四季课程：
　　　 　　
智慧数学：
　　　 　　
　　　 　　
四季师资：
　　　 　　
四季校区：
　　　 　　
四季问答：
　　　 　　
走进四季：
　　　 　　
数学问题-重排九宫格与重排15
&&&&发布时间： 10:02:00&&&&标签：九宫 数学 问题
&&& 如下图所示，3*3的格子中有1-8&&8个数字，一格只能放一个数字。我们能把第一种排列变成第二种吗（即7，8互换）？
这看似一个简单的问题，然而变换的方法却似乎极难构造。（各位看官不妨自己一试）
以下是解答，慎入
华丽的分割线
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
事实上，对于以上问题，互易两个数字，且其他保持位置不变是不可能做到的。
下面是我的一个证明：
（复习下线性代数中提到过的逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。）
首先，将3*3的格子阵中的数字按照蓝色箭头方向展开成数列，例如上图的排列，展开成数列后为
.&&把这个数列称为方阵展开数列
将任意两个数字互易，而其他位置不变，等价于将展开后的数列中两个数字互易，而其他位置不变。例如在Fig1中，左图展开为， 右图展开为， 可见展开后的数列也是8，7互易的。
对于这样的展开数列，将数字在九宫格同一行中移动是没有作用的，若将数字在列中移动，则会改变最后方阵展开数列的结果。例如在Fig.2中，将7移入空格，则等于将-----&
，称这一操作为一个变换。
这个变换相当于将7插入4与5之间（见Fig.2下半部分）。
由于每个空格总是在移动数字的正上方或者正下方，所以每次变换相当于在方阵展开数列中把一个数字向前移动2位或者向后移动两位。可见每次变换后，方阵展开数列的逆序数+2，或者+0，或者-2，总之变换不改变方阵展开数列逆序数的奇偶性。
若能够将两个数字互易其他不变，则相当于改变方阵展开数列逆序数的奇偶性（两数互换逆序数+1或-1），而刚才已经证明通过变换是做不到这点的。因此不可能将两个数字互易其他不变，也就是说九宫格中的数字是不能实现任意排列的。
令人感兴趣的是，类似的问题有前人考虑过么？我首先想到的是华容道，但是网上资料显示，这个问题和华容道没有什么关系，它最早出现在19世纪，称为重排15，该问题如下：
能否将Fig.3中左图变换成右图？
显然这个问题是之前问题的4维形式。这个问题在19世纪曾风靡一时，从达官显贵到贩夫走卒都在研究。按照马克吐温的描述，有为此把轮船开上码头，火车忘记靠站的窘事发生。可惜这个问题同样是无解的。
类似的问题可以推广到N*N的方阵，利用刚才给出的方阵展开排列和逆序数的方法可以证明这个问题，但是证明要略作改动，不能再用刚才逆序数奇偶性了，但同样是比较容易的，这里就不再罗嗦了。
Copyright (C) 2007-
All Rights Reserved 四季教育版权所有考试指南：
备考真题：
热门杯赛：
推荐城市：
期中试题：
期末试题：
单元测试：
小学试题：
语文试题：
语文考点：
数学试题：
数学乐园：
英语知识点：
英语试题资源：
您现在的位置： &
数学趣味游戏：著名的“九宫算”
来源：家长帮 文章作者：奥数网整理
　　我国古代劳动人民对数学的发展作出了许多重要贡献，有的成果还被编进美丽的神话传说中去。大约2000年前西汉的《大戴礼》中，就记载着这样一个故事：夏禹治水的时候，洛水里出现了一只很大的乌龟，龟背上有一张象征吉祥的河图洛书纵横图。图案用数字表示就是将1至9个整数填在方格里，而每一行、每一列、每一条对角线上的三个数字加起来都等于15。你知道这张图的填法吗？你当然可以用凑数的方法将它完成，不过，若用移动某几个数字的办法，可能更加明确简单，且容易记忆。
&&& 点击下一页查看答案
百科词条：
欢迎访问奥数网，您还可以通过手机等移动设备查询小学试题库、奥数题库、小升初动态、竞赛辅导、重点中学信息等，2016小升初我们一路相伴。
24小时热帖每周热帖重点中学：
学习专区：
五大名校：
二类学校：
奥数练习题：
奥数知识点：
期中试题：
期末试题：
单元测试：
小学试题：
五大名校：
二类学校：
好玩的数学：河图与洛书中的数学秘密
来源：家长帮社区&&&作者：小学杨振兴&&& 15:08:28&&&&标签：
&&& 西安奥数网 在我国古老的著作《易经系辞传》中有一句话：&河出图，洛出书，圣人则之。&这里的&图&指的就是&河图&，&书&就是&洛书&。
&&& 为啥叫&河图&，传说古代有一天，黄河中跑出一匹马，马背上刻着这幅图，所以叫河图。河图画图，出自黄河之图！为啥叫&洛书&，传说古代有一天，洛水（一条河的名字）跑出一只乌龟，乌龟的背上刻着这幅图，所以叫洛书。洛书洛书，出自洛水之书（当然，其实也是一幅图）！
&&& 这两样东西很神秘，据说隐含着许多天机。既然是天机，那就不能随便泄露。但我们可以研究下&河图&跟&洛书&中隐藏的数学秘密。
&&& 先看看这个河图跟洛书到底是什么东东，如下（左为河图，右为洛书）:
&&& 河图的数学内涵：河图中的黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数；白圆点表示阳数，阳数皆为奇数。图中数字共分三层：最外层四数之和为30；中层四数之和为10；内层三数之和为15.三层数相加得55。30、10、15均为5的倍数，说明以5为中心。图中1至9除了5之外都是不重复的数，只有5例外，共有三个5。如果把其中两个5合并为10，也即1至10的和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，这是等差数列前n项和的最典型例子。
&&& 洛书的数学内涵：洛书是把一至九这9个数字摆成方阵，而以五为中心。此图中任意一行（共三行）、任意一列（共三列）以及两条对角线（共两条对角线）的数字之和都是15.南宋数学家称此图为&从横图&，又称&九宫图&。在数学上，它有一个更玄乎的名字：幻方。学而思四年级春季课会专门有一堂课讲&幻方&。&&&&
【查看原帖并参与讨论：】
　　编辑推荐：
关注奥数网微信 择校之路不迷茫
微信搜索“奥数网”或扫描二维码即可添加
您还可以通过手机、平板电脑等移动设备访问西安奥数网，升学路上有我们相伴。}