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论洛必达法则.doc
在数学分析中，求极限的方法是多种多样的，其中利用导数转化求极限是洛必达法则的一大特色。在使用洛必达法则求极限的过程中，一定要检验是否满足洛必达法则的三个条件，但法则成立的条件是比较苛刻的。实际上，洛必达法则在解决实际问题中有着广泛的作用。关键词 洛必达法则
In mathematical analysis, a variety of ways to limit, derivative into the limit of which is a major feature l ' hospital rule. Los Bida rule limiting process, must be tested meets the three conditions which Los Bida, but rule conditions are more demanding. In fact, Los Bida law has a broader role in solving practical problems. This article from: ① principles applicable lim ② apply the rule extension to sequence limit in order to expand
③ insufficient to rule (fail) and errors are discussed and studied. And the rule was extended to functions of several variables, with its complex functions and differential forms. Shows the law is important in limit calculation.Keywords
L 'hospital's rule
Application
To promoteII
录摘要 ................................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................................... II第一章 引言 ................................................................................................................................................... 11.1洛必达法则的历史背景 ................................................................................................................... 11.2洛必达法则的研究意义 ................................................................................................................... 1第二章 洛比达法则概念重述 ....................................................................................................................... 32.1洛必达法则定理 ............................................................................................................................... 3 0型 ........................................................................................................................................ 3 0?2.1.2型 ....................................................................................................................................... 3 ?2.1.12.2洛必达法则求极限的条件 ............................................................................................................... 4第三章 洛必达法则的应用 ........................................................................................................................... 63.1基本类型 ........................................................................................................................................... 6 3.1.1 &&型及&00?&型未定式 ..................................................................................................... 6 ?3.1.2可转化为基本类型的未定式极限 ........................................................................................ 73.1.3函数极限的洛必达法则求解 ................................................................................................ 83.1.4洛必达法则求极限 ................................................................................................................ 83.2洛必达法则使用时注意的问题 ....................................................................................................... 83.2.1极限式非未定式 .................................................................................................................... 83.2.2使用法则求导后出现极限不存在的现象 ............................................................................ 93.2.3多次使用法则后极限式出现循环现象 ................................................................................ 93.2.4洛必达法则的正确使用 ...................................................................................................... 103.3利用洛必达法则巧解高考题 ......................................................................................................... 10第四章 洛必达法则的推广 ......................................................................................................................... 144.1差分形式的洛必达法则 ......................................................................................................... 144.2二元函数的洛必达法则 ................................................................................................................. 164.3二元函数的洛必达法则的应用 ..................................................................................................... 190?&型的极限................................................................................. 19 0?0?4.3.2求三元函数&&型及&&型的极限................................................................................. 20 0?4.3.1求二元函数&&型及&4.3.3其他类型的未定式 .............................................................................................................. 214.4利用洛必达法则求复数函数的极限 ............................................................................................. 214.4.1复变函数的洛必达法则 ...................................................................................................... 214.4.2洛必达法则在复变函数中的应用 ...................................................................................... 244.4.3判定解析函数孤立奇点类型 .............................................................................................. 254.5复变函数的极限与实变函数的区别 ..................................................................................................... 26结束语 .......................................................................................................................................................... 28参考文献....................................................................................................................................................... 29 致谢 .............................................................................................................................. 错误！未定义书签。
第一章 引言
1.1洛必达法则的历史背景洛必达（G.F.A.de L`Hospital，），法国的数学家。1661年出生于法国的贵族家庭，日卒于巴黎。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研。他早年就显露出数学才能，在他15岁时就解出帕斯卡的摆线难题，以后又解出约翰伯努利向欧洲挑战“最速降曲线”问题。稍后他放弃了炮兵的职务，投入更多的时间在数学上，在瑞士数学家白努利的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。 洛必达的&&无限小分析&&(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，洛必达于前言中向莱布尼兹和白努利致谢，特别是Jean Bernoulli。洛必达逝世之后,白努利发表声明该法则及许多的其它发现该归功于他。洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》〔1696〕，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰第一?伯努利在日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则」，则求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去逝，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。1.2洛必达法则的研究意义洛必达法则是数学分析中用于求未定式或极限的一种较普遍的有效方法，灵活地运用洛必达法则也是我们自身数学解题能力的体现，具有重要的应用价值。而洛必达法则在计算未定式极限中洛必达法则扮演着十分重要的角色。这是因为对于未定式极限来讲其极限是否存在,等于多少是不能用极限的四则运算法则。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效的计算出未定式的极限。洛必达法则,是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。求函数极限是高等数学中的一项重要内容，是研究微积分学的工具。在众多求极限方法中，洛必达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问题而备受青眯，但如果 1使用不当也容易产生误区，得出错误结果。
第二章 洛比达法则概念重述2.1洛必达法则定理2.1.1型 0
洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：O
（1）在a的某去心邻域U?a?可导，且g '(x)≠0；（2）limf (x)=0与limg (x)=0；
x?ax?a（3）limx?af'?x?g'x?l, 则limx?af?x?gx=limx?af'?x?gx'?l洛必达法则2：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：（1）?A&0，在???,?A?与?A,???可导，且g '(x)≠0；（2）limf (x)=0与limg (x)=0； x?ax?a（3）limx?af'?x?g'x?l f'?x?gx'则limx?af?x?gx=limx?a?l2.1.2?型 ?洛必达法则3：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：O（1）在a的某去心邻域U?a?可导，且g '(x)≠0；（2）limf (x)= ?与limg (x)= ?；
x?ax?a（3）limx?af'?x?g'x?l,3则limx?af?x?gx=limx?af'?x?g'x?l2.2洛必达法则求极限的条件0?从定理知道，无论是“”型还是“”型都必须具备一个重要条件，即在自变量0?的同一过程中，limf'?x?g'xf?x?gxf'?x?g'x存在（或为?）时，才有limf?x?gx存在（或为?），且lim=lim，但是此条件却不便先验证后使用。所以连续多次使用该法则时，0?每次都要验证它是否为“”型或“”型。 0?f?x??0?f'?x?其使用程序如下：lim ?&&?，limgx?0?g'xfn?1?x??0? ?&&?，…，limn?1 gx0???0??&&?，?0?若limf?x?gxf'?x?g'xfn?x?gnx存在（或为?fn?x?gn），那么才有式f?x?gx子lim=limf'?x?g'x=???=limfn?1?x?fn?1?x?gn?1x=limx成立，而上式成立是基于lim，lim，…，lim0都是“”型未定式，而且从右到左依次相等。但为了书写n?1gx0方便，在应用此法求极限时，总是习惯从右到左写。这样，如果忽略了对条件的验证，就有可能出错。例1、问a,b取何值时，下式成立？
x??12lim???dx?=1，a&0. 0x?0bx?sinx??x1212?0?? ?&&?=lim?1?0 ⑴
解：解法1、limx
?0bx?sinx?0x?0b?cosx0??
2?0，由此可以得到lim?b?cosx??0，于是b=1，所以
有而x?0x?0?x22x12x2?lim?lim????1，即?x?01?cosxx?0x?0x?01?cosxsinx
1?cosx?412a=4.根据以上从左到右推导顺序.
问题出在式⑴，即lim的存在性并没有x?0b?cosx12论证.根据洛必达法则的条件，
只有当lim式⑴才能成立.这种问x?0b?cosx题往往在求极限时被忽视.因此后面的做法就是去了根基.所以上述解法1错误。220??0， 解法2
、&&??x?0?0?x?0b?1x若b?1，则上式等于0，与已知条件矛盾；2?0?若b?1，
则li是?&&?型未定式，可用洛必达法则求解。
即x?0?0?22
0?x2?0?li& ? &&?? lim??x?0x?0x?01?cosx0?0??
?x?0x?01?cosxsinx?1,a?4. 20解法2
求出?后，讨论了其存在性，排除了b?1的情形后，得出了x?0b?120b?
1；此时是&&型未定式，继续应用洛必达法则进行求解，从而避免了武x?00断上述极限存在的错误。 该问题的关键是讨论limf'?x?g'x的存在性，只有它存在才能使用洛必达法则。5
第三章 洛必达法则的应用
3.1基本类型3.1.1 &&型及&&型未定式 0?0?在自变量的某变化过程中，对上述两种基本类型可直接应用法则求极限。?11?例2、求数列极限lim?1??2?. n???nn??11??11?解：先求函数极限lim?1??2?.取对数后的xln?1??2?极限为： x????xx??xx?22ln1?x?x?lnx??11??limxln?1??2??lim x???x????xx?xxn2x?12?22x?li?2x? 1
?lix???x???x2?x?11?2x?11??11?所以，lim?1??2??lim?1??2??e. n??x????nn??xx?nx注：在求极限时，如果lim0还是&&型未定式，且f'?x?，g'?x?仍满足洛必g'x0f'?x?达法则条件，则可继续使用该法求极限。另外，要分辨是否是数列极限，是数列极限则不能直接使用洛必达法则。?g?x?,x?0?例3、设f?x???x，且已知g?0??g'?0??0，g&?0??3，试求f'?0?.?0.x?0?解：因为f?x??f?0?x?0?g?x?x2，所以由洛必达法则得f'?0??limx?0g'?x?g'?x??g'?0?113?lim?g&?0??. 2x2x?0x?0226注：如果用两次洛必达法则，得到f'?0??????limx?0g'?x?2x?limx?0g&?x?2?13g&?0?? 22是不对的。3.1.2可转化为基本类型的未定式极限0?洛必达定理只能解决&&型及&&型未定式函数极限，而对于某一极限过程中0?&0??&，&???&，&00&，&?0&，&1?&等5种类型的极限也可经过一定变形，转化为基本类型，再用法则求之。0?⑴对于&0??&型，可将乘积化为除的形式，即化为&&型或&&型；0?0⑵对于&???&型，可通过通分化为&&型未定式计算；
⑶对于&00&，&?0&，&1?&型，可先化为以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，转为直接求指数的极限，而指数的极限形式为&0??&型，再转化为0?&&型或&&型计算。 0??1?例4、求limx?ex?1?.x????
解：此题属&0??&型未定式。讲原式中的x写在分母上，使其变为&&型后，应用
?1?e??2?1??e?1?0?x??&&??lim洛必达法则，即limx?e?1??lim?limex?1. ?x??x????x??1?0?x???xx21x1x1x1??1例5、求lim???（&???&型）. x?1x?1lnx??1?lnx?x?1?0??1??lim解 lim??x?1?&&?x?1x?1lnx?x?1lnx?0??121?0? ?lim&&?lim???x?011x?01?02?lnx?1???2xxx?1?1例6、lim?cosx?x2.x?01x?x?lime解
lim?co211x2lncosxx?0x?0?ex?0limlncosxx2?ex?0lim?tanx2x?e.?12可见利用洛必达法则能够解决很多函数极限问题，而且可以将法则和其他求极限方
7法结合起来同时使用。3.1.3函数极限的洛必达法则求解例7、求limn. n??lnn2?&型未定式极限，但由于题目中变量为n正整数，对这些孤?解 此问题可归类到&立点n无法求导，故不能直接利用洛必达法则求解。应先将极限式中的n换成连续变量x，求函数limlimx极限，再由归结原则知原数列极限值。 x??lnx21xx?lim?lim???， x??1x??2x??lnx2?2x2xn???. n??lnn2故由归结原则得，lim该法则尽管求极限很方便，但也并不是万能的，而且使用时也要谨慎，否则容易出错。3.1.4洛必达法则求极限在求极限时若能灵活地将法则和其他求极限方法结合起来使用，则计算往往变得更为简单、方便。例8、求limx?03x?sin3x?tanx?2?ln?1?x?.解
显然，当x?0时，tanx~x，ln?1?x?~x，故limx?03x?sin3x?tanx?2?ln?1?x??lim3x?sin3x3?3cos3x3sin3x9?lim?lim?. x?0x?0x?0x33x22x2该法则是通过计算函数的导数，利用导数的极限求出原函数的极限，故只适用于函0?数极限的求解。然而在应用时，对&&型及&&型数列极限也可间接应用。 0?3.2洛必达法则使用时注意的问题有时极限式并不满足法则条件，如用法则求解，就会得到错误的结果，主要有三种情形。3.2.1极限式非未定式8例9、求lim1?cosx. x?01?x2解：事实上，此题可以直接利用函数连续性得到结果。 lim1?cosx0??0 x?01?x21如果运用洛必达法则， lim?1?cos?'?limsinx?11?cosx?lim. x?01?x2'x?02xx?01?x220由于本题不是未定式&&型，而上面错误地应用了洛必达法则，从而得出错误的结论。. 03.2.2使用法则求导后出现极限不存在的现象特别当x?0时，函数式中含有sin11或cos；或当x??时，函数式中含有sinx或xxcosx时，用法则求极限时出现极限震荡，此时法则失效。 x2sin例10、求极限limx?0sinx1.112xsin?cos0，分析：这问题是&&型未定式，但分子分母分别求导后，变成limx?00cosx而sin11与cos当x?0时极限均不存在。但原极限存在，可用如下方法求得。 xx1?limx?limx?sin1?1?0?0. limx?0sinxx?0x?0sinxxx2sin即此时法则失效。例11、求limx?sinx x??xx?sinx????1cxos解
li（振荡），法则失效，但原函数极限存在， &?l??x??x??x1???limx?sinx?limx??x??x1?sinx?1. 13.2.3多次使用法则后极限式出现循环现象ex?e?x例12、求limx?x. x???e?e9ex?e?x???ex?e?x???ex?e?x解 limx?x?&&??limx?x?&&??limx?x， x???e?e???x???e?e???x???e?e求导两次后极限式出现循环现象，故洛必达法则失效，不能使用。 但原式极限存在，可用下面方法求得：ex?e?x1?e?2xlim?lim?1. x???ex?e?xx???1?e?2x3.2.4洛必达法则的正确使用 例13、limx?sinx?limx??x??x1?sinx?1， 1但若用法则，则limx?sinx???1?cosx不存在。 &&?lim??x??x??x1???所以，洛必达法则失效时要寻求别的方法来求解极限。连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用此法则，否则就会得出错误的结果。 例14、limx?sinx???1?cosx?sinx?（不是未定式）&&?lim?lim??x???????1. x??x?sinxx??1?cosx????sinx?sinxx?sinx?1. 事实上，lim?limx??x?sinxx??1?x1?对&0??&型进行转化时，哪个放分子，哪个放分母也是有讲究的。 例15、limxex????xe?x?e?x?lim?lim????,极限反倒变复杂了，如果变换形式， x???1x???1?2xx则limxe?x?limx???x1?lim?0. x???exx???ex极限存在的因子可先从极限式中分离出来，这样求导时就变得简单些。运用洛必达法则时常结合等价无穷小代换求极限。如例12.3.3利用洛必达法则巧解高考题近年来的高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高考数学为背景的命题形式成为了热点。许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围 10就是一类重点考察的题型。这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，但其中有部分题在高中范围内用分离参数的方法常常需要复杂的讨论，学生掌握起来非常困难。研究0发现，利用分离参数的方法难以解决这部分问题的原因是出现了&&型的式子，而这就0是大学中的不定式问题，解决这类问题最有效的方法就是利用洛必达法则。例16、（2011年全国新课标理）已知函数曲线y?f(x)在点??1,f?1???处的切线方程为x?2y?3?0。（1）求a,b的值；（2）如果当x?0，且x?1时，f(x)?现用洛必达法则处理第（2）题如下：解：（2）由题设可得，当x?0,x?1时，k?2xlnx?1恒成立。 21?xlnxk?，求k的取值范围。 x?1xx2?1?lnx?x2?1?2xlnx令g?x??， ?1?x?0,x?1?，则g'?x??2?221?x2?1?x?再令h?x???x2?1?lnx?x2?1?x?0,x?1?，111则h?x??2xlnx??x,h&?x??2lnx?1?2，易知h&?x??2lnx?1?2在?0,???上xxx为增函数，且h&?1??0，故当x??0,1?时，h&?x??0,当x??1,???时，h&?x??0。所以h'?x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数，故h'?x??h'?1??0，所以h?x?在?0,???上为增函数。因为h?1??0，所以当x??0,1?时，h?x??0，当x??1,???时，h?x??0，所以当x??0,1?时，g'?x??0，当x??1,???时，g'?x??0，所以g?x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数， 因为由洛必达法则知，limg?x??2limx?1xlnx1?lnx?1??1?2lim?1?2?????1?0， x?11?x2x?1?2x?2?所以k?0，即k的取值范围为???,0?。本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来，然后对分离出来的函 11数g?x??2xlnx?1求导，研究其单调性、极值。此时遇到了“当x?1时，函数g?x?值21?x没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境。如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法。例17、（2010年全国新课标理）设函数f?x??ex?1?x?ax2。（1）若a?0，求f?x?的单调区间；（2）若当x?0时f?x??0，求a的取值范围。现用洛必达法则处理第（2）题如下：解：（2）当x?0时，f?x??0，对任意实数a，均存在f?x??0。ex?x?1当x?0时，f?x??0，等价于a?， x2ex?x?1xex?2ex?x?2令g?x??， ?x?0?，则g'?x??x2x3令h?x??xex?2ex?x?2?x?0?，则h'?x??xex?ex?1,h&?x??xex?0，知h'?x?在?0,???上为增函数，h'?x??h'?0??0，知h?x?在?0,???上为增函数， h?x??h?0??0，所以g'?x??0,g?x?在?0,???上为增函数。 ex?x?1exex11?lim?lim?由洛必达法则知lim，故。 a?2??x?0?x?0x?0x2x2221??综上，知a的取值范围为???,?。 2??例18、（2010年海南宁夏文）已知函数f?x??x?ex?1??ax2。（1）若f?x?在x??1时有极值，求函数f?x?的解析式；（2）当x?0时，f?x??0，求a的取值范围。应用洛必达法则和导数处理第（2）题如下：解：（2）当x?0时，f?x??0，即x?ex?1??ax2。① 当x?0时，a?R；ex?1② 当x?0时，x?e?1??ax，等价于e?1?ax，也即a?。 xx2x12x?1?ex?1?ex?1记g?x??。 ,x??0,???,则g'?x??xx记h?x???x?1?ex?1,x??0,???,则h'?x??xex?0,因此h?x???x?1?ex?1在?0,???上单调递增，且h?x??h?0??0， 所以g'?x??h?x?xex?1在?0,???上单调递增。 ?0，从而g?x??xex?1ex由洛必达法则有limg?x??lim?lim?1，即当x?0时，g?x??1。 x?0x?0x?01x所以g?x??1，即有a?1。综上所述，当a?1,x?0时，f?x??0成立。对求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。
第四章 洛必达法则的推广
将洛必达法则推广到离散形式的洛必达法则，同时还将求一元函数不定式的洛必达法则推广到多元的情形，并给出了其相关的定理，为求多元函数的极限提供了一个有效的方法。另外，还将洛必达法则推广到复变函数中去，给出复变函数中的洛必达法则，并利用给出的洛必达法则更方便的求解复变函数的某些类型极限以及判定解析函数孤立奇点的类型。
4.1差分形式的洛必达法则众所周知，洛必达法则在求函数不定型极限的运算中起着重要的作用。它用求导运算把不定型转化为确定型。但在使用过程中也受到一定的限制，一方面有的函数求导很复杂，另外它不能直接应用于数列不定型的求极限运算，因为此时不能求导数。能否将洛必达法则移植到离散情形下呢？答案是肯定的。只要把求导运算改为求差分运算并对定理中的条件作相应的改动即可。下面给出两个基本定理，并举例说明它们的运用。 定理1 设f?x?和g?x?的定义域为X??0,???，h是某个确定的正数，h?0且满足下列条件(1)只要x?X，则x?h?X，并且limf?x??limg?x??0； x???x???(2)对于充分大的x?x0，差分?g?x??g?x?h??g?x?（不改变符号）；(3) lim则有limf?x?gx?A。 ?f?x??gx?A(有限或带符号的无穷大)； x???x???定理2 设f?x?和g?x?的定义域为X??0,???，h是某个确定的正数，h?0且满足下列条件(1)只要x?X，则x?h?X，并且limg?x???； x???14(2)在任意有界区间内f?x?,g?x?有界；(3)对于充分大的x?x0，差分?g?x?不改变符号； (4) lim则有limf?x?gx?A。 ?f?x??gx?A(有限或带符号的无穷大)； x???x???下面举例说明上述定理的运用。例19、求limlnx x???x解：本题满足定理2中的条件，取h?1，所以ln?x?1??lnxlnx?1??lim?limln?1???0. x???xx???x???x?1?x?x?lim例20、limx?sinx x???x?sinx解：本题满足定理2中的条件，取h?2?，则?x?2???sin?x?2???x?sinx2?x?sinx?lim??1 x???x?2??sinx?2??x?sinxx???x?sinx2?lim注：本题不能应用通常的洛必达法则。例21、求lim?xx x?0解：作变换y?1，则x?0?时，y??? x1y?1??lnylim?xx?lim???lime y???yy???x?0y??由指数函数的连续性，得lim?xx?limex?0y????lny?e0?1 y例22、若在定理2中，f?x?,g?x?的定义域为自然数，即f?x?,g?x?分别是数列xn,yn，取h?1，且满足下列条件（1）yn?1?yn，当n?N0时；（2）limyn???； n??15（3）limn??xn?1?xn存在。 yn?1?yn则有limn??xnx?x?limn?1n ynn??yn?1?yn这就是著名的施笃兹定理。显然它是定理2的一个特殊情况。在求数列的极限时是很有用处的。如P为自然数，则有lim1?2?????n ?limP?1P?1P?1??n??n??n?n?1??nnP?????11?lim? n??P?1nP?????1P?1PPP?n?1?P4.2二元函数的洛必达法则定理1：若二元函数f?x,y?，g?x,y?满足：（1）在区域D内有定义，?x0,y0?为D内的一个聚点；（2）?x,y???x0,y0?limf?x,y??0，?x,y???x0,y0?limg?x,y??0；（3）在D内有关于x,y的连续偏导数，且g'x?x,y?dx?g'y?x,y?dy?0；（4）limf'x?x,y?dx?f'y?x,y?dyg'xx,ydx?g'yx,ydy?limf?x,y?gx,y?x,y???x0,y0?存在（或为无穷大）； 则?x,y???x0,y0?limf'x?x,y?dx?f'y?x,y?dyg'xx,ydx?g'yx,ydy?x,y???x0,y0?其中dx?x?x0,dy?y?y0.定理一只给出了当?x,y???x0,y0?时的0x??,y??时的型未定式极限的情形。 00型未定式极限的情形，下面推导出当0定理2：若二元函数f?x,y?，g?x,y?满足：（1）limf?x,y??0，limg?x,y??0； x??y??x??y??（2）对充分大的|x|及|y|，有对x及y的连续偏导数，且g'x?x,y?dx?g'y?x,y?dy?0；16（3）lim 则limf'x?x,y?dx?f'y?x,y?dyg'xx,ydx?g'yx,ydyx??y??存在（或为无穷大）；f?x,y?gx,yx??y???limf'x?x,y?dx?f'y?x,y?dyg'xx,ydx?g'yx,ydyx??y??
其中dx?x,dy?y.11证：令x?,y?，则当x??,y??时，u?0,v?0，uv由多元复合函数的求导法则及定理1可得：?11??1??1?f?,?fx'?x,y???2?du?fy'?x,y???2?dvf?x,y?uv??u??v? lim?lim??limx??gx,yx?????11?x?1??1?'y??y??gy??g'?x,y??,du?gx,y???2?dv???2?xy??uv??u??v??1??1?fx'?x,y???2?u?fy'?x,y???2?vuv ?limx???1??1?'y??g'?x,y??u?gx,y???2???2?vxyu???v??limfx'?x,y?x?fy'?x,y?y'gxx,yx?g'yx,yyx??y??
?limfx'?x,y?dx?fy'?x,y?dyg'xx??y??x,ydx?gx,ydy'y
其中dx?x,dy?y.
证毕0?定理1、定理2称为二元函数的洛必达法则（型未定式），对型未定式有类似0?的定理及证明。0?注：在型或型未定式中，如果自变量的变化过程为x?x0，则dx?x?x0，如0?果x??，则dx?x，同样，如y?y0，则dy?y?y0，如y??，则dy?y。0?有些二元函数的型或型极限，利用二元函数的洛必达法则后得到该极限的常数0?倍，则该极限与这个常数的范围有关。定理3、设17?x,y???0,0?limf?x,y??0，?x,y???0,0?limg?x,y??0，且?0；?x,y???0,0?limf?x,y?gx,y?r则（1）当r?1时，?x,y???0,0?limf?x,y?gx,y（2）当0?r?1时，证：（1）由于?x,y???0,0?limf?x,y?gx,y??.?x,y???0,0?limf?x,y??0，?x,y???0,0?limg?x,y??0，可设f?x,y?为m阶无穷小量，g?x,y?为n阶无穷小量，m?0,n?o，即f?
x,y??am,g?
x,y??bam，na?0,b?0，于是?x,y???0,0?limf?x,y?gx,y??x,y???
?limb?x,y???0,0?n
?mlimn?x,y???0,0?abm?1n?1
?f?x,y?gx,yf?x,y?gx,yf?x,y?mlim x,y?0,0????ngx,y又?x,y???0,0?lim?r?x,y???0,0?lim 故mm?r，当r?1时，?1nn又m?0,n?0，因此m?n
?0，于是?x,y?
??0,0?limf?x,y?gx,y??x,y???0,0?limabmn
?limx,y?b???
0,0?m?n?0 证毕同理可证（2）注：（1）将定理3中的?x,y???0,0?换成?x,y???x0,y0?或x??,y??，结论仍成立。（2）当r?1时，该极限可能存在，也可能不存在，需用其他方法求解。定理4、设limf?x,y???，limg?x,y???，且limx??y??x??y??f?x,y?gx,yx??y???rlimf?x,y?gx,yx??y??，则（1）当r?1时，limf?x,y?gx,yx??y????；（2）当0?r?1时，limf?x,y?gx,yx??y???0.注：（1）将定理4中的x??,y??换成?x,y???x0,y0?，结论仍成立。（2）当r?1时，该极限可能存在，也可能不存在，需用其他方法求解。 4.3二元函数的洛必达法则的应用4.3.1求二元函数&&型及&&型的极限 0?0?0?计算二元函数&&型及&&型的极限，往往需要经过适当的变形，转化成可以运用0?极限运算法则或重要极限的形式进行计算。这种变形没有一般的方法，需视具体问题而定，属于特定的方法。下面，以应用偏导数为工具，利用二元函数的洛必达法则，求解未定式极限。例23、?xy?x?limsin??. (x,y)?(0,1)?y?1?0解：这是型不定式极限. 0cos?xy?x???y?1?x?cos?xy?x??x?y?1??xy?x??limlimsin? ??x,y???0,1?(x,y)?(0,1)0?x?1?y?1?y?1???x,y???0?,1limx2c?oxys?x??
019例24、?11???x,y???
??,?????xy?lim.解：这是1?型不定式极限.由于
?11????xy??1?ln?1??xy??1?? ?exp?1????exp?1??xy??(x2?y2)2????1????1??1?1?1?(1?)(()?x??yln?1????????xy2??2xyxyxy???????而lim lim1x,y?????,?????x,y?????,?????2y??y???223??x2?y2?2?x?y2x?x????2?????2?????lim?2lim?x,y???
??,????x,y???
??,???0. 1?xy故?11???x,y???
??,?????xy?lim?e0?1x3?y3例25、lim. ?x,y???0,0?x2?y23x2dx?3y2dy3x3?y3x3?y3?lim?lim解：lim. 22x,y?0,0?x,y???0,0?2xdx?2ydy?x,y???0,0?x2?y2????2x?yx3?y33由定理3及r??1得lim=0 22x,y?0,0????x?y24.3.2求三元函数&&型及&&型的极限 0?0?多元函数极限的定义跟一元函数表面很类似，但是本质上却发生了质的变化。求多元函数的极限常用的方法有：利用初等多元函数的连续性；利用多元函数极限的四则运0算；利用夹逼定理来求；转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算。而求&&0型及&?&型的三元函数极限，可类似于二元函数，利用洛必达法则求解。下面就这种情?况来举例。20x3?y3?z3例26、lim2 x??x?y2?z2y??z??3x2dx?3y2dy?3z2dz3x3?y3?z3x3?y3?z3?lim?lim2解：lim2 22x??2xdx?2ydy?2zdzx??x??x?y2?z22y??x?y?zy??y??x3?y3?z33由定理4及r??1，得lim2?? 22x??2x?y?zy??4.3.3其他类型的未定式
?exy1???. 例27、lim??x,y???0,0?sinxx???exy1?xexy?sinxxexy?sinx???lim?lim解：lim? 2x,y???0,0?x,y???0,0??x,y???0,0?sinxx??xsinxx???lim?exy?xyexy?cosx?x?x2yexy2x2?x,y???0,0???x,y???0,0?lim?1?2xy?exy?cosx 2xxyxy?2xexy???1?2xy?xexy??y??2ye?1?2xyye?sinxx??????? ?lim?x,y???0,0?2x??x,y???0,0?lim4yexy?2?1?2xy?yexy?sinx2?0小结：通过以上的讨论我们看到，多元函数的洛必达法则为求多元函数的不定式极限提供了一个有力工具，但由于变量的增多，它与一元函数的洛必达法则又有不同之处，0?虽然对型二者的结果是类似的，但对型多元的结果就不及一元了，弄清了二者之间0?的联系与区别，在求多元函数不定式极限时，就不会因盲目求导而导致错误的结果。4.4利用洛必达法则求复数函数的极限4.4.1复变函数的洛必达法则定理1、设复变函数f?z?，g?z?在z0的去心领邻域：0?|z?z0|?r内定义可导（即解析），limf?z??0，limg?z??0，且limz?z0f'?z?g'zz?z0z?z0极限存在，则limz?z0f?z?gz?limz?z0f'?z?g'z。21证：因为limf?z??0，所以只要令f?z0??0，则f?z?在0?|z?z0|?r内定义可导。z?z0又f?z?在z0点可以展开幂函数f?z???an?z?z0??ak?0,k?1?n?k?n且f'?z???nan?z?z0?n?k??n?1
同理g?z???bn?z?z0??bl?0,l?1?n?ln且g'?z???nbn?z?z0?n?l?n?1
n?1因为limf'?z?g'zz?z0?limn?kz?z0?n?l?na?z?z?n
??nb?z?z?n
n?1?lim?z?z0?z?z0k?ln?k??na?z?z?n
n?l?nb?z?z?而limn?kz?z0??nan?z?z0?n?l?n?k?n?l?nbn?z?z0?z?z0kak?0存在，所以 lblkakak? lblbl当k?l时，limf'?z?g'zf'?z?g'zf'?z?g'z?当k?l时，limz?z0?0当k?l时，limz?z0??此时，limz?z0f?z?gz?lim?z?z0?z?z0k?ln?k??an?z?z0??b?z?z?n
n?l当k?l时，limz?z0f?z?gz?kakak? lblbl当k?l时，limz?z0f?z?gzf?z?gz?0当k?l时，limz?z0??22由以上讨论可知：limz?z0f?z?gz?limz?z0f'?z?g'z
证毕定理2、设复变函数f?z?，g?z?在无穷远点?的去心邻域：R?|z|???内可导（即解析），且limf?z??0，limg?z??0，且limz?z0z?z0f'?z?g'zz?z0极限存在，则limz?z0f?z?gz?limz?z0f'?z?g'z。定理3、设复变函数f?z?，g?z?在z0的去心领邻域：0?|z?z0|?r内定义解析，limf?z??limg?z???，且limz?z0f'?z?g'zz?z0z?z0极限存在，则limz?z0f?z?gz?limz?z0f'?z?g'z。证：因为limf?z???，f?z?在0?|z?z0|?r内定义解析，z?z0所以，f?z?可以展开成罗朗级数f?z??n??k?nan?z?z0?（a?k?0,k?1,z0为f?z?的k阶极点)，n??k?n且f'?z???nan?z?z0??n
?0,l?1?同理g?z??且g'?z????nb?z?z??bn?1n?ln??l?nbn?z?z0??k?limn???z?z0n??l
n?1因为limf'?z?g'z?nan?z?z0??nb?z?z?n
z?z0n?1?lim?z?z0?z?z0l?kn??k??nan?z?z0?n??l?n?k
n?l?nb?z?z?n
而limn??kz?z0??na?z?z?n
n??l?n?k?n?l?nb?z?z?n
z?z0ka?k?0存在，所以 lb?l当k?l时，limf'?z?g'z?kakak? lblbl当k?l时，limf'?z?g'zz?z0?023当k?l时，limf'?z?g'zz?z0??此时，limz?z0f?z?gz?lim?z?z0?z?z0k?ln?k??an?z?z0??b?z?z?n0n?l?n?k n?l当k?l时，limz?z0f?z?gzf?z?gz?kakak? lblbl当k?l时，limz?z0?0当k?l时，limz?z0f?z?gz??f?z?gzf'?z?g'z由以上讨论可知：limz?z0?limz?z0
证毕定理4、设复变函数f?z?，g?z?在无穷远点?的去心邻域：R?|z|???内可导（即解析），limf?z??limg?z???，且limz?z0f'?z?g'zz?z0z?z0极限存在，则limz?z0f?z?gz?limz?z0f'?z?g'z。4.4.2.洛必达法则在复变函数中的应用复变函数中的洛必达法则在复函数极限的计算中发挥重要作用，使一些不大容易解决的问题在应用这个法则后变得容易解决。例28、求limz?0ln?1?z??zcosz?1. 11?1?1?z???lim?1. 解：原式?limz?0?sinzz?0?cosz1cos?1例29、求lim. z??1z1??1???sin????2?1?z??z???lim??sin??0. 解：原式?lim?z??z??z???2z24例30、求lim?z?2tanz. tan3z1?3csc23z3sin2zcot3z0?lim解：原式?lim（型）?lim ?3 ?lim??csc2z?sin23z??cotz10z?z?z?z?2222cot3z例31、求limz??ln?z?z2?z2. 11?2z?2?21?2z解：原式?lim?lim?0. ?lim223z??z??z??4z?6z2z2z?2z注：洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限工具。当条件满足时，所求极限存在（或为?）；当条件不满足时，不应当使用这一工具，但并不等价于极限不存在，0?所以在使用洛必达法则时，必须每步检查一下是否为型或型的未定式，以避免解题0?错误。4.4.3判定解析函数孤立奇点类型一般复变函数论的教材均指出：z0是f?z?的可去奇点，极点和本性奇点的充要条件分别是：limf?z??有限复数，limf?z???和limf?z?不存在。所以，若已知z0是z?z0z?z0z?z0f?z?的孤立奇点，则此孤立奇点的类型与limf?z?有关。（无穷远点?可类似讨论）因z?z0此，我们可以在求limf?z?时应用此法则，使问题简化。 z?z0例32、判定函数解：z?0是limz?0z?sinz的孤立奇点的类型. 3zz?sinz的孤立奇点，应用复变函数中的洛必达法则有： z3z?sinz1?coszsinz11 ?lim?lim?limcosz?32z?0z?0z?0z3z6z661因为是有限复常数，根据可去奇点的充分必要条件知： 6z?0是z?sinz的可去奇点. z3251的孤立奇点的类型. 例33、判定函数cos?1ztan解：z??为函数的孤立奇点，应用复变函数中的洛必达法则有：?21??1?1tan?sec???2?1z??z??lim?lim?lim?? z??z???1??1?z???1?cos?1??sin???2???sin?zzzz??????所以根据极点的充分必要条件知：1的极点. z??为cos?1ztan例34、判定函数判定函数解：z?0，z??为因为lim而limcosz的孤立奇点的类型. 2zcosz的孤立奇点。 z2cosz?sinz?cosz1 ?lim?lim??z?0z2z?0z?02z22cosz不存在 z??z2coszcosz可去奇点，为本性奇点。 z??22zz所以z?0为注：在应用复变函数的洛必达法则进行孤立奇点类型判定时，可遵循以下四个步骤： ①找出给定解析函数的孤立奇点；0?②对各孤立奇点求极限，考察是否为型或型； 0?0?③若是，可套用洛必达法则求极限，若是其他类型，可变形为型或型； 0?④根据所求极限的结果判定孤立奇点的类型。4.5复变函数的极限与实变函数的区别复变函数w?f?z?当z?z0的极限与实变函数y?f?x?当x?x0的极限在形式上与叙述方法上几乎一致，但要求却大不相同。26对极限limf?x?而言，x只能在x轴上从左边，右边或同时从左右两边趋近于x0；x?x0而对极限limf?z?来说，z在复平面上取值，z?z0可以从任意方向，以任意方式发生，z?z0所以必须强调在z?z0的任意方式下极限的唯一性，因而对函数的要求更高，更严格。但是两个极限的几何意义是完全相同的，即只要z（或x）进入z0（或x0）的领域，它的像点f?z?（或f?x?）就进入A的?邻域代替了数轴上的?邻域。正因为如此，f?z?与f?x?有相同的极限运算法则。因为limf?z?的存在要求以任何方式趋向于z0时，极限存在且唯一。因此，讨论极z?z0限时要考虑z?z0的方式，同时，又可以从两个二元函数u?x,y?和v?x,y?的极限来讨论。例35、求证：函数f?z? ?证：令z?x?iy，则f?z??Re?z?Im?z?|z|2，当z?0时极限不存在. xyxy，这时，v?0 u?x2?y2x2?y2x?0y?0?y?kx?令z沿直线y?kx趋向于0时，有limu?x,y?kx22kxk ?lim2=
?lim2x?0x?k2x2x?02x?2k2x1?ky?0y?0?y?kx??y?kx?显然随k的取值不同而不同，所以limu?x,y?不存在. x?0y?0?y?kx?
0?洛必达法则是解决求解&&型与&&型极限的一种有效方法，利用洛必达法则求极0?限只要注意以下三点：0?1、在每次使用洛必达法则之前，必须验证是&&型与&&型极限。否则会导致错误； 0?2、洛必达法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；3、使用洛必达法则求得的结果是实数或?（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或?，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是?的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。28
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