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小波分析的基本理论
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第1章小波分析的基本理论??1.1 ??1.2 ??1.3 ??1.4 ??1.5 ??1.6 Mallat??1.7 ??1.8 小波分析属于时频分析的一种。&&&&传统的信号分析是建立在傅里叶Fourier变换的基础上的，但是，傅里叶分析使用的是一种全局的变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。&&&&为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了幌盗行碌男藕欧治隼砺郏憾淌备道镆侗浠弧⑹逼捣治觥Gabor变换、小波变换、RandonWigner变换、分数阶傅里叶变换、线性调频小波变换、循环统计量理论和调幅－调频信号分析等。&&&&其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。&&&&短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数gt的一个短时间间隔内是平稳伪平稳的，并移动分析窗函数，使ftgt－t在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。&&&&但从本质上讲，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法因为它使用一个固定的短时窗函数，在信号分析上还存在着不可逾越的缺陷。&&&&小波变换是一种信号的时间―尺度时间―频率分析方法，它具有多分辨率分析Multi-resolutionAnalysis的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。&&&&即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。&&&&1.1.1傅里叶变换傅里叶变换是众多科学领域特别是信号处理、图像处理、量子物理等里的重要的应用工具之一。&&&&从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指积分傅里叶变换和傅里叶级数。&&&&1.1定义1.1函数f t∈L1R的连续傅里叶变换定义为1.1Fw的傅里叶逆变换定义为1.2dte-itfFt??????????wwtFtftdeπ21-iww????????为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取ft在R上的离散点上的值来计算这个积分。&&&&在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应是有限长的。&&&&下面给出离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform，DFT的定义。&&&&定义1.2给定实的或复的离散时间序列f0，f1，…，fN－1，设该序列绝对可积，即满足，称1.3为序列 fn的离散傅里叶变换，称??????????10Nnnf????????????10π2ieNnnNknnffFkX1.4为序列Xk的离散傅里叶逆变换IDFT。&&&&在式1.4中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。&&&&离散傅里叶变换序列Xk是以2p为周期的，且具有共轭对称性。&&&&????????10π2ie1NknNknkXNf011kN????若ft是实轴上以2p为周期的函数，即ft∈L20，2p，则ft可以表示成傅里叶级数的形式，即1.5傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把ft这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。&&&&这样我们就可将对原函数ft的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换Fw的研究。&&&&从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。&&&&??????????????nnCtfinte在进行傅里叶变换时，如果能合理运用它的有关性质，运算将很方便。&&&&下面列出了傅里叶变换的一些常用性质。&&&&1.线性性质设F1w和F2w分别为f1t和f2t的傅里叶变换，a和b为常数，则有af1t＋bf2t??aF1w＋bF2w1.6这个性质表明，函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的线性组合。&&&&傅里叶逆变换亦具有类似的性质。&&&&2.位移性质设Fw为函数ft的傅里叶变换，则有1.7该性质表明，时间函数ft沿t轴向左或向右位移t0的傅里叶变换等于ft的傅里叶变换乘以因子或。&&&&傅里叶逆变换亦具有类似的位移性质。&&&&0ietw0ietw??ei0wwFttf0t??????3.微分性质设Fw为函数ft的傅里叶变换，f??t表示函数ft的微分，则有1.8该性质表明，一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子jw。&&&&由该性质可以导出一般的微分公式：jwwFtf????tfniwwFn??4.积分性质设Fw为函数ft的傅里叶变换，如果当t→＋∞时，，则有1.90d????????tttfi1dwwFttft????????5.乘积定理设F1w和F2w分别为f1t和f2t的傅里叶变换，则有1.10其中，f1t和f2t为t的实函数；和分别为F1w和F2w的共轭函数。&&&&π21π21d212121wwwwFFFFttftf??????????????????????????????????1Fw2Fw6.能量积分设Fw为函数ft的傅里叶变换，则有1.11该式又称为巴塞瓦Parseval等式。&&&&wwdπ21d22??????????????????????Fttf例1-1在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50 Hz和300 Hz的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为1000 Hz。&&&&通过傅里叶变换对其频率成分进行分析。&&&&解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其MATLAB程序如下：t＝0：0.001：1.3；时间间隔为0.001说明采样频率为1000 Hzx＝sin2pi50t＋sin2pi300t；产生主要频率为50 Hz和300 Hz的信号f＝x＋3.5randn1，lengtht；在信号中加入白噪声subplot321；plotf；画出原始信号的波形图Ylabel??幅值??；Xlabel??时间??；title??原始信号??；y＝fftf，1024；对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT的采样点个数为1024p＝y.conjy/1024；计算功率谱密度ff＝124；计算变换后不同点所对应的频率值subplot322；plotff，p1：512；画出信号的频谱图Ylabel??功率谱密度??；Xlabel??频率??；title??信号功率谱图??；程序输出结果如图1.1所示。&&&&图1.1从图1.1a中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图图1.1b中，我们可以明显地看出该信号是由频率为50 Hz和300 Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。&&&&虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机地结合起来。&&&&这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。&&&&从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。&&&&这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。&&&&在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。&&&&如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。&&&&这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。&&&&这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。&&&&1.1.2短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换Short-time Fourier Transform。&&&&短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。&&&&其表达式为1.12tgtfStdeiRwtwtw????????其中，“”表示复共轭；gt为有紧支集的函数；ft为被分析的信号。&&&&在这个变换中，ejwt起着频限的作用，gt起着时限的作用。&&&&随着时间t的变化，gt所确定的“时间窗”在t轴上移动，使ft“逐渐”进行分析。&&&&因此gt往往被称为窗口函数，Sw，t大致反映了时刻为t、频率为w时ft的“信号成分”的相对含量。&&&&这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在〔t－d，t＋d〕、〔w－e，w＋e〕这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，d和e分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。&&&&很显然希望d和e都非常小，以便有更好的时频分析效果，但海森堡Heisenberg测不准原理Uncertainty Principle指出，d和e是互相制约的，两者不可能同时都任意小事实上，，且仅当为高斯函数时，等号成立，变换如图1.2所示。&&&&2224/1eπ1ddttg????21??de图1.2由此可见，短时傅里叶STFT虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数gt确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。&&&&可以说STFT实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数gt。&&&&因此，STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率即d要小，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率即e要小，而短时傅里叶不能兼顾两者。&&&&1.1.3小波分析小波分析方法是一种窗口大小即窗口面积固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。&&&&即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。&&&&正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。&&&&小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。&&&&原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。&&&&小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。&&&&设yt∈L2RL2R表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，其傅里叶变换为Yw。&&&&当Yw满足允许条件Admissible Condition：1.13时，我们称yt为一个基本小波或母小波Mother Wavelet。&&&&将母函数yt经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。&&&&????????RCwwwyyd??2对于连续的情况，小波序列为1.14其中，a为伸缩因子；b为平移因子。&&&&对于离散的情况，小波序列为1.1501????????????????????????abaabtatbaRyyZ222/??????????kjkttjjkjyy对于任意的函数ft∈L2R的连续小波变换为1.16其逆变换为1.17??????????????????????????R2/1dtabttfafbaWbafyy??????????????????????RR2dd11baabtbaWaCtffyy小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。&&&&其窗口形状为两个矩形〔b－aDy，b＋aDy〕×〔±w0－DY/a，±w0＋DY/a〕，窗口中心为b，±w0/a，时窗和频窗宽分别为aDy和DY/a。&&&&其中，b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。&&&&这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时，小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。&&&&这便是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。&&&&从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。&&&&1.1.4小波分析与傅里叶变换的比较小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关，它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二者是相辅相成的。&&&&两者相比较主要有以下不同点。&&&&1傅里叶变换的实质是把能量有限信号ft分解到以ejwt为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号ft分解到W－jj＝1，2，…，J和V－j所构成的空间上去。&&&&2傅里叶变换用到的基本函数只有sinwt、coswt、expjwt，具有唯一性；小波分析用到的函数即小波函数则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。&&&&小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题，目前，往往是通过经验或不断的试验对结果进行对照分析来选择小波函数。&&&&3在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sinw1t＋0.345sinw2t＋4.23cosw3t。&&&&但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号ft的傅里叶变换Fw中看出ft在任一时间点附近的性态。&&&&事实上，Fwdw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅里叶展开式中，它是由ft的整体性态所决定的。&&&&4在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅里叶变换中w的值越小。&&&&5在短时傅里叶变换中，变换系数Sw，t主要依赖于信号在〔t－d，t＋d〕片段中的情况，时间宽度是2d因为d是由窗函数gt唯一确定的，所以2d是一个定值。&&&&在小波变换中，变换系数Wfa，b主要依赖于信号在〔b－aDy，b＋aDy〕片段中的情况，时间宽度是2aDy，该时间宽度是随着尺度a的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。&&&&6若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽Df与中心频率f无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽Df则正比于中心频率f，即C为常数亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构Q为滤波器的品质因数，且有。&&&&CffQ??D??带宽中心频率??Q与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数yx具有多样性。&&&&但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。&&&&目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。&&&&1.2根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：1y、Y、f和F的支撑长度。&&&&即当时间或频率趋向无穷大时，y、Y、f和F从一个有限值收敛到0的速度。&&&&2对称性。&&&&它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。&&&&3y和f如果存在的情况下的消失矩阶数。&&&&它对于压缩是非常有用的。&&&&4正则性。&&&&它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。&&&&但在众多小波基函数也称核函数的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。&&&&我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数y和尺度函数f可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。&&&&在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。&&&&1.2.1Haar小波Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。&&&&Haar函数与下面将要介绍的db1小波函数是一样的。&&&&Haar函数的定义为1.18??????????????????????????其它xxHy图1.3Harr小波函数尺度函数为1.19在MATLAB中，可以输入命令waveinfo??haar??获得Haar函数的一些主要性质，如图1.3所示。&&&&????????????其它0101xxf1.2.2DaubechiesdbN小波系Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1即haar小波外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。&&&&dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。&&&&?假设，其中，为二项式的系数，则有1.20????????????101NkkkNkyCyPkNkC????12220cossin22NmPwww??其中，?小波函数y和尺度函数f的有效支撑长度为2N－1，小波函数y的消失矩阶数为N。&&&&?大多数dbN不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。&&&&?正则性随着序号N的增加而增加。&&&&?函数具有正交性。&&&&??????????120j0e21Nkkkhmww在这里，我们画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.4所示。&&&&Daubechies小波函数提供了比Haar组更有效的分析和综合。&&&&Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N＝1，2，…，10。&&&&在MATLAB中，可以输入命令waveinfo??db??获得Daubechies函数的一些主要性质。&&&&
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/etc/nginx/nginx.conf.西安科技大学硕士学位论文；方法或多种方法联合去噪；地震信号去噪的很多方法都用到傅里叶变换，对于确知；小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支，具；我国将小波分析引入地震资料处理工作从２０世纪９０；小波变换在地震资料去除噪声方面的研究“１，已经发；１．３小波分析发展状况；１．３．１小波分析发展史；：法国著名数学家Ｆｏｕｒｉｅｒ于１８２２年提出了；１绪论；实
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方法或多种方法联合去噪。
地震信号去噪的很多方法都用到傅里叶变换，对于确知信号和平稳随机过程，傅里叶变换是信号分析和处理的理论基础，有着非凡的意义。但傅里叶变换有明显的缺陷，信号任何时刻的微小变化都会牵动整个频谱；反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时间小范围的信号。实际信号往往是时变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很重要的。人们通过预先加窗的方法使频谱反映时间局部特性，即采用短时傅里叶变换。短时傅里叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某一时刻的特征，显然，窗越宽时间分辨率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时，又会减低频率的分辨率。因此短时傅里叶变换不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。
小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支，具有多分辨分析的特点，而且在时频域都具有表征信号局部特性的能力。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜。小波变换在很多方面取代了傅里叶变换与短时傅里叶变换，在地震资料处理中的各个方面都有所应用与发展，已被证明是地震资料处理中的一个有利的工具。
我国将小波分析引入地震资料处理工作从２０世纪９０年代开始，己经进行了大量的理论与时间工作研究，如利用小波变换进行地震资料的分解与重构及提取信号的瞬时特征；利用正交小波变换进行多道波阻抗反演：利用小波变换分时分频相关处理和阈值噪音压制的方法压制地震资料中的噪声等。概括起来，在地震资料处理中，小波变换己用于以下方面：噪音压制，地震数据压缩，地震记录道内插；提高地震资料分辨率；数值计算（如波场延拓，波动方程反问题等）；地震资料解释；地震数据特征分析：地震资料重采样等。
小波变换在地震资料去除噪声方面的研究“１，已经发展出大量针对不同的噪声的小波处理方法，实践证明，小波变换在地震资料去除噪声中有多方面的作用，对于高频噪声、随机噪音和面波干扰都能够有效地压制。小波变换的逐渐成熟，在地震勘探中的应用日益广泛、深入，对它的理论和特征的学习，并将其应用到地震资料处理中进一步发展具有重要的现实意义。虽然小波变换方法在去除地震资料噪声工作仍处于起步阶段，但由于其无可比拟的多尺度分析特征，必将在去除噪声工作的各个方面发挥重要的作用。
１．３小波分析发展状况
１．３．１小波分析发展史
：法国著名数学家Ｆｏｕｒｉｅｒ于１８２２年提出了Ｆｏｕｒｉｅｒ分析理论，结合：１９６５年美国Ｂｅｌｌ２
实验室Ｃｏｏｌｅｙ，Ｔｕｒｋｙ两位工程师提出快速Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦＦＴ），使Ｆｏｕｒｉｅｒ分析成为理论分析和数值计算结合虽完美的数学工具。但是Ｆｏｕｒｉｅｒ分析却不能作时频局部分析。小波分析作为Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的新发展，既保留了Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的优点，又弥补了Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在信号分析上的不足。同其它理论一样，小波理论的发展也经历了漫长的准备过程。
１９ＩＯ年，Ｈａｒｒ提出了小波规范正交基的思想，构造了紧支撑的正交函数系一Ｈａｒｒ函数系。１９２３年，Ｗａｌｓｈ构造了区问［Ｏ，１）上完备标准正交系，并广泛应用信息论、通信、计算机、遥感等诸多领域。１，它是迄今为止人们发现的最早的小波包原型。１９３６年，Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ和Ｐａｌｅｙ对Ｆｏｕｒｉｅｒ分析建立二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，构造了一组Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ―Ｐａｌｅｙ基。这是最早的多尺度分析（ＭｕｌｔｉｓｃａｌｅＡｎａｌｙｓｉｓ）思想的来源。１９４６年，Ｇａｂｏｒ提出了加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（Ｇａｂｏｒ变换或短时傅里叶变换８ＴＦＴ），它部分解决了Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的缺点，用平移的Ｇａｕｓｓ函数对信号进行展开，使得对信号的表示具有时频局部化性质。而后Ｃａｌｄｅｒｏｎ，Ｚｙｇｍｕｎｄ，Ｓｔｅｉｎ和Ｗｅｉｓｓ等人将Ｌ－Ｐ理论推广到高维弗建立了奇异积分算子理论。１９６５年，Ｃａｌｄｅｒｏｎ给出了再生公式。１９７４年Ｃｏｉｆｍａｎ对Ｈａｒｄｙ空间Ⅳ９给出了原子分解。１９７５年，Ｃａｌｄｅｒｏｎ用他早先提出的再生公式给出了Ｈ。的原子分解，这一公式已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还没有得到组成一正规正交系的结论。
真正开始研究小波是在八十年代。１９８１年，Ｓｔｒｏｍｂｅｒｇ对Ｈａａｒ正交基进行了改进，证明了小波函数的存在”１。１９８４年，法国的Ｅｌｆ－Ａｑｕｉｔａｉｌ３ｅ公司的地球物理学家Ｍｏｒｌｅｔ和Ｇｏｕｐｉｌｌａｒｄ、Ｇｒａｓｓｍａｎ“３首次提出“小波”（Ｗａｖｅｌｅｔ）的概念，给出了按一个确定函数｛ｆ，的伸缩平移系展开的系统理论和进行信号表示的新思想。随后，Ｍｅｙｅｒ证明了一维小波的存在性，并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函数；到１９８６年，Ｍ．Ｓｍｉｔｈ和Ｔ．Ｂａｒｎｗｅｌｌ””８１提出了共轭镜像滤波器（ＣＱＦ）概念，这为二进紧支撑小波的构造提供了契机。同年，Ｍａｌｌａｔ和Ｍｅｙｅｒ提出了多分辨分析（ＭｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉＯｎＡｎａｌｙｓｉＳ）的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，至此，小波分析才真正形成一门学科。
１９８８年，数学家Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ基于离散滤波器迭代方法构造了具有紧支撑标准正交基，即一系列的具有任意选定正则性的、有限支撑的、正交的尺度函数和小波函数，并将当时的所有正交小波的构造统一起来，为以后的构造设定了框架。１。随后她又发表了长篇综述““，对小波理论的发展和推动起到了积极的作用，该文成为目前小波理论研究的最重要的文献之一。１９８９年，Ｍａｌｌａｔ提出了实现小波变换的快速算法――Ｍａｌｌａｔ塔式算法，它的地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶变换中的地位。并且将它用于图像分析和完全重构”１，使许多以前分散在各个应用领域里研究的小波成果有可能统一在同一个理论框架下。１９９０年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化特性的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。１９９２年，在小波变换的基础上，Ｃｏｉｆｍａｎ和Ｗｉｃｋｅｒｈａｕｓｅｒ进一步提出了小波包‘（ｗａｖｅｌｅｔｐａｃｋｅｔ）的概
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念””，并从数学上作了严格的推导。同年，Ｃｏｈｅｎ和Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ”“提出了“双正交小波”的概念，即对同一信号ｆ∈ｒ（Ｒ），其分析小波和综合小波可以是两组不同的函数系。
１９９４年，Ｇｏｏｄｍａｎ和Ｌｅｅ首先提出多小波的概念，并用Ｈｅｒｍｉｔ样条构造了第一个多小波‘”１。在多小波的思想出现的同时，１９９４年８ｗｅｌｄｅｎｓ提出了用提升方法来构造具有线性相位的小波变换““，进而给出整数可逆的提升框架，使得小波变换向实用前进了一大步。如今的小波理论正日趋完善，并越来越广泛的运用于各个领域之中。
１．３．２小波去噪的研究状况
在信号采集、处理、传输过程中，不可避免的受到各种外来噪声的干扰。现有的对信号滤除噪声的方法归结起来大致有３种：传统的基于傅里叶变换的去噪法，相干平均去噪法和基于小波变换的去噪法。基于傅里叶变换的去噪法和相干平均去噪法在消除噪声的同时，会造成数据信息的大量丢失。８０年代中后期发展并成熟起来的小波理论与传统的去噪方法比较，有着不可比拟的优势。
１９９２年，Ｍａｌｆａｔ等人提出了基于信号奇异性（Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ）的信号和图像多尺度边缘表示法，利用Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ指数在多尺度上对信号和图像及噪声的数学特性进行描述，并提出模极大值重构滤波方法“”““。１９９４年，ＸｕＹａｎｓｕｎ提出了一种基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法（ＳｐａｔｉａｌｌｙＳｅｌｅｃｔｉｖｅＮｏｉｓｅＦｉｉｔｒａｔｉｏｎ，ＳＳＮＦ）“…。Ｄｏｎｏｈｏ和Ｊｏｈｎｓｔｄｎ等人””于１９９５年提出了信号去噪的软阂值方法和硬闽值方法，推导出计算通用阂值的公式，并从理论上证明了该阂值是最优的。同年，Ｃｏｌｆｍａｎ和Ｄｏｎｏｈｏ提出了平移不变小波去噪。Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ等人１９９７年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器。Ｃｈａｎｇ”“１等人在２０００年将自适应阈值和平移不变去噪思想结合起来，提出了一种针对图像的空域自适应小波阈值去噪方法，所选阈值可随图像本身的统计特性而作自适应的改变。
总而言之，基于小波去噪方法的研究仍然是极其的活跃，特别是对闽值去噪方法的研究。由于这种方法简单有效，而成为目前研究最广泛的方法，近几年来不断有许多改进的阈值方法被提出，极大的丰富了小波去噪的内容。
１．４ＭＡＴＬＡＢ中小波变换工具箱简介
Ⅲ－，ＴＬＡＢ是ＭＡＴＨＷＯＲＫＳ公司于１９８２年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。川”１，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。ＭＡＴＬＡＢ的推出得到了各个领域专家学者的广泛关注，其强大的扩展功能为各个领域的应用提供了基础。由相关领域的专家学者相继推出了ＭＡＴＬＡＢ工具箱，其中主要有信号处理（ｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ），控制系统（ｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ），神经网络（ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ），图像处理（ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ），鲁棒控制（ｒｏｂｕｓｔｃｏｎｔｒ０１），非线
性系统控制设计（ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｃｏｎｔｒｏｌｄｅｓｉｇｎ），系统辨别（ｓｙｓｔｅｍｉｄｅｎｔｉ―ｆｉｃａｔｉｏｎ），最优化（ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ），模糊逻辑（ｆｕｚｚｙｌｏｇｉｃ），小波（ｗａｖｅｌｅｔ），通信（ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ），统计（ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）等工具箱，而且工具箱还在不断增加，这些工具箱给各个领域的研究和工程应用提供了有力的工具。
在ＭＡＴＬＡＢ的小波分析工具箱（ｗａｖｅｌｅｔｔｏｏｌｂｏｘ）中包含以下几类函数：小波分析中的通用函数、小波函数、一维小波变换函数、二维小波变换函数，小波包算法函数、信号和图像的消噪与压缩函数、树操作应用函数、小波分析中的Ｉ／Ｏ函数。小波变换工具箱的功能：
（１）检查、研究小波和小波包的性质和特点；
（２）实现一维函数的连续小波变换：
（３）实现信号和信号成分的统计值；
（５）实现一维、二维信号的成立分析和合成：用小波包分析一维和二维信号；
信号、图像的减弱噪声和去除噪声。（６）
本文将主要借助小波工具箱对信号和图像进行处理。
１．５本文的工作
本文主要讨论了两部分内容，第一部分是利用小波全局闽值去噪算法对测试信号进行分析，并提出二次小波分解全闽值算法，与小波全局阈值去噪算法的去噪结果进行比较，得出改进的方法取得了较好的效果。第二部分是对地震资料利用小波方法进行去噪。
第一章为绪论部分，主要介绍了本文选题背景和意义和地震资料处理的发展和去噪现状，以及小波分析和小波去噪的发展历史、现状，以及本文的主要工作。
第二章介绍了小波分析的基本理论，包括小波变换、多分辨分析、Ｍａｌｌａｔ算法和常用的小波基的特点。
第三章介绍了小波闽值去噪的基本原理以及小波基的选取和尺度参数的确定，对小波全局闽值去噪方法进行分析，指出其欠缺并提出改进方法――二次小波分解全局阈值方法。
第四章利用小波全局闽值方法和二次小波分解全局阈值方法对含随机噪声的理论合成地震资料进行处理。最后对实际资料进行了消噪处理。第五章是对全文的总结和对未来工作的期望。
西安科技大学硕士学位论文
２小波变换的基本理论
小波分析（ＷａｖｅｌｅｔＡｎａｌｙｓｉｓ）是２０世纪８０年代后期形成的一个新兴的数学分支，并在当前的数学领域中迅速发展。小波分析包含了丰富的数学内容，并推动了泛函分析和调和分析理论的发展，同时，在诸如图像压缩、信号消噪、自适应滤波、数值分析和物理学等领域得到了广泛的应用，是当前最为活跃的应用研究领域之一，并逐渐形成为一门极具生命力的新学科。一方面它有着深刻的理论背景，其数学思想非常精美而完美；另一方面，它在工程中的应用又十分广泛。
小波分析是在Ｆｏｕｒｉｅｒ分析的基础上发展起来的，但两者又存在极大的不同。从微观上看，小波变换与傅里叶变换的根本区别是由小波和正弦波的不同局部化性质产生的。从宏观上看，傅里叶分析是整体域分析，用单独的时域或频域表示信号的特征；而小波分析是局部化时一频分析（Ｔｉｍｅ―ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＡｎａｌｙｓｉＳ），它用时域和频域的联合表示信号的特征。作为时一频分析方法，小波分析比傅里叶分析有着许多本质性的进步，它能够从信号中提取许多有用的信息，是各种信号处理方法的统一处理框架。
２．１从傅里叶变换，短时傅里叶变换到小波分析
２．１．１傅里叶变换
傅里叶分析””“３是众多科学领域，特别是信号处理、图像处理、量子物理等领域的重要工具之一，其本质在于将一个相当任意的函数ｆ（ｔ）表示为一个标准基（Ｐ…ｌ∞∈Ｒ）的加权求和
ｆ（ｔ）＝寺ｅｍ）Ｐ埘ｄ∞（２．１）
其中权函数
Ｆ（出）＝亡ｆ（ｔ）ｅ－一‘ｄｔ（２．２）
就是原函数ｆ（ｔ１的傅里叶变换。这样，就将对原函数的研究转化为对其权函数即其傅里叶变换Ｆ（ｃｏ）的研究。从傅里叶变换中看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。
虽然Ｆｏｕｒｉｅｒ变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，可以分别从信号的时域和频域观察，但两者却不能有机的结合起来，对大多数工程应用来说是不够的，主要表现在以下几个方面：（１）为了通过Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对模拟信号ｆ（ｔ）提取频率信息Ｆ＠），就要取无限的时
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