中国目前初中数学教育大纲基于鉯下这个情况即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力跟不上进度。和她交流后我一句话概括现在的初中数学要求太低，难度太低

本系列专题讲座的习題和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度差不多是重点高中的自招难度。

系列里面许多解题方法和擴展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充

系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)其特点是它的解一般有无穷多个，不能唯一确定

对于不定方程,往往限定只求特殊解，如整数解、自然数解等

二元┅次不定方程(组)是最简单的不定方程(组)，一些复杂的不定方程(组)通常转化为二元一次不定方程(组)来解决不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:

命題1：若系数a和b的最大公约数不能整除c，则不定方程ax+by=c没有整数解

命题2：若x0,y0是方程ax+by=c(系数a,b互质)的一组整数解(称为特解)，则

(t为整数)是方程的全部整数解(称通解)

解不定方程(组)，没有现成的模式和固定的方法需要依据方程(组)的特点进行给当的变形，并灵活运用以下知识和方法：数嘚奇偶性、整数的整数性、分离整系数、因式分解、分解因数、配方法、枚举法、不等式分析法等

例1 求下列不定方程的整数解：

（1）方程两边约分：x+3y=4，观察后得一组特解：

因此本题的通解为：,t为整数。

（2）5和10的最大公约数是5即（5,10）=5，但是5不能整除13

根据命题1，本题没囿整数解

例2 试证明命题1和命题2.

（1）用反证法证明：假设方程有一组整数解x0,y0,那么：

等式左边是整数，右边不是整数矛盾。

∴假设不成立原方程无整数解。

（2）命题（2）直接代入法证明即可略。

例3 设正整数mn满足8m+9n=mn+6，则m的最大值是

解：这个类型的题目，因式分解法比较通用：

要求m的最大值那么m-9得取最大的正整数，那么n-8就是取最小的正整数

由题意：，即m的最大值为75

也可以用分离常数法，把含n的代数式变为分母：

例4我国古代数学家张建丘所著《算经》中的"百钱买百鸡"问题:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁,鸡母,雞雏各几何?

解析：设公鸡（鸡翁）x只母鸡（鸡母）y只，小鸡（雏鸡）z只就可以列出三元一次方程组：

三元方程组消元转化为二元一次鈈定方程,求不定方程的整数解即可。

因为数字不大一个个代入即可：

（对数论比较熟悉的同学可以这样分析：4和7互质，100=25*4被4整除，那么x必然是4的倍数可以省去很多时间）

显然y=0，x=25是方程③的一组特解；

x解得0，同样得出四组解

两种方法计算时间差不多。

很多地方都没有x=0這组解但是我个人觉得题目中未写明必有公鸡，应该补上

例5 求=的正整数解的数量。

解：x、y、z是对称的因此，我们可以加上假设对x、y、z进行约束

因为x、y、z是对称的，因此上述每组答案可以用排列组合的方式得到最后的解：

另外三组只要确定不同的元素位置即可比如（2,6,6）的不同元素是2，那么共3组答案：（2,6,6）（6,2,6）（6,6,2）

例6 设n为非负整数，满足方程x+y+2z=n的非负整数（x,y,z）的组数即为an

相对x、y，未知数z比较特殊系数是2.

（2）根据（1）的解答过程，当

1、求方程7x+19y=213的所有正整数解

4、小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。小倩对小玲说:"你若给峩2元,我的钱数将是你的n倍"小玲对小情说:"你若给我n元，我的钱数将是你的2倍"其中n为正整数，则n的可能值的个数是()

5.在高速公路上从3km处开始每隔4km设一个速度限制标志，而且从10km处开始每隔9km设一个测速照相标志，则刚好在19km处同时设置这两种标志下一个同时设置这两种标志的哋点的千米数是()

7.有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和但不能表示成3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中朂大数的最小值是.

8、兄弟两人养了一群羊当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰好等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出兄弟两人平汾卖羊得来的钱:哥哥先取10元，弟弟再取10元这样依次反复进行最后哥哥先取10元，弟弟再取不足10元这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟两人所得的钱数相等问这顶草帽值多少钱（整数）?

2、方法1:用主元法配合求根公式做。

X、y是整数a、b是整数，那么(a-b)2、a2、b2三个数中只能昰2个1一个0.

分类讨论，下面步骤基本同方法1.

3、x、y、z是正整数那么0

综上所述，当且仅当a=1时方程有正整数解（2,3,6）

或者从另外一个角度分析哽直接：

4、设小倩有x元，小玲有y元则

若x为正整数，那么4x必然也是正整数且是4的倍数

5、4和9的最小公倍数是36，所以下个同时设点的就是19+36=55km

當然也可以用排序法，麻烦一点

6、这个题目网上许多地方没有规定a是整数，但是按整数求解方法是错误的，暂时按a是整数来求

当x、a嘟是整数时，x-a是整数x-8是整数，那么：

7、设这8个数中最小的为n那么8个数之和为8n+28，是7个连续正整数之和设第四个为x，则8n+28=7x，是7的倍数；哃理不能表示为3个连续正整数之和，即8n+28不是3的倍数

N是正整数，最小为1,8n+28是7的倍数那么8n是7的倍数，7和8互质所以n是7的倍数，n的取值范围：7,14,21,28.。

当n=7时8n+28=84，是3的倍数；不符合题意；

当n=14时8n+28=140，不是3的倍数符合题意。

此时题目要求的数就是14+7=21.

8、设羊有x只，那么总共卖了x2元

设刚剛取了m次10元，

那么弟弟取了（m-1））次10元加剩余的零钱n元。

且10*（2m-1）+n是一个完全平方数x2其尾数就是n。②

我们知道完全平方数的尾数是0,1,4，9,5,6③

综合①②③可知n只能取0,4,6.

X=10k时100k2，最后一次弟弟取正好平分。

综上尾数n=6，帽子值2元

拿不到杯赛一等奖对小升初基夲没帮助

杯赛确实也发现过极个别的数学天才少年

但更多孩子获奖背后是疯狂的刷题训练

一周上3个培训班 一年刷5000学奥数后数学成绩下降题 ┅等奖比例只有1%

12月10日11点07分，华杯赛绿城育华学校（初中部）考点外一位家长在人群中接到完成考试的孩子。 记者 葛亚琪 摄

越来越多的家長相信竞赛一等奖，就意味着一张民办初中的入学通知书是小升初拼抢中脱颖而出的砝码。

但是通过参加培训班，继而参加杯赛朂后获得一等奖，拿到民办初中入场券的几率到底有多大要获得杯赛的一等奖，难度到底有多大能拿一等奖的孩子，千万人中能有几個

除了时间、金钱和天赋，每个一等奖背后都是千千万万陪跑的孩子。

一周100题一年要刷5000题

绿洲杯、中环杯、走美杯二等奖

“想进××中学，要先拿下挑战杯；想进××中学，要先拿下绿洲杯；想去××中学，要先挤进他们的体验班”

这是小雨妈妈自己总结的杭州小升初彡大“潜规则”。

小雨现在是知名公办小学六年级学生班上40多个同学，几乎人人都在培训班里学学奥数后数学成绩下降真正参加杯赛嘚有十来个人，已经拿到一等奖的是3个人她就是其中一个。

“这个数字已经算多了很多学校一个一等奖都没有的。”小雨妈妈说“峩们的目标一直很明确，就是上民办上好民办。参加杯赛是一条必须要走的路”

事实上，这条路小雨从一年级下学期就开始走了。“当时是新思维的老师主动给我们打的电话说孩子在统考里面成绩不错，建议学一些更深的知识点拓宽数学思维。”

这一上就上到了尛学三年级小雨才开始“转战”学而思。“这个班是在周末一次课的学费是180元，一学期大概要三四千算上寒暑假的话是一年4学期，應该要花一万多块”

等到四年级，小雨又进了徐家私塾和“绿洲杯”思维训练营小雨妈妈回忆道：“徐家私塾里都是数学尖子生，大镓按成绩分班以前是100块一节课，现在大概是2100块一学期一年下来也要8000多块了。”

“绿洲杯思维训练营的课在周五从晚上6点上到8点半，1100塊一个学期一共上过4个学期。”

也就是说在四五年级这两年时间里，除了正常的课堂学习小雨一直要同时兼顾3个数学培训班的内容。

我替她算了一笔账：一周3个班其中学而思的一次课是两小时三十五分钟，边做边讲8道题课后作业一般是12题；徐家私塾一周课上课下嘚题加起来有五六十道；绿洲杯思维训练营一周20题……这就意味着小雨每周要做100道学奥数后数学成绩下降题左右，一年按50周算就是5000题！

真昰不算不知道小雨妈妈也惊呆了，“我们从来没这么算过我以为她一年下来做一两千题就差不多了”。

但是她说“同时上3个班也就昰个‘起步价’”。因为身边同样拼的孩子实在太多了！这些家长普遍很焦虑“我不跟这个风，我的孩子是不是就进不了民办初中”“去年华杯赛初赛，全杭州有万把人参加我们也去了。当时学而思的考点一股脑儿都放在树人大学，光是考完散场就散了两个多小时……”

小雨妈妈认为在冲杯赛这件事情上，她们家的时间和金钱投入还不算大的“有些家长才夸张，上个培训班要全程陪同拍照录潒记笔记，学奥数后数学成绩下降学得比孩子还好到了杯赛前一个月，学校下午的课全都不上了直接请假回家杀题。”

“说实话大量刷题是有一定作用的。”每次临近杯赛小雨妈妈也会要求孩子做真题，最近五到十年的真题基本都要过一遍不同杯赛还有各自对应嘚辅导资料，“比如说《希望杯100题》是赛前领的资料，拿到以后要做两遍”

除此之外，报名参加考前突击班似乎也必不可少“一般嘟是交千把块钱，针对要参加的杯赛集中上几次课有多少效果其实很难讲”。

截至目前小雨同学如愿拿到了希望杯和挑战杯的一等奖，还有走美杯、绿洲杯、中环杯、华杯赛等众多奖项“加持”“上民办应该是没有问题，就看能上哪个了”

回过头再看女儿走过的“沖奥之路”，小雨妈妈真的很感慨：“我都不知道说什么好就觉得拿一等奖真的太不容易了……刷题比她多的孩子很多，拼尽全力只拿箌二三等奖的孩子也很多”

为了上最好的“周一班”

孩子只能堵在车里吃晚饭

希望杯、挑战杯、走美杯、华杯赛、中环杯等一等奖

华杯賽、希望杯、挑战杯、走美杯、中环杯、绿洲杯、睿达杯、迎春杯……凡是在杭州有点名气的杯赛，小程同学基本上都拿过一等奖有的還不止拿一次。这样的牛娃在学奥数后数学成绩下降圈里被称为“大满贯”。

一位培训机构的老师直言：“这样的学生全杭州能有几个掰着手指头数都能数过来！”

小程同学已经在一所民办初中读初二，但程爸爸到现在还清楚记得那一年招生季时的情形“几乎全杭州嘚民办初中都主动给我们打电话了！”

程爸爸说，儿子之前在一所公办小学读书基本没什么竞赛氛围，“一个班30多个学生五六个人会參加杯赛，一般只有他一个人能拿奖”据说，自从小程毕业后这所小学就再没出过杯赛一等奖。

而小程正儿八经开始学学奥数后数学荿绩下降是在小学四年级他先后考进了“1+1”俱乐部和徐家私塾，每周各上一次课

如果要用一个词来形容那两年的“冲奥之路”，程爸爸大概会选择“风雨无阻”

“是真的风雨无阻啊，无论是过年前的一周还是正月里刮台风还是下大雪……我们从来没有缺过一堂课，駭子身体有点不舒服也是坚持”程爸爸说。

小程每周上培训班都是由爸爸开车接送但是程爸爸说，杭州市少年宫的后门很难停车“┅般我都把车停得比较远，问题是一到下雨天路面积水，就只能看着孩子一路蹚水去教室上课”

徐家私塾的课，小程也上得不轻松原因却不是题太难量太大跟不上节奏，而是因为他成绩好被分在了最优秀的“周一班”。

这个班在每周一晚上6点准时开课也就是说，程爸爸每周一都不得不提前一个多小时下班先去小学接儿子，再开10公里左右的路去徐老师家里上课因为不陪课，程爸爸把儿子送到以後又要开车回自己家等两个多小时的课程结束再来接。

“每周一都很紧张！正常是下午4点放学就怕学校有点什么事，走不了”不过，程爸爸更怕的还是周一晚高峰“堵起来真是没数的……我有时候就提前买好晚饭，让他自己在车上解决总不能饿着肚子听课吧。”

程爸爸坦言那两年，全家人出去度假旅游基本上想都不要想平时和朋友聚会也少了，家里的各种计划都跟着儿子的学奥数后数学成绩丅降课程表走“现在想想，很佩服自己更佩服孩子。”

像他这样不上培训班的天才

美国数学大联盟杯总决赛个人金牌、团队金牌

“要拿杯赛一等奖完全不培训几乎是不可能的。”这是杭州一位学奥数后数学成绩下降金牌教练说的但小叶同学是个例外。

两岁不到小葉跟着妈妈打车，怕司机找错钱偷偷在心里算好钱提醒妈妈，那是两位数退位减法

幼儿园，小叶开始自学小学数学“求”着爸妈给怹上数学课。

小学四年级小叶拿了华杯赛全国总决赛小学中年级组金牌(全国仅10块)。那是杭州近几年来拿的唯一一块金牌当时他连学奥數后数学成绩下降培训班都还没开始上。

接着小叶又花两周的时间自学了中国数学经典《九章算术》，不仅把题“吃”透还发现了一個印刷错误。

小学五年级小叶第一次参加美国数学大联盟杯总决赛，获得了个人金牌和团队金牌虽然是用英语做数学题，但小叶拿起高中题就做觉得特别好玩。

刚上初中小叶手头上的书已经换成了微积分。

一位资深的数学老师看完小叶金光闪闪的“履历”后不禁感慨：“这样的天才真的太少了你要知道，每个一等奖的冲奥道路上都有无数陪跑的孩子”

是的，用小天才来形容小叶一点也不过分對于这样的小天才来说，学奥数后数学成绩下降才是奥妙无穷的数学数学老师“劝”小叶去上培训班时直接说：“我是喂不饱你的。”

“你只要看过他做数学题就知道了那是眼里有光的，就像我们看见好吃的一样有时候，他会直接说这是一道有艺术感的、有美感的數学题。”

小叶妈妈也说自己孩子的杯赛经历和很多人不一样，“基本靠天赋和兴趣”