求线性方程组全部解的一种简捷方法--《宜宾学院学报》1991年01期
求线性方程组全部解的一种简捷方法
【摘要】：正 在高等代数或线性代数教材中,求非齐次线性方程组的全部解,一般有这样几个步骤:1.解方程组,写出非齐次线性方程组的一般解。2.在上述一般解中对自由未知量赋值,得出方程组的一个特解X_1。3.在上述一般解中去掉等号右端的常数列,即得非齐次线性方程组之导出组的一般解。
【关键词】：
【正文快照】：
在高等代数或线性代数教材中,求非齐次线性方程组的全部解,一般有这样几个步骤: 1.解方程组,写出非齐次线性方程组的一般解. 2.在上述一般解中对自由未知量赋值,得出方程组的一个特解X:。 3.在上述一般解中去掉等号右端的常数列,即得非齐次线性方程组之导出组的一般解. 4.在
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京公网安备75号一、行列式1.任何一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性。2.n阶行列式D的项的符号是（-1）的（两个逆序数相加）次方3.行列式与其转置行列式值相等；&&&互换行列式两行/列，行列式反号；&&&行列式一行/列公因子可提到外面；一行/列全为0则行列式为0；&&&行列式某一行/列为两数之和，则行列式可表示为两个行列式相加；&&&行列式一行/列所有元素乘以k加到另一行/列，其值不变。4.n阶行列式等于其任意一行/列的各元素与其对应代数余子式乘积之和；&&&n阶行列式任意一行/列元素，与其对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.范德蒙行列式：行列式元素从【0次方】开始6.克莱姆法则：方程组D≠0，有唯一解Xi=Di/D；&&&n元齐次线性方程组仅有零解，其行列式D≠0；有非零解，其D=0；二、线性方程组1.如果齐次线性方程组中，方程个数小于未知量个数，方程组有非零解；2.齐次线性方程组有非零解&=&系数行列式D=0；3.若r维向量组线性无关，则在每个向量上增加n-r个分量所得的n为向量组，依然线性无关；4.n个n维向量线性无关&=&其组成的n阶行列式=0；5.n+1个n维向量线性无关；6.部分相关，整体相关；整体无关，部分无关；7.向量组线性相关&=&至少有一个向量是其余向量的线性组合；&&&线性无关&=&每个向量都不能由其余向量线性表示；8.向量组α线性无关，向量组α,β线性相关，则β可由α线性表示，表法唯一；9.向量组=其极大无关组；同一向量的任意两个极大无关组等价；10.向量组αs可由βt表示，且s&t，则αs线性相关；（逆否）αs线性无关，且可由βt线性表示，则s《t；&&&&两个等价线性无关向量，其所含向量个数相同；&&&&同一向量组任意两个极大无关组所含向量个数相同；11.如果两个向量组等价，则它们的秩相同；12.对矩阵施以初等行变换/初等裂变还，秩不变（只能分别行/列，不可以又有行变换，又有列变换）；13.对矩阵施以初等行变换，不改变矩阵的行秩；施以初等列变换，不改变矩阵的列秩；14.矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩15.如果矩阵有一个r阶子式≠0，则矩阵的秩》r；16.矩阵的秩为r&=&矩阵中至少有一个r阶子式≠0，并且所有r+1子式都等于0；17.线性方程组有解&=&系数矩阵与增广矩阵秩相等；&&&&&线性方程组有唯一解&=&系数矩阵的秩=增广矩阵=x的个数；&&&&&线性方程组有多解&=&系数矩阵的秩=增广矩阵&x的个数；&&&&&齐次线性方程组只有零解&=&系数矩阵的秩=x的个数；【齐次线性方程组至少有零解】&&&&&齐次线性方程组有非零解&=&系数矩阵的秩&x的个数；18.如果ρ1和ρ2都是齐次线性方程组的解，则ρ1+ρ2和Cρ也是该方程组的解；19.如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩&x的个数，则该方程组有基础解系，并且它任一基础解系中的解向量的个数为n-r；20.非齐次线性方程组的解为：特解+对应导出组的解；&&&&&如果ρo是非齐次线性方程组的一个特解，而ρ是其导出组的全部解，则非齐次线性方程组的解为ρo+k1ρ1+k2ρ2+...+knρn；&&&&三、矩阵1.A^k·A^l=A^(k+l); (A^k)^l=A^(kl); (AB)^k是不可分离的；2.矩阵和的转置=矩阵转置的和；(k矩阵)转置=k(矩阵的转置)；3.|kA|=k^n|A|; |AB|=|BA|，A和B必须都是方阵；4.(AB)的秩《min(A的秩, B的秩)5.伴随矩阵：{Aij}的转置；A*=|A|·A逆；n阶方阵AB=E,则A,B均可逆，且互为逆矩阵；6.逆矩阵的逆是其原矩阵；同阶方阵(AB)逆=逆A·逆B；转置的逆=逆的转置；&&&初等矩阵都是可逆矩阵；7.初等矩阵经过初等变换（又有行变换，又有列变换），可化为等价标准形；8.n阶方阵A可逆&=&A可以表示为多个初等矩阵的乘积【矩阵的拆分相乘技术】；四、向量空间1.Rn中任意n个线性无关的向量，就是Rn的一组基（一定要是n个）；2.基变换（行向量）·A；坐标变换（列向量）=A·Y；从B到C的基变换（B逆·C）3.Rn的非空子集L是一个子空间&=&L对加法和数乘运算是封闭的；（平凡子空间与非平凡子空间）4.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的解所组成向量空间；解空间的维数=n-r；5.向量内积：α转置·β；向量长度 ||α||=开根号(向量内积)；单位化；6.向量正交-内积为零；矩阵正交-内积为E；&&&零向量与任何向量正交；正交向量组线性无关；&&&||α+β||《||α||+||β||；对于正交向量||α+β||^2=||α||^2+||β||^27.标准正交基：两两正交，都是单位向量——&与each other内积为0；与自己内积为1；8.正交矩阵（自己与自己的内积为E）：可逆，行列式值为1或-1，两个正交矩阵乘积也是正交矩阵；9.求标准正交基：施密特正交化，标准化；五、矩阵的特征值与特征向量1.特征值、特征向量、特征多项式（化零多项式）、特征方程、相应齐次线性方程组；2.求特征值与特征向量步骤：|特征多项式|=0，相应齐次线性方程组的解；3.特征多项式=(入-入i)相乘；入^(n-1)项系数为-(a11+a22+...+ann)；常数项(-1)^n|A|4.特征值之和为矩阵的迹，特征值之积为矩阵的值；特征值分别为对应对角矩阵的对角元素5.相似矩阵有相同行列式；相似矩阵的幂依然相似；相似矩阵有相同的特征多项式；6.迹(A)+迹(B)=迹(A+B)；迹(kA)=k迹(A)；转置的迹相等；迹(AB)=迹(BA)；迹(ABC)=迹(BCA)=迹(CAB)；7.不同特征值的特征向量线性无关；若特征值是特征方程的k重根，则其特征向量不多于k个；&&&n阶方阵A有n个不同特征值，则其可对角化；A没有重根，则其可对角化；8.找到对角化矩阵：特征向量组合得到U, U逆·AU=对角矩阵；9.实对称矩阵特征值都是实数；实对称矩阵属于不同特征值的向量正交；n阶实对称矩阵一定可对角化；10.实对称矩阵对角化步骤：求特征值和特征向量，施密特正交化特征值内部向量，单位化，组合得到正交矩阵，得到对角化矩阵。六、二次型1.二次型是一个数，二次型矩阵是对称矩阵，二次型的秩就是二次型矩阵的秩；2.经非退化线性替换得到的新矩阵，与原矩阵合同；3.任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形；（配方法：有平方项，无平方项）4.任何一个二次型都可以通过正交替换化成标准形；（正交替换法：求特征值，求正交矩阵【记得单位化】，得到标准形）
struggle strive survive
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······当R(A)?n?1时?|A|?0?故有；AA*?|A|E?0?；即A*的列向量都是方程组Ax?0的解?因为R(A；28?求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性；??x1?x2?5(1)?2x1?x2?x3?2；解对增广矩阵进行初等行变换?有；?11005?r?1010?8?B??21121；与所给方程组同解的方程为；??x1??x3?8；?x2?x3?1
当R(A)?n?1时? |A|?0? 故有
AA*?|A|E?0?
即A*的列向量都是方程组Ax?0的解? 因为R(A)?n?1? 所以方程组Ax?0的基础解系中只含一个解向量? 即基础解系的秩为1? 因此R(A*)?1?
当R(A)?n?2时? A中每个元素的代数余子式都为0? 故A*?O? 从而R(A*)?0?
28? 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?
(1)?2x1?x2?x3?2x4?1?
??5x1?3x2?2x3?2x4?3
对增广矩阵进行初等行变换? 有
?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?5?????
与所给方程组同解的方程为
??x1??x3?8
x3?13? ??x4?
当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T?
与对应的齐次方程组同解的方程为
x3? ??x4?0
当x3?1时? 得对应的齐次方程组的基础解系??(?1? 1? 1? 0)T?
??x1?5x2?2x3?3x4?11
(2)?5x1?3x2?6x3?x4??1?
??2x1?4x2?2x3?x4??6
对增广矩阵进行初等行变换? 有
?1?52?311?r?109/7?1/21?
B??536?1?1? ~ ?01?1/71/2?2??
与所给方程组同解的方程为
?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1? ?x?(1/7)x?(1/2)x?2?234
当x3?x4?0时? 得所给方程组的一个解
??(1? ?2? 0? 0)T?
与对应的齐次方程组同解的方程为
?x1??(9/7)x3?(1/2)x4? ?x?(1/7)x?(1/2)x?234
分别取(x3? x4)T?(1? 0)T? (0? 1)T? 得对应的齐次方程组的基础解系
?1?(?9? 1? 7? 0)T? ?2?(1? ?1? 0? 2)T?
29? 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3? 已知?1? ?2? ?3是它的三个解向量? 且
?1?(2? 3? 4? 5)T? ?2??3?(1? 2? 3? 4)T?
求该方程组的通解?
由于方程组中未知数的个数是4? 系数矩阵的秩为3? 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量? 且由于?1? ?2? ?3均为方程组的解? 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2?1?(?2??3)?(?1??2)?(?1??3)? (3? 4? 5? 6)T
为其基础解系向量? 故此方程组的通解?
x?k(3? 4? 5? 6)T?(2? 3? 4? 5)T? (k?R)?
30? 设有向量组A? a1?(?? 2? 10)T? a2?(?2? 1? 5)T? a3?(?1? 1? 4)T? 及
b?(1? ?? ?1)T? 问?? ?为何值时
(1)向量b不能由向量组A线性表示?
(2)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?
(3)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 并求一般表示式?
1???1?2?1?r??1?2?
(a3, a2, a1, b)??112??~ ?0?11????1??
?4???3??????
(1)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)? 此时向量b不能由向量组A线性表示?
(2)当???4时? R(A)?R(A? b)?3? 此时向量组a1? a2? a3线性无关? 而向量组a1? a2? a3? b线性相关? 故向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?
(3)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)?2? 此时向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一?
当???4? ??0时?
??1?2?41?r?10?21?(a3, a2, a1, b)??1120?~ ?013?1??
方程组(a3? a2? a1)x?b的解为
?x1??2??1??2c?1?
?x2??c??3????1????3c?1?? c?R?
?x??1??0??c???3??????
b?(2c?1)a3?(?3c?1)a2?ca1?
b? ca1?(?3c?1)a2?(2c?1)a3? c?R?
31? 设a?(a1? a2? a3)T? b?(b1? b2? b3)T? c?(c1? c2? c3)T? 证明三直线
l1? a1x?b1y?c1?0?
l2? a2x?b2y?c2?0? (ai2?bi2?0? i?1? 2? 3)
l3? a3x?b3y?c3?0?
相交于一点的充分必要条件为? 向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?
三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
???a1x?b1y?c1?0?a1x?b1y??c1
?a2x?b2y?c2?0? 即?a2x?b2y??c2 ???a3x?b3y?c3?0?a3x?b3y??c3
有唯一解? 上述方程组可写为xa?yb??c? 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a? b唯一线性表示? 而c能由a? b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?
32? 设矩阵A?(a1? a2? a3? a4)? 其中a2? a3? a4线性无关? a1?2a2? a3? 向量b?a1?a2?a3?a4? 求方程Ax?b的通解?
由b?a1?a2?a3?a4知??(1? 1? 1? 1)T是方程Ax?b的一个解?
由a1?2a2? a3得a1?2a2?a3?0? 知??(1? ?2? 1? 0)T是Ax?0的一个解?
由a2? a3? a4线性无关知R(A)?3? 故方程Ax?b所对应的齐次方程Ax?0的基础解系中含一个解向量? 因此??(1? ?2? 1? 0)T是方程Ax?0的基础解系?
方程Ax?b的通解为
x?c(1? ?2? 1? 0)T?(1? 1? 1? 1)T? c?R?
33? 设?*是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r ?是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明?
(1)?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关?
(2)?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r线性无关?
(1)反证法, 假设?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 而?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 所以?*可由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表示? 且表示式是唯一的? 这说明?*也是齐次线性方程组的解? 矛盾?
(2)显然向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r与向量组?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r可以相互表示? 故这两个向量组等价? 而由(1)知向量组?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 所以向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r也线性无关?
34? 设?1? ?2? ? ? ?? ?s是非齐次线性方程组Ax?b的s个解? k1? k2? ? ? ?? ks为实数? 满足k1?k2? ? ? ? ?ks?1. 证明
x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s
也是它的解.
因为?1? ?2? ? ? ?? ?s都是方程组Ax?b的解? 所以
A?i?b (i?1? 2? ? ? ?? s)?
A(k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s)?k1A?1?k2A?2? ? ? ? ?ksA?s
?(k1?k2? ? ? ? ?ks)b?b?
因此x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s也是方程的解?
35? 设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1是它的n?r?1个线性无关的解? 试证它的任一解可表示为
x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1? (其中k1?k2? ? ? ? ?kn?r?1?1).
证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1均为Ax?b的解? 所以?1??2??1? ?2??3??1? ? ? ?? ?n?r?? n?r?1??1均为Ax?b的解?
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