数据库面试题目2
1&&&&&&&连接查询
&连接运算符为 = 时，称为等值连接。使用其他运算符称为非等值连接
&&&Select Student.* , SC.*
&&&From Student , SC
&&&Where Student.Sno = SC. Sno
&其结果中会有sno重复出现
&& 自然连接
&&&& 若在等值连接中把重复的属性列去掉则为自然连接
&&&& Select Student.Sno , Sname , Ssex , Sage ,Sdept , Cno , Grade
&&&& From Student , SC
&&&& Where Student.Sno = SC. Sno
2 & &外连接
&&在通常的连接操作中，只有满足连接条件的元组才能作为结果输出。在例33中结果表中没有和两个学生的信息，原因在于他们没有选课，在SC中表没有相应的元组，造成Student中这些元组在连接时被舍弃了。
&&有时想以Student表为主体列出每个学生的基本情况及其选课情况。若某个学生没有选课，仍把舍弃的Student元组保存在结果关系中，而在SC表的属性上填空NULL，这时就需要使用外连接。
&&&Select Student.Sno , Sname , Ssex , Sage , Sdept , Cno , Grade
&&&& From Student LEFT OUT JOIN SC ON(Student.Sno = SC.sno)
&&左外连接列出左边关系（本例Student）中所有的元组，右外连接列出右边关系中所有的元组。
连接类型节点对应于关系代数中的连接操作，PostgreSQL中定义了如下几种连接类型（以T1 JOIN T2 为例）：
1）&&&&&&&&&&&&&InnerJoin: 内连接，将T1的所有元组与T2中所有满足连接条件的元组进行连接操作。
2）&&&&&&&&&&&&&LeftOuter Join: 左连接，在内连接的基础上，对于那些找不到可连接T2元组的T1元组，用一个空值元组与之连接。
3）&&&&&&&&&&&&&RightOuter Join: 右连接，在内连接的基础上，对于那些找不到可连接T1元组的T2元组，用一个空值元组与之连接。
4）&&&&&&&&&&&&&FullOuter Join: 全外连接，在内连接的基础上，对于那些找不到可连接T2元组的T1元组，以及那些找不到可连接T1元组的T2元组，都要用一个空值元组与之连接。
5）&&&&&&&&&&&&&SemiJoin: 类似IN操作，当T1的一个元组在T2中能够找到一个满足连接条件的元组时，返回该T1元组，但并不与匹配的T2元组连接。
6）&&&&&&&&&&&&&AntiJoin: 类型NOT IN操作，当T1的一个元组在T2中未找到满足连接条件的元组时，返回该T1元组与空元组的连接。
PostgreSQL实现了三种连接操作，嵌套循环连接（Nest Loop）、归并连接（Merge Join）和Hash连接（Hash Join）。归并连接算法可以实现上述六种连接，而嵌套循环连接和Hash连接只能实现Inner Join、Left Outer Join、Semi Join和Anti Join四种连接。
4 &PostgreSQL有三种连接算法，各自应用场景是什么，代价估计的公式是什么？
1.嵌套循环连接(Nested Loops)适用范围 两个表, 一个叫外部表, 一个叫内部表.
如果外部输入非常小，而内部输入非常大并且已预先建立索引，那么嵌套循环联接将特别有效率。
关于连接时哪个表为outer表，哪个为inner表，我发现sql server会自动给你安排，和你写的位置无关，它自动选择数据量小的表为outer表，数据量大的表为inner表。
2.合并联接(Merge) 指两个表在on的过滤条件上都有索引, 都是有序的, 这样, join时, sql server就会使用Merge join, 这样性能更好.
如果一个有索引,一个没索引,则会选择Nested Loops join. &
3.哈希联接(Hash) 如果两个表在on的过滤条件上都没有索引, 则就会使用Hash join.
也就是说, 使用Hash join算法是由于缺少现成的索引.
哈希连接是大数据集连接时常用的方式，优化器使用两个表中较小的表，利用连接键在内存中建立散列表，然后扫描较大的表并探测散列表，找出与散列表匹配的行。
这种方式适用于较小的表完全可以放入内存的情况，这样成本就是访问两个表的成本之和。但是在表很大的情况下并不能完全放入内存，这时优化器将它分割成若干不同的分区，不能放入内存的部分就把该分区写入磁盘的临时段。
哈希连接只能应用于等值连接(如WHERE A.COL3 = B.COL4)、非等值连接(WHERE A.COL3 & B.COL4)、外连接(WHERE A.COL3 = B.COL4(+))。
连接方式应用场景：
1.　哈希连接只适用于等值连接。
2.　嵌套循环是行源连接方式，只适合小量数据连接。
&&&　哈希连接和排序合并连接是集合连接方式，适合大量数据连接。
3.　在等值连接方式下，返回少量记录（&10000）且内部表在连接列上存在索引，适合嵌套循环连接。若返回大量记录则适合哈希连接。
4.　在等值连接方式下，两个行源集合都很大，若连接列是高基数列，则适合哈希连接，否则适合排序合并连接。
5.　嵌套循环连接可以先返回已经连接的行，而不必等待所有的连接操作处理完才返回数据。而其它两种连接方式则不行。
6.&&&排序合并连接的两个数据集可以并行处理,而嵌套循环和哈希连接不能.
5 &模式 外模式 内模式
外模式：也成子模式或用户模式，它是数据库用户能够看见和使用的局部数据的逻辑结构和特征的描述。外模式通常是模式的子集。一个数据库可以有多个外模式。由于它是各个用户的数据视图，如果不同的用户在应用需求、看待数据的方式、对数据保密的要求等方面存在差异，则其外模式描述就是不同的。外模式是保证数据库安全性的一个有力措施。每个用户只能看见和访问所对应的外模式中的数据，数据库中的其余数据是不可见的。
模式：也称逻辑模式，是数据库中全体数据库的逻辑结构和特征的描述。它是数据库系统模式结构的中间层，即不涉及数据的物理存储希捷和硬件环境，也与具体的应用程序、所使用的应用开发工具及高级程序设计语言无关。。
一个数据库只有一个模式。数据库模式以某一种数据模型为基础，统一综合地考虑了所有用户的需求，并将这些需求有机地结合成一个逻辑整体。定义模式时不仅要定义数据的逻辑结构，例如数据记录由哪些数据项构成，数据项的名字、类型、取值范围等，而且要定义数据之间的联系，定义与数据有关的安全性、完整性要求。
内模式： 也成存储模式。一个数据库只有一个内模式。它是数据物理结构和存储方式的描述，是数据在数据库内部的表达方式。例如，记录的存储方式是堆存储，还是按照某个/些属性值的升降序存储，还是按照属性值聚簇存储；索引按照什么方式组织，是B+树索引，还是hash索引；数据是否压缩存储，是否加密；数据的存储记录结构有何规定，如定长结构或变成结构，一个记录不能跨物理页存储；等等
二级映像功能
1 外模式/模式映像
2 模式/内模式映像
这两个映像提高了数据库系统的逻辑独立性和物理独立性
1&&&&&&&外模式/模式映像：当模式改变时（例如增加新的关系、新的属性、改变属性的数据类型等），由数据库管理员对各个外模式/模式的映像做相应改变，可以使外模式保持不变。应用程序是根据数据的外模式编写的，从而程序不必修改，保证了数据与程序的逻辑独立性，简称数据的逻辑独立性。
2&&&&&&&模式/内模式映像：当数据库的存储结构改变了（例如选用了另外一种存储结构），由数据库管理员对模式/内模式映像作相应改变，可以使模式保持不变，从而应用程序也不必改变。保证了数据与程序的物理独立性，简称数据的物理独立性。
&游标的作用？如何知道游标已经到了最后？ 游标用于定位结果集的行，通过判断全局变量@@FETCH_STATUS可以判断是否到了最后，通常此变量不等于0表示出错或到了最后。
触发器分为事前触发和事后触发，这两种触发有和区别。语句级触发和行级触发有何区别。 事前触发器运行于触发事件发生之前，而事后触发器运行于触发事件发生之后。通常事前触发器可以获取事件之前和新的字段值。 语句级触发器可以在语句执行前或后执行，而行级触发在触发器所影响的每一行触发一次。
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＞＞＞对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn..
对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin(π2n)时，{yn}的周期为4的周期数列．（1）设数列{an}满足an+2=λoan+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同时为0），且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（an+1）2．①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．（3）设数列{an}满足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，数列{bn}的前n项和Sn，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N*都有p≤Snn≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：南汇区二模
由（1）数列{an}是周期为3的数列，得an+3=an，且an+2=λ&an+1-an&an+3=λan+2-an+1=>（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．（2）当n=1时，s1=a1，4s1=（a1+1）2=>a1=1，当n≥2时，4an=4sn-4sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2．=>（an-1）2=（an-1+1）2，即an-an-1=2或an=-an-1（n≥2）．①由an＞0有an-an-1=2（n≥2），则{an}为等差数列，即an=2n-1，由于对任意的n都有an+m≠an，所以数列{an}不是周期数列．②由anan+1＜0有an=-an-1（n≥2），数列{an}为等比数列，即an=（-1）n-1，即an+2=an对任意n都成立．即当anan+1＜0时是{an}周期为2的周期数列．（3）假设存在p，q．满足题设．于是an+2=-an+1-anan+3=-an+2-an+1=>an+3=an，又bn=an+1则bn+3=bn，所以{bn}是周期为3的周期数列，所以{bn}的前3项分别为2，3，-2．则sn=n&&&&&&&n=3kn+1&&&&&n=3k-2n+3&&&&&n=3k-1，当n=3k时，snn=1；当n=3k-2时，snn=1+1n=>1＜snn≤2；当n=3k-1时，snn=1+3n=>1＜snn≤52，综上1≤snn≤52，为使p≤snn≤q恒成立，只要p≤1，q≥52即可．综上，存在p≤1，q≥52满足题设．
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据魔方格专家权威分析，试题“对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn..”主要考查你对&&数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列的概念及简单表示法
数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
发现相似题
与“对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn..”考查相似的试题有：
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[精品]1什么叫做数列数列,1,一,什么叫数列,什么叫做,什么叫,数列叫什么,1数列,什么数列,等差数列
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什么是等底数列?
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/view/39749.htm数列按一定次序排列的一列数叫数列.记作,即a1, a2, a3,…….我们称a1为数列的“第一项”,a2是“第二项”,等等.数列中数的总数为数列的“项数”,项数有限的数列为“有限数列”,项数无限的数列为“无限数列”.特别地,数列是一种特殊的函数,它的自变量为自然数.著名的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列、大衍数列等.
一、 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示. 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.,且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式. 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和＝（首项＋末项）*项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项－首项）/公差＋1二、等比数列如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示. （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} （4）若m,n,p,q∈N*,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2ar
ar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. 性质： ①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq； ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方.三、斐波拉契数列■斐波拉契数列的简介斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”）是一个非常美丽、和谐的数列,它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图）,起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1,在它左边的那个正方形的边长也是1 ,在这两个正方形的上方再放一个正方形,其边长为2,以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形.这些数字每一个都等于前面两个数之和,它们正好构成了斐波那契数列.“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.斐波那契数列指的是这样一个[font color=#800080]数列[/font]：1,1,2,3,5,8,13,21…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根) (19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet )很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的. ■斐波拉契数列的出现13世纪初,欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作,是当时欧洲最好的数学书.书中有许多有趣的数学题,其中最有趣的是下面这个题目： “如果一对兔子每月能生1对小兔子,而每对小兔在它出生后的第3个月裏,又能开始生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的兔子开始,1年后能繁殖成多少对兔子?” 斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1,1,2,3,5,8…… 这串数里隐含着一个规律：从第3个数起,后面的每个数都是它前面那两个数的和.而根据这个规律,只要作一些简单的加法,就能推算出以后各个月兔子的数目了. 于是,按照这个规律推算出来的数,构成了数学史上一个有名的数列.大家都叫它“斐波拉契数列”.这个数列有许多奇特的的性质,例如,从第3个数起,每个数与它后面那个数的比值,都很接近于0.618,正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合.人们还发现,连一些生物的生长规律,在某种假定下也可由这个数列来刻画呢. ■斐波拉契数列的来源及关系斐波拉契（Fibonacci）数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 {f(n)}即为斐波拉契数列.■斐波拉契数列的公式它的通项公式为:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根号5） ■斐波拉契数列的某些性质■1),f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;■2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1 ■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)][font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列的存在】[/font][/font]甚至可以说,斐波拉契数列无处不在,以下仅举几条常见的例子■1．杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列 ．■2．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘,覆盖的方案数等于斐波拉契数列. ■3． 从蜜蜂的繁殖来看,雄峰只有母亲,没有父亲,因为蜂后产的卵,受精的孵化为雌蜂,未受精的孵化为雄峰.人们在追溯雄峰的祖先时,发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn. ■4．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似,说明音调也与斐波拉契数列有关. ■5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列,也就是说在大多数情况下,一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变). ■6．如果一根树枝每年长出一根新枝,而长出的新枝两年以后,每年也长出一根新枝,那么历年的树枝数,也构成一个斐波拉契数列 ．[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列与黄金分割】[/font][/font]斐波拉契数列与黄金分割有什么关系呢?经研究发现,相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n-1)/f(n)-→0.618….由于斐波拉契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.不仅这个由1,1,2,3,5.开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的．[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列的变式】[/font][/font]■1.帕多瓦数列：1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,……这样的数列称为帕多瓦数列.它和斐波拉契数列非常相似,稍有不同的是：每个数都是跳过它前面的那个数,并把再前面的两个数相加而得出的.这个数列可以用另一幅图来表示,它是由一些等边三角形构成的(如右图).开始的三角形用灰色表示,为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起,头三个三角形的边长均为1,其后的两个三角形的边长为2,然后依次是3、4、5、7、9、12、16、2l……等等.■2.冬冬有15块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?如果冬冬有3块糖、4块糖或者5块糖,都只有1种吃法；如果有6块糖,则有2种吃法；如果有7块糖,则有3种吃法；如果有8块糖,则有4种吃法；如果有9块糖,则有6种吃法．既：吃糖的粒数：3 4 5 6 7 8 9 10 11 12．．．
糖的吃法：1 1 1 2 3 4 6
13 19．．．这样的数列,它和斐波拉契数列不同的是,每次都是跳过中间的那个数,再把第1、3两个数相加,等于第4个数.它的规律和斐波拉契数列既相似之处又有不同之处．■3.小明要上楼梯,他每次能向上走一级、两级或三级,如果楼梯有10级,他有几种不同的走法?
这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级,他有1种走法；如果楼梯有两级,他有2种走法；如果楼梯有三级,他有4种走法；如果有五级楼梯,他有7种走法．既：楼梯的级数：1 2 3 4
上楼梯的走法：1 2 4 7 13 24 44 81．．．这其中的规律就是,这里从第4个数开始,每一个数都等于它前面的3个数之和.
[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【该数列有很多奇妙的属性】[/font][/font]比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.…… (后一项与前一项之比1.…… )还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到.如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值.斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数.[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波那契数列别名】[/font][/font]斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.斐波那契数列一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 两个月后,生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对; －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数：0 1 2 3 4 5
12 兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233表中数字1,1,2,3,5,8－－－构成了一个数列.这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项. 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.）[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波那契数列通项公式的推导】[/font][/font]斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列.通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5,C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根)通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]则r+s=1, -rs=1n≥3时,有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]将以上n-2个式子相乘,得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r,F(1)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的[font color=#800080]等比数列[/font]的各项的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}四、大衍[font color=#800080]数列[/font]大衍[font color=#800080]数列[/font],来源于《乾坤谱》中对易传“[font color=#800080]大衍之数[/font]五十”的推论.
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－（n＊n－1）／2（n为奇数）、n＊n／2（n为偶数）
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