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初等数论在中学数学竞赛中的应用毕业论文
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初等数论在中学数学竞赛中的应用毕业论文
官方公共微信初等数论（数学分支）_百度百科
（数学分支）
是研究数的规律，特别是性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有的整除理论、、连分数理论和某些特殊。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有（用解析的方法研究数论）、（用代数结构的方法研究数论）。
初等数论历史发展
初等数论古希腊
古希腊是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如、、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，的《》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。
初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为，为此，人类耗费了巨大的心血。后来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式：
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数n（不等于0）的所有素数，只要在2至n中将不大于
的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果n是合数（非0自然数），则它有一个因子d满足
（三）再从（二）得到等价的逆否命题：“若自然数n不能被不大于
的任何素数整除，则n是一个素数”。[2]
（四）上述的（三）可以用符号如此表达：
顺序地表示素数2，3，5，...。对以上的诸
相除所得之余数 ），有
（余数不为0）。即N不能是2m，3m，5m，...，pkm形。若
，则N是一个素数。
（五）可以把上述的式（1）用同余式组表示：
例如，29不能够被
以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。
29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于72=49 ，所以29是一个素数。
由于（2）的模
两两互素，根据（中国剩余定理）知，（2）式在
的意义上有唯一解。
例如k=1时，
，解得N=3，5，7。求得了（3，32）区间的全部素数。
，解得N=7，13，19；
，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，52 ）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意给定数以内的全部素数。
(六)用程序方法求素数。“若一个自然数n，判断n/k是否整除，先判断其能否整除2，若不能再判断其能否整除3，依次向下判断，当k&(n/k)时，判断结束。”如果所有判断都不能整除，则自然数N为素数。
公元3世纪，研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为。17世纪以来，、、等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
初等数论古代中国
中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《》、《》、《张邱建算经》、《》等古文献上都有记载。比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、、密码学、信息论等。如公开体制的提出是数论在中的重要应用。
初等数论初等数论内容
初等数论有以下几部分内容：
1.整除理论。引入整除、、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、、的、、素数个数无限证明。
2.。主要出自于的《》内容。定义了、、、、同余方程等概念。主要成果：、、、、（即中国剩余定理）等等。
3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、问题、求解。
4.。主要研究了低次对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。
5.。比如、等等。
初等数论初等数论是一个理论层次
第一个层次叫做数学概念，是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。
第二个层次叫做数学命题，数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真，要么不真（这由逻辑中的保证）。真命题包含，，，事实等。命题既可以是存在性命题（表述为”存在.......&），也可以是（表述为“对于一切.....&）。　　第三个层次叫做数学理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。　　在数学证明时，常常不能通过来判断真伪，这是因为数学有时面对的是无穷多个对象，永远不可能一一枚举出每一种情况。在数学中是不可行的，数学只承认（，等均属于演绎逻辑）。[3]
初等数论代表人物
初等数论费马
在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法，引入了等等。
与费马相关的著名结论如下：
费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数。
事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数且互素，φ(n)是，表示和n的小于n的正整数的个数。
费马大定理（当时是猜想）：n&2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是，它已经由英国数学家证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。
初等数论欧拉
引入，得到著名的——费马小定理推广；研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及——加性数论内容。
初等数论高斯
被誉为“数学王子”。解决了正多边形尺规作图问题，将它和费马数联系起来。高斯的著作
《》提出了，讨论了问题，发现了。高斯提出了著名的（当时是猜想），研究了指标和估计问题——的雏形。
U.Dudley．基础数论：上海科学技术出版社，1980：13
屉部贞世朗．代数学辞典：上海教育出版社，1985：259
JosephH.Silverman．《数论概论》：机械工业出版社，2008年：第12页}