文档分类：
下载后只包含 1 个 PDF 格式的文档，没有任何的图纸或源代码，
下载前请先预览，预览内容跟原文是一样的，在线预览图片经过高度压缩，下载原文更清晰。
您的浏览器不支持进度条
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩?页未读，继续阅读
播放器加载中，请稍候...
该用户其他文档
下载所得到的文件列表【不等式】三角形结构中的一个解题系统(纯净版)-陶平生.pdf
文档介绍：
1三角形结构中的一个解题系统陶平生在初等不等式的范围内,有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题,传统的做法通常是“化杂为弦”,并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来解证。由于其变元受三角形条件约束,处理起来不甚方便。以下从一个基本等式出发,导出相应的运算系统,利用“易弦为切”的方法以及这一系统的特殊转换结构,可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。一、三角形中的一个运算系统以下常设,x=cotA,y=cotB,z=cotC(或者x=tan2A,y=tan2B,z=tan2C),其中A、B、C为三角形的三个内角,则有:1.1)x,y,z中至少有二个正数,并且x+y、y+z、x+z及x+y+z都是正数。事实上,当x,y,z表示半角的正切函数时,显然x,y,z都是正数。今考虑x,y,z表示余切函数的情形,由于三角形中至少有二个锐角,即x,y,z中至少有二个正数,并且x+y=cotA+cotB=cossinAA+cossinBB=sin(
)sin sinABAB?&0。同理有y+z&0,x+z&0。又将这三式相加得x+y+z&0。1.2)1xy
??这是由于,在三角形ABC中成立等式cotAcotB+ cotBcotC+cotAcotC=1,以及tan2Atan2B+ tan2Btan2C+tan2Atan2C=1。1.3)21
???这只要将右端展开,并利用(1.2)式立即可得。1.4)2
)(1 )(1 ) ( )( )( )x
y z x y y z x z?
??????;222(
)(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )( )( )x
z y z x x z y x y y z x z?
???????????;222(1
)(1 )1xyxyz?????,222(1
)(1 )1yzyzx?????,222(1
)(1 )1xzxzy?????。这只要利用(1.3)式立即可得。1.5)1
y z xyz? ??(当0xyz?)只需将左端通分,并利用(1.2)式即可得到。21.6)(
y y z x z x y z xyz?
??????。事实上,2(
)( )( ) ( )(1 ) ( )x
y y z x z x y z x y xz yz z?
?????????(1
xy z x y z xyz? ???????1.7)2
1 1 ( )( )( )x
y z x y y z x z???
1 1 ( )( )( )x
y z x y y z x z?
1 1 ( )( )( )x
y z x y y z x z?
?????。事实上,2
1 1 1 1 11
1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )x
y z x y x z x y y z x z y z?
????????2(
y y z x z????
1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )x
y z x y zx
y z x y x z x y y z x z y z?
) ( ) ( ) 2(
)( )( ) ( )( )( )x
y z y z x z x yx
y y z x z x y y z x z?
2 2 2 2 21
) (1 ) (1 )1
1 1 1 1 1x
y z x y z?
)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )x
x y z xyz xyzx
y y z x z x y y z x z x y y z x z? ?
????????=21(
)( )( )xyzx
y y z x z??
??。就本质而言,三角形中的所有恒等关系,皆可转化为这类代数关系,我们可根据实际需要,列出更多的等式.由于这组等式分别具有升幂降幂,化解根式,调整转换诸功能,使得将它们用于解证三角形中一类不等式时,显得十分有力。在解证不等式的过程中,最为重要的是应当进行充分的等价变形,尽量减少不等价变形,而对于必需的不等价变形,应尽可能在小范围和局部进行.三角系统中的恒等关系,在处理这类等价变形时,显得十分灵活、简便.3二、若干基本不等式下面的一组不等式,对于x,y,z表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解证其它不等式时,通常可化归为这些情形。2.1)2
y z xy yz zx?
?????2.2)3x
y z? ??证:由于2
y z x y z xy yz xz? ????????(),且x
y z??为正数,故3x
y z? ??。2.3)9x
y z xyz? ??证:如果x,y,z中只有二个正数,则90xyz?,而0x
y z? ??,此时结论显然;如x,y,z都是正数,则因1xy
yz xz???,则有9x
y z xyz? ??2.4)39xyz?证:如果x,y,z中只有二个正数,则结论显然;当x,y,z都为正数时,由于231
yz xz xyz?
???,所以1327
9xyz??2.5)8(
)( )( ) ( )9x
y x z y z 1
内容来自淘豆网转载请标明出处.
浏览：28次【泛函】为什么弱L^p空间不满足三角不等式？找不出反例呀【数学吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：422,251贴子：
【泛函】为什么弱L^p空间不满足三角不等式？找不出反例呀收藏
高中在线辅导?上掌门1对1,个性化定制高中在线辅导课程,名师在线精讲,高效提分掌门1对1,初高中高端在线1对1辅导品牌,随报随学,不限地域,省时省力更省心
求弱Lp的定义
下学期学，先来涨姿势。
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生，贴吧更懂你。或各位大神，求一个闵氏三角不等式的初等证明！！！【相对论吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：71,963贴子：
各位大神，求一个闵氏三角不等式的初等证明！！！收藏
我看了好几本狭义相对论教材上的证明，都挺麻烦的，有没有思路简单明确一点的？
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生，贴吧更懂你。或绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
范文一：太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题课题：绝对值三角不等式班级：
姓名：命题日期：
13日ab≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：1．绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值． x，x＞0，??即|x|＝?0，x＝0，??－x，x＜0.2．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a＋b|≤|a|＋|b|(a＋b)≤(|a|＋|b|)a＋b＋2ab≤a2＋b2＋2|a||b|ab≤|a||b|ab≤|ab|，由已知知识可知ab≤|ab|一定成立，因而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab＝|ab|ab≥0可知，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a＋b|≤|a|＋|b|.(3)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是12222(1)|a|＋|b|≥|a＋b|； (2)|a|－|b|≤|a＋b|； (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．思考3 当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．一层练习
1．若|x－a|A．|x－y|2．设ab>0，下面四个不等式其中正确的是(
)①|a＋b|>|a|；②|a＋b|③|a＋b||a|－|b|. ＋y的取值范围为____________．A．①②
D．②④3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．4．方程|x|＋|logax|＝|x＋logax|(a>1)的解集是________________二层练习5．|x－A|2，|y－A|A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．即不充分也不必要条件6．若不等式|x－4|＋|x－3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(
)A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
D．[3，＋∞) 7．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的(
)A．必要条件
B．充分不必要条件C．必要不充分条件
D．即不充分也不必要条件 8．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值是________，最小值是________． 9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________． 10．(2014·江西高考文科)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x2三层练习11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f(x)＝??1??x＋a?＋|xa|(a＞0)，证明：f(x)≥2.12．设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4， 求|a|＋|b|的最大值．13．已知实数x，y满足：|x＋y|3|2x－y|批改日期：
18日－太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题课题：绝对值三角不等式班级：
姓名：命题日期：
13日ab≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：1．绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值． x，x＞0，??即|x|＝?0，x＝0，??－x，x＜0.2．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a＋b|≤|a|＋|b|(a＋b)≤(|a|＋|b|)a＋b＋2ab≤a2＋b2＋2|a||b|ab≤|a||b|ab≤|ab|，由已知知识可知ab≤|ab|一定成立，因而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab＝|ab|ab≥0可知，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a＋b|≤|a|＋|b|.(3)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是12222(1)|a|＋|b|≥|a＋b|； (2)|a|－|b|≤|a＋b|； (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．思考3 当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．一层练习
1．若|x－a|A．|x－y|2．设ab>0，下面四个不等式其中正确的是(
)①|a＋b|>|a|；②|a＋b|③|a＋b||a|－|b|. ＋y的取值范围为____________．A．①②
D．②④3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．4．方程|x|＋|logax|＝|x＋logax|(a>1)的解集是________________二层练习5．|x－A|2，|y－A|A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．即不充分也不必要条件6．若不等式|x－4|＋|x－3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(
)A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
D．[3，＋∞) 7．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的(
)A．必要条件
B．充分不必要条件C．必要不充分条件
D．即不充分也不必要条件 8．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值是________，最小值是________． 9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________． 10．(2014·江西高考文科)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x2三层练习11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f(x)＝??1??x＋a?＋|xa|(a＞0)，证明：f(x)≥2.12．设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4， 求|a|＋|b|的最大值．13．已知实数x，y满足：|x＋y|3|2x－y|批改日期：
范文二：绝对值不等式证明主备人：迟克勤
审核： 朱玉国学习目标：
1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2. 高考要求：（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).难点：
利用绝对值的三角不等式证明一、绝对值三角不等式复习： 绝对值的几何意义：10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，那么|a?b|的几何意义是思考：比较大小：3?(?2??2；3?2??2；?3?(?2)??21．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤
，当且仅当
时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤
，当且仅当
时，等号成立．探究
绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.①a?b?0时,如下图, 容易得：②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|. |a?b||a|?|b|.③a?b?0时,显然有：|a?b|定理1
如果a,b?R, 那么|a?b||a|?|b|.综上,得 |a|?|b|. 当且仅当
时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:向量a,b,a?b构成三角形, 因此有|a?b||a?||b |它的几何意义就是:定理1的证明:定理2 如果a,b,c?R, 那么|a?c||a?b|?|b?c|. 当且仅当
时, 等号成立.例1 设??0,x?a??4,y?b??6，求证：2x?3y?2a?3b??例2：设M,??0x?a??2,y?b??2，a?M,y?M，求证：xy??M?推论：（1）a,b?R证明a?b?a?b
a?b?a?b例3 已知实数a,b,c,满足不等式a?b?c，证明不等式x?a?x?b?c的解集为R思考：利用三角不等式讨论f(x)?x?5?x?的最小值巩固练习：1、已知 x?a?2,y?b?2，求证： (x?y)?(a?b)?c.。2、
（1）、已知A?a?cccc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c。 22cc（2）、已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c。 463、⑴a?b?a?b≥2a;⑵a?b?a?b≤2b4、（2012江苏高考题）已知实数x，y满足：|x＋y|作业：教材19页习题1-4：3 5 7 8。 115
范文三：【学习目标】1、 理解绝对值三角不等式的含义；2、 理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。【学习过程】一、复习引入：1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?_______x?0几何意义：在数轴上，一个点? x??_______
到原点的距离称为这个点所表?_______x?0示的数的绝对值。?2、绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a?a，当且仅当a?0时等号成立，a??a.当且仅当a?0时等号成立。（2）a?_______，
（3）a?b?_______，
（4）a?____(b?0) b那么a?b?a?b?a?b?a?b?二、绝对值三角不等式定理1
如果a，b是实数，则|a?b|_______|a|?|b|当且仅当__________时，等号成立重要结论：如果a，b是实数，则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|【典型例题】1、求证：如果a,b,c是实数，那么|a?c|?|a?b|?|b?c|，当且仅当(a?b)(b?c)?0时，等号成立。2、已知??0，|x?a|??，|y?b|??，求证：|2x?3y?2a?3b|?5?【自主训练】1、求证:⑴a?b?a?b≥2a；
⑵a?b?a?b≤2b2、求证:⑴x?a?x?b≥a?b;
⑵x?a?x?b≤a?b3、已知x?a?思考题：4、求函数y?|x?4|?|x?6|的最小值。 cc,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c。 46
范文四：教学设计：绝对值三角不等式一、内容介绍：本节是在学习了必修5《不等式》及选修4-5第一节“不等式”的基础上继续学习的一部分内容“绝对值不等式”中的第一节。从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及到距离的长度，面积或体积的大小，重量的大小，等等，它们都要通过非负数来表示。因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意义。二、教学目标：1、理解绝对值三角不等式的几何意义2、会用向量解释绝对值三角不等式3、会用代数方法证明绝对值三角不等式4、会用绝对值三角不等式解决有关问题5、通过学习，进一步理解数形结合的思想方法三、教学重点：绝对值三角不等式的理解及应用四、教学难点：绝对值三角不等式的代数证明五、教学过程设计：复习回顾：1、实数a的绝对值|a|的几何意义2、对任意两个实数a、b，|a-b|的几何意义引入：绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具，我们可把距离大小作为解决绝对值不等式的基本出发点，研究和解决相应的问题。学生探究1：对任意两个实数a、b，探究|a|、|b|、|a-b|、|a+b|之间的关系引导学生用恰当的方法在数轴上把a、b、|a+b|表示出来，并分ab>0,ab学生归纳结论：定理1，如果ab是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立 探究2：在上面的不等式中，用向量a,b分别替换实数a,b，当向量a,b不共线时，有向量形式的不等式|a+b|由于定理1与三角形之间的这种关系，故称不等式为绝对值三角不等式 探究3：代数推理证明引导学生从ab≥0及ab探究4：类比上面的方法，探究|a|、|b|、|a|-|b|之间的关系小结：设a,b为任意实数，那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|、例题1课本第15页例题1例题2课本第14页定理2例题3课本第15页例题2练习课本第20页习题1.2的1.3.4题。
范文五：课题：绝对值三角不等式红岭中学
隗双和教学目标：知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力，增强学习兴趣。能运用所学的知识，正确地解决的实际问题.教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 授课类型：新授课课时安排：1课时 教
具：多媒体辅助。 教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。1．请同学们回忆一下绝对值的意义。?x，如果x?0?x??0，如果x?0。??x，如果x?0?几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a?a，当且仅当a?0时等号成立，a??a.当且仅当a?0时等号成立。2（2）a?a，
（3）a?b?a?b，
（4）ab?a(b?0) b那么a?b?a?b?a?b?a?b?二、讲解新课：探究: a,b,a?ba?b之间的什么关系?结论：a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.）已知a,b是实数，试证明：a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.）方法一：证明:1 .当ab≥0时,
2. 当abab??|ab|,ab?|ab|,|a?b|?|a?b|??? ?? ?? ??|a|?|b| ?|a|?|b|综合10,20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1
如果a,b是实数，则a?b≤a?b（当且仅当ab≥0时，等号成立.）00??（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？??a?b?ba（2）若把a,b换为复数z1,z2，结论：z1?z2≤z1?z2成立吗？根据定理1，有a?b??b?a?b?b，a?b?b?a。 a?b?a?b。 定理（绝对值三角形不等式）如果a,b是实数，则a?b≤a?b≤a?b 注：当a、b为复数或向量时结论也成立. 推论1?a?ba?ba1?a2???an≤a1?a2???an推论2：如果a、b、c是实数,那么a?c≤a?b?b?c,当且仅当(a?b)(b?c)≥0时,等号成立.思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。） 三、典型例题：例1、已知 x?a?cc,y?b?，求证 (x?y)?(a?b)?c. 22证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b
（1）cc,y?b?， 22cc∴x?a?y?b???c
（2）22?x?a?由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c 例2、已知x?aa,y?. 求证：2x?3y?a。 46aaaa证明
?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。例3
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)10四、课堂练习：1.(课本P20习题1.2第1题)求证:x20⑴a?b?a?b≥2a;⑵a?b?a?b≤2b 2. (课本P20习题1.2第3题)求证:⑴x?a?x?b≥a?b;⑵x?a?x?b≤a?b 3．（1）、已知A?a?cc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c。 22cc（2）、已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c。46五、课堂小结：1．实数a的绝对值的意义:?a(a?0)?⑴a??0(a?0);（定义）??a(a?0)?⑵a的几何意义:2．定理（绝对值三角形不等式）如果a,b是实数，则a?b≤a?b≤a?b注意取等的条件。 六、课外作业：1。必做：课本19第2，4，5。2．选作：（1）．求证a?b1?a?b?a1?a?b1?b.（2）．已知
a?1,b?1.求证：a?b?1.1?ab七．教学反思：绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会，因此本节课之前应该给学生安排课外预习、自学绝对值三角不等式的含义、意义、证明等重要内容，以让学生对绝对值三角不等式有初步的了解，本节课上可以放手让学生探索绝对值三角不等式的发现、意义和特点、证明的方法、 应用的结构特点等问题，使课堂内容更加丰富，学生思维活动更加主动、激烈，另外在探究过程中，学生个体的差异比较明显，对于部分反应较慢的学生，要加强及时课堂的个别指导，从而更加体现新课程的要求，全面锻炼学生的能力。
范文六：1.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a?b?a?b
（2）a?b?a?b （3）a?b?a?b
（4）ab?ab(b?0)请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a?b?a?b和ab?ab(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）a?b?a?b，
（2）a?b?a?b。 证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b（2）根据（1）的结果，有a?b??b?a?b?b，a?b?b?a。
所以，a?b?a?b。 例2、证明 a?b?a?b?a?b。 例3、证明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？ 定理1
如果a,b?R, 那么a?b?a?b.??在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,??则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:????向量a,b,a?b构成三角形, 因此有｜a+b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 x?a?c2,y?b?c2，求证 (x?y)?(a?b)?c.证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b
（1）?x?a?c2,y?b?c2c2?，c2?c
（2）∴x?a?y?b?由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c例5、已知x?. 求证：2x?3y?a。46aaaa证明
?x?,y?，∴2x?,3y?，4622,y?aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y?a2?a2?a。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：1、已知A?a?2、已知x?a?c2c4,B?b?,y?b?c2c6.求证：(A?B)?(a?b)?c。.求证：2x?3y?2a?3b?c。作业：习题1.2
2、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：
1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3. ☆预习内容：?1．绝对值的定义：?a?R，|a|?????2. 绝对值的几何意义：10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，那么|a?b|的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？??4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例1 设函数f(x)?x?1?x?4．?1?解不等式f(x)?2；?2?求函数y?f(x)的最值．2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.
①a?b?0时,如下图, 容易得：|a?b|②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|.|a|?|b|.③a?b?0时,显然有：|a?b|
综上,得定理1
如果a,b?R, 那么|a?b|立.??????|a|?|b|.|a|?|b|. 当且仅当
时, 等号成在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量a,b,a?b构成三角形, 因此有|a?b|??|a|?|b|它的几何意义就是:定理1的证明:定理2 如果a,b,c?R, 那么|a?c|立.3、定理应用例2 （1）a,b?R证明a?b?a?b，
（2）已知x?a?c2,y?b?c2|a?b|?|b?c|. 当且仅当
时, 等号成，求证 (x?y)?(a?b)?c.。☆课后练习 ：1.当a、b?R时，不等式a?ba?b?1 成立的充要条件是A．ab?0
B．a2?b2?0C．ab?0
D．ab?02.对任意实数x，|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是； 恒成立，则a的取值范围是3.对任意实数x，|x?1|?|x?3|?a4.若关于x的不等式|x?4|?|x?3|?a的解集不是空集，则a的取值范围是的解集是5.方程x?3x2?x?2x?3x2的解集为
,不等式|x2?x|?x2?x6.已知方程|2x?1|?|2x?1|?a?1有实数解，则a的取值范围为
。7. 画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1?、x?1?x?1?1;
2?、x?2y?1.8.解不等式：1?、2x?1?x?1;
2?、x?2x?1?1;3?、x?1?x?2?3 ;
4?、x?2?x?1?3?0.9. 1?、已知x?a4,y?a6. 求证：2x?3y?a。2?、已知x?a?c,y?b?c.求证：2x?3y?2a?3b?c。463?、已知 A?a?s3,B?b?s3,C?c?s3. 求证：10.1?、已知 x?a,y?a.求证： xy?a.?、已知 x?ch,y?c?0.求证：xy?h.(A?B?C)?(a?b?c)?s2参考答案:☆课后练习 1. B.
3 、a＞4 4、a＞7 5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x2} 6、-37、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：x?0，y?0，x?y?1.其图形是由第一象限中直线y?1?x下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x?y?1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1. x?1?x?1?1;
2．x?2y?1.答案：1、-0.58、1?、0-1/2
3?、x4?、x>-29. 1?、已知x?a4,y?a6a6. 求证：2x?3y?aa2,3y?a2。证明
?x?a4,y?，∴2x?，a2?a2?a。由例1及上式，2x?3y?2x?3y?
2?、 3?（解答略）
10、（解答略）1.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a?b?a?b
（2）a?b?a?b （3）a?b?a?b
（4）ab?ab(b?0)请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a?b?a?b和ab?ab(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）a?b?a?b，
（2）a?b?a?b。 证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b（2）根据（1）的结果，有a?b??b?a?b?b，a?b?b?a。
所以，a?b?a?b。 例2、证明 a?b?a?b?a?b。 例3、证明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？ 定理1
如果a,b?R, 那么a?b?a?b.??在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,??则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:????向量a,b,a?b构成三角形, 因此有｜a+b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 x?a?c2,y?b?c2，求证 (x?y)?(a?b)?c.证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b
（1）?x?a?c2,y?b?c2c2?，c2?c
（2）∴x?a?y?b?由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c例5、已知x?. 求证：2x?3y?a。46aaaa证明
?x?,y?，∴2x?,3y?，4622,y?aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y?a2?a2?a。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：1、已知A?a?2、已知x?a?c2c4,B?b?,y?b?c2c6.求证：(A?B)?(a?b)?c。.求证：2x?3y?2a?3b?c。作业：习题1.2
2、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：
1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3. ☆预习内容：?1．绝对值的定义：?a?R，|a|?????2. 绝对值的几何意义：10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，那么|a?b|的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？??4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例1 设函数f(x)?x?1?x?4．?1?解不等式f(x)?2；?2?求函数y?f(x)的最值．2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.
①a?b?0时,如下图, 容易得：|a?b|②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|.|a|?|b|.③a?b?0时,显然有：|a?b|
综上,得定理1
如果a,b?R, 那么|a?b|立.??????|a|?|b|.|a|?|b|. 当且仅当
时, 等号成在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量a,b,a?b构成三角形, 因此有|a?b|??|a|?|b|它的几何意义就是:定理1的证明:定理2 如果a,b,c?R, 那么|a?c|立.3、定理应用例2 （1）a,b?R证明a?b?a?b，
（2）已知x?a?c2,y?b?c2|a?b|?|b?c|. 当且仅当
时, 等号成，求证 (x?y)?(a?b)?c.。☆课后练习 ：1.当a、b?R时，不等式a?ba?b?1 成立的充要条件是A．ab?0
B．a2?b2?0C．ab?0
D．ab?02.对任意实数x，|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是； 恒成立，则a的取值范围是3.对任意实数x，|x?1|?|x?3|?a4.若关于x的不等式|x?4|?|x?3|?a的解集不是空集，则a的取值范围是的解集是5.方程x?3x2?x?2x?3x2的解集为
,不等式|x2?x|?x2?x6.已知方程|2x?1|?|2x?1|?a?1有实数解，则a的取值范围为
。7. 画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1?、x?1?x?1?1;
2?、x?2y?1.8.解不等式：1?、2x?1?x?1;
2?、x?2x?1?1;3?、x?1?x?2?3 ;
4?、x?2?x?1?3?0.9. 1?、已知x?a4,y?a6. 求证：2x?3y?a。2?、已知x?a?c,y?b?c.求证：2x?3y?2a?3b?c。463?、已知 A?a?s3,B?b?s3,C?c?s3. 求证：10.1?、已知 x?a,y?a.求证： xy?a.?、已知 x?ch,y?c?0.求证：xy?h.(A?B?C)?(a?b?c)?s2参考答案:☆课后练习 1. B.
3 、a＞4 4、a＞7 5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x2} 6、-37、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：x?0，y?0，x?y?1.其图形是由第一象限中直线y?1?x下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x?y?1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1. x?1?x?1?1;
2．x?2y?1.答案：1、-0.58、1?、0-1/2
3?、x4?、x>-29. 1?、已知x?a4,y?a6a6. 求证：2x?3y?aa2,3y?a2。证明
?x?a4,y?，∴2x?，a2?a2?a。由例1及上式，2x?3y?2x?3y?
2?、 3?（解答略）
10、（解答略）
范文七：1.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a?b?a?b
（2）a?b?a?b （3）a?b?a?b
（4）ab?ab(b?0)请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质a?b?a?b和ab?ab(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）a?b?a?b，
（2）a?b?a?b。 证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b（2）根据（1）的结果，有a?b??b?a?b?b，a?b?b?a。
所以，a?b?a?b。 例2、证明 a?b?a?b?a?b。 例3、证明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？ 定理1
如果a,b?R, 那么a?b?a?b.??在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,??则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:????向量a,b,a?b构成三角形, 因此有｜a+b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 x?a?c2,y?b?c2，求证 (x?y)?(a?b)?c.证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b
（1）?x?a?c2,y?b?c2c2?，c2?c
（2）∴x?a?y?b?由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c例5、已知x?. 求证：2x?3y?a。46aaaa证明
?x?,y?，∴2x?,3y?，4622,y?aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y?a2?a2?a。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：1、已知A?a?2、已知x?a?c2c4,B?b?,y?b?c2c6.求证：(A?B)?(a?b)?c。.求证：2x?3y?2a?3b?c。作业：习题1.2
2、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：
1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3. ☆预习内容：?1．绝对值的定义：?a?R，|a|?????2. 绝对值的几何意义：10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，那么|a?b|的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？??4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例1 设函数f(x)?x?1?x?4．?1?解不等式f(x)?2；?2?求函数y?f(x)的最值．2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.
①a?b?0时,如下图, 容易得：|a?b|②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|.|a|?|b|.③a?b?0时,显然有：|a?b|
综上,得定理1
如果a,b?R, 那么|a?b|立.??????|a|?|b|.|a|?|b|. 当且仅当
时, 等号成在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量a,b,a?b构成三角形, 因此有|a?b|??|a|?|b|它的几何意义就是:定理1的证明:定理2 如果a,b,c?R, 那么|a?c|立.3、定理应用例2 （1）a,b?R证明a?b?a?b，
（2）已知x?a?c2,y?b?c2|a?b|?|b?c|. 当且仅当
时, 等号成，求证 (x?y)?(a?b)?c.。☆课后练习 ：1.当a、b?R时，不等式a?ba?b?1 成立的充要条件是A．ab?0
B．a2?b2?0C．ab?0
D．ab?02.对任意实数x，|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是； 恒成立，则a的取值范围是3.对任意实数x，|x?1|?|x?3|?a4.若关于x的不等式|x?4|?|x?3|?a的解集不是空集，则a的取值范围是的解集是5.方程x?3x2?x?2x?3x2的解集为
,不等式|x2?x|?x2?x6.已知方程|2x?1|?|2x?1|?a?1有实数解，则a的取值范围为
。7. 画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1?、x?1?x?1?1;
2?、x?2y?1.8.解不等式：1?、2x?1?x?1;
2?、x?2x?1?1;3?、x?1?x?2?3 ;
4?、x?2?x?1?3?0.9. 1?、已知x?a4,y?a6. 求证：2x?3y?a。2?、已知x?a?c,y?b?c.求证：2x?3y?2a?3b?c。463?、已知 A?a?s3,B?b?s3,C?c?s3. 求证：10.1?、已知 x?a,y?a.求证： xy?a.?、已知 x?ch,y?c?0.求证：xy?h.(A?B?C)?(a?b?c)?s2参考答案:☆课后练习 1. B.
3 、a＞4 4、a＞7 5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x2} 6、-37、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：x?0，y?0，x?y?1.其图形是由第一象限中直线y?1?x下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x?y?1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1. x?1?x?1?1;
2．x?2y?1.答案：1、-0.58、1?、0-1/2
3?、x4?、x>-29. 1?、已知x?a4,y?a6a6. 求证：2x?3y?aa2,3y?a2。证明
?x?a4,y?，∴2x?，a2?a2?a。由例1及上式，2x?3y?2x?3y?
2?、 3?（解答略）
10、（解答略）
范文八：1.2.1 绝对值三角不等式☆ 学习目标： ☆ 旧知复习绝对值的定义： ?a ? R ， a = 1.绝对值的几何意义： 10. 实数 a 的绝对值 | a | ，表示数轴上坐标为 a 的点 A 1. 对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用王新敞奎屯 新疆20. 任意两个实数 a , b ，它们在数轴上对应的点分别为 A, B ，那么 | a ? b | 的几何意义是 （思考） 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10 km 和第 20 km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活 区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 2.请同学们根据上面绝对值的几何意义，探究 a ， b 与 a ? b ， a ? b 之间的关系.☆、讲解新课：探究：用恰当的方法在数轴上把 a , b , a ? b 表示出来，你能发现它们之间的关系（ a , b 是实数） ① a ? b ? 0 时, 如下图, 易得： | a ? b || a| ?|b|.② a ? b ? 0 时, 如下图, 易得： | a ? b || a| ?|b|.③ a ? b ? 0 时,显然有： | a ? b || a | ? | b | . 综上,得定理 1： 如果 a , b 是实数，则 a ? b ? a ? b ，当且仅当 ab ? 0 时，等号成立。探究：若把 a , b 换为向量 a ， b ，情形又怎样呢？a?b ba为了更好的理解定理 1，我们再用代数推理的角度给予证明：注意：定理 1 的推广形式：推广 1： a ? b ? a ? b ? a ? b （注意取等条件） 推广 2： a ? b ? a ? b ? a ? b （注意取等条件）定理 2：如果 a、b、c 是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c , 当且仅当 (a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立。探究：你能给出定理 2 的几何解释吗？☆ 自主探究例 1.已知 ? ? 0 ， x ? a ? ? ， y ? b ? ? ，求证2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? 5? .例 2、两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第 10km 和第 20km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活 区和施工地点之间往返一次 . 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何 处？☆ 当堂检测1.若 a, b ? R ，且 a ? 3, b ? 2 则 a ? b 的最大值是 2.求函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 1 的最小值. 3.若对任意实数，不等式 x ?1 ? x ? 2 ? a 恒成立，求 a 的取值范围. 。☆高考连线： （ 2014 o江 西 ） 对任意A． 1 B． 2x， y∈ R， |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| 的 最 小 值 为 （ C． 3 D． 4）☆ 课外作业：1．必做：课本 P19 第 2，4，5 2．选作：求证a?b 1? a ? b?a 1? a?b 1? b.
范文九：学年高二数学选修4-5导学案
班级_______小组_________姓名__________教师评价___________
使用时间课题：绝对值三角不等式一、学习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。二、重点，难点：1、重点：定理1的证明及几何意义。2、难点：换元思想的渗透。【课前预习案】阅读教材P11—P15的相关内容，完成下列问题?1．绝对值的定义：?a?R，|a|?????2. 绝对值的几何意义：10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A20. ?两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，那么|a?b|的几何意义是3.定理1的内容是什么？其证法有几种？??4.若实数a,b分别换成向量a,b定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？【课中探究案】1、绝对值的定义的应用例1 设函数f(x)?x?1?x?4．?1?解不等式f(x)?2；?2?求函数y?f(x)的最值． - 1 -2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|a?b|之间的关系.
①a?b?0时,如下图, 容易得：|a?b||a|?|b|.②a?b?0时,如图, 容易得：|a?b||a|?|b|.③a?b?0时,显然有：|a?b||a|?|b|.
综上,得定理1
如果a,b?R, 那么|a?b||a|?|b|. 当且仅当
时, 等号成立.??
在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则: ????|a?b||a|?|b|
向量a,b,a?b构成三角形, 因此有它的几何意义就是:
定理1的证明:定理2 如果a,b,c?R, 那么3、定理应用例2 （1）a,b?R证明a（2）已知- 2 - x?a?|a?c||a?b|?|b?c|. 当且仅当
时, 等号成立. ?b?a?bc2,y?b?，
c2，求证 (x?y)?(a?b)?c.。【课后巩固案】1.当a、b?R时，不等式a?ba?b?1 成立的充要条件是?0 A．ab?0
B．a2?b2?0
D．ab2.对任意实数x，|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是
；3.对任意实数x ，|x?1|?|x?3|?a恒成立，则a的取值范围是4.若关于x的不等式|x?4|?|x?3|??x?2x?3x2a的解集不是空集，则a的取值范围是x2?x 5.方程x?2x?3x2的解集为
,不等式||?x2?x的解集是6.已知方程|2x?1|?|2x?1|?a?1有实数解，则a的取值范围为
。7. 画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式（1） x?1?x?1?1;
（2）x?2y?1.8、 （1）已知（2）已知- 3 - x?a4,y?a6. 求证：2x?3y?a。 x?a?c4,y?b?c6.求证：2x?3y?2a?3b?c。（3）已知9、（1）已知 A?a?s3,B?b?s3,C?c?s3. 求证： (A?B?C)?(a?b?c)?s x?a,y?a.求证： xy?a.（2）已知 x?ch,y?c?0.求证：xy?h.- 4 -
范文十：绝对值三角不等式目的要求： 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式 重点难点： 绝对值三角不等式。教学设计：一、 引入：实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。a,b,a?b之间的关系.(1)当ab?0,a?b?a?bOb a+b bOx(2)当ab?0时(i)当a?0,b?0时,a?b?a?b二、给出定理1.综上所述可得定理：定理1
如果a, b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。（这个不等式称为绝对值三角不等式。） 2.探究
如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？y在上面的不等式中,用向量a,b分别替换a,b,当向量a,b不共线,向量a?b,a,b构成三角形, 时,那么由向量加法的三角形法则因此我们有向量形式的不等式|a?b|?|a|?|b|.a?bb形的两边之和大于第三边. 它的几何意义就是三角3.探究
当向量a, b共线时，有怎样的结论？ax4. 一般地,我们有|a?b|?|a|?|b|.为了更好地理解定理1,我们再从代数推理的角度给出它的证明.： 证明当ab?0时,ab?|ab|,|a?b|??a?b2?a|2?2|ab|?|b|2|a|?|b|2?|a?b|当ab?0时,ab??|ab|,|a?b|?a?b22?a|2?2|ab|?|b|22?a?2|ab|?b?a|2?2|ab|?|b|2?|a|?|b|2?|a?b|所以|a?b|?|a|?|b|.当且仅当ab?0时,等号成立.5.5.探究你能根据定理1的研究思路,探究一下|a|,|b|,|a?b|,|a?b|等之间的其他关系吗?例如:|a|?|b|与|a?b|,|a|?|b|与|a?b|,|a|?|b|与|a?b|等之间的关系事实上,我们可以得出许多正确的结论.例如果a,b是实数,那么|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.以上我们讨论了关于两个实数的绝对值不等式,这是最基本、最重要的.根据这样的思想方法,我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题.例如,我们有定理2如果a,b,c是实数,那么|a?c|?|a?b|?|b?c|, 当且仅当?a?b??b?c??0时,等号成立.探究你能给定理2的几何解释吗?,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在A,C之间时, 如图1.2?5,在数轴上|a?c|?|a?b|?|b?c|.ABb图1.2?5CAx图1.2?6CBbx如图1.2?6,给出了当点B不在A,C之间时的一种情形.请同学们自己给出其他情形时定理2的几何解释.三、教学实例：关于绝对值三角不等式的简单应用，只要对不等式稍加变形即可.例1已知??0,|x?a|??,|y?b|??,求证|2x?3y?2a?3b|?5?.于公路碑的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生 活区,每个施工队每日在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队 每天往返的路程之和最小,生活区应建在何处?有关绝对值三角不等式的实际应用题，首先把实际问题转化为数学问题，在求解。 四、 小结绝对值三角不等式的几种形式，以及取等号的条件.例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位}