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MIMO信道容量计算
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实验一：MIMO信道容量计算实验学时：3实验类型：（演示、验证、综合、设计、√研究）实验要求：（√必修、选修）一、实验目的通过本实验的学习，理解和掌握信道容量的概念和物理意义；了解多天线系统信道容量的计算方法；采用计算机编程实现经典的注水算法。二、实验内容MIMO信道容量；注水算法原理；采用计算机编程实现注水算法。三、实验组织运行要求以学生自主训练为主的开放模式组织教学四、实验条件（1）微机（2）MATLAB编程工具五、实验原理、方法和手段MIMO（MIMO，MultipleInputMultipleOutput）技术利用多根天线实现多发多收，充分利用了空间资源，在有限的频谱资源上可以实现高速率和大容量，已成为4G通信系统以及未来无线通信系统的关键技术之一。图1平坦衰弱MIMO信道模型1．MIMO信道模型MIMO指多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，即不考虑频率选择性衰落。平坦衰弱的MIMO信道可以用一个的复数矩阵描述：（1）其中为发送端天线数，为接收端天线数，的元素表示从第根发射天线到第根接收天线之间的空间信道衰落系数。窄带MIMO信道模型（如图1所示）可以描述为：（2）其中，为发送信号；为接收信号；为加性高斯白噪声。2．MIMO信道容量假设服从均值为0，协方差为单位阵的复高斯分布。根据信道容量的定义，可以证明当服从高斯分布时，达到MIMO信道容量。令的协方差矩阵为，则MIMO信道容量可表示为：（3）其中上标‘H’表示复共轭，为单位阵，det表示取行列式。表示单位带宽下的MIMO信道传输速率，单位为Nat/sec。发射机的传输功率可以表示为：其中，表示向量的模，Tr表示取矩阵的迹，E表示求期望。假设发射机的最大传输功率为，则功率约束下的MIMO信道容量计算问题可以描述为：（4）即在功率约束下找到的最佳分布使得信道容量最大。此处表示为半正定矩阵。3．奇异值分解及问题转化将信道矩阵进行奇异值分解，即可分解为，其中和为酉矩阵满足，为的矩形对角矩阵。利用恒等式和酉矩阵性质，得到（5）利用恒等式和酉矩阵性质，得到（6）定义，利用（5）和（6），问题（4）可写为：（7）经过变量替换，令，问题（7）（i.e.,(4)）等价为（8）根据Hadamard不等式（参考《信息论基础》ThomasM.Cover，定理16.8.2），问题（8）的最优解必为对角阵。因此问题（8）可简化为（9）其中，r为（或者）的秩，和分别为和的对角元素。4．注水（water-filling）算法求解问题（9）对问题（9）使用拉格朗日乘子法，可知最优解必须满足：其中为拉格朗日乘子。为求得，需先确定，它满足(10)注意左边为的递增函数，因此满足（10）的唯一。找到满足（10）的的方法可形象地称为注水（warter-filling）。这是因为，我们可以将看做是第片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度，如图1所示。所需总水量为，不断注水，直至总水量为,。第个区域的水位深度即为最优的。图2注水算法图示。每片区域的高度为。注水总量为，对整个区域注水使其高度达到。每片区域上水的高度（阴影部分所示）即为最优的。六、实验数据及具体步骤1）随机产生,每个信道系数服从均值为0，方差为1的高斯分布（对Rayliegh分布）2)奇异值分解（利用matlabSVD函数）3）计算4）注水法求解问题（9）5）计算，根据（3）计算容量（或者根据问题（9）的最优值确定最大容量）。七、实验程序和结果一、有一并联高斯加性信道，各子信道的方差为d12=0.1，d22=0.2，d32=0.3，d42=0.4，d52=0.5，d62=0.6，d72=0.7，d82=0.8，d92=0.9，d102=1.0。1、若输入的信号总功率P=5程序L=input('子信道数目L=');%输入子信道数目d=input('各子信道噪声方差d=');%输入各信道的噪声方差P=input('输入信号总功率P=');%输入信号总功率D=sum(d);%各子信道的方差和Pav=(P+D)*1.0/L;%求平均输出频率i=1;p=ones(1,L);%功率初始值boolean=1;c=0;%关闭的信道数量while(boolean)while(i&=L)if(Pav&d(i)&p(i)~=0)%找出不符合的子信道并赋值为0p(i)=0;D=D-d(i);c=c+1;endi=i+1;endif(c==0)%当所有信道满足时退出循环endif(i==L+1)%每个信道和Pav对比一遍后初始化各值，并重新计算Pavi=1;L=L-c;c=0;Pav=(P+D)*1.0/L;endendL=length(ai);fori=1:Lif(p(i)~=0)p(i)=
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注水算法对MIMO信道容量的影响
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实验一： MIMO信道容量计算
实验学时：3
实验类型：（演示、验证、综合、设计、√研究） 实验要求：（√必修、选修） 一、实验目的
通过本实验的学习，理解和掌握信道容量的概念和物理意义；了解多天线系统信道容量的计算方法；采用计算机编程实现经典的注水算法。
二、实验内容
MIMO信道容量； 注水算法原理；
采用计算机编程实现注水算法。 三、实验组织运行要求
以学生自主训练为主的开放模式组织教学 四、实验条件
（2）MATLAB编程工具 五、实验原理、方法和手段
MIMO（MIMO，Multiple Input Multiple Output）技术利用多根天线实现多发多收，充分利用了空间资源，在有限的频谱资源上可以实现高速率和大容量，已成为4G通信系统以及未来无线通信系统的关键技术之一。
图1平坦衰弱MIMO信道模型
1．MIMO信道模型
MIMO指多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，即不考虑频率选择性衰落。平坦衰弱的MIMO信道可以用一个nR?nT的复数矩阵H描述：
?????hnR1hnR2
（1） ????
其中nT为发送端天线数，nR为接收端天线数，H的元素hj,i表示从第i根发射天线到第j根接收天线之间的空间信道衰落系数。
窄带MIMO信道模型（如图1所示）可以描述为：
其中，x为发送信号；y为接收信号；n为加性高斯白噪声。
2．MIMO信道容量
假设n服从均值为0，协方差为单位阵的复高斯分布。根据信道容量
C?max{I(X;Y)}的定义，可以证明当p?x?服从高斯分布时，达到MIMO信道
容量。令x的协方差矩阵为Rx，则MIMO信道容量可表示为：
C?Rx??logdet?I?HRxHH?
其中上标‘H’表示复共轭，I为单位阵，det表示取行列式。C?Rx?表示单位带宽下的MIMO信道传输速率，单位为Nat/sec。
发射机的传输功率可以表示为：
?Tr?E?xx??
?ETr?xxH??Tr?Rx?
其中，x表示向量的模，Tr表示取矩阵的迹，E表示求期望。
假设发射机的最大传输功率为PT，则功率约束下的MIMO信道容量计算问题可以描述为：
maxlogdet?I?HRxHH?
s..tTr?Rx??PT.
即在功率约束下找到x的最佳分布使得信道容量最大。此处Rx?0表示Rx为半正定矩阵。
3．奇异值分解及问题转化
将信道矩阵进行奇异值分解，即H可分解为H?UDVH，其中U和V为酉矩阵满足
UUH?I;UHU?I;VHV?I;VVH?I，
D为nR?nT的矩形对角矩阵。
利用恒等式det?I?AB??det?I?BA?和酉矩阵性质UHU?I，得到
det?I?UDVHRxVDHUH??det?I?UHUDVHRxVDH??det?I?DVRxVD
?det?I?DHDVH
利用恒等式Tr?AB??Tr?BA?和酉矩阵性质VHV?I，得到
Tr?Rx??Tr?VVHRx??Tr?VHRxV?
定义Λ?DHD，利用（5）和（6），问题（4）可写为：
HmaxlogdetI?ΛVRxV??H
s..tTr?VRxV??PT.
（i.e., (4)）等价为 经过变量替换，令X?VRxV，问题（7）
maxlog?dIe?tΛX?
s.t.T?rX??
根据Hadamard不等式（参考《信息论基础》Thomas M. Cover，定理16.8.2），问题（8）的最优解X必为对角阵。因此问题（8）可简化为
?x?max?log?1?i??xi?0?i?1
其中，r为H（或者Λ）的秩，xi和
分别为X和Λ的对角元素。
4．注水（water-filling）算法 求解问题（9）
对问题（9）使用拉格朗日乘子法，可知最优解必须满足：
xi?max???i,0?,
其中?为拉格朗日乘子。为求得xi，需先确定，它满足
?1?max??,0?iT
注意左边为的递增函数，因此满足（10）的唯一。
找到满足（10）的的方法可形象地称为注水（warter-filling）。这是因为，
我们可以将?i看做是第i片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度
1/v，如图1所示。所需总水量为?max0,1/v??i，不断注水，直至总水量
i为PT,。第个区域的水位深度即为最优的xi。
图2 注水算法图示。每片区域的高度为?i。注水总量为PT，对整个区域
注水使其高度达到1/v。每片区域上水的高度（阴影部分所示）即为最优的xi*。
六、实验数据及具体步骤
1）随机产生H,每个信道系数服从均值为0，方差为1的高斯分布（对Rayliegh分布）
2) 奇异值分解H?UDVH（利用matlab SVD函数） 3）计算Λ?DD 4）注水法求解问题（9）
5）计算Rx?VXVH，根据（3）计算容量（或者根据问题（9）的最优值确定最大容量）。
七、实验程序和结果
一、有一并联高斯加性信道，各子信道的方差为d12=0.1，d22=0.2，d32=0.3，d42=0.4，d52=0.5，d62=0.6，d72=0.7，d82=0.8，d92=0.9，d102=1.0。 1、若输入的信号总功率P=5 程序
L=input('子信道数目 L=');
%输入子信道数目
d=input('各子信道噪声方差 d=');
%输入各信道的噪声方差 P=input('输入信号总功率 P=');
%输入信号总功率 D=sum(d);
%各子信道的方差和 Pav=(P+D)*1.0/L;
%求平均输出频率 i=1;
p=ones(1,L); %功率初始值
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&详细说明：MIMO注水算法，仿真系统容量，信道H奇异值分解后V矩阵的PDF.亲测可运行。-The Capacity of a MIMO channel with nt transmit antenna and nr recieve antenna is analyzed. The power in parallel channel (after SVD decomposition) is distributed as water-filling algorithm the pdf of the matrix "lanada" ( V in SVD decomposition) elements is depicted too.
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