Метод получения математической модели произвольного объекта – тема научной статьи по автоматике и вычислительной технике читайте бесплатно текст научно-исследовательской работы в электронной библиотеке КиберЛенинка
<meta name="citation_publisher" content="Нац?ональний техн?чний ун?верситет <>" />
<meta name="eprints.publisher" content="Нац?ональний техн?чний ун?верситет <>" />
Метод получения математической модели произвольного объекта Текст научной статьи по специальности &Автоматика. Вычислительная техника&
Поделиться
<time itemprop="datePublished" datetime="
Область наук
2017 / Кантор О.Г., Талипова Р.Р., Спивак С.И.
УДК 631.362
О. В. СИНЯЕВА аспирант, М. М. АБДУЕВ, канд. техн. наук
Харьковскийнациональный техническиО университетсельского хозяйства им. П. Василенко, А.А.ЖУРАВСКИЙ,до]нгор философка
ЦкраинсоиЦ ноочво-исследовителкокиааглехимический институт (УХИН), г. Харьков
МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОЛЬНОГООБЪЕКТА
При проведении научного исследования не всегда возможно уложиться в рамки требований проведения планированного эксперимента. Авторами была разработана новая методика, позволяющая построить математическую модель изучаемого объекта, избежав при этом ограничений, накладываемых классическим методом планирования эксперимента.
Для облегчения работы авторами была разработана компьютерная программа,
позволяющая существенно облегчить обработку результатов научных исследований и
построение математической модели изучаемого объекта.
При проведенн? наукового досл0ження не завжди можливо вкластися у рамки вимог проведення плануваного експерименту. Сп?вавторами буларозроблена нова методика, яка оoзвoлсмnдбаЛнвamuмаmвммmuчнамодeла вuвча?могooб’?нmy, при цьому
обмеження, як? накладаються класичним методом планування експерименту.
Для пmoешeпнбpoооmu мвmopclтuиyла poзрoокeоакoму ’юmвpнaнpoгpaмс,акоиoзвoзев еаmmoзв noлвмбати о^ю^у мезазетзm?в нaулoвllл двсл^жови тд плё^овн мcmесаmuенoл млнeлiвнвчaемикoоo ,алаlu.
Введение
При проведении научных экспериментов для получения эмпирических зависимостей используются, как правило, метод планируемого эксперимента. Однако большая часть способов построения многофакторных моделей используют различные модификации планируемого эксперимента, которые не всегда могут быть применимы в условиях действующего производства, особенно тогда, когда наблюдаемые значения не сводятся в определенные разряды. Поэтому при нахождении уравнений, описывающих изменение какого-либо показателя, приходится в виде общего правила иметь дело с неравноотстоящими значениями исследуемых величин. Из-за этого обычные способы нахождения нужных зависимостей оказываются непригодными, и возникает необходимость в разработке таких приемов, которые бы оказались эффективными в данных условиях.
Основная часть
Разработанная методика [1] основывается на том, что сначала весь массив данных мы рассматриваем как функциональную зависимость какого-либо одного переменного, допустим, Х?, а остальные считаем постоянными. В итоге получаем зависимость типа
Y ? X) = f ? X ?)
X2,Xз,X4,,...,Xn -const
Зьт?м нловодам надобную отельцаю для н?л?м?ссо?т A2, A;5,....An, в л?зсльтьт? ч?го нолсчь?м ц?лсю сaстeмc cльвcecap:
Y ? X ) = f ? X 2)
Y ? X ) = f ? X з)
Xi, X з,. X 4.., Xn -const Xi, X 2, X4,..., Xn -const
Y ? X) = f ? X,,)
Xi, X 2, X з,..., Xn-i -const
При перемножении этих строк друг на друга получим итоговое уравнение:
7” (X) = f (X ,)* f (X 2)* f (X 3)*...* f (X п) (3)
7 (X) = [ / (X,) * / (X 2) * / (X з) *...* f (Xп)]‘&#39;п (4)
В качестве функциональных зависимостей /(X) используется набор элементарных функций, коэффициенты которых определяются по методу наименьших квадратов. Для каждой переменной Xi подбирают функциональную зависимость по значению
коэффициента корреляции, т.е. из всего многообразия элементарных функций, которые описывают изменение параметра У^^^), выбирается та функциональная зависимость, у которой коэффициент корреляции наибольший.
В принципе, уравнением (4) можно было бы и ограничиться для описания изменения параметра 7 от переменных Xi. Однако для получения более точного описания мы провели
еще одно уточнение полученной зависимости. Для этого проводится получение корреляционной зависимости между фактическими 7факт и полученными расчетными 7расч значениями параметра 7. Функциональная зависимость определяется в виде линейной функции вида:
Уфакт = Е*7расЧ &#43; D (5)
Полученный при этом коэффициент корреляции будет являться общим коэффициентом корреляции и указывает на тесноту связи между фактическими и расчетными значениями параметра 7. В идеальном случае, когда коэффициент корреляции между фактическими и расчетными значениями параметра 7 равен 1, коэффициент Е=1, а D=0, В противном случае, отличие этих коэффициентов от указанных значений говорит о том, что не все факторы, влияющие на изменение искомого параметра 7, учтены [3]. Коэффициенты корреляции, полученные при расчете уравнений (1-2), являются частными коэффициентами и говорят о том, насколько изменение данной переменной Xi влияло на изменение параметра 7 в
исследуемом интервале, но никоим образом не говорит о влиянии самой переменной на параметр 7. Например, при определении зависимости показателя чистоты разделения зерновой смеси от расхода воздуха, угла наклона рассеивающей плоскости, частоты и амплитуды вибрации расход воздуха был постоянным. Естественно, что при обработке полученных результатов, коэффициент корреляции уравнения, описывающего изменение чистоты разделения зерновой смеси от расхода воздуха будет очень мал либо вообще равен нулю. Можем ли мы после этого утверждать, что насыпная чистота разделения зерновой смеси не зависит от расхода воздуха? Естественно, нет. Малое значение частного коэффициента корреляции говорит лишь о том, что изменение расхода воздуха в указанных пределах (а он, в данном случае, не изменялся) не оказало существенного влияния на изменение показателя чистоты разделения зерновой смеси.
На основе вышеприведенных рассуждений была разработана программа для компьютера, которая позволяла автоматически рассчитывать корреляционные зависимости и составлять статистическую модель работы исследуемого объекта и, опираясь на полученные зависимости, получать прогноз поведения объекта при изменении условий его работы. Однако при подготовке исходных данных для расчета статистической модели следует быть крайне осторожным и учитывать несколько моментов, которые могут существенным образом повлиять на конечный результат, а именно:
1) Необходимо тщательно проверять, чтобы вводимые значения были однозначны. Это означает, что одним и тем же параметрам работы объекта должны соответствовать одинаковые значения откликов. Несоблюдение этого правила приводит к резкому падению
точности полученных зависимостей. Поэтому при подготовке исходных данных необходимо тщательно их проверять на однозначность.
2) Необходимо синхронизировать вводимые значения. Это означает, что параметры, вводимые для построения искомых зависимостей, должны быть согласованы между собой во времени. В противном случае, у нас может появиться неоднозначность, о которой говорилось выше.
Для того, чтобы определить место разработанной методики в ряду уже известных, были проведены сопоставительные расчеты проведенного эксперимента, рассчитанного по одной из известных методик и предлагаемой. Полученные данные говорили о том, что сравнение фактических и расчетных данных, полученных разными способами примерно одинаковы, что говорит об эффективности вышеописанной методики.
Описанная выше методика выгодно отличается от уже известных тем, что для нее не требуется построение матрицы проведения эксперимента, как это имеет место при проведении планируемого эксперимента и ее можно использовать при оценке работы действующего промышленного объекта. Впрочем, это отнюдь не означает, что планируемый эксперимент можно снимать с вооружения исследователей, наоборот, его использование позволит учесть все мыслимые режимы объекта, что только повысит адекватность полученной модели. И только лишь в тех случаях, когда невозможно это сделать, можно прибегать к описанной методике, но при этом следует быть готовым к тому, что точность полученных зависимостей не будет абсолютной. Использование подобной методики позволит:
- Получить математическую модель работы объекта и определить направление влияния каждого из факторов на качество зерновой смеси и сыпучих материалов;
- Оценить степень значимости влияния каждого из факторов на изменение качества зернового и сыпучего материалов по частным коэффициентам корреляции;
- Составить прогноз изменения качества зерновой смеси и сыпучих материалов в зависимости от изменения показателей качества делимой смеси.
Используя полученные теоретические рассуждения, была разработана компьютерная программа, которая позволяет на основе экспериментальных данных получать математическую модель изучаемого объекта.
При этом стал вопрос выбора операционной среды для составления компьютерных программ. Выбор остановился на электронных таблицах Microsoft Excel и этот выбор объясняется многими причинами:
1) Электронные таблицы Microsoft Excel входят в пакет прикладных программ Microsoft Office и установлены практически на всех компьютерах.
2) Изучение основ работы с электронными таблицами Microsoft Excel в настоящее время проходят во всех учебных заведениях - начиная со школы и заканчивая средними и высшими учебными заведениями, поэтому можно надеяться на более-менее тесное знакомство большинства пользователей разрабатываемых программ.
3) Электронные таблицы Microsoft Excel достаточно просты в работе и. при достаточно профессионально написанной программе, не должны вызывать трудностей в работе для пользователей с невысоким уровнем подготовки. Особенно это касается процедуры запуска программ.
4) Электронные таблицы Microsoft Excel достаточно легко и просто подключать для совместной работы, что значительно расширяет диапазон их применения.
Данная компьютерная программа позволяет обработать результаты около 500 экспериментов (точек), включающих до 8 независимых переменных (причём это количество может быть значительно увеличено) и состоит из двух разделов - определение парной корреляции и построение математической на основе многофакторного эксперимента.
Парная корреляция основана на известных уравнениях определения коэффициентов в уравнениях элементарных функций методом наименьших квадратов. Все расчёты выполнены в виде таблиц (рис. 1). Таблицы, в свою очередь, состоят из ряда столбцов, из
которых исследователю следует заполнять только два - значения переменных X и Y ^факт), а остальные ( в том числе и номер опыта) заполняются автоматически.
г \тп п X Уфак-т Урасч
У = А*Х^В У=Х(А*Х-В) У=В&#43;АХ У=А-В-!.п(Х) У=А*ХЛВ У=А*Ехр(В,Х) У=1 (А*Х-В) У=А*Х:&#43;В*Х&#43;С
1=1 г = 0,9972 г = 0,8656 г =0,9675 г = 0,9842 г = 0,8428 г = 0,8835 Г= 1
6 1 1 3 3 2,,,,.,
7 2 2 5 5 5,.,,.,
8 3 ъ 7 7 7,,,,,,
9 4 4 9 9 9,,,,,,
10 5 5 11 и 10,,,.,, И
11 6 6 13 13 12,,,,,,
12 7 2 5 5 5,.,,.,
Рис. 1. Таблица для расчёта парной корреляции
Компьютер просчитывает методом наименьших квадратов коэффициенты А, В и С для каждой из элементарных функций и на основе этого вычисляет расчётное значение функции Yрасч для каждого из значений аргумента Х для каждой элементарной функции. После этого, опять-таки, для каждой элементарной функции определяется коэффициент корреляции г и на основе максимального значения этого коэффициента выбирается наиболее соответствующая функция Yк (рис. 2). Кроме того, когда несколько функций имеют одинаковый коэффициент корреляции, компьютер указывает остальные функции.
Урасч
Уф*и У = А*Х&#43;В У=Х(А*Х&#43;В) У=В-АХ У=А-В*1л(Х) У=А*ХЛВ У=А*Ехр(В,Х) У= 1 (А*Х&#43;В) У=А*Х2&#43;В*Х&#43;С У=А*ХАВ
г =0,9774 г = 0,758 г = 0,7418 г = 0,8867 г = 1 г = 0,725 г = -0,5119 г= 1 1
6 1 1 1 -4 1. -53 4, 15., 1
4 4 3, 20,
8 3 3 9 12 6. 29.
9 4 4 16 20 10. 35.
10 ; ; 25 28 20 33.4 41. 1.16302Е&#43;11 10. 25
11 6 6 36 36 46, 45, 3.42182Е&#43;13 -32, 36
12 7 7 49 44 762.,, 1.00676Е&#43;16 -6, 49
530 Наиболее подходит функция У=А*Х В с коэффициентами
А = 1; В = 2.
531 Кроме того, вошожно также нсполюоватк функдию \&#39;=А*Х,&#43;ВхХ&#43;С с коэффициентами: А = 1; В 0 и С = 0
532 Экстремальные координаты функции (минимум) будут следующие: Х=2; У = 4
Рис. 2. Вывод на экран монитора результаты расчётов
Если же в выбранной функции имеются точки экстремума, то компьютер указывает их, а также указывает на то, что представляют собой точки экстремума - минимум или максимум.
Кроме того, на экран выводится графическое изображение выбранной функции (рис. 3) и сопоставление фактических и расчётных данных (рис. 4). При этом под графиком появляется надпись, указывающая, сколько реальных точек (количество опытов) входит в этот график.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Общий вид зависимости У=А*Х2&#43;ВхХ&#43;С
Рис. 3 Вид выбранной функции
Фактические и расчётные значения исследуемой функции
3 20 X &■
1 2 3 4 5 6 7 6 9 Ю 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
№ опыта
I-----Ряд1 -------Ряд2 I
Ряд 1 - Фактические значения функции
Ряд 2 - Расчётные значения функции У=А&&Х,&#43;ВхХ&#43;С
Внимание! График соответствует реальным значениям только до 6-ой точки!
Рис. 4 Сопоставление фактических и расчётных значений
На основании изложенной методики была разработана компьютерная программа для расчёта многофакторного эксперимента, которая состоит из блока ввода исходных данных (рис. 5) и единичных блоков парной корреляции, аналогичных вышерассмотренному.
Блок ввода исходных данных состоит из таблицы ввода аргументов, фактических данных, автоматического счётчика проведенных экспериментов и расчётных значений полученной зависимости. Исследователь вводит исходные данные по аргументам (Х1- Х8) и фактические значения функции ^факт). Далее компьютерная программа автоматически рассчитывает зависимости по каждому аргументу и строит обобщенную математическую модель.
2 3 а 5 Лш&#39;п XI XI ХЗ Х4 XI Х6 Х7 Х8 Уфзкт ?к
1 ! 2 3 0 -1 1 1 1 1 1,0>>
6 7 5 3 2 I з 4 1 2 2 2 2 4 4,00
3 3 4 5 2 5 3 3 3 9 9,00
4 4 5 6 3 8 4 4 4 1б 16,00
; 5 6 7 4 11 5 5 5 25 25,00
10 6 6 7 8 5 14 6 6 6 36 36,00
11 1! 13 7 7 8 9 6 17 7 7 7 49 49,00
8 8 9 10 7 20 8 е % 64 64,00
9 9 10 и 3 23 9 9 9 81 81,00
14 16 10 10 11 12 9 24 10 10 10 100 100,00
Я) Внимание! Если Вы хотите просмотрть все результаты соиостав.твия фактических и расчётных значений функции, откроите строки с 5 но 14!
531 Математическая модель данного процесса описывается уравнениеы:
532 Ук=[&(1хХ1Л2&#43;0кХ1&#43;0)х(1хХ2Л2&#43;-2хХ2&#43;1)хахХЗЛ2&#43;-4&аИ&#43;4)*ахХ4Л2&#43;2&!Х4&#43;1)&&(0,11115(Х5*ИС1^вв9ХК5&#43;1,7778)х&1&!1Л2)ках1Л2|ка5{1А2)]АС1/8)
Рис. 5 Таблица ввода исходных данных многофакторного
эксперимента
Для наглядности насколько расчётные данные соответствуют фактическим, каждой точке определяется квадратическое отклонение и определяется суммарное среднеквадратическое отклонение по всему массиву.
Если в ходе проведения исследований окажется, что переменных (аргументов) будет не восемь, а меньше, то в таблице исходных данных лишние аргументы следует обнулить (рис. 6).
Поскольку математическая модель изучаемого процесса представляет собой среднегеометрическую величину от функций, получаемых от каждого аргумента (уравнение
4), то вполне может сложиться ситуация, когда при чётном количестве аргументов какое-либо значение из вычисленных функций будет иметь отрицательный результат. Тогда общее произведение (конечная функция) будет иметь отрицательное значение и, согласно правилам математики, чётная степень не может браться из отрицательного значения.
\*ап XI Х2 ХЗ Х4 Х5 Хб Х7 Х8 Уф акт Ук 5*
1 1.67 0,45
4 3.47 0,28
9 16,64 58,37
16 13,58 5,86
25 22,25 7.56
36 33,28 7,40
49 46,65 5.53
64 62,35 2.73
81 80,37 0.40
100 100,72 0.51
9 Внимание! Если Вы хотите просмотрть все результаты сопоставлння фактических и расчётных значений функции, откройте строки с 5 по 14!
1 Математическая модель данного процесса описывается уравнением
2 Ук=(((1,3414хХ1а2&#43;-3,7944*Х1&#43;5,2416)х(1хХ2а2&#43;-2хХ2&#43;1)х|л(1/2)
3 при обшем коэффициенте корреляции 0,9959
Рис. 6 Таблица ввода исходных данных для расчётов с уменьшенным
количеством аргументов
В этом случае следует сделать так, чтобы число аргументов стало нечетным, о чём появляется соответствующее сообщение в строке над таблицей (рисунок 7). Для этого следует либо добавить ещё один аргумент (если количество аргументов меньше 8), добавив пустое множество (например, повторить ещё раз уже имеющийся аргумент), либо убрать наименее значимый из аргументов, выбрав аргумент с наименьшим коэффициентом корреляции (рис. 7).
Кроме того, исследователь имеет возможность определить значение конечной функции Yк для различных значений аргументов (рис. 8), т.е получить прогноз для рассчитанной математической модели.
Внимание! В даном распределении желательно иметь нечётное количество арп мевтов! Рекомендуется убрать аргумент Х2
.У? п/п XI Х2 хз Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Уфакт Ук У
1 1 1 ] 0 -1 1 5 1 1 1.13 0,02
2 2 2 2 ] 2 2 6 5 4 3,86 0,02
3 3 16 3 2 5 3 7 9 9 <<ЧИСЛО! <<ЧИСЛО!
4 4 4 4 3 8 4 8 13 16 13,41 6,71
4 11 5 9 17 25 20.20 23.07
<< 6 6 6 5 14 6 10 21 36 28,42 57,44
7 7 7 7 б 17 7 11 25 49 38,26 115,34
5 5 8 8 7 20 8 12 29 64 50,07 194.08
9 9 9 9 8 23 9 13 33 81 64,65 267.47
10 10 10 10 9 26 10 14 37 100 84,45 241,81
г(Х2)=0,8894 г(ХЗ)=1
г(Х4)=1 г(Х5)=1 г(Х6)=1
КХ7)=1 .&Х8)=1 <<ЧИСЛО!
Внимание! Если Вы холгге просмотрть все результаты сопоставлння фактических н расчётных значений функпнн. откройте строки с 5 по 14!
Ук=|((1хХ1л2)х(1/(-0,0364хХ2&#43;0,4022))х(1хХЗл2)х(1хХ4л2&#43;2хХ4&#43;1)х(0,1111хХ5л2&#43;0,8889хХ5&#43;1,7778)х(1хХбл2)х(1хХ7л2&#43;-8хХ7&#43;1б)х(0,0625хХ8л2&#43;0,375х&
Рис. 7. Сообщение о необходимости иметь нечётное количество аргументов и массив, который можно удалить
Расчёт прогнозны* значений полученной функции
XI XI ХЗ К4 Х5 Х6 Х7 Х8 \к
3 4 2 1 1 5 10 2 7,3223 = 0,04
Рис. 8. Таблица расчёта прогнозных значений расчётной функции
Для этого в таблицу вводят прогнозные значения аргументов и в ячейке Yк получают прогнозное значение функции. Если введенное значение аргумента выходит за пределы значений в исходной таблице (предварительного эксперимента), на полях таблицы появляется соответствующее сообщение (рис. 9).
Для того, чтобы случайно не повредить программу, она защищена от несанкционированного доступа в запрограммированные ячейки. При попытке ввести в них какие-либо данные, работа программы автоматически останавливается, а на экран выводится соответствующее сообщение (рис. 10).
?юёт прогиошш шченпп полненной функция
Вннчптг&#39; Зюттн &ртучмт X) >>ышкг а прими пгрюшчлычго ошп
11 Х2 ХЗ Х4 X} Х( Х7 И Ук
0 4 2 1 1 5 19 ] 010,0)
Рис. 9. Вывод предупреждения о том, что введённый аргумент выходит за пределы предварительного эксперимента
\>>П П XI Х2
ХЗ Х4 Х5 Хб Х7 Х8 \’факт V* &1
3 0 -1 1 1 1 1 1,00 0,00
4 1 2 2 2 2 4 4.00 0,00
3 3 4 Мк оюН Ехсе!
Ячейка и/и диаграмма мщияема от 1 Чтобы юие**<><>^ую вчеАсу диаграту, о***&те >>ашкту при поиощи команды &#34;Сиять мщиту пктвГ (иеко ’Сервис&#34;, подиет
11 8 23 9 9 9 81 81.00 0.00
12 9 26 10 10 10 100 100,00 0,00
а над-о
9 Внимание! Если Вы хотите просмотрть все результаты сопоставлння фактических и расчётных значений функции, откройте строки с 5 по 14!
1 Математическая модель данного процесса описывается уравнением
2 \’к=К(1хХ1Л2&#43;ОхХ1&#43;0)х(1хХ2Л2&#43;-2хХ2&#43;1)х(1хХЗА2&#43;-4хХЗ&#43;4)х(1хХ4Л2&#43;2хХ4&#43;1)х(0,1111хХ5Л2&#43;0,8889хХ5&#43;1,7778)х(1х1Л2)х(1х1Л2)х(1х1А2))Л(1/8)
3 при обшем коэффициенте корреляции 1
Рис. 10. Вывод сообщения о попытке несанкционированного доступа в запрограммированную ячейку
Для сопоставления данного метода и классического метода планируемого эксперимента были проведены расчёты по обеим методикам. Оказалось, что, хотя и функции, описывающие процесс, были разными, среднеквадратичные отклонения этих функций были примерно одинаковы. Конечно, не следует идеализировать разработанный метод. В условиях, когда имеется возможность провести эксперименты строго на двух (или более) фиксированных уровнях, конечно, приоритет будет принадлежать классическому методу планирования эксперимента. Однако в тех случаях, когда наблюдаемые значения не сводятся в определенные разряды и приходится в виде общего правила иметь дело с неравноотстоящими значениями исследуемых величин (а это часто имеет место при исследовании действующих предприятий) новая методика вполне может найти своё место. Кроме того, использование предлагаемой методики позволяет значительно сократить количество опытов, необходимых для построения математической модели.
Выводы
В данной представлена новая методика построения математической модели функционирования произвольного объекта, представляющая собой среднегеометрическую величину элементарных функций, определяемых методом наименьших квадратов.
Сопоставление вновь разработанной методики и традиционного метода показало вполне удовлетворительные результаты.
Разработанный метод позволяет получать математическую модель функционирования объекта в тех случаях, когда её невозможно получить классическим методом планирования эксперимента.
При достаточно большом количестве опытов разница между результатами, полученные методом планирования эксперимента и вновь разработанным методом неощутимо мала.
Список литературы
1 . Журавский А. А., Торяник Э. И., Крышень И. Г. и др. Автоматическое построение математической модели функционирования объекта. - Кокс и химия. - 200. - № 3. - С. 22-28.
2. Кучма Н. В., Зоря Е. С., Торяник Э. И, и др. Применение статистических методов при анализе влияния изменений угольной шихты на качество кокса. Углехимический журнал, 2003 г., №№ 5-6. - С. 15-24.
3. Л. Н. Тищенко, Д. И. Мазоренко, М. В. Пивень, С. А. Харченко, В. В. Бредихин, А. В Мандрыка//Моделирование процессов зерновых сепараторов. - Харьков: ХНТУСХ, <>, 2010. - 360с., ил. - На рус.яз.
METHOD OF GETTING MATHMATICAL FREE OBJEKT
O.V SINYAEVA, graduate student, M. M. ABDUJEV, Cand. Tech. Scie.
A. A. GURAVSKY, Pf. Filosf.
It is often challenging to fulfill all the requirements of scientific experiments while research. Thus, a new method has been worked out to design a stimulator of an object under study. It allows to avoid limits which may be caused by the traditional methods of experiment planning.
The comparison of the new and traditional methods shows numerous advantages of the former. Furthermore, a computer version of the new method has been developed to facilitate data processing of scientific experiments.
Поступила в редакцию 25.11 2011 г.
Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-52970}