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数学历史发展的五个阶段：初等数学时期文章摘要：初等数学时期（从公元前5世纪-公元17世纪）在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。… 【编者按】数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史。但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段。初等数学时期（从公元前5世纪-公元17世纪）在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。这个时期的数学发生了本质的变化，数学（主要是几何学）由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学，是现在中小学数学课程的内容。从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期，这段时期，古希腊形成了很多学派，广泛探讨哲学和自然科学问题，促进了数学理论的建立。在数学方面主要在初等几何取得了辉煌的成就，不仅创造了逻辑推理的演绎方法，而且使几何形成系统的理论。在数的研究方面，使算术应用过渡到理论讨论，建立了整除性理论，产生了数论。数学成就的精华是欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》。希腊数学的第二个时期，即亚历山大里亚时期（公元前3世纪到公元后6世纪）的数学特点是基础研究与应用紧密结合，几何学开始了定量的研究，阿基米德求面积与体积的计算接近于微积分的计算方法。丢番图发展了巴比伦的代数，采用丁一整套符号，使代数发展到一个新阶段。托勒密等人奠定了球面三角和平面三角的基础，公元6世纪，由于外族人侵和古希腊后期数学缺少活力，古希腊数学衰落了，数学发展的中心转移到了东方的中国、印度和阿拉伯及中亚国家。公元2-12世纪是印度数学高潮时期，印度人大大推进了算术和代数的进展.他们最先制定了现在世界通用的印度-阿拉伯数码（一般称为阿拉伯数码，实际上是印度人发明的，阿拉伯人只不过把这些数码传人了西方，欧洲人就把这些数码叫阿拉伯数码）及十进制记数法，正确使用了零，形成了整套计算技术，建立了使用分数、负数、无理数的代数学，给出了二次方程和不定方程的解法。从9世纪开始，外国数学发展的中心转向了阿拉伯和中亚细亚地区。阿拉伯数学起着承前启后的作用，阿拉伯人大量搜集、翻译古希腊的著作，并把这些著作及印度数码、计数法及中国的四大发明（火药、印刷术、指南针和造纸术）传到欧洲。他们发展了代数，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式，并把三角学发展成一门独立的系统的学科。1427年伊朗数学家阿尔·卡西求得圆周率的17位准确值。独立发展的中国数学从公元1世纪到13世纪一直处于世界领先地位.公元1世纪的《九章算术》的出现，标志中国古代数学体系的形成，书中有世界最先进的分数四则运算、各种面积、体积的计算、最早引入负数和线性方程组的解法。魏晋时的刘徽为中国古代数学体系奠定了理论基础，并创立了割圆术和重差术。南北朝的祖冲之用割圆术求得圆周率的7位准确值，领先世界一千多年。到宋元时期，中国古代数学取得—系列辉煌成果，秦九韶的剩余定理和高次方程的数值解法、贾宪和杨辉的二项系数表、李冶的天元术、朱世杰的四元术、朱世杰和沈括的等差级数求和都领先西方五百多年。明清以后，中国数学缓慢发展，逐渐落后西方。中世纪（5-15世纪）的欧洲，由于罗马和基督教的统治使欧洲数学一直处于落后状态。文艺复兴时期（15-17世纪上半叶）欧洲数学开始繁荣，他们吸取古希腊和东方数学的精华，取得了许多重要成就。在代数方面，韦达等系统地使用符号，使代数产生巨大变革。意大利数学家得到三次、四次方程的公式解法、韦达得到根与系数之间的关系定理、笛卡尔引入了待定系数原理、帕斯卡得到指数是正整数的二项式展开定理，牛顿又把指数推广到分数和实数。1654年，巴斯加、费尔马得到排列组合公式。17世纪上半叶，初等代数的理论和内容才全部完成了。初等代数的建立，标志着常量数学也就是初等数学时期的结束，接着是向高等数学-变量数学过渡。（内容摘自共读一本书-《数学史海览胜》）数学历史发展的五个阶段：变量数学时期文章摘要：笛卡尔通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程，然后通过方程的研究来揭示曲线的性质，并把变量、函数引进数学，把几何和代数密切地联系起来，这是数学史上的—个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。… 【编者按】数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史。但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段。变量数学时期（17世纪上半叶-19世纪20年代）这是社会生产力急剧增长、自然科学蓬勃发展的时期，变量数学是以笛卡尔的解析几何为开始的。1637年，笛卡尔通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程，然后通过方程的研究来揭示曲线的性质。并把变量、函数引进数学，把几何和代数密切地联系起来，这是数学史上的—个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶各自独立地建立了微积分，由于力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决等的影响，促使了微积分的产生。17世纪还创立了概率论和射影几何等新的数学学科，17世纪的另一特点是代数化的趋势，古希腊数学的主体是几何学，三角学从属于几何，代数问题也往往要用几何方法论证。17世纪代数比几何占有重要的地位，几何问题常常反过来用代数方法去解决。17世纪是变量数学的产生阶段，18世纪是变量数学发展阶段，在18世纪，英国开始工业革命，生产力迅速提高，刺激数学向前发展。法国和德国相继兴起的启蒙运动，反对封建制度和宗教权威，提倡民主自由，人类思想进一步解放，为数学的发展创造了良好的条件。微积分产生若干新科目，如微分方程、变分法、级数论、函数论等，形成广阔的分析领域。18世纪的欧洲大陆成为分析数学的中心，出现了贝努利家族、欧拉、拉格朗日等一大批著名数学家，18世纪的数学有三个特征：第一是数学家从物理、力学、天文学的研究中发现并创立了许多数学新分支，如变分法、无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何和高等代数等；第二个特征是自古以来的几何论证方法在17世纪被代数的方法所代替，到18世纪又被分析方法代替了，代数也变成从属于数学分析；第三个特征是直觉性和经验性.因为缺乏严密逻辑和理论基础，由物理见解所指引，所以是直观的，又因为领域太广阔，还来不及打基础，因而是不严密的。数学分析中任何一个比较细微的问题，如级数和积分的收敛性、微分积分的次序交换、高阶微分的使用，以及微分方程解的存在性问题，几乎无人问津，结果出现谬误越来越多的混乱局面.为此，到19世纪在德国数学家的倡导下，对数学进行了一场批判性的检查运动。这场运动不仅使数学奠定了坚实的基础，而且产生了公理化方法和许多新颖学科。（内容摘自共读一本书-《数学史海览胜》）数学历史发展的五个阶段：近代数学时期文章摘要：近代数学时期（19世纪20年代-20世纪40年代）是数学的全面发展和成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学绝大多数分支在这个时期都已形成，整个数学呈现全面繁荣的景象。 【编者按】数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史。但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段。近代数学时期（19世纪20年代-20世纪40年代）近代数学时期是数学的全面发展和成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学绝大多数分支在这个时期都已形成，整个数学呈现全面繁荣的景象。变量数学时期兴起的许多数学分支，蓬勃地向前发展，内容不断充实、扩大，方法不断地更新。到19世纪初，数学分析形成了广阔的分析领域，数学的许多新分支像雨后春笋一样出现，数学园地已丰茂成林，数学的宝藏似乎已挖掘殆尽。但从19世纪20年代以后，数学又发生了一系列的革命性的变化，这就是几何的非欧化-罗巴切夫斯基几何的出现；代数的抽象化-伽罗华群论开创了抽象代数；分析的严格化-波尔察诺和柯西奠定了微积分的严格逻辑基础。数学又迈进了一个新的时期-近代数学时期。在这一时期，新思想、新概念、新方法不断涌现。19世纪是几何复兴时期，继罗巴切夫斯基几何之后，又出现了更广泛的一类非欧几何-黎曼几何，并产生拓扑流形的概念。克莱因提出爱尔朗根纲领，用群的观点统一了各种度量几何，在这个时期还产生了一系列新的几何分支-画法几何、射影几何、微分几伺和拓扑学。希尔伯特的《几何基础》不仅使古老的几何-欧几里得几何的基础得到完善，而且开始了数学公理化运动。在代数方面，不仅开创了抽象代数，而且产生了以方程论为主要内容的、包括行列式与矩阵理论、二次型和线性变换在内的高等代数。数论方面产生了解析数论，分析方面产生了微分方程、积分方程、复变函数沦、实变函数论和泛函分析、分析的严格化是从波尔察诺和柯西开始的，他们用极限概念给出了导数和连续的定义。1856年外尔斯特拉斯发展了柯西极限的概念，用（ε-δ）语言给出了函数连续性的定义，确定了一致性收敛的概念。1872年德国数学家戴德金、康托尔、外尔斯特拉斯建立了实数的严格定义。1881年皮亚诺给出了自然数的公理化方法，为分析的算术化提供了条件。从此，数学分析的理论有了精确和坚实的基础。19世纪末，关于数学基础的讨论形成了三大学派，以罗素为代表的逻辑主义学派、以布劳维尔为代表的直觉主义学派和以希尔伯特为代表的形式主义学派，三大学派激烈论战，对数学基础进行了深入的考察。集合论的建立、数理逻辑、罗素悖论、哥德尔定理的出现更深化了数学基础的研究。这个时期，不仅数学成果硕果累累，分支众多，分科越来越细，而且人才辈出。没有哪个时期像近代数学时期那样出现这么多杰出的数学巨人，并形成许多著名的学派，如法国数学学派、哥庭根学派和后来崛起的波兰学派、彼得堡学派、莫斯科学派以及布尔巴基学派。（内容摘自共读一本书-《数学史海览胜》）数学历史发展的五个阶段：现代数学时期文章摘要：第二次世界大战以后，科学技术突飞猛进，原子能的利用、电子计算机的发明、空间技术的发展，促使数学发生剧烈的变化。数学的三大特点：高度的抽象性、体系的严谨性和应用的广泛性更明显地表露出来。电子计算机的出现产生了计算机科学，同时也产生了许多边缘学科，如人工智能、机器翻译、机器证明、图形识… 【编者按】数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史。但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段。现代数学时期（20世纪40年代以来）第二次世界大战以后，科学技术突飞猛进，原子能的利用、电子计算机的发明、空间技术的发展，促使数学发生剧烈的变化。数学的三大特点：高度的抽象性、体系的严谨性和应用的广泛性更明显地表露出来。电子计算机的出现产生了计算机科学，同时也产生了许多边缘学科，如人工智能、机器翻译、机器证明、图形识别等。应用数学涌现出种类繁多的新分支，如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、系统论、控制论和生物数学、经济数学等。纯粹数学不断向纵深发展，集合论的观点渗透到各个领域，公理化方法日臻完善，数理逻辑和数学基础已成为整个数学大厦的基础，而现代数学理论的三大支柱是泛函分析、抽象代数和拓扑学，代数拓扑和微分拓扑成为数学的主流。20世纪的数学出现了三种新趋势：一是不同分支交错发展。多种理论高度综合，数学逐步走向统一的趋势。自从克莱因用“群”的观点统一了当时的各种度量几何以后，许多数学家试图提出各种不同的方案来统一整个数学。1930年美国的毕尔霍夫提出“格”的概念统一代数系统的各种理论和方法，1938年法国布尔巴基学派提出“数学结构”的观点来统一整个数学，1948年爱伦伯克和桑·麦克伦提出用范畴和函子理论作为统一数学的基础。二是边缘学科、综合性学科和交叉学科与日俱增的趋势。现代数学在代数、几何、分析等原有基础学科的邻接领域产生出一系列的边缘学科。综合性学科是以多学科的理论知识和方法对特定的数学对象进行研究。比如，随机函数的微分方程研究产生了概率论和分析学的综合性学科分支-随机微分方程。数学与其他学科产生许多交叉学科，如计算物理学、生物数学、经济数学、数理语言学、计算化学等。三是数学的表现形式、对象、内容和方法日益抽象化的趋势。代数由方程求解的一般研究引出群论并发展成抽象代数学，使代数学转向对代数系统结构的研究。几何由非欧几何的发现拓广了人们的空间观念，形成了对各种抽象空间的研究。分析学由于集合论、测度论和点集拓扑形成一般抽象化的势头，使分析学的基础发生重大变化，经典分析的面貌大为改观。不仅数学表现形式日益抽象，而且很多抽象的性质、结构、形式又成为数学研究的对象。现代数学研究的对象包括各种代数结构、几何结构、还包括同态同调等各种关系以及各种性质。甚至各种属性、各种关系的类和属性以至转移、映照等等也都成为数学所研究的纯粹的“量”。数学研究的对象的这种不断扩大与日益抽象的趋势，正是科学研究的不断深入、扩大所引起的，也是现代数学进展的重大标志。60年代以后数学界的思想异常活跃，出现了多种新思潮-非标准分析、模糊数学、突变理论和泛系理论等。非标准分析使无穷小重返数坛，微积分的基础又得到新发展。突变理论使数学由研究连续变量和平滑过程发展到研究不连续（突变）过程。模糊数学使数学由研究精确领域发展到研究模糊领域和模拟人脑功能的领域。泛系理论应用广泛，在科学方法、思维科学数学化方面有重要意义。现代科学技术和生产实践将向数学提出更多、更复杂的新课题，必将产生许多更深刻的数学思想和更强有力的数学方法，数学将向更高、更广、更深的领域去探索、去开发，成为分析和理解世界上各种现象的工具和手段。上面我们按照历史的线索，按时间顺序，简要叙述了整个数学发展的历史。为了对数学的发展获得一个全面、客观而准确的整体观念，下面我们再以区域线索、数形发展线索、数学思想演变的线索、数学方法论的线索这四个方面来进一步提示数学发展的概貌。（内容摘自共读一本书-《数学史海览胜》）数学的产生、发展与前景漫谈[1]文章摘要：数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。… 数学的产生、发展与前景漫谈(一)诚如一切科学的产生一样，数学产生于人类社会的实践，而得益于人类独特的发达的大脑。伴随着生产、生活的需要，模糊的数、形的概念，在原始人头脑中日渐形成了。这个过程恐怕是很漫长的吧。人们先认识了与实体相联系的抽象的数，如提及一、二、五时，他们脑海中浮现出的是与之对照的实物：一个人、二只手、五个手指之类。再往后，与实体相脱离的真正抽象的数才被确定下来。这时最早的数学分支之一“算术”产生了。与此进程平行，人类在实践中也逐渐意识到形的概念。于是几何学知识也日渐积累起来。在我国，早在西周时期，我们的祖先就已获得了许多这方面的感性认识。对著名的勾股定理的认识就可上推到这一时期。但这时，人们对这些知识的认识大都还是感性的、零散的，还没有上升为系统的科学。这一转变完成于古希腊。一方面，代数学鼻祖丢番图的《算术》标志着算术向初等数学的转变，而进一步的转变一直到韦达才真正完成。用字母代替具体数字，字母间的运算代替数字间的运算，这是算术向代数转变所完成的本质的、关键的一步。而这也同时意味着数学在抽象性上又向前迈进了一步。在另一方面，欧几里得的《几何原本》才真正地在数学发展史上树起第一块伟大的丰碑。不知有多少后人曾对着这座富丽堂皇的数学殿堂拱手膜拜，以至于不少哲学家都要把它供奉为绝对正确认识的楷模与典范。于是在非欧几何诞生前，它被带上了耀目的“绝对真理”的光环。到这时，数和形的基本概念在数学园地中已深深扎下了根，而此后数学的进一步发展，就是以数形为主旋律奏响的。早期的代数、几何，基本上是独立发展的，直到17世纪，法国数学家笛卡尔才在两者之间搭起友谊之桥：解析几何。解析几何用代数方法研究几何问题，一方面使代数、几何密切了联系，相互促进了彼此的发展。另一方面也使人们的耳目为之一新。与此同时，变量的概念被引入了。而正因这变量的引入，运动的观念进入了数学，而这终于导致了数学史上的一次真正的革命：微积分在牛顿、莱布尼兹手中诞生了。微积分一出现，就成为数学家手中无比锐利的工具。伴随它产生了一系列的研究函数的数学分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的内容。但是，产生于牛顿、莱布尼兹手中的微积分是先天不足。十九世纪在德国数学家的倡导下对其进行了一场批判性的检查运动。经过柯西、维尔斯特拉斯、康托尔等人的努力，终于使其奠定了坚实的基础。而使其在数学中占有了崇高的一席之地。分析、代数、几何三足鼎立，成了数学的三大基础，即旧三基。自然，与上述进程平行的阶段上，代数与几何的发展并未停滞。事实上，从欧洲文艺复兴以来，它们一直大踏步地前进着。非欧几何的创立，是几何学上的一次革命。它不仅摘掉了带在欧氏几何颈上的绝对真理的光环，而且对人们的观念造成了极大的冲击。相对论的创立也得益于此。作为欧氏几何更高程度上的延拓，射影几何、位置几何(或称拓扑几何)也先后诞生并获得了极大发展。代数方面，人们不再满足于字母间的运算，而把兴趣转到对行列式、矩阵、二次型的研究上来。这就完成了初等代数向高等代数的转化。而代数学方面最大的变革却来自天才数学家，被视为数学疯子的伽罗华所创立的群论。当时，过早的抽象落到了聋子的耳朵里，甚至连当时最伟大的数学家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想却对现代数学的发展产生了不可估计的影响。他的群论观点，宣布了抽象代数的诞生。而今，抽象代数研究的课题已包括群论、环论、域论、格等，而成为现代数学的新三基之一。与此同时，旧三基之间互相渗透又产生出一系列分支，如代数几何、微分几何等。回视数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。数学的萌芽时期，经历了最为漫长、久远的时代，而成果仅是些零散琐碎的算术、几何知识的积累。从公元前5世纪的古希腊时期开始，经东方时期、欧洲文艺复兴时期，数学的发展逐渐步入了快行道。在代数、几何方面都有大幅度长进。但这已经历了两千年之久啊!18世纪，随着分析方法的产生，数学的发展进一步加速了。这一时期，被称为发明时期，其开创领域之广阔，是前无古人的。数学惊人的新的处女地被垦出来了。但这些工作大都是粗糙的、不严密的。19世纪，经过自我反思的批判运动，数学的基础变得更加坚实牢固。上世纪形成的分支趋于成熟，新颖学科又不断涌现，如实变函数、点集拓扑、抽象代数……而该世纪末，康托尔创立的无穷集合论更为现代数学的发展注入了新的活力。1900年，国际数学大会的召开宣布一个新的纪元开始了。历史步伐跨进了20世纪。数学的发展又获得了长足的进展。实变函数、抽象代数、高等几何很快发展成熟。另一门极富综合性的学科“泛函分析”宣告诞生了。它一问世，就获得迅速发展。很快，它就与高等几何、抽象代数一起，构成了现代数学的新三基。到60年代，数学发展又经历了几次大的突破。模糊数学、突变理论、非标准分析先后问世，使数学内容更加精彩纷呈。尤其是模糊数学从问世到现在不足几十年的时间就已渗透入几乎所有的数学分支，大大推动了数学的进一步发展。与理论数学的发展相对照，20世纪应用数学亦获得长足发展。产生于十八世纪的概率论，要此世纪又产生出新的数理统计，而后者已在极广泛的社会领域内大显身手了。文章摘要：数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。… 数学的产生、发展与前景漫谈(二)如果把数学比作一棵大树，那么这棵树并不只是长得更高、伸出更多的枝叉。在另一方面，这棵树还把自己的根扎得更深了。也就是说，数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。而围绕这一基础引发了一场激烈的争论，这导致了三雄争霸的局面。也说是著名的三大数学流派之争。直觉主义者代表人物布鲁维、形式主义者代表人物希尔伯特、逻辑主义者代表人物罗素，为解决集合论中的悖论各显身手。虽然后来研究证明，只执一端的任何一方的道路都是行不通的，但他们在各自领地内开创的数学成果却极大地丰富了数学的内容，并大大推动了数学的发展。如罗素的逻辑主义理论就对日后电子计算机的发展铺下了一块重要的基石。数学的发展还不单是内容上的增加，更重要的却是体现在新思想、新观点、新方法的出现上。如解析几何、非欧几何、群论带给数学的都远不只是新的内容，而是新思想、新观点的引入。它们对数学发展的推动力是无可估量的。新方法的引入也具有同等重要的作用。1899年，希尔伯特对欧氏几何进行了一番大的整容，而创立出欧氏几何的希尔伯特体系，这不但使欧氏几何真正严谨化，更重要的是带给数学界以现代意义上的公理化方法。在他的理论中，我们常见的几何图形不再是必须的了，而只降为一种直观模型而已。这样，几何学在抽象程度方面又大大迈进了一步。他提出的公理化方法的三个基本要求：相容性（即无矛盾性）、完备性、独立性，对后来数学的发展具有重要的指导意义。许多分支在公理化方法指导下，变得更加严谨，而且获得了飞速发展。其中一个突出的例子是前苏联数学家柯尔莫戈罗夫创立的公理化概率体系，大大促进了概率论的研究。结构主义的新观点在二十世纪亦成为一大热门。法国一批年轻数学家（即著名的布尔巴基学派）将其引入数学领域，开创结构主义数学，将繁杂无序的众多数学分支全纳入一个完整、严谨的结构体系。结构理论为数学的发展提供了有力的工具。到20世纪60年代，结构主义数学达到了全盛时期，布尔巴基学派也因而声名大振。新方法的引入，促成了数学逻辑体系的严谨，也大大推动了数学的发展。同时，新工具的出现，在现代数学的进程中也立下了一番汗马功劳。以前，令数学家颇为自得的是：他们无须像物理学家、化学家那样要依赖于实验仪器，他们一支笔、几张纸，加上一个数学家的头脑，就可以在数学园地中纵横驰骋。但在1976年，美国两位数学家却借助于电子计算机，彻底解决了数学史上一直悬而未决的世界难题：四色猜想问题。这事马上轰动了数学界。电子计算机这不速之客的闯入，宣告了数学骑士生涯的终结。无怪乎许多数学家要为自己骑士梦的破灭而哀叹了。而今，电子计算机在数学中已进一步大显身手。它的出现大大加速了应用数学的研究，也使数学家从繁琐的数学计算中解脱出来。而且，应用它证明多类数学问题的工作已在进展之中。可以预料，不久的将来，许多问题的机械论证托付给此“君”就行了，而数学家可以进一步将数学才智用到更富创造性的领地上去。推动数学发展的动力总起来说，有两个方面。一是来自人类生产、生活的需要，即人类的社会实践活动。从数学史上看，数学的产生来源、归结于此，这是不容置疑的。不管我们现在如何轻视早期的数学萌芽，都不能否认一个基本事实：没有那时的数学萌芽，就根本不会有今日辉煌的数学大厦。它首先促成了初等数学的产生，使数学慢慢走入正轨。而且，更重要的一点在于：它常常是数学新思想、新观点、新方法、新工具、新分支产生的源泉。而这些一旦产生，就会促使数学的面目为之焕然一新。运动观点、微积分工具……的引入，都莫不如是。它们直接来自人类的社会实践活动，却使数学大受其惠。因而我们可以说，人类的社会实践活动是数学发展的根本动力。而且现在随着电子计算机的广泛应用，与实践直接相连的应用数学异军突起，也为现代数学的发展注入了一股新鲜血液。另一推动数学发展的重要动力来自数学自身发展的规律性，即数学的自律性。数学中一旦引入了新概念、新方法等就形成一个比较自足的完整结构，数学家就可以在其中自由驰骋，运用严密的数学逻辑推理，推演出一个个完整的数学体系。在简单的数学基石之上，像变魔术般建起一座座巍峨的数学大厦。这种借助逻辑推理的方法是如此之有效，以至于给人们（包括很多数学家）造成一种错觉：似乎只有这才成了推动数学发展的最重要，甚或是唯一动力。诚然，数学自律性对数学发展的推动力无比巨大，事实上，现代数学的蓬勃发展，就与希尔伯特23问题休戚相关。一个数学问题的解决，推动数学向前迈一个台阶，也绝非耸人听闻之事。但是，片面夸大其作用，使其君临一切却是荒谬的。我们应对上述两种作用作具体之分析。前者，作为根本动力，提供数学进一步发展的前提与基础（相当于矛盾的普遍性）。一般说来，它处于矛盾的次要方面，但是一旦它上升为矛盾的主要方面，则意味着数学的发展达到了一个新的质变飞跃期。（微积分的产生就是一个极好的例证）而后者，作为重要动力，处于矛盾的特殊性位置上。事物的发展通常是稳定的，主要处于量变的积累期，而真正的质变期却是短暂的（虽然它是极重要的），因此，恰恰因此，数学自律性作为矛盾的特殊性才通常坐到了“矛盾主要方面”的交椅上。可以这么想：社会实践活动作为推动力，主要充当了一个做好事不留名的雷锋形象。只是在数学发展中面临突破的质变期时，才在旁边给予极有力的一下扶持。依赖于这一扶持，数学才获得了第一推动力，才在自身发展的轨道上凭借惯性（即数学的自律性）飞速旋转起来。如果我们只是因为助人者做完好事未炫耀，而完全抹杀掉其功绩，就未免太薄情寡意了吧。文章摘要：数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。… 数学的产生、发展与前景漫谈(三)数学，其基本特点有三个：抽象性、逻辑推理的严密性、应用的广泛性。现代数学的发展，使这些基本特点愈加明显。一切科学都具有抽象性的特点，但数学的高度抽象性却高于一切其它科学。想想我们今日数学达到的抽象程度吧。代数的研究对象从数字、字母、矩阵到符号系统;几何从只注重现实图形到完全抛开具体图形;分析从对单个具体函数的研究到把函数看作元素……这步步抽象，终于使其它科学望尘莫及、自叹弗如了。事实上，只要想想我们泛函中所学的“距离”“抽象空间”的概念就该对现代数学的抽象程度有些认识了。数学的高度抽象性，一方面使我们学数学的人为之自傲。另一方面也把数学推到了一个尴尬境地。在与常人交谈中，谈及本门学科时，我们不得不成了话语最少之人。是呀，有多少人会理解我们那艰奥精深的数学术语，并表示兴趣呢?无怪乎，许多现代数学家常为有那么多受到教育之人竟不知其学科的存在而伤心、哀叹了。严密的逻辑推理，是数学从产生起就独有的特点。在现代数学中这种严密性是进一步加强了。欧氏几何作为第一个严密的数学逻辑推理体系，曾为多少人奉为楷模啊!而在现代，却被人找出这漏洞、那缺陷。原来它身上竟有那么多的瑕疵呢。这是前人梦想不到的吧。只是在希尔伯特的公理体系中，我们才真正见识了现代数学的严密程度。学过这门科的只要想想当时是如何论证“直线外必有点存在”等诸如此类的问题就可窥一斑而见全豹，不用多说了。数学从它产生那日起，就成为人类征服自然的有力武器，而被广泛应用。没有微积分，就没有牛顿力学的完善，没有非欧几何，就不会有广义相对论的诞生……诸如此类的例子不胜枚举。简单说，没有数学的发展，就绝没有现代的自然科学。这是极显然的结论吧。到了现代这种应用的广泛性就更达到空前绝后的程度。数学早已不限于在自然科学中显身手，它已广泛地渗透进了各类社会科学之中。不但现代经济学、生物学、地理，甚至历史都已脱不开数学的侵入。统筹学（包括线性规化、博奕论、排队论等）的出现，使各种社会科学更是逃脱不了数学的诱惑了。这种广泛性的另一表现是，连最抽象的数学分支，如数论、抽象代数、泛函等都在实践中获得了极广泛的应用。恩格斯早就预言：“任何一门科学的真正完善在于数学工具的广泛应用。”而今科学的发展终于是“不可一日无此君了”。数学领地的空前扩展，应用范围的空前扩大，很自然地使我们把它推到“科学之王”的位子上。是呀，学数学的可自傲地问：谁离得开我们数学呢?也许会有那么一个声音反驳道：“你们不过是我们手中使唤的工具罢了，至多充当一个高等婢女的角色而已。”让我们学数学的把这种蔑视我们的腔调抛到一边，别去理会吧。否则，岂不太长他人威风，灭自家之锐气了?既高度分化、又高度综合是现代科学发展的最基本趋势，数学发展也是如此。对于数和形概念的不断深化，形成了各式各样的边缘学科，基础学科相互联姻又产生出众多综合性学科。还是把数学以树为喻。数与形的概念就是数学这棵大树最基本的主干，在其不断生长过程中，树干不断变粗、长高，并伸展出越来越多的分支（而今处于数学核心的分支就已在一百个以上，加之各类应用数学分支，就达几百个之多了）。同时，树根不断向深处发展，使数学的基础更加坚实牢靠，各分支间已相互联姻，使整个数学的发展呈现出整体化趋势。数学的应用是如此之广泛，那么它的有效性程度如何呢?就是说它的基础是否绝对牢靠呢?这可是一个关系重大的问题。论证数学体系的完备性、无矛盾性成为数学基础研究的大课题。微积分经柯西、康托尔等人的努力，将基础建立在实数理论之上，从而被算术化了。非欧几何的无矛盾性可转化成欧氏几何的无矛盾性，再借助于解析几何的观点，几何理论也被算术化了。特别是皮亚诺为数学算术化建立的算术公理系统，简洁而优美，由此可推出自然数系统，进而得到实数系统。这样就给数学家展示了一幅自我陶醉的前景：人们只要从皮亚诺算术公理系统出发，借助集合论概念，便可建造整个数学的大厦。因而，在1900年，庞加莱就曾兴高采烈宣布说：“……今天，我们可以说绝对的严格已经达到了……”。但好景不长，罗素悖论，导致了第三次数学危机。危机过后，带在数学上的绝对真理的光环是被永久摘除了。本世纪最出色思想之一哥德尔不可判定性定理宣告了尽善尽美数学的破产。但数学的发展步伐并不因此而止步。红日初升，其道大光。数学大业前途似海，来日方长!美哉乎数学，与天不老，壮哉乎数学，与国无疆!数学奇趣 “π”趣史[1]文章摘要：π一直就像一个迷，令人感到神秘不解。数学家们都认为π是个无理数，也就是说，如果你用圆周长除以直径，那么你得出的数值肯定是十进位的小数，并且这个数字将无休无止地延续下去。π的前几位数值是3.……这一数字是除不尽的。对于π的好奇既成了一种宗教，又成为我们文化的重要组成。… 至今许多人都能回想起第一次遇到π的情景，也就是那个非常单调的公式：C=πD，A=πR2.这里的C代表圆周长，D代表直径，A代表面积，R代表半径。π一直就像一个迷，令人感到神秘不解。简单地说，如果你用圆形的周长除以圆周的直径，你得出的数字就是π.任何圆周的周长都近似于圆形直径的3倍，简单吗?但数学家们都认为π是个无理数，也就是说，如果你用圆周长除以直径，那么你得出的数值肯定是十进位的小数，并且这个数字将无休无止地延续下去。π的前几位数值是3.……这一数字是除不尽的。对于π的好奇既成了一种宗教，又成为我们文化的重要组成。人类已经出版过许多以π为主题的书籍，例如，《π的乐趣》、《π的历史》等，此外还有许多网站也以π为专题，如最著名的一个网站www.cecm.sfu.ca/pi.在一部叫《π》的影片里，一位数学天才因为在股市里苦心寻找数字的规律而发疯了。虽然这部影片是虚构的，但是人类对一些数值的无尽追求却不是虚构的。几千年来，π已经使许多好求精密的大脑感到痛苦不堪。1999年，一位日本计算机科学家将π的数值推算至小数点后2060亿位数。π的数值推算得如此精确，除了用于检验计算机是否精确和数学理论研究之外，并无实际用处。令人意外的是，这位日本科学家却有着不同的观点，他说：“π和珠穆朗玛峰一样都是客观存在，我想精确测算出其数值，因为我无法回避它的存在。”“竭尽法” 早期的π历史上π首次出现于埃及。1858年，苏格兰一位古董商偶然发现了写在古埃及莎草纸上的π数值。莎草纸的主人从一开始就吹嘘自己发现的重要性，并有一个解式：“将（圆的）直径切除1/9，用余数建立一个正方形，这个正方形的面积和该圆的面积相等。”古代巴比伦人计算出π的数值为31/7，《圣经》中记载，为了测量所罗门修建一个圆形容器，使用的π的数值为3.但是希腊人还想进一步计算出π的精确数值，于是他们在一个圆内绘出一个直线多边形，这个多边形的边越多，其形状也就越接近于圆。希腊人称这种计算方法叫“竭尽法”，事实上也确实让不少数学家精疲力竭。阿基米德的几何计算结果的寿命要长一些，他通过一个96边形估算出π的数值在3 至3.17之间。在以后的700年间，这个数值一直都是最精确的数值，没有人能够取得进一步成就。到了公元5世纪，中国数学和天文学家祖冲之和他的儿子在一个圆形里绘出了有24576条边的多边形，算出圆周率值在3..1415927之间，这样才将π的数值又向前推进了一步。长期以来，π困扰了许多聪明的大脑。希腊人将这种测量π的方法称为圆变方形测量法。但问题是，如果给你一个直尺和一架圆规，你能绘出面积相等的正方形和圆形吗?π就是解决这个问题的关键。希腊科学家、哲学家阿那克萨哥拉由于广泛宣传太阳并不是上帝而身陷囹圄。为了打发狱中时光，他不断地想将圆形用最近似的方形表示出来。几个世纪之后，哲学家托马斯·霍布斯声称已经解决了这个问题，后来的实践证明是他自己算错了。达·芬奇计算π数值的方法既简单又新颖。他找来一个圆柱体，其高度约为半径的一半（你可以用扁圆罐头盒来做），将它立起来滚动一周，它滚过的区域就是一个长方形，其面积大致与圆柱体的圆形面积相等。但是这种方法还是太粗略了，因此后人还是继续寻找新的精确方法。1610年，荷兰人为π建立了一座不可思议的纪念碑。据说，在莱顿的彼得教堂的墓地里有一块墓碑，上面刻有2-8-8字样，代表了由荷兰数学家鲁道夫·冯·瑟伦计算出的π的第33到35位数。这位数学家在将π的数值计算到第20位时，得出结论：“任何愿意精确计算π值的人都能将其数值再向前推进一步。”但愿意继续做下去的人只有他一个。他用自己余生的14年将π值推进到第35位数。传说中那块铭记瑟伦的成就的墓碑早已不在，他付出的劳动也由于新发明微积分而黯然失色。确立与徘徊1665年，伦敦瘟疫流行，伊萨克·牛顿只好休学养病。在此期间他发明了微积分，主要用于计算曲线。同时，他还潜心研究π的数值，后来他承认说：“这个小数值确实让我着迷，难以自拔，我对π的数值进行了无数次计算。”当他发明微积分后，他终于创造出一种新的计算π数值的方法。不久，科学家们就将π值不断向前推进。1706年，π的数值已经扩展到小数点后100位。也就是在这一年，一位英国科学家用希腊字母对π进行了命名，这样π就有了今天的符号。（科学家们好像觉得π还不够难似的，π被定义为“直径乘以此值能够得出圆周长的数值”。）到18世纪后期，将圆形无限变成多边形的方法正式退出了历史舞台。文章摘要：π一直就像一个迷，令人感到神秘不解。数学家们都认为π是个无理数，也就是说，如果你用圆周长除以直径，那么你得出的数值肯定是十进位的小数，并且这个数字将无休无止地延续下去。π的前几位数值是3.……这一数字是除不尽的。对于π的好奇既成了一种宗教，又成为我们文化的重要组成。… 虽然目前科学家已经计算出π的前2060亿位数值，但是我们在做普通计算时，只取π的前三位数值，即3.14。使用π值的小数点后10位数，你计算出的地球周长的误差只有1英寸。如此看来，还有必要将π值再精确一步吗?在整个19世纪，人们还是希望计算出π的最后数值。当时汉堡有一位数学天才约翰·达斯能够心算出两个八位数的乘积值。他在计算时还能够做到一算就是几个小时，累了就睡觉，醒来时能够在睡前的基础上接着再计算下去。1844年，这位天才开始计算π的数值，在两个月之内，他将π值又向前推进到小数点后第205位。另一位数学天才威利姆·尚克则凭着自己手中的一支笔、一张纸，用了近20年时间，将π值进一步推进至小数点后707位。这一纪录一直保持到20世纪，无人能够刷新。遗憾的是，后人经过检验发现，这位天才的计算结果中小数点后第527位数字有误，20年的辛苦工作竟然得出这么个结果，不能不令人扼腕。在浩瀚的宇宙里，圆形一个接一个，小至结婚戒指，大到星际光环，π值始终不变。惟独美国的印第安纳州或该州议会要与人不一样。事情的起因源自1897年，该州一位名叫埃德温·古德温的医生声称“超自然力量教给他一种测量圆形的最好方法……”，其实他的所谓好办法仍只不过是将圆形变成无限的多边形。虽然早在1882年一位德国数学家已经证明π是永远除不尽的，也就是说不论你将圆形中的多边形的边长定得多么小，它永远是多边形，不会成为真正的圆形。但古德温偏不信，他开始着手改变这一不可能改变的事实。他确实把他的圆变成了方形，尽管他不得不采用值为9.2376的π，这几乎是π实际值的3倍。古德温将他的计算结果发表在《美国数学月刊》上，并报请政府对他的这个π予以批准承认，他甚至说服地方议员在该州下院通过一个法案，将自己的研究成果无偿提供给各个学校使用。由于他的议案里充满了数学术语，把下院的议员全搞懵了，因此议案得以顺利通过。但科学毕竟是科学，即便是政客也无法把一个数字强加给每个人。很快，有一位数学教授戳穿了古德温的荒谬。更令人啼笑皆非的是，严重的官僚主义使该法案拖了很长时间还没有得到上院的批准，算是阴错阳差，少了一个笑话。计算机时代的ππ在令数学家头疼了几个世纪之后，终于在本世纪遇上了强大的对手-计算机。计算机最早出现在第二次世界大战期间，主要用于计算弹道轨迹。当时的计算机重达30吨，工作一小时需缴电费650美元。1949年，计算机曾对π值进行了长达70小时的计算，将其精确到小数点后2037位。但是令数学家大为挠头的是，他们仍然无法从中找到可循的规律。1967年，计算机将π值精确到小数点后50万位数，六年后又进一步进展到100万位，1983年，精确到1600万位。计算机的功能全在作为程序输进去的公式的好坏。首先使计算机计算π值成为可能的是20世纪最非凡的头脑之一斯里尼瓦萨·拉马鲁詹。他是印度南部一名穷职员，但他具有超人的数学天赋，并且始终自学不辍。1913年，他将自己的研究成果寄给了剑桥大学的哈迪。哈迪慧眼识天才，力邀他来剑桥从事研究工作。次年，拉马鲁詹便发表了自己的论文，披露了当时计算π值最快的公式。1984年，一对俄罗斯兄弟使用超级计算机将π值推进到小数点后10亿位，后来他们还获得了第一届麦克阿瑟基金“天才奖”。兄弟俩中的格利高里很有数学天赋，他在高中时就发表过重要的数学论文，他们的超级计算机能够永无休止地计算π数值。格利高里后来评论说：“计算π值是非常合适的试验计算机性能的测试工具。”为了计算π数值，兄弟俩从全国采购计算机部件，组装了世界上最强大的计算机。计算机的缆线绕满了各个房间，工作时就像个大加热器，即使使用十几台风扇来降温，室内温度仍然高达华氏90度。π根本就是无章可循的一长串数字，但是对π感兴趣的人却越来越多。每年的3月14日是旧金山的π节。下午1：59分，人们都要绕着当地的科学博物馆绕行3.14圈，同时嘴里还吃着各种饼，因为饼（pie）在英语里与π（pi）同音。在美国麻省理工学院，每年秋季足球比赛时，足球迷们都要大声欢呼自己最喜爱的数字：“3.14159!”加拿大蒙特利尔的少年西蒙·普洛菲现在已经 “对数字上瘾了”，他决心打破记忆π数值的世界纪录。他在第一天就已经能够记忆300位数字了，第二天他将自己独自关在一间黑屋子里，默记着π数值。半年后，他已经能够记住4096位数了。西蒙最终将自己所记数字花三小时全部背了出来，他也因此上了法语版《吉尼斯世界纪录》。但这一纪录保持的时间并不长，很快就突破了5000位大关。现在的保持者是广之后藤，他能够用9小时背出42195位数。在许多国家里都有记忆π数值的口诀，但是这些口诀的文采都无法与诗歌《π》相比。1996年诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·申博尔斯卡曾为π写了一首诗歌，赞美其坚定不移地向着无限延伸。（摘自《天下奇趣系列 数学奇趣》）数学奇趣系列之数的起源文章摘要：从小学一年级开始，数学就像语言一样，成为学生每天必学的功课。到了中学，数学便被分成代数、几何、三角，是总课时最多的一门学科。再到了大学，数学简直成了一个五彩缤纷的“百花园”。 从小学一年级开始，数学就像语言一样，成为学生每天必学的功课。到了中学，数学便被分成代数、几何、三角，是总课时最多的一门学科。再到了大学，数学简直成了一个五彩缤纷的“百花园”。正是由于它这么重要，因而我们每个人的学龄前教育，常常是从数数开始的。家长们也往往以“识数”能力的高低，作为判断自己的孩子是聪明还是愚笨的标准。如果现代生活中没有数，那简直难以想象会成为什么样子。然而，你知道“数”是怎么来的吗?也许你还记得自己曾经扳着手指计数的情景吧，“数”，就是从数指头开始的呢!在远古时候，人们天天用手拿东西，时间长了，有人便发现了一个秘密，一只手上有5个指头，于是，1至5就这样产生了。这个现在连三岁的孩子都懂得的“5”，却是人类记数的第一次突破，是数学作为一门科学迈出的关键性的一步。又过了很长一段时间，有人把两只手放在一起，却发现竟是两个“5”，这样便产生了“10”。以后用同样的方法，人们又知道了“15”（两只手加一只脚）。这以后在相当长的一段时间里，“20”便成了人们所能够认识的最大的数。但是，随着生产的发展，20也远远不够用了。比如：牧羊人要把一群羊的数目点清。怎么办?有个聪明的牧羊人就想用石子代替羊不是个好办法吗?他在清点牧羊的数目时，用一块石子代替一只羊，每10只羊用一块大石子代替。这样，30、40、50直至90，也就产生了。传说古波斯王在一次打仗时，命令将士们守一座桥，要守60天。为了把“60”这个数准确地表示出来，波斯王用一根长长的皮条，在上面系了60个结。他对将士们说：“我走后你们一天解一个结，什么时候解完了，你们的任务就完成了，才可以回家。”这就是结绳记数。再往后，又经历了相当长的一段过程，人们不断地认识了更多、更大、更加复杂的数，发明了百、千、万、亿……以至任何数目的记载方法。总之，不管怎么说，数是从5和10开始的，而且是从数手指开始的。中国的数学有着悠久的历史，追溯到远古时期就已经产生了“数”和“形”的雏形。《庄子》曾记载着：“古轩辕氏、伏羲氏、神农氏的时候，民结绳而用之”。这表明在上古时期人们在没有使用文字以前，就已经用“绳”打成各种结扣来记事、记数了。在历代出土的文物中，曾发掘出一大批刻有文字的龟甲和兽骨，这就是后来被人们称之为“甲骨文”的文字。甲骨文中的“数”字，右边表示右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍。细细看去，有点像一只手在打结。从这些地下发掘出来的文物看来，最迟在3500年以前的殷代，我国就已经有了相当规模的数字。从河南殷墟发掘出来的记录了不少殷代史实的《卜辞》，其中不少都带有记载着有战争中杀死或俘获的人数、狩猎时猎得禽兽的数目以及祭祀时祭品的数目等。在这些数字中，有从1～9的单位数和最大到3万的复位数。在这里一般都是十进位记数的。从我国古代文字中可以看到我国古代数字的写法;从1～4的单位数起初是累积的，如一、二、三，4以上的写法便不同了，在以后4的写法也改变了，不再用累积的方法了。复位数起初是由几十、几百、几千的两个字合在一起的。后来它们也就独立为字了。另外，我国很早就把“零”作为数。在古代历法中有的以“初”表示零，有的以“端”和“本”表示零。“初”是起初，“端”是开端，“本”是本来，它们都是代表开始的意思，即零是数的开始。后来用空表示零。到12世纪初才采用“○”的记号。此外，在有些古书中还找到了亿、兆等数字。例如《左传》中说殷纣王曾经征服了“亿兆夷人”（当时的“亿”和“兆”大约是十万和百万）。对于较大的数在古籍中也曾有过记载，如清徐岳著的《数术记遗称》提到：“上数者，数穷则变，若是万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京”。另外在敦煌石窟中所刻的算经一卷并序亦称：“凡数不过十，名不过万，万万即改。一、十、百、千、万、十万、百万、千万、万万，万万曰亿。一亿、十亿、百亿、千亿、万亿、十万亿、百万亿、千万亿、万万亿、万万亿曰兆……万万兆，万万兆曰京。一京……万万京，万万京曰该。”我们普遍使用的这种数字，几乎是全世界通用的，大家都称它阿拉伯数字。其实创造这套数字的却是印度人，并不是阿拉伯人，它是一种历史的误会。欧洲人起初以为这种先进的数码来自阿拉伯。其实阿拉伯地区仅仅充当了转手而已!大约在1500年前，那时正是阿拉伯帝国的强盛时期。阿拉伯帝国的首都巴格达，当时被称为“世界文明的都会”，是政治、经济、文化的中心。有名的《一千零一夜》这部奇异的文学名著，就是阿拉伯人的骄傲。当时有个印度的天文学家、数学家，名叫堪克，到巴格达去交流他的学术成果。他有一部研究天文的著作，其书中的数字，就是书写体的（没有零）。阿拉伯人对这部著作非常感兴趣，有个叫本·伊拉欣的学者，把这部著作译成了阿拉伯文，于是这种数字就在伊斯兰国家中传播开了。但是这种数字应用到数学中，却还是在40年之后，一位叫哈瓦尔扎米的数学家开始的。在他的一部数学著作中，运用了这种数字，并且增加了一个“0”，用来表示没有。到了公元8世纪，西班牙人入侵阿拉伯，便把这套数字传到了欧洲，而且把它称作阿拉伯数字，却把真正的创始人忘记了。当时在欧洲出现的阿拉伯数字，形状稍有不同，但这套数字，在使用过程中，经过人们不断的改进，到了14世纪，欧洲所通用的字形，就接近现在的样子了。由于阿拉伯数字比中国汉字数字“一二三四五六七八九十”容易写，也比罗马数字“Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ，Ⅺ，Ⅻ……”好写易记，因此，很快便在全世界传开了。在古代罗马，人们记数所用符号的方法，与希腊、巴比伦的方法却有一些相似之处。罗马人像希腊人一样使用了字母表里的字母，然而却不按次序来使用，并且只使用了几个字母。需要时，就总是重复使用，这正像巴比伦的方法一样。但与巴比伦方法相比又有不同之处，这就是，罗马人并不是每逢数字递增10个就发明一个新的符号，而是更原始地每增加5个就使用一个新符号。这就使得看上去好像复杂的罗马数字，学起来却并不难。罗马数字共有7个符号，它们是：I、V、X、L、C、D、M，分别表示数值1、5、10、50、100、500、1000.罗马数字是完全靠这7个符号的变换来表示所有的数字的。如果两个以上的符号并列，左边数大，则表示“加”，反之，则表示“减”。例如：“Ⅶ”表示5加2，即7；而“Ⅸ”则表示10减1，即9.罗马数字用“5”为递增基数，传说是罗马人从人手指有5个指头得到的启示。还有这样一种解释：“Ⅴ”的一条线，表示—只手的大拇指，另一条线则表示其余的四个手指，而“Ⅹ”则表示两只手腕交叉。至于这个原始的发明者是谁，现在已无法考证，也许是罗马人根据劳动生活的需要而不断发展、相互启发，是集体智慧的结晶。罗马数字的成形时间可能在中世纪之前。（摘自《天下奇趣系列 数学奇趣》）
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