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[次短路径]
次短路径可以看作是k短路径问题的一种特殊情况，求k短路径有Yen算法等较为复杂的方法，对于次短路径，可以有更为简易的方法。下面介绍一种求两个顶点之间次短路径的解法。
我们要对一个有向赋权图(无向图每条边可以看作两条相反的有向边)的顶点S到T之间求次短路径，首先应求出S的单源最短路径。遍历有向图，标记出可以在最短路径上的边，加入集合K。然后枚举删除集合K中每条边，求从S到T的最短路径，记录每次求出的路径长度值，其最小值就是次短路径的长度。
在这里我们以为次短路径长度可以等于最短路径长度，如果想等，也可以看作是从S到T有不止一条最短路径。如果我们规定求从S到T大于最短路径长度的次短路径，则答案就是每次删边后大于原最短路径的S到T的最短路径长度的最小值。
用Dijkstra+堆求单源最短路径，则每次求最短路径时间复杂度为O(N*log(N+M) + M)，所以总的时间复杂度为O(N*M*log(N+M) + M^2)。该估计是较为悲观的，因为一般来说，在最短路径上的边的条数要远远小于M，所以实际效果要比预想的好。
[次小生成树]
类比上述次短路径求法，很容易想到一个“枚举删除最小生成树上的每条边，再求最小生成树”的直观解法。如果用Prim+堆，每次最小生成树时间复杂度为O(N*log(N+M) + M)，枚举删除有O(N)条边，时间复杂度就是O(N^2*log(N+M) + N*M)，当图很稠密时，接近O(N^3)。这种方法简易直观，但我们有一个更简单，而且效率更高的O(N^2+M)的解法，下面介绍这种方法。
首先求出原图最小生成树，记录权值之和为MinST。枚举添加每条不在最小生成树上的边(u,v)，加上以后一定会形成一个环。找到环上权值第二大的边(即除了(u,v)以外的权值最大的边)，把它删掉，计算当前生成树的权值之和。取所有枚举修改的生成树权值之和的最小值，就是次小生成树。
具体实现时，更简单的方法是从每个节点i遍历整个最小生成树，定义F[j]为从i到j的路径上最大边的权值。遍历图求出F[j]的值，然后对于添加每条不在最小生成树中的边(i,j)，新的生成树权值之和就是MinST + w(i,j) – F[j]，记录其最小值，则为次小生成树。
该算法的时间复杂度为O(N^2 + M)。由于只用求一次最小生成树，可以用最简单的Prim，时间复杂度为O(N^2)。算法的瓶颈不在求最小生成树，而在O(N^2+M)的枚举加边修改，所以用更好的最小生成树算法是没有必要的。
[次短路径与次小生成树的例题]
直接求次短路径。
稍微特殊的次短路径，允许边重复走。
求次小生成树的问题、
判断最小生成树是否唯一。
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简单多边形内Euclidean最短路径问题算法研究
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简单多边形内Euclidean最短路径问题算法研究
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SPFA单源最短路径算法讲解及实现
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SPFA的讲解、有一个简单的例子模拟了算法执行的整个过程、
代码实现及打印最淡路径
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{%username%}回复{%com_username%}{%time%}\
/*点击出现回复框*/
$(".respond_btn").on("click", function (e) {
$(this).parents(".rightLi").children(".respond_box").show();
e.stopPropagation();
$(".cancel_res").on("click", function (e) {
$(this).parents(".res_b").siblings(".res_area").val("");
$(this).parents(".respond_box").hide();
e.stopPropagation();
/*删除评论*/
$(".del_comment_c").on("click", function (e) {
var id = $(e.target).attr("id");
$.getJSON('/index.php/comment/do_invalid/' + id,
function (data) {
if (data.succ == 1) {
$(e.target).parents(".conLi").remove();
alert(data.msg);
$(".res_btn").click(function (e) {
var q = $("#form1").serializeArray();
console.log(q);
var res_area_r = $.trim($(".res_area_r").val());
if (res_area_r == '') {
$(".res_text").css({color: "red"});
$.post("/index.php/comment/do_comment_reply/", q,
function (data) {
if (data.succ == 1) {
var $target,
evt = e || window.
$target = $(evt.target || evt.srcElement);
var $dd = $target.parents('dd');
var $wrapReply = $dd.find('.respond_box');
console.log($wrapReply);
var mess = $(".res_area_r").val();
var str = str.replace(/{%header%}/g, data.header)
.replace(/{%href%}/g, 'http://' + window.location.host + '/user/' + data.username)
.replace(/{%username%}/g, data.username)
.replace(/{%com_username%}/g, _username)
.replace(/{%time%}/g, data.time)
.replace(/{%id%}/g, data.id)
.replace(/{%mess%}/g, mess);
$dd.after(str);
$(".respond_box").hide();
$(".res_area_r").val("");
$(".res_area").val("");
$wrapReply.hide();
alert(data.msg);
}, "json");
/*删除回复*/
$(".rightLi").on("click",'.del_comment_r', function (e) {
var id = $(e.target).attr("id");
$.getJSON('/index.php/comment/do_comment_del/' + id,
function (data) {
if (data.succ == 1) {
$(e.target).parent().parent().parent().parent().parent().remove();
$(e.target).parents('.res_list').remove()
alert(data.msg);
//填充回复
function KeyP(v) {
$(".res_area_r").val($.trim($(".res_area").val()));
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SPFA单源最短路径算法讲解及实现关键路径与无环加权有向图的最长路径
现在考虑一个这样的问题：你今天事情比较多，要洗衣服、做作业还要烧水洗澡，之后出去找朋友玩。假设洗衣服要20分钟，烧水要30分钟，做作业的话你把朋友做好的带回来抄，只需要10分钟。你想能早些去找朋友，但在那之前又必须将那些事做完，你要怎么安排呢？很容易想到，这三者同时进行：打好水开始烧水，衣服扔进洗衣机，回书桌抄作业...20分钟后作业写完了，衣服也洗好了，水还有10分钟水才烧开，利用这时间把洗好的衣服晾晒好，差不多水也烧开了，好了最后去洗澡。简直一气呵成，这是我们能花费的最少时间了，在这个例子中刚好等于所有任务中持续时间最长的那个。（你做完了作业才想起来去烧水，花费不止半小时吧）
由此引申出一个更为广泛的问题，给定一组需要完成的任务和每个任务所需的时间，以及一组关于任务完成的先后次序的优先级限制。在满足限制条件的前提下应该如何在若干相同的处理器上（数量不限，可并行处理多个任务）安排任务并在最短的时间内完成所有的任务？
此问题的提出主要是为了解决并行任务调度，使得完成所有任务的总时间最短。待处理的任务总数可能成百上千，因此需要一个算法帮我们快速规划一个调度方案：按照怎样的顺序执行这些任务，哪些任务可以同时处理，如何使得耗费的总时间最短？正好存在一种叫做“关键路径”的方法可以证明这个问题与无环加权有向图的最长路径问题等价。
关键路径：把路径上各个任务所持续的时间之和称为路径长度，从起点到终点的所有路径中，具有最长路径长度的路径称为关键路径，关键路径中的各个任务称为关键任务。上面的例子中，烧水就是个关键任务。
首先，按照关键路径的顺序执行任务，一定能保证所有的任务都能完成，且此时花费的总时间最短。有些活动顺序进行，有些活动并行进行。从起点到各个顶点，以至从起点到终点的有向路径可能不止一条，这些路径的长度也不尽相同。这若干条从起点到终点的路径可以看做一个生产过程的几条不同的生产线，必须每条生产线都完工，整个生产过程才算结束，也就是不论如何你都得等那条花费时间最长的流水线做完，整个生产才可能完工。现在由于可以同时处理多个任务，在花费时间最长的流水线工作过程中，其他流水线一定会提前完工，因此花费时间最长的流水线做完后，整个工程也随之竣工了。假设花费时间最长的那条流水线所用的时间是M，这就是说，不管怎么安排，都需要至少M的时间才能竣工，而这已经是最短时间了。
再举个例子，你和朋友们约好去某个地方聚餐。有些朋友到的比较早，有些朋友到得比较晚，但是不管怎么样，我们都要等到最后一个朋友到目的地，这样大家才算是聚齐了。
说了半天，求并行任务调度中的关键路径，实际上就是求从起点到终点的最长路径。
通过求解最长路径得到关键路径
通过上面的讨论，现在只需求最长路径，就能得到关键路径。我们知道任务调度必须要求图是无环的，因此可以使用求无环加权有向图的最短路径的方法求最长路径。
具体方法是：复制原图得到一个副本，将副本的所有边的权重取相反数，求副本的最短路径实际上就是原图的最长路径。
或者一个更为简单的方法：修改边的放松方法。改为distTo[v]
+ edge.weight() & distTo[w]（求最短路径的不等号是&），即：有比原来到w更长的路径就更新。同时初始化的时候，distTo[i]从原来的正无穷改成负无穷。
求无环加权有向图的最短路径，可以按照拓补排序依次放松顶点。详细地见我上一遍文章（拓补排序及无环加权有向图的最短路径），只需改前述两个地方，就能求得最长路径。
package Chap7;
import java.util.LinkedL
public class AcycliLP {
private DiEdge[] edgeTo;
private double[] distTo;
public AcycliLP(EdgeWeightedDiGraph&?& graph, int s) {
edgeTo = new DiEdge[graph.vertexNum()];
distTo = new double[graph.vertexNum()];
for (int i = 0; i & graph.vertexNum(); i++) {
distTo[i] = Double.NEGATIVE_INFINITY;
distTo[s] = 0.0;
TopoSort topo = new TopoSort(graph);
if (!topo.isDAG()) {
throw new RuntimeException(&该图存在有向环，本算法无法处理！&);
for (int v : topo.order()) {
relax(graph, v);
private void relax(EdgeWeightedDiGraph&?& graph, int v) {
for (DiEdge edge : graph.adj(v)) {
int w = edge.to();
if (distTo[v] + edge.weight() & distTo[w]) {
distTo[w] = distTo[v] + edge.weight();
edgeTo[w] =
public double distTo(int v) {
return distTo[v];
public boolean hasPathTo(int v) {
return distTo[v] != Double.NEGATIVE_INFINITY;
public Iterable&DiEdge& pathTo(int v) {
if (hasPathTo(v)) {
LinkedList&DiEdge& path = new LinkedList&&();
for (DiEdge edge = edgeTo[v]; edge != null; edge = edgeTo[edge.from()]) {
path.push(edge);
return null;
好，可以求得关键路径了。现在来看一个任务调度的例子，如何利用上面的实现来安排任务。
现在要先将其转换为图。由于有些工程不好看出哪个任务是最先开工的，哪个是收尾的任务（比如上图）。在不同的任务表中，每个任务都可能成为起点或终点。为了可以应付各种任务表，不妨设置虚拟的起点和终点。因为每个任务都可能最先开工，所以设置一个虚拟起点可以指向图中所有顶点，且权值都为0；因为每个顶点都可能作为收尾任务，因此所有顶点指向一个虚拟的终点，权值是这些顶点代表的任务所持续的时间。这样我们也不用在乎任务表中哪个任务最先开工、最后收尾的关系够不够明确了，设置了虚拟起点和终点后，只要求得从起点到终点的最长路径，中间走过的路径的就是各个任务执行的顺序。
加入虚拟顶点后，上面的任务表其实就是下图。
各条从s到t的路径中（想象成各条生产线），找出最长的那条（费时最长的那条生产线），这条0 -& 9 -& 6 -& 8 -& 2就是关键路径，按照这个顺序执行任务就能使得完成整个工程总时间最短。
我们用代码测试一下。
package Chap7;
public class CPM {
private AcycliLP
private int
private int
private int jobsN
public CPM(double[] jobDuration, int[][] successorAfter) {
jobsNum = jobDuration.length;
EdgeWeightedDiGraph&?& graph = new EdgeWeightedDiGraph&&(jobsNum + 2);
s = jobDuration.length;
t = s + 1;
for (int i = 0; i & jobsN i++) {
graph.addDiEdge(new DiEdge(s, i, 0.0));
graph.addDiEdge(new DiEdge(i, t, jobDuration[i]));
for (int j = 0; j & successorAfter[i].length; j++) {
int successor = successorAfter[i][j];
graph.addDiEdge(new DiEdge(i, successor, jobDuration[i]));
lp = new AcycliLP(graph, s);
public void printJobExecuteOrder() {
System.out.println(&各任务开始时间表：&);
for (int i = 0; i & jobsN i++) {
System.out.println(i + &: & + lp.distTo(i));
System.out.println(&\n按照以下顺序执行任务，开始时间相同的任务同时执行。&);
for (DiEdge edge : lp.pathTo(t)) {
if (edge.from() == s) {
System.out.print(edge.to());
else if (edge.to() == t) {
System.out.println();
System.out.print(& -& & + edge.to());
System.out.println(&总共需要& + lp.distTo(t));
public static void main(String[] args) {
double[] duration = {41.0, 51.0, 50.0, 36.0, 38.0, 45.0, 21.0, 32.0, 32.0, 29.0};
int[][] successorAfter = {{1, 7, 9}, {2}, {}, {}, {}, {}, {3, 8}, {3, 8}, {2}, {4, 6}};
CPM cpm = new CPM(duration, successorAfter);
cpm.printJobExecuteOrder();
根据任务表，给图增加边。
虚拟起点到所有顶点的边，且权值为0；所有顶点到虚拟终点的边，且权值为顶点任务持续时间。某任务v必须在一些任务之前完成的边，且权值为任务v的持续时长。比如0必须在1、7、9之前，则增加0 -& 1，0 -& 7，0 -& 9边，且权值都为任务0的持续时长。
接下来通过AcycliLP类求得关键路径，distTo[i]就表示i任务的开始时间，distTo[t]表示做完整个工程需要的最短时间；pathTo[i]表示执行到任务i的关键路径，自然pathTo[t]就是整个工程的关键路径。
上面的代码会打印如下结果：
各任务开始时间表：
按照以下顺序执行任务，开始时间相同的任务同时执行。
0 & 9 & 6 & 8 & 2
总共需要173.0
可以清楚地看到每个任务应该在什么时刻开始动工，只要按照0 -& 9 -& 6 -& 8 -& 2这样顺序执行就好。而且，有些任务开始时间一样，表示我们应该同时执行它们以节省时间。所以最后的方案是：0、5最先并同时执行，只要0做完了，就开始同时执行1、7、9，只要9做完了立刻同时执行4、6，一旦6做完了同时执行3、8，8只要完工紧接着做2，最后等待2也终于做完，整个工程竣工！需要的最短时间为173.0。
关键路径中的任务都是做完后就立刻执行下一个的（比如0执行完立刻执行9，9完工立刻执行6...），不用等待和它一起开工的其他任务也做完，因为这些任务在花费最长时间的这条关键路径上，它们迟早都能做完的。因此关键路径中，各个关键任务是不会有空闲和等待时间。如下图是上面任务表的执行流程
0 -& 9 -& 6 -& 8 -& 2一气呵成，中间毫无停顿。而且其他任务在这条生产线执行过程中均已完成！
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