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条件平差与间接平差的相互关系
第 22 卷第 3 期 Vol.22 No.3文章编号：03)03-0320-03辽宁工程技术大学学报 Journal of Liaoning Technical University2003 年 6 月 Jun. 2003条件平差与间接平差的相互关系王旭华，赵
德深，关摘萍(大连大学 土木建筑工程系，辽宁 大连 116622)要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,在各种有关测量平差的文献和教程中，这两种方法都是作为一种独立的方法被各自提出，而两者之间的关系尚无人论及。作者曾在文[2]中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系，但对 于条件平差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。本文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论，发现并论证了 条件平差与间接平差整体上的相互关系，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题。关键词：条件平差；间接平差；系数矩阵； 常数向量 中图号：P207.2 文献标识码：ARelationship between adjustment of condition observations and adjustment of indirect observationsWANG Xu-hua， ZHAO De-shen， GUAN Ping (Department of Civil and Architectural Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China) Abstract：Adjustment of condition observations and adjustment of indirect observations are two basic methods in surveying. In various kinds of literatures and text books the two methods are introduced independently. But the relationship between them has not been mentioned so far. Authors of this paper simply discussed the relationship between the coefficient matrixes of the two methods in literature [2] using functional analysis. With matrix analysis theory this paper analyzes the principles of adjustment of condition equations and parametric equations, reveals and formulates the whole relationship between the coefficient matrixes and constant vectors of them. And corresponding examples are given. The problem of the relationship between the two basic adjustment methods is thus solved thoroughly. Key words ： adjustment of condition observation； adjustment of indirect observations ； coefficient matrix； constant vector０　　引　　言　条件平差和间接平差是测量平差的两大基石 , 其它理论，如附有未知数的条件平差和附有条件间 接平差等都是在此基础上发展起来的。在各种有关 测量平差的文献和教程中，这两种方法都是作为一 种独立的方法被各自提出，而两者之间的关系至今 尚无人论及。因此，研究并解决条件平差和间接平 差之间的关系，对完善和推动测量平差理论的发展 具有重大的理论价值。 条件平差是以 n 个观测量的平差值作为未知数, 并通过它们之间存在的 r(n-t) 个条件方程来消除观 测值之间的不符值 ,同时运用求条件极值的原理解 出改正数 V，从而求得各观测量的平差值。 间接平差（参数平差或未知数平差）是通过选 定足以确定某个平差问题的 t 个未知数 （未知参数） 来消除观测值之间的不符值 ,并用求自由极值的方 法解出未知参数的最或然值，从而求得各观测量的 平差值。 对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种 平差方法来求解，所求得的各观测值改正数、观测 量的平差值及未知参数的最或然值应该相同，同时 两者的系数矩阵和常数向量也应该存在一定的内 在联系。请看下面的例子[1]。收稿日期： 基金项目：大连大学学科建设发展基金项目（XKFZ0218） 作者简介：王旭华（1963- ） ，男，河北 玉田人，博士研究生，副教授。本文编校：唐巧凤第3期王旭华等：条件平差与间接平差的相互关系321在图 1 所示的水准网中，已知水准点 A 的高程 为 HA=237.483m。 为求 B、 C、 D 三点的高程， 在 A、 B、C、D 间进行水准测量，测得高差及水准路线的 长度（见表 1） 。现按条件平差和间接平差两种方法 求待定点的高程平差值。1 A 5 D 图 1 水准网 Fig.1 levelling net B 2 C 4１　　条件平差与间接平差的关系推证　设某平差问题，有 n 个带有相互独立的正态随 机误差的观测值 L ，其相应的权阵为 P ，它是对n×1 n× n角阵，改正数为 V ，平差值为 L 。当有 r 个多余n×1 n×1∧3观测值时，则平差值 L 应满足 r 个平差值条件方n×1∧程。其矩阵表达式为 AV+W=O （1） W=AL+A0 式中 A 为条件方程的系数矩阵， W 为闭合差r× n r ×1表 １　　高差及水准路线的长度　 Tab.1 hight difference and length of levelling line水准路线 i 1 2 3 4 5 观测高差 Li/m 5.835 3.782 9.640 7.384 2.270 路线长度 S i/km 3.5 2.7 4.0 3.0 2.5向量， A0 为条件方程的常数向量。r×1条件方程式中 V 的解不是惟一的。但是，在 V 的无穷组解中，取 VTPV=min 的一组解是惟一的， V 的这样一组解可用拉格郎日乘数法解出。为此， 设 KT=（ka,kb,…kr）,K 称为联系数向量，它的维数 与条件方程个数 r 相等，按拉格郎日乘数法解条件 极值问题时，要组成新的函数 Φ=VTPV－2KT（AV+W） 将Φ对 V 求一阶导数，并令其为零，得 2VTP－2KTA=0 即 V=P-1ATK （2） 将式（2）式代入式（1）即得条件平差的法方 程式，从而可求得联系数向量 K，并进而得到改正 数 V 和平差值 L 。n×1 n×1 ∧这里 n=5，t=3，r=2，选定 B、C、D 三点的高 程的最或然值近似值的改正数δ x1、δx2、和 δ x3 作为未知数，按已知条件分别列出条件方程与误差 方程。 条件方程：v1＋v2 －v3 －23=0 －v3＋v4＋v5＋14=0 上式中， v、δx、常数项均以 mm 单位。 误差方程：v1 = δx1 ＋0 v2 =－δx1＋δx2 ＋23 v3 = δx2 ＋0 v4 = δx2－δx3－14 v5 = δx3＋ 0 ?1 0 0? ? ? ? ?1 1 0 ? ? 1 1 ? 1 0 0? ? Β= ? 0 1 0 ? Α=? ? 2×5 ? 0 0 ? 1 1 1 ? ? ? 5×3 ? ? 0 1 ? 1? ? ? ?0 0 1? Α ? Β== O2×55×3现将上述平差问题，按间接平差求解。设需 t 个必要观测，用 X 表示选定的未知数，则得误差方t ×1程的矩阵形式为 V=BX+l （3） 式中 B 为误差方程的系数矩阵， l 为误差方程n ×t n×12×3上式表明条件方程与误差方程的系数矩阵之 积为零矩阵。这个结论是否有普遍意义呢？ 作者曾在文献［２］中利用泛函分析原理推导了 条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系，但对于 条件平差和间接平差之间整体关系的认识还很不 够。本文将从条件平差原理和间接平差原理入手， 利用矩阵分析理论，从整体上论述条件平差与间接 平差的相互关系，以便从根本上解决这两大平差基 础之间的关系问题。的常数向量。 在 VTPV= min 的准则下求未知数 X 的值，按数 学上求函数自由极值的理论，就是要使?V T PV ?V =2VTP = VTPB=O ?X ?X转置后得 BTPV=O （4） 将式（3）代入式（4）即得间接平差的法方程 式，从而可求得未知数向量 X ，并进而得到改正数t ×1V 和平差值 L 。n×1 n×1∧322T辽宁工程技术大学学报 条件方程 v1 ＋v2＋v3 v2第 22 卷将式（2）代入式（4）得 B ATK=0 或 （AB）TK=0 或 KT（AB）=0 （5） 令 f (k)= K （AB） （AB） K 则关于 K 的二次齐次函数 f (k)对非零的 K 必有 f （k）=0 令 Y=（AB）TK 则 若 f （k）= f （y）=Y TY AB≠0 则 Y ≠0 f （k）= f （y）= Y Y & 0 式（6）与式（7）矛盾。 因此必有 AB=O 将式（3）代入式（1）得 A（BX+l）+W=0 顾及式（8）则必有 A l+W=O 证毕。 （9）T T T＋5.3″= 0 v4 ＋v5 ＋v6＋2.4″= 0 ＋v4 ＋2.8″= 0（6）－0.302 8v1 －1.099 9v3＋0.776 0v5＋ 2.272 2 v6＋0.5″=0 误差方程 v1 = 4.519 2δxD－6.730 6δyD －5.2 v2 =－4.221 0δxD＋1.040 2δyD －0.1 v3 =－0.298 2δxD＋5.690 4δyD ＋0.0 v4 = 4.221 0δxD－1.040 2δyD －2.7 v5 =－7.105 3δxD－1.241 3δyD ＋1.8 v6 = A=1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ? 0 . 302 8 ?从而使 （7） （8）2.884 3δxD＋2.281 5δyD －1.51 0 1 0 1 0 0 ? 1 . 099 9 0 1 1 0 0 1 0 0 . 776 0 ? ? ? ? 0 ? 2 . 272 2 ? ? 0 1２　　应用举例 　　同精度测得图 2 中的六个角度 L1,…,L6 , 其观 测值列于表 1 中;已知点 B、A、C 的起算数据列于 表 2 中。试以待定点 D 的坐标为未知数，求出平差 值。 BL3 A L2 L4 L6 C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 ２　　三角网　 　 Fig.2 framewoyk of tyiangulation L1 L5 D［１］BT=? 4.5192 ? 4.2210 ? 0.0 ? 7.3? ? ? ? ? 6.2 5.6904 ? 1.3 2.2815? ? ?2.8 0.5) ? 2.7 1.8 ? 1.5) A l＋W = (0 0 0 0.1) T 个别项不为零是由于常数项取位少而导致误 差累积的缘故。?0 0 0 （A B）T = ? ?0 0 0 ? T W = (5.3 2.4 T l = (? 5.2 ? 0.1 0? 0.000 4 ? ? ? 0.000 1 ? ?３　　结　　论　观测值 Li 28°26′05.0″ 127°48′41.2″ 23°45′16.2″表 ２　　角度观测值　 Tab.2 angulation measurement角号 1 2 3 观测值 Li 106°50′42.2″ 30°52′44.0″ 42°16′39.1″ 角号 4 5 6　 表 ３　　起算数据　 Tab.3 initial data点名 B A C 坐标/m X Y 13 737.37 10 501.92 8 986.68 5 705.03 6 642.27 14 711.75 坐标方位角α 边长 S/m 6.84对于同一个平差问题，如果同时运用条件平差 和间接平差求解，则 （1）条件方程的系数矩阵与误差方程的系数 矩阵之积为零矩阵； （2）条件方程的系数矩阵与误差方程的常数 向量之积与条件方程的常数向量之和为零向量。 参考文献：[1] 於宗俦. 测量平差基础[M]. 北京：测绘出版社，1983. [2] 王旭华 .条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系 [J]. 矿山测量， -23.225°16′38.1″ 104°35′24.8″由起算数据和各角度观测值可列出条件方程 和误差方程。
龙源期刊网 .cn 条件平差与间接平差的内在关系研究 作者:曹白金 王兵 张健 来源:《城市建设理论研究》2013 年第 23 期 摘要:条件平差...§4-1 间接平差原理 2 学时间接平差法(参数平差法)是通过选定 t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数, 将每个观测值都分别表达成这 t 个参数的函数...按观测量相互间的关系,可分为相关的或不相 关的平差。平差的方法有直接平差、间接平差、条件平差、附有条件的间接平 差和附有未知数的条件平差等。所以这次...因此,我们掌握了附有参 数的条件平差和附有限制条件的间接平差的方法,也就掌握了条件平差和间接平差。 对于两者之间的整体关系 , 也没一个具体的说明。因而 ...___(4 分) (A) (B) ,闭合差 ,联系数 与改正数 的关系描述中,下 (C...间接平差与条件平差一定可以相互转换。(3 分) 正确错误 参考答案:正确 ,则。...第三节 测量平差的数学模型 重点:测量平差的随机模型、条件平差、间接平差、附有条件的间接平差的 函数模型的建立理论与方法; 难点:各种平差模型的相互关系。 ...间关系的条件方程,以此为函数模型的平差方法, 称为附有限制条件的间接平差。 ...它们之间有什么关系? 4.4 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的...间接平差:参数个数为 8,函数模型的个数为 15;函数模型为观测方程。 (3)...4 '' 六、证明:条件平差基本向量关系式如下: L ? L W ? AL ? A 0 ...本文将分析经典测量平差中的条件平差模型和间接平差模型的 特点,重点运用 Visual Basic 编程语言编写水准网间接平差和单一 附合导线的平差程序软件。用 Visual ...7. 间接平差与条件平差一定可以相互转换( )。)。 8. 在按比例画出的误差...3.各观测值权之间的比例关系与观测值中误差的大小无关。 4.平差值是观测值...
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