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石老与中国计算数学发展的因果关联
作者：hong_521147
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对数学欣赏与数学思维关系的思考
关于数学欣赏，国内发端于徐利治先生，大力倡导者为张奠宙教授。如今谈数学欣赏的文章多起来了，不过所谈数学欣赏，多为什么美呀、真呀，和谐、简洁、对称、奇异等，话题较旧，难出新意，特别是对一线教学，更难做到一以贯之而成为教学常态。近日重读杜威名著《我们怎样思维--再论反省思维与教学的关系》的第十八章“讲课和思维训练”和《民主主义与教育》的第十八章“教育的价值”，眼界为之豁然，心胸为之洞开：数学欣赏应紧紧抓住数学思维训练这根主线，挖掘、彰显数学育人价值，将数学欣赏和数学思维关系有机、有效交融，这才能避开将欣赏作为数学课堂偶尔为之的点缀，“打动人心”、“心领神会”的时刻才有望成为学生每天期望的数学课堂常态。
作者单位：
湖南省株洲县第五中学
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一提到“奥数”，许多家长都忍不住皱起眉头，感觉它就如一颗长在中国体制内教育中的一颗“毒瘤”，可是，不论大家如何嫌恶，它不仅没有被除掉，反而披上了“思维训练”的华丽外衣，越来越向低龄化发展。
那么，这个思维训练是否只是“奥数”考试的换汤不换药呢？究竟怎样做才真的对孩子的思维有好处？
今天，我们“爸爸真棒 & 一石研究院”请来沪上深受家长和学生爱戴的数学老师之一――刘娟老师，她将来为大家分享自己是如何为孩子们设计思维训练课的。
　　即便是听说刘娟老师的学生获得了亚洲奥林匹克数学竞赛的总冠军，屡获各大杯赛的一、二等奖，我依然无动于衷，我只觉得那是孩子有天分，老师有运气。因为，我曾在一文中强调，“奥数”考试（现在称为杯赛）本身没有错，但快速灌输解题方法、以卷面考分来认定思维能力的教与学是很成问题的。
　　当我听说，刘娟老师的网课曾在全国范围内的学生续报率非常之高时，我开始动心了，因为我支持“翻转课堂”的将学习进度留给学生自己的理念，还专门撰文介绍利用网课学数学的方法。
　　当我听说，刘娟老师某个班的学生杯赛初赛入围率100%、小升初进入知名初中的录取率高达85%时，我坐不住了，因为一两个学生好可能是偶然，全班都好，老师一定是有功力的！
　　从一道题看怎么训练思维
　　来看看思维训练是怎样设计的
　　我来到刘娟老师的数学教室，正好在门口看到了这样的一幕――老师正在给孩子们讲一个“猫吃老鼠”的故事：
　　? “猫吃老鼠”之第一问
　　猫捉到了20只老鼠，它告诉老鼠说：我要放过你们其中的一只。游戏的规则是这样的，你们来排队，我要吃一只留一只，第一拨吃完，剩下的继续站着不动，再继续吃一只留一只，以此类推，你们谁是留到最后的那只老鼠，我就不吃谁。请问聪明的小老鼠你站在哪儿呢？
　　老师请孩子们上台来排队，让大家感受一下小老鼠们的感觉。有了实景体验后，小朋友们开始在纸上画老鼠，然后把吃掉的老鼠一轮轮划掉，发现用这种办法是可以找到小老鼠排在哪里最安全的。
　　然后，老师开始引导孩子们找规律：
第一次留下来的是2、4、6、8、10……2的倍数；
第二次留下来的是4、8、16、20……4的倍数；
第三次留下来的是8、16……8的倍数；
那么如果是20只老鼠，你需要站在16号，就是最接近总数数值的2的N次方的最大值；
　　Q：“几年级的孩子可以理解2的N次方呢？”
A：三年级以上的孩子理解了倍数关系就可以，因为在这里，计算不是难点，引导孩子发现规律才是重点。如果孩子们需要解题，我们就会把一些常用的数据资料直接给到孩子，比如：2的10次方等于1024，孩子在这个数值附近乘以2，或者除以2，计算起来都很方便，关键是他要理解为什么这么做。
我们尽管不知道多少次方，不知道这个倍数关系，乘以2或者除以2在这个年龄段的孩子是可以很快做到的，这个地方我不需要算出具体的值，我可以采用估算的方法。
　　接下来，老师又来问孩子：
　　? “猫吃老鼠”之第二问
　　如果换成一只机器猫抓了两千只老鼠，小老鼠该排第几位才不被吃?
因为我们通过上面的规律发现，要站在最接近总数数值的2的N次方的最大值的位置，已知条件是2的10次方等于1024，小朋友如果理解了规律就会想到，再乘以2就会超过了2000只，那么小老鼠的位置就是1024号；
如果1000只老鼠该排在哪儿？那不就是1024除以2，等于512吗？如果是99只老鼠呢？64，因为64再乘以2是128，就超过100了。
　　从上面的分析可见，解数学题且不可死记、死背、死盯着它算，而是需要大胆猜想、估算，小心求证。
　　但是，刘老师又接着说：还是拿吃老鼠的这道题举例，如果我们就停留在现在找到的这个规律上，是远远达不到推动孩子自主探索的目的的。所以，我们接下来还要继续变：
　　换玩法
　　大白猫发现永远活着的都是那只最聪明的小老鼠，于是它再抓到老鼠时就换个玩法：我吃两只留一只，怎么办？
　　这时，孩子们就会发现，新情况会发生：有时候留下来的是一只老鼠，有时候是两只老鼠，那它又是一个什么样的规律呢？孩子自己根据上面的思路再去解决，去发现……
　　等到这个也会玩的时候，我们再继续追问：这只老鼠一直旁听了思维训练课，当大白猫继续搞出各种新玩法后，它都能应付。
　　比如，吃三只留一只，吃四只留一只，哇，我们发现我们就算吃N只留一只，这只老鼠也全部会，永远都是它，它肯定是活着的。
　　孩子们假象自己就是这只聪明的小老鼠，玩得不亦乐乎。
　　换花样
　　接下来，换个花样，大家现在不排队了，而是站成一个圈，再来吃一留一或者留一吃一，或者吃二留一，吃三留一，这时候的情况会更加多变。可是玩着玩着孩子们又都总结出规律了。
　　这时候，我们还可以继续衍生：我们拿来许多的围棋子来设计新的方案，我们甚至还可以结合数列来编题、解题……
　　在这样层层递进的过程中，我们循着孩子的思维发展轨迹帮助他打开思路，那么无论这个孩子题目做得如何，他都会有所收获――
　　因为他知道了学习的过程是一个自己找寻规律的过程，是一个需要集中注意力观察的过程，还是一个可以天马行空发散自己想象的过程。
　　必须警惕的思维训练低龄化
　　越低龄，方法越重要
　　理顺了这个教学案例的思路，我意识到：
一方面我们真的可以利用数学问题作为训练思维的载体，让孩子的大脑在思维操场上得到锻炼；
另一方面，一个真正的思维训练导师是不容易找到的，如果他不能够根据孩子由具象到抽象的思维特点设计出符合其心智发展规律的思考路径，那么，很容易就会带孩子陷入到“套路解题”的习得性不思考状态中！
　　警惕思维训练的低龄化
　　按照这个推理，思维训练突然间低龄化发展，更是非常危险的。
　　刘老师说：
　　现在中大班的孩子就开始报补习班参加思维训练课，这里有家长升学的需求，也有思维训练被认可的原因。但是如果盲目拔高，把思维训练就看成刷题，变成记忆性的习得，那么反而会把脑子练的呆板了。
　　为了迎合市场需求，突然间出现了那么多打着思维训练旗号的机构、老师，家长们真的要好好选择。
　　越低龄方法越重要
　　所以，真正的思维训练需要有系统地帮助孩子提升观察力、专注力、以及推演规律的能力，这样对于孩子养成迎难而上的学习品质，建立多动脑多思考的思维习惯都是有帮助的。
　　这就要求我们：对待越小的孩子，越是需要在方式方法上下功夫。
　　刘娟老师经常采取的是：讲故事、演故事、实物操作这样的方法。
　　以“比轻重”为例，看看怎么演？
　　五种食物比轻重
　　梨、樱桃、菠萝、萝卜、白菜五种食物比轻重，谁是最重的？谁是最轻的？
　　这是一个可以启发孩子的逻辑推理的问题，我们在思考这样的问题时，如果只是老师讲，孩子听，就变成了老师替代孩子思考。那么我们让孩子们来参与到“演出”中，孩子的小脑筋就转得飞快。
　　让孩子们两手摊开，把自己想象成是一杆秤――一杆“空气秤”，把水果们放在秤上称。
　　画图表
　　然后我们利用图表将上面的思考过程画出来，就一目了然的知道了：五种食物中，最重的是白菜，最轻的是樱桃。
　　巩固练习
　　我们再给小朋友出些练习来巩固一下学习思考的过程，比如你能按从重到轻，将小鸡、小兔、小猫、小狗这四只小动物排排序吗？
　　可采用“空气秤”+画图表，最后得出( 小狗 )& ( 小猫 ) & ( 小兔) & ( 小鸡)
　　对于低龄的思维训练，刘老师给我讲述了她的观点：数学的学习要讲求系统性，这就决定了我们不可以盲目拔高教学，而小孩子的注意力集中时间一次只有十几分钟，这就决定了我们要设计不同的元素提升孩子的兴趣确保他们容易集中注意力，而这些元素设计得还必须符合他们年龄的生理、心理特点。
　　思维训练的系统性实现梯次进阶
思维过程比结果更重要
　　在小学二年级以后，我们会看到有些学生“梯次掉队”的现象，有人认为这与过多过早地学习数学有关，当我问到刘娟老师，对这个问题如何看待时，她是这样回答的：
　　梯次掉队 VS 梯次进阶
　　学习数学的过程绝不是一个纯粹知识积累的过程，不断用题海战术刷题，却不去总结自己发现的规律，那么就像从不去整理的房间，买回来的东西越来越多，却非常凌乱，有时候就不再是财富而是垃圾了。甚至有些孩子做到后面，连自己曾经会做的题都忘记怎么做了，这就产生了所谓的“梯次掉队”现象。
　　为什么我会一再强调系统性学习和按照孩子的生长规律学习也就是这个原因。
　　如果我们在不断吸纳知识的过程中，不断思考，总结规律，我们练就的就是一种学习能力。那么，做过的题目会，没做过的题目会找方法，有这种锲而不舍、迎难而上的精神，孩子就会越学越好，反而还能梯次进阶。
　　思维过程比结果更重要
　　我们给孩子设计思维训练，始终要明确的是：找答案是最终结果，而真正要训练的是孩子如何寻找答案的思维过程，是从目标点回看出发点搭构出来的线路。
　　通过一次次的练习，孩子们掌握了解决问题的基本思路，不仅仅在做数学题上会有所帮助，在学习别的科目上，甚至在日常生活中，大到帮助父母分析股市，小到做家务买菜都成为了佼佼者。
　　这时候，家长、老师都跟不上这群孩子的思维，我经常发现，我指条路，他们比我想得还快，给到我教学上许多新的启发，真的是教学相长。
　　两个例子看教学相长
　　没有什么比实际教学案例更能说明问题的了，刘老师又举两个实实在在的干货：
　　比如这样的一道题：
　　1+3+5+7+&&&+195+197+199=____
　　课堂上，先给学生讲解传统的思维方法：
　　? 传统方法1:高斯配对法
　　? 传统方法2: 倒序相加法
　　? 创新方法：数形结合，在玩中探索规律
　　这两种方法很普遍，并且也是“等差数列”求和的推导方法。
　　但是，我在给孩子讲述这道题时，首先会采用一种“数形结合“的方法，因为人的思维发展规律是从具象思考衍生到抽象思考的，循着这个规律练思维，就如同给孩子打下了坚实的思考基础，再去发散就不是空中楼阁：
　　上面的“＝”，我们可以这样引导孩子探究一种“数形结合”的方法：
　　实物具象操作
　　我们可以给学生提供许多积木块，让他们先通过摆积木来看能否发现什么规律？
　　画图找规律
　　将规律推演成数学表达
　　通过上面的变化，引导孩子发现规律：
　　所以关键就是只用看它有多少项！
　　而怎么计算项呢？除了的计算方法外，还可以这样思考：1~200共200个自然数，其中奇数和偶数各占一半，所以有100项。
　　点睛：
　　给老师的惊喜
　　很多题目都可以采用“数形结合”的方式去构造，比如2015年12月第十六届“中环杯”三年级考题：
　　我们使用常规的解法是运用乘法分配律
　　此法不足之处在于：三年级学生在运用“乘法分配律”时，
去括号时会忘记括号内每一项都要与括号外的数相乘
去括号时根据减法的性质要变号
　　看到这道题后我问孩子们：“有没有可能想到更简单直观的方法？”其实，那时我心里也没有一个明确的新方法。令我没有想到的是，没多久，就有学生想到了这样一个更加巧妙的“数形结合”新方法：
　　由于是两数相乘，孩子们就想到了求长方形的面积，并由此想到了这道题可以联想为两个长方形的面积之差，如下图所示：
　　这道题数据较大，如果用这样“数形结合”的思路来解题，对于三年级学生在考场上快速准确地答题会更有帮助。
　　我与刘老师聊了很久，在她耐心地用一个个实例告诉我正确的思维训练如何能够帮助到孩子的过程中，我对现阶段流行的思维训练有了这样的认识：
　　并非所有教思维训练的老师都是在教学过程中只重结果不重过程的， 真正爱数学的老师，就像一位总设计师，可以将数学作为训练思维的一个载体，提升学生解决问题的能力；
　　思维训练的系统性很重要，这是一个让自己在不断解决问题的思考中提升学习能力的过程，如果没有在这个过程中养成推理的习惯、观察并找寻认知规律的习惯，只是在遇到不会做的题就去靠刷题来记住思路、技巧，那么是达不到思维训练的目的的。
　　思维训练的设计对老师要求很高，他既要熟知整个的数学教学体系，又要了解数学史的发展过程，知道人类的数学结晶是跟随人类思维发展而逐步产生的，因此， 在为孩子设计思维训练的思路时，也必须有能力按照人的思维发展顺序来推进。
　　对于孩子也好，成人也好，进行思维训练只是扩充自己思考路径、学会推演规律的方式之一，既不可把它神话，将它视为提高成绩的唯一手段，也不可将参加杯赛拿名次来作为衡量自己思维能力的唯一标准。还是那句话，如果你认可“没必要健个身就去参加奥运会“，那么你就应该接受：没必要健个脑就一定要参加杯赛，还要拿名次！
　　最后，用刘娟老师的话来总结，思维训练：
首先―要系统
其次―要符合思维发展规律
第三―要坚持
　　具备了这三点，家长和老师只要怀着“静待开花”的心，就可以看到孩子的成长变化了。
　　执教十年先后获得“教学优秀奖”、“青年教师先进个人奖”、“金教鞭奖”、“希望杯优秀教练”、“数学大王园丁奖”等称号。编写的四年级“中环杯”思维能力训练讲义获全国短期班大赛“二等奖”。
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北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授}