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已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
原式=2a+3b-2ab-a-4b-ab-3ab-2b+2a=3a-3b-6ab，当a-b=5，ab=-1时，原式=3（a-b）-6ab=3×5-6×（-1）=21．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）的..”主要考查你对&&整式的加减&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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整式的加减
整式的加减：其实质是去括号和合并同类项，其一般步骤为：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项。注：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。 整式加减：整式的加减即合并同类项。把同类项相加减，不能计算的就直接拉下来。合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准.字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。整式的乘除法：
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233657206479432564234158288848237845?0方法2根据伴随矩阵的性质，求出??B?A??；?0由条件可得??B?A?0??0?B?*A?0；?06B?1??02(3B?1)??02B*??；这里充分利用AA*?AE的关系；例3设A为n阶非0的实矩阵，A*是A的伴随矩阵，；22方法一由AAT?0?ai2，而aij是实数，；与A是非0的矩阵相矛盾；方法二由上面得到AAT?0，又因为r(A)?r(；题型
?0方法2 根据伴随矩阵的性质，求出??B?A?? ?0?*
?0由条件可得??B?A?0??0?B?*A?0?0??BA??0???6?B0????1A??0??1??6?A0????1B?1?? 0??
?06B?1??02(3B?1)??02B*???????*? ???1?6A?1????0??3(2A)0??3A0???
这里充分利用AA*?AE的关系
例3 设A为n阶非0的实矩阵，A*是A的伴随矩阵，证明：AT是A的转置矩阵，当AT?A*时，矩阵A可逆。 证明：因为AA*?AE，又AT?A*?AAT?AE,A?0,则AAT?0
由AAT?0?ai2，而aij是实数，故aij?0?A?0，这1?ai2???ain?0
与A是非0的矩阵相矛盾。故矩阵A的行列式A?0，从而矩阵A可逆。
由上面得到AAT?0，又因为r(A)?r(AAT)?r(0)?0?A?0，从而A是0矩阵，与条件相矛盾。下同方法一。
题型四 有关初等矩阵及其初等变换的问题
设A是3阶矩阵，将A的第一列与第2列交换，得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求满足AQ==C的可逆矩阵Q。
?010??100?????B?A100,C?B011解
根据条件可得：????,C?AQ；
?001??001?????
?010??100??011???????易知Q??100??011???100?
?001??001??001???????
注意在上面的矩阵Q中，可以按照矩阵的乘法得到；也可以按照矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来得到。
例2 设A为n阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B，求A*与B*的关系。
解 设P是交换单位矩阵En的第1、2行所得到的初等矩阵，则B?PA,从而可得到：B?1?(PA)?1?A?1P?1,而B*?B?B???AA?1P?1??A*P ?1
在上面注意矩阵A?1与A*的关系：A*?AA?1以及此处初等矩阵P的性质P?1?P。 由上面的关系式：B*??A*P立即得到B*与A*的关系：交换?A*的第1、2列，即是矩阵B*。
在这里注意对矩阵A左乘以一个初等矩阵、右乘以一个初等矩阵与矩阵A的初等变换之间的关系。
题型五 解矩阵方程
将所给的条件转化为矩阵方程：AX?B或XA?B或AXC?B这里的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。
对于矩阵方程AX?B，其一般的解法为：?A|B??初等行变换?????E|D?，则这里的矩阵D?A?1B；
或者先求出A?1，再计算A?1B。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。
?1?100??2????01?10??0例1 设矩阵B??,C??0001?1?????0001??0?????3?，矩阵X满足 1??2??
XE?C?1BCT?E
根据条件可得：X(E?C?1B)TCT?XC(E?C?1B)?X?C?B? T??T??T
故所给的条件转化为：X?C?B?T?E?X??C?B?T
例2 设矩阵A满足方程：AX?E?A2?X，求X;其中矩阵A为
?102???A??020?
由条件可得：（A?E)X?A2?E?(A?E)(A?E)，显然A-E可逆，从而X=
例3 设三阶方阵A,B满足关系式：A?1BA?6A?BA，求B。其中
??A??0??0?000??0? ???。
由条件可得：B?6A?A?1B?E?A?1B?6A?A?1?A?E?B?6A， ??
B?6?A?E?A2 ?1
?11?1?*??1??例4 已知A???111?，若A*B?A*??8A?1B?12E，求B。 2???1?11???
解 注意这里A是三阶矩阵，且A?4,此外
A*?AA?1?4A?1?1*1A??4A?1?2A?1 22
?1*??A??2?*?1?1*??1*2A?1?2A?1E?23AE?2E ?A??2A?2?????
?1???A*??2A?1
?2?*???12E?1A?2E?A 2
1有条件A*B(A*)*?8A?1B?12E?AA*BA?8B?12A?AEBA?8B?12A 2
?4BA?8B?12A,?B(4A?8E)?12E?B?3A(A?2E)?1
?0?30???0?3? 将数值代进去具体计算可得：B??0
?1?注意：如果直接计算A,?A*?这不是此题的本意，且计算量较大，这里需要?2?**
充分利用伴随矩阵的性质来进行。
题型5 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。
3 注意矩阵秩的有关不等式。
设?，?为三维列向量，矩阵A???T???T，证明：
?2；（1）秩（A）
?2。 （2）若?，?线性相关，则秩（A）
解 （1） 因为r?A??r??T???T?r??T?r??T?r????r????2
（2）若?，?线性相关，不妨假定??k????T?k2??T
从而r??T???T?r(1?k2)??T?r??T?1?（当2k为实数时）。 注意：这里应用性质：r?A?B??r?A??r(B)；以及r?A??r(AAT)(A是实矩阵）。
?123???PQ?0,则r?P??? 例2 已知Q??24t?,P是三阶非0矩阵，且满足
?369???????????????
(1)当t=6，必有r(P)=1；
（2）t=6时，必有r(P)=2；
(3) 当t?6时，必有r(P)?1;
（4）当t?6时，必有r(P)?2。 解 由条件知：r?P??r(Q)?3，又P是非0矩阵，故r(P)?1,从而r(Q)?2,因此可得
易见 当t?6时，r(Q)?1；t?6时，r(Q)?2；
故当t?6时，P的秩必为1。
例3 设A是m?n矩阵，B是n阶方阵，如果r(A)?n,AB?A,则B?E。 证明 方法一
因为A?B?E??0?r(A)?r(B?E)?n,又r(A)?n，故
另一方面r(B?E)?0?r(B?E)?0
?B?E?0?B?E
由条件可得：ATAB?ATA，另一方面r(ATA)?r(A)?n,而ATA是一个n阶方阵，从而它是可逆的，故必有B=E。
例4 设A为m?n矩阵，证明
（1）方程AX?Em有解的充要条件是r(A)?m；
（2）方程YA?En有解的充要条件是r(A)?n。
证明 只要证明其中之一即可，为此证明第一个问题。
充分性：因为r(A)=m，故存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得：
PAQ??Em0??AQ?P?1?Em,0?
?Em??1??EmAQ?P?P?0????Em?0???0??P?E ??
?Em??Em???令X?Q?P,即可得到方程AX?E有解，此解即是X?Qm?0??0??P。
必要性：由条件可得E?AX?m?r(Em)?r(AX)?r(A)，另一方面r(A)?m，故可得r(A)?m。
例5 设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，E为m阶单位矩阵，，若AB=E,则：
（1）r(A)=m,r(B)=m;
（2）r(A)=n,r(B)=m
（3）r(A)=m,r(B)=n
（4）r(A)=n,r(B)=n
解 由条件可得：r(AB)?m,又r(AB)?r(A),r(B)?m?r(A),m?r(B),
另一方面可知：r(A)?m,r(B)?m?r(A)?m,r(B)?m。
求一个方阵的高次幂
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