2017考研数学常考题型之计算三重积分
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　　2017考研数学常考题型之恰当选择坐标系计算三重积分
　　对于数一同学来说，三重积分的计算是重积分计算中必考的一部分，有些题目直接考查三重积分的计算，有些题目考查的是第二类曲面积分的计算，但是通过高斯公式可以转化为三重积分的计算.
　　在计算三重积分时，恰当选取合适的坐标系这对于解题来说很关键，一般情况下，有三种方法，可以选择直角坐标、柱面坐标及球面坐标计算三重积分可简化运算.
常用下述方法：
　　第三，若积分区域由平面围成，即边界方程均为一次方程时，可利用直角坐标系计算该三重积分. 要根据积分区域和被积函数的特点适当选择积分次序.
选择积分次序的原则是使积分计算较为简单，其方法有两种.
　　先一后二法：先对某一变量积分，再把积分区域向相应的坐标面上投影，然后再在投影区域上进行积分.
　　先二后一法：用平行某个坐标平面(或垂直于某个坐标轴的平面)去截积分区域得到一个平面闭区域，在这些平面区域哈桑作二重积分，然后再对另一个变量积分.
　　同学们在做题的过程中，根据题目的已知条件选用合适的坐标系.
选取适当的坐标系，这对于我们做题来说，可以又快又准地完成了.而且三重积分的计算经常放在曲面积分的计算中进行考查，所以要求同学们对于三重积分的计算一定要掌握了!
(责任编辑：田学江)
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1、柱坐标及与直角坐标之间的关系
三重积分的柱坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个融合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述，比如，当xOy面上的坐标分量用极坐标描述，z不变的柱坐标与直角坐标之间的关系为
其中θ的取值由点在xOy面上的投影点所在的象限确定。关系图如图1所示。
各坐标变量等于0时对应的坐标面图形分别为：
θ=0：zOx面包含z轴和x正半轴的半平面；
z=0：xOy面，即极坐标面
各坐标变量取常值时对应的曲面则分别为：
θ=θ0：由xOy面上的θ=θ0对应的射线和z轴确定的半平面；
ρ=ρ0：中心轴为z轴，与z轴的距离为ρ0的圆柱面；
z=z0：与xOy面，即极坐标面平行的平面。
具体形状与点的位置关系如图2所示。
2、三重积分的柱坐标计算方法与步骤
适用的三重积分类型：被积函数中有两个变量的平方项和或者两个变量的商，如x2+y2,y2+z2, z2+x2,x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z等结构；或者积分区域由母线平行于坐标轴的半平面、圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱坐标计算方法。
适用的计算思想：其实三重积分的柱坐标计算方法就是三重积分直角坐标系中“先二后一”或“先一后二”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱坐标计算方法；否则称为直角坐标方法。虽然说在求解过程中基本上没有产生新的方法，不过能够更好地适用于三重积分的计算区域为简单类型，其投影区域为极坐标系中的简单类型的三重积分。所以能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱坐标。
具体的计算步骤：
第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如x,y变量）；
第二步：借助柱坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱坐标描述形式。
第三步：根据三重积分直角坐标系中“先一后二”的计算方法确定非极坐标变量的上下限，得到一个定积分描述形式，如
第四步：将结果作为投影区域上的被积函数，并用极坐标的方法计算二重积分，假设积分区域是简单的θ-型区域，则有
3、三重积分球坐标计算方法与步骤
第一步：转换边界曲面方程描述。将围成积分区域的边界曲面方程用球坐标变量描述。
第二步：确定积分区域类型，选择积分计算次序。
第三步：确定积分变量上下限，参照球坐标系下空间区域的定限方法确定各球坐标变量的积分上下限。
第四步：计算累次积分得到最终结果。
【注1】球坐标系下空间区域的分类及定限方法，球坐标系及球坐标与直角坐标之间的关系参见本文最后列出的更多文章阅读列表。
【注2】三重计算的球坐标计算方法一般适用于被积函数为三个平方项，或者能够转换为三个平方项描述的被积函数；积分区域则适用于由锥面、半平面和球面所围的积分区域；当然，如果三重积分适用其他计算方法不方便计算的时候，则也可能需要考虑球坐标的计算方法。
【注3】不管是使用直角坐标方法，还是柱坐标或者球坐标方法计算三重积分，在构造累次积分表达式之前，应该充分考虑积分区域整体或者部分关于坐标面或者关于原点的对称性，同时结合考虑被积函数整体或者通过加减运算拆项后的函数的奇偶性，如果匹配“偶倍奇零”计算性质要求，则首先考虑先借助“偶倍奇零”性质简化计算，另外也考察积分区域是否具有“轮换对称性”，如果有，则考虑使用轮换对称性简化计算；然后再考察或者尝试三种累次积分方法，选择最适合的方法构造累次积分表达式，然后完成三重积分的计算过程。
参考阅读文章推荐：
1．球坐标系中空间区域的分类及不等式描述形式的构建
2．三重积分的概念与直角坐标系中的计算方法与典型例题
3．空间直角坐标系中区域分类及相应数学描述的构建
具体的应用及例题解析请关注微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) ：我们的大学数学公共基础课程分享交流平台！
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