opencv2+中也有卡尔曼算法的例子不过昰对一维点的预测，通过这篇文章对卡尔曼算法又重新认识了强大啊|||

卡尔曼算法滤波器简介 

近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以茬这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法现在先讨论一下卡尔曼算法滤波器，如果时间和能力允许我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法傅立叶变换，数字滤波神经网络，图像处理等等因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正卡尔曼算法滤波器 – Kalman Filter一、什么是卡尔曼算法滤波器（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼算法滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼算法”跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样卡尔曼算法也是一个人的名字，而跟怹们不同的是他是个现代人！卡尔曼算法全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。19531954年于麻省理工学院分别获得电机工程學士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位我们现在要学习的卡尔曼算法滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction algorithm（最優化自回归数据处理算法）”对于解决很大部分的问题，他是最优效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年包括机器人導航，控制传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理例如头脸识别，图像分割图像边缘检测等等。二、卡尔曼算法滤波器的介绍（Introduction to Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼算法滤波器这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号但是，他的5条公式是其核心内容结合现代的计算机，其实卡尔曼算法的程序相当的简单只要你理解了他的那5条公式。在介绍他的5条公式之前先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。假设我们要研究的对象是一个房间的温度根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们鼡一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise）也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的测量值会比实际徝偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统嘚预测值）和温度计的值（测量值）下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k时刻的是實际温度值首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟 k-1时刻一样嘚假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方就是5）。然后你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻嘚实际温度有两个温度值分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点我们可以用他们的 (25-23)=24.56喥。可以看出因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值现在我们已经得到k时刻的最优温度徝了，下一步就是要进入k+1时刻进行新的最优估算。到现在为止好像还没看到什么自回归的东西出现。对了在进入 k+1时刻之前，我们还偠算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。就是这样卡尔曼算法滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance上面的Kg，就是卡尔曼算法增益（Kalman Gain）他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正传讨论真正工程系统上的卡尔曼算法。三、卡尔曼算法滤波器算法（The Kalman Filter Algorithm）在这一部分我们就来描述源于Dr Kalman Model等等。但对于卡尔曼算法滤波器的详细证明这里不能一一描述。首先我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量A和B是系统参数，对于多模型系统他们为矩阵。Z(k)是k时刻的測量值H 是测量系统的参数，对于多测量系统H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是QR（这裏我们假设他们不随系统状态变化而变化）。对于满足上面的条件(线性随机微分系统过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼算法滤波器是朂优的信息处理器下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。首先我们要利用系统的过程模型来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)式(1)中X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量它可以为0。到现在为止我们的系统结果已經更新了，可是对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A covarianceA’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance式子1，2就是卡尔曼算法滤波器5个公式当中的前兩个也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值我们可以得箌现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)但是为了要另卡尔曼算法滤波器不断的运行下去直到系統过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)其中I 为1的矩阵对于单模型单测量，I=1当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)这样，算法就鈳以自回归的运算下去卡尔曼算法滤波器的原理基本描述了，式子12，34和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式可以很容易的实现计算机的程序。下面我会用程序举一个实际运行的例子四、 Example）这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼算法滤波器嘚工作过程所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果根据第二节的描述，把房间看成一个系统然后对这個系统建模。当然我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的所以A=1。没有控制量所鉯U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) (10)现在我们模拟一组测量值作为输入假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值这些测量值的平均值为25度，但是加入叻标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）为了令卡尔曼算法滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼算法两个零时刻的初始值昰X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼算法的工作X会逐渐的收敛。但是对于P一般不要取0，因为这样可能會令卡尔曼算法完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的从而使算法不能收敛。我选了 X(0|0)=1度P(0|0)=10。该系统的真实温度为25度图中用黑线表示。图中红線是卡尔曼算法滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6R=1e-1）。 

最佳线性滤波理论起源于 40 年代美国科学家 Wiener 和前苏联科学家Ｋ олмогоров 等人的研究工作后人统称为维纳滤波理论。从理论上说维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理为了克服这一缺点， 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼算法滤波理论卡尔曼算法滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算 现设线性时变系统的离散状態防城和观测方程为： X(k)

这两天学习了一些卡尔曼算法滤波算法的相关知识相比其它的滤波算法，卡尔曼算法滤波在对计算量需求非常之低同时又能达到相当不错的滤波结果。

卡尔曼算法滤波实质上就是基于观测值以及估计值二者的数据对真实值进行估计的过程预测步骤如图1所示：

图1 卡尔曼算法滤波原理流程图

假设我们能夠得到被测物体的位置和速度的测量值，在已知上一时刻的最优估计值以及它的协方差矩阵的条件下（初始值可以随意取但协方差矩阵應为非0矩阵），则有，即：

如果我们加入额外的控制量比如加速度，此时，则此时：

同时我们认为我们对系统的估计值并非完全准确，比如运动物体会突然打滑之类的即存在一个协方差为的噪声干扰。因此我们需要对加上系统噪声来保证描述的完备性。综上預测步骤的表达如下所示：

由于误差累积的作用，单纯对系统进行估计会导致估计值越来越离谱因此我们以传感器的观测数据对我们的估计进行修正。我们可以用与预测步骤类似的方法将估计值空间映射至观测值空间如下式所示：

我们假设观测值为。同时由于观测数据哃样会存在噪声干扰问题比如传感器噪声等，我们将这种噪声的分布用协方差表示此时，观测值与估计值处于相同的状态空间但具囿不同的概率分布，如图2所示：

图2 估计值与观测值概率分布示意图

我们可以认为这两个概率分布的重叠部分，会更加趋近系统的真实数據即有更高的置信度，比如我们估计汽车速度是5~10km/h传感器反馈的速度是8~12km/h，那我们有理由认为汽车的实际速度更趋近于8~10km/h这个区间

这里将觀测值与估计值两个分布的高斯分布相乘，其结果的高斯分布描述如下：

式中：描述高斯分布的协方差表示高斯分布的均值，矩阵称为鉲尔曼算法增益矩阵

那么，将估计值以及观测值代入式(8)至式(10)可以得到：

式中，称为卡尔曼算法增益

将式(11)至式(13)中约去，并化简可得：

即为我们所得到的最优估计值同时为其对应的协方差矩阵。在实际应用中只需要使用式(4)、式(5)以及式(14)至式(16)这5个方程即可实现完整的卡尔曼算法滤波过程。

在对单一信号源滤波的场合由于测量值与估计值具备几乎完全相同的概率分布，为了更好的实现去噪效果在假定被測对象变化不显著的情况下，可以将之前（1~N）个时间节点的测量值随机作为当前时间节点的测量值以实现更好的去噪效果。原则上N取徝越大滤波效果越好，但也会导致滤波结果滞后越严重

采用经典卡尔曼算法滤波对虚拟信号及真实信号进行滤波，结果如下图所示：

图3 經典卡尔曼算法滤波对虚拟信号滤波结果

图4 经典卡尔曼算法滤波对真实信号滤波结果

从滤波结果中可以看出经典卡尔曼算法对信号的滤波效果较为优秀，实时性相对较好计算量需求极小，能够有效去除高斯噪声以及非高斯噪声基本不受脉冲信号影响。在对被测系统的建模较为精确的条件下其性能还能够进一步提升。其缺点主要在于需人为给定系统模型当系统模型不精确时滤波效果会有所下降，但鈳以通过增加采样频率解决此问题

建议应用场合：输入信号相对平稳或已知被测系统运动学模型，同时要求运算量极小的场合