ?UB). (2) ?U (A∩B)=( ?U A)∪( ?U B). 上述关系称为反演律(又叫德?摩根定理),其记忆口诀是:“并 集的补集等于补集的交集,交集的补集等于补集的并集”.【微思考】 (1)在求解集合A的补集时,不指明其相应的全集可以吗? 提示:不可以.因为全集不同,集合A的补集就可能不同,所以一 定要指明其相应的全集. (2)集合 ?Q N与 ?Z N相等吗? 提示:不相等.?Q N中含有分数和负整数,而 ?Z N只含有负整数.【即时练】 1.已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},则 ?U M= .2.(2014?成都高一检测)已知A={0,2,4,6}, ?S A={-1,-3,1,3},?S B={-1,0,2},则B=.【解析】1.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7}, 得 ?U M={2,6}. 答案:{2,6} 2.由题意知S=A∪( ?S A)={-1,-3,0,1,2,3,4,6},又 ?S B={-1,0,2}, 所以B={-3,1,3,4,6}. 答案:{-3,1,3,4,6}【题型示范】 类型一 集合交、并、补的综合运算 【典例1】 (1)(2014?济南高一检测)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的 子集,且A∩B={3},( ?UB)∩A={9},则A=( A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} ) D.{3,9}(2)(2013?山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子 集,且 ?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩( ?U B)=( A.{3} B.{4} C.{3,4} ) D.?(3)已知全集U=R,A={x|-4≤x&2},B={x|-1&x≤3},5 求A∩B,( ?U B)∪P,(A∩B)∩( ?U P). P＝{x|x ? 0或x ? }， 2【解题探究】1.题(1)中条件较多,且集合为有限集,可借助什么分析条件并求出集合A?2.题(2)由 ?U (A∪B)={4}得出什么结论?3.题(3)中的集合为连续数集,能否用数轴表示出来?【探究提示】1.可通过Venn图分析求解集合A. 2.由 ?U (A∪B)={4}可得出A∪B={1,2,3},进而得出 {3}?A?{1,2,3}的结论. 3.题中集合均为描述法表示的连续数集,故可用数轴表示并求 解.【自主解答】(1)选D.由Venn图知A={3,9},故选D.(2)选A.因为U={1,2,3,4}, ? (A∪B)={4},U所以A∪B={1,2,3},又因为B={1,2},所以{3}?A?{1,2,3},所以 ?U B={3,4},A∩ ?U B={3}.(3)将集合A,B,P表示在数轴上,如图.因为A={x|-4≤x&2},B={x|-1&x≤3}, 所以A∩B={x|-1&x&2}. 因为 ?U B={x|x≤-1或x&3}, 所以( ?U B)∪P= {x|x ? 0或x ? 5 }， (A∩B)∩( ?U P)={x|-1&x&2}∩ {x|0＜x＜ 5}2 2={x|0&x&2}.【方法技巧】有关集合交、并、补运算的求解策略 (1)集合用列举法表示:先把集合中的元素一一列举出来,然后 结合交、并、补集的定义求解,另外此类问题在解题过程中常 常借助Venn图分析.(2)集合用描述法表示:通常根据定义借助数轴分析法求解,此时应特别注意端点值取到与否,若取到则端点用实心点表示,否则用空心点表示.【变式训练】(2013?湖南高考)已知集合U={2,3,6,8}, A={2,3},B={2,6,8},则( ?U A)∩B= 【解题指南】先求出?U A,再求( ?U A)∩B. 【解析】由已知得 ?U A={6,8},又B={2,6,8},所以 ( ?U A)∩B={6,8}. 答案:{6,8} .【补偿训练】设全集U是实数集R,M={x|x&-2或x&2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为()A.{x|-2≤x&1}C.{x|x≤2或x&3}B.{x|-2≤x≤3}D.{x|-2≤x≤2}【解析】选A.阴影部分所表示的集合为 ?U(M∪N),M∪N={x|x& -2或x≥1},所以 ?U (M∪N)={x|-2≤x&1}.故选A.类型二 由集合的补集关系求参数的值(范围) 【典例2】 (1)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 ?U A={1,2},则实数 m= .(2)(2014?广州高一检测)设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2&x&4}, 全集U=R,且( ?U A)∩B=?,求实数m的取值范围.【解题探究】1.题(1)由条件 ?UA={1,2}能否求出集合A的元素?2.题(2)中条件( ?U A)∩B=?说明什么?【探究提示】1.由 ?U A={1,2},结合补集定义可求出集合A={0,3}.2.条件( ?U A)∩B=?说明两个非空集合( ?U A)和B没有公共元素,可以利用数轴分析.【自主解答】(1)因为 ?U A={1,2},所以A={0,3},所以0,3是方程 x2+mx=0的两根,所以m=-3. 答案:-3 (2)因为A={x|x≥-m},所以 ?U A={x|x&-m}, 又B={x|-2&x&4},( ?U A)∩B=?, 结合数轴分析可知-m≤-2,即m≥2, 所以m的取值范围是m≥2.【延伸探究】题(2)中将条件“( ?U A)∩B=?”改为 “( ?U B)∪A=R”,其他不变,则m的取值范围又是什么? 【解析】由已知A={x|x≥-m}, ?U B={x|x≤-2或x≥4}. 又( ?U B)∪A=R, 所以-m≤-2,解得m≥2.【方法技巧】由集合的补集关系求解参数的方法 (1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利 用补集定义并结合集合知识求解. (2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合 中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.【变式训练】已知全集为R,集合M={x∈R|-2&x&2},P={x|x≥a}, 并且M? ?RP,则a的取值范围是 【解析】M={x|-2&x&2}, ?R P={x|x&a}. 因为M? ?RP,所以由数轴知a≥2. 答案:a≥2 .【补偿训练】已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x&a}, 若 ?U A={x|2≤x≤5},则a= .【解析】因为A∪ ?U A=U,所以A={x|1≤x&2}.所以a=2. 答案:2【巧思妙解】数形结合法巧解集合运算问题 【典例】已知集合U={不大于20的素数},A,B均为U的子集,且满 足A∩( ?U B)={3,5},( ?U A)∩B={7,19},( ?U A)∩( ?U B)={2,17}, 试求集合A,B.【教你审题】【常规解法】由题意知U={不大于20的素数}={2,3,5,7,11,13,17,19},又由( ?U A)∩( ?U B)= ?U(A∪B),可知 ?U(A∪B)={2,17}, 所以A∪B={3,5,7,11,13,19}. 因为( ?U A)∩B={7,19},所以7,19∈B,7,19?A. 因为A∩( ?UB)={3,5},所以3,5∈A,3,5?B. 又因为A∪B中的11,13∈A∩B, 所以A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.【巧妙解法】 根据题设条件画出Venn图,如图所示,可知 A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.【方法对比】 本题的两种解法分别从不同的角度解决问题.常规解法着 眼于每一个元素的归属问题,在此过程中主要应用的是集合的 运算性质;巧妙解法则采用Venn图法,事半功倍,简单迅速.【教你一招】 图示法巧解集合运算问题 求解集合运算问题时,若集合是用列举法表示时,一般利用 Venn图求解;若集合用描述法表示时,一般利用数轴,通过数轴 分析来求解,如本例,利用Venn图求解更直观迅速.【类题试解】已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8}, 求:A∩B,A∪B,( ?U A)∩( ?U B),A∩( ?U B),( ?U A)∪B. 【常规解法】A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}.因为 ?U A={1,2,6,7, 8}, ?U B={1,2,3,5,6}, 所以( ?U A)∩( ?U B)={1,2,6},A∩( ?UB)={3,5}, ( ?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.【巧妙解法】画出Venn图,如图所示, 观察此图可得:A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}, ( ?U A)∩( ?U B)={1,2,6}, A∩( ?U B)={3,5},( ?U A)∪B={1,2,4,6,7,8}.
补集及综合应用 一、选择题 1.(2010? 全国卷Ⅱ)设全集 U={x∈N*|x&6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B) =( ) A.{1,4} C.{2,4} B...第二课时 补集及综合应用_高中教育_教育专区。第二课时 补集及综合应用 【选题明细表】 知识点、方法 补集的运算 集合的交、并、补集综合运算 Venn 图的应用 ...第五课时 补集及综合应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教版高一数学 复习引导: 1.交集的定义 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做...补集及集合运算的综合应用强化训练及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。补集及集合运算的综合应强化练习 1 .全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有...第一章 第4课时 补集与集合的综合应用_理学_高等教育_教育专区。《集合与函数》 第 4 课时学习目标 补集与集合的综合应用 1.结合集合的图形表示,理解补集的概念...补集及集合的综合应用 强烈推荐强烈推荐隐藏&& 对应学生用书 P98 基础达标 一、选择题 1.设全集 U={1,2,3,4,5},M={3,4,5},则?UM 等于( A.{3,4,...必修一同步练习 补集及综合应用_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时一、基础过关 补集及综合应用 1. 已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA 等于...来宾市第四中学高一年级集体备课教案学科 课题 数学 1 备课人 覃建勤 备课时间 2012 年 9 月 13 日 第一章第一单元第三课时:补集及集合综合应用 1、 理解在...第2课时 补集及综合应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时 补集及综合应用 课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集....必修一同步练习 1.1.3补集及综合应用(含答案)_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时一、基础过关 补集及综合应用 1. 已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5...
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工程开发（17）
我们都知道，正则表达式可以很方便地对字符串进行匹配、查找、分割等操作。但是，面对看似复杂的符号组合，自己就曾被唬过，感觉这是一种难以理解的语法，所以碰到的时候也就查查对应的正则表达式是表示什么意思，并没有尝试了解。人总是被逼的，轮到自己开发有关字符串的匹配功能的时候，发现使用字符串拆解比对的方式，逻辑上实在很繁杂，不简练更不直观，程序的健壮性也不敢想象。可见，即使某种语言是正交完备的，也不一定能很高效地去表述所有逻辑语境——这个论断和我之前写到的是一致的。这么着，自己也给自己一个机会接触新知识，看了一天正则表达式，并用程序实践之，逐渐感觉渐入佳境。于是用自己的思维方式（物理出身），重新整理正则表达式的精要。
这里，我尝试用数学集合的方式去表述正则表达式，希望能够用几乎人尽皆知的集合方式阐述看似复杂的字符串匹配规则。本文，主要参数正则表达式的基本语法要素，即字符组，为了满足集合表述，这里把字符组成为字符集合。具体分析如下：
1.&&&&&& 普通字符
类似只有单个元素的集合组，每个集合只有一个字符，这个字符可以是字母、汉字、数字、下划线、换行符等。单个字符集合只能表示该字符本身，如正则式“A”所匹配的就是左右只含字母“A”的字符串。用集合运算，即
{A} = {A}, {^A} != {A} (这里^是非的意思，映射到集合运算，即为补集的概念)
2.&&&&&& 预定义字符
在正则表达式语法要素中，有一些字符集合是预定义好的，我们可以拿来即用。这些字符集合的划分方式很符合我们平时使用到的字符划分方式。这些预定义的字符集一般是成对出现的，也是使用集合补集的概念。具体如下：
预定义字符
\d表示0到9之间的一个数字，集合表达式为设D={0,1,2,3…9}，总集合N={所有字符（视具体编码而定）}，则\d表示为A = {a : a∈D}
\D是\d的补集，表示0到9以外的任意一个字符，集合表达式B={b, b∈^D}
\w表示字母、数字、下划线中任意的一个字符，即A={a : a∈[a-zA-Z0-9_]}
\W是\w的补集，即\W表示除字母、数字、下划线之外的任意一个字符
根据不同的编码，这个集合会有所变动，如下说明
在支持ASCII码的语言中，如JavaScript，“\w”等价于[a-zA-Z0-9_] ;
在支持Unicode的语言中，如JAVA，默认情况下，“\w”除可以匹配[a-zA-Z0-9_]外，还可以匹配一些Unicode字符集，如汉字，全角数字等等。
\s表示任意一个空白字符，如空格、制表符、换页符等，\S是\s的补集
注意：上面的预定义字符集合的元素个数都是1，和普通字符一样；并且，我们发现不同语言支持的编码不同，预定义字符所对应的具体内容也不同。这样，我们可以很轻松的写出特定区域电话号码的正则表达式：
0592-\d\d\d\d\d\d\d
备注：正则表达式预定义字符不仅仅上面三类，还有其它小类，这里不予罗列。
3．自定义字符集合
集合区间是个重要的概念，用于表述集合元素的范围。从集合的表示法看，集合一般有两种表示法：①枚举法（列举法）②描述法。我们在写正则表达式的时候往往也需要用到集合区间的概念，也同样可以使用枚举法（如上例，电话号码），也可以使用描述法。我们知道，往往描述法会显得简练，不易遗漏。正则表达式同样有一套区间的表示方法，非常直观，就是[#-&]，其中#和&都表示字符元素。当然，也可以使用枚举法，同样是用[]表示，如[xyz]表示x/y/z中的任意一个字符，注意，还是单个字符，即x ∈[表达式]——枚举法还可以用|或语句表示，如[x|y|w]。既然有区间表述，也会有补集的定义。正则表达式的补集定义是这样的[^#-&]，表示集合[#-&]的补集。
举例，同样是用电话号码，只查询号码第一位的高于5的电话号码集合，表达式如下
]\d\d\d\d\d\d，或者0592-[^0-5]\d\d\d\d\d\d。
&&& 备注：字符集可以通过[]自定义，仅仅匹配多个字符中的一个。
4. 特殊字符
接下来要讲解的是特殊字符，这些特殊字符也是预定义字符，个人觉得目的是为了向完备性和简练性进发。先列表展示一下这些特殊字符
匹配换行符以外的任意字符，即[^\n]
匹配字符串的开始
匹配字符串的末尾
匹配字符串的开始或者末尾
转义字符，对上述特殊字符，需要通过该转义字符来取消预定义的特殊意义
上述^、$、\b、\B这四个字符为了满足定位字符串的前后位置；\转义字符，目的就是为了把已经占用的特殊字符转换为正常字符，是为了满足完备。
顺便罗列出量词定义，以便一并解释这些定义的集合意义，如下
量词：就像是计算集合元素个数的聚合函数，类似COUNT(A)——具体的数学表达式给忘了…
表示指定的字符或组S最多出现一次，可以没有
表示指定的字符或组S至少出现一次
表示指定的字符或组S可以出现任意次，包括不出现
表示指定的字符或组必须出现n次
表示指定的字符或组最少出现m次，最多出现n次
表示指定的字符或组最少出现n次，多了不限
有了量词的定义，我们就可以更简练的实现重复性定义的缩写了，这个有点类似数学里的科学计数法。还是那个号码例子，之前我们为了拼接7个数字，需要写7次\b，这个不仅不直观，可能会漏写或者多写，也不便于代码维护。有了量词的定义，就可以用\b{7}表示，这个就非常简练了。再举个例子，有时候我们要匹配的字符串长度是预先未知的，使用*就非常轻松解决这个问题了，比如\w*，表示任意个数的字符拼接的字符串。
回归到字符串的基本定义，一个字符串包含多个字符。使用上述介绍的字符集，基本上是涵盖了所有的字符，即任意字符∈上述定义的集合并集。但是，单纯这样的集合根本不够适用于灵活的正则表达式，即不适合于表示我们想要表述的字符串规则——是的，正则表达式的目的是就是表示一个有规律的字符串。所以，引入量词的目的就是为了满足这个目的。因为，发现没，量词其实有if、for的逻辑。也就说，量词完成了正则表达式的逻辑法则。巧妙的使用量词和巧妙的使用编程语法是一样的，需要一个练习和实战的过程。
具体实战例子会在自定义velocity模板编辑器的自动联想功能中总结。
个人整理的进阶文章
备注：本文参考资料主要有《菜鸟成长之路——Java程序员全攻略》之11.2拿下正则式。
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全集与补集
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
全集与补集
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【必修1】第一章& 集合第三节&集合的基本运算（2）全集和补集学时：1学时[学习引导]一、自主学习1．阅读课本 ．2、回答问题（1）本节课的重要知识点是什么？（2）全集、补集的概念是什么？（3）为什么说全集是个相对概念？（4）如何用Venn图来表示全集和补集的关系?（5）补集的符号是怎样的？3、完成练习 4、小结二、方法指导1、注意全集和补集的相对性。同一子集相对不同的全集的补集是不同的。2、补集是集合之间的一种关系也是集合的一种运算。3、利用Venn图和数轴理解全集、补集直观明确，体现数形结合思想。&[思考引导]一、提问题1．（1）含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合，叫做&&&&&& ，记作&&&&&&&&& ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念；（2）已知集合U, 集合A U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的&&&&& ，记作：&&&&& ，即&&&&&&&&&&&& ．
2、& A∩C A=&&&&& ,& A∪C A=&&&&& , C (C A)=&&&&& .
二、变题目1．设 ，则 ＝&&&&&& .2．满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合A共有&&&&&&& 个.3．定义 ，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N―M=&&&&& .
4．如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是___________________．&[总结引导]1．全集、补集定义2全集和补集的性质：2．数轴和Venn图在解决全集和补集问题时的应用：[拓展引导]1．完成 的练习、 的习题1―3的第5、6、7题．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2．思考B组两题．& 3．设全集是U=&& ， ，求实数a的值．4．若全集为& 均为 的二次函数， & 则不等式组 的解集可用 表示为&&&&&参考答案[思考引导]一、提问题1．（1） 全集&&&&& ，记作&& U&&&&&& ， （2）& 补集&&& ，记作：& ，即& ．2、& A∩C A=&& ,& A∪C A=&& U&& , C (C A)=&& A&& .
二、变题目
1． ；2．8；3． 4． [拓展引导]3．34.&& 文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
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