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通过通过复指数函数和复三角函数sin(z)图象的显示来说明复变函数与相应的实函数的差异_数学物理方法,复变函数 三角函数,复变函数 指数函数,三角函数的图象与性质,三角函数图象,三角函数的图象和性质,反三角函数图象,三角函数图象变换,指数函数的图象和性质,指数函数图象
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通过通过复指数函数和复三角函数sin(z)图象的显示来说明复变函数与相应的实函数的差异_数学物理方法
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3秒自动关闭窗口练习四；1．由下列条件求解析函数f(z)?u?iv：（1；u?vy；解：由f(z)解析可知：x；uy??vx；ux?2yuy?2(x?1)；则所以；vx??uy??2(x?1),vy?ux?2y；v(x,y)?；?vydy??2ydy?y??(x)；?2(x?1)?vx???(x)；??(x)?；??2(x?1)dx??(x?1)?c；由f(2)??i可知c
1．由下列条件求解析函数f(z)?u?iv： （1）u?2(x?1)y,f(2)??i
解：由f(z)解析可知：x
ux?2yuy?2(x?1)
vx??uy??2(x?1),vy?ux?2y
?vydy??2ydy?y??(x)
?2(x?1)?vx???(x)
??2(x?1)dx??(x?1)?c
由f(2)??i可知c?0
?f(z)?2(x?1)y?i(y?x?2x?1)
由f(z)解析
ln(x?y)??(y)
f(z)?ln(x?y)?c?iarctg
siny，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f(z)?u?iv。
?v?vxx?vyy?0pesiny?esiny?0 v(x,y)解：要使为调和函数，有：，即：
?p??1时，v为调和函数，要使f(z)解析，则ux?vy,uy??vx
esiny???(y)??pe1p
???(y)?(siny??(y)?(p?
即：u(x,y)?pe
xz??e(cosy?isiny)?c?e?cp?1
?x?z?cosy?c
?e(cosy?isiny)?c??e?cp??1
3．如果f(z)?u?iv为解析函数，试证?u是v的共轭调和函数。
?u?0,?v?0,ux?vy,uy??vx
证：因f(z)解析，有：
所以，u,v均为调和函数， 且?u亦为调和函数
?v?u??(?u)yx??x?
故?u是v的共轭调和函数
4．如果f(z)?u?iv是一解函数，试证：if(z)也是解析函数。
u?vy,uy??vx
证：因f(z)解析，则x 且u,v均可微，从而?u也可微。
if(z)?v?iu?v?i(?u)
即满足C?R条件
?if(z)也是解析函数。 5．试解方程： （1）e?1?
1n2?i(2k??
?z?ln2?i(2k??
（2）sinz?cosz?0 解：由题设可知：e
6．求下列各式的值： （1）Ln(?3?4i) 解：Ln(?3?4i)
?ln5?iarg(?3?4i)?ln5?i(2k????aratg
?3?3?27?e?27e
?i(ln3?i2k?)
[cos(ln3)?isin(ln3)]
（2）3（3）e解：e
?e(cos1?isin1)
（1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？
答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当z取实数x时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。
复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z，一般没有e?0。而复变指数函数的周期性，仅当周期是复数（2k?i）时才显现出来。所谓实变指数函数e没有周期，是指其没有实的周期。
（2）实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？
答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正
余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。
最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，
不再成立。因为 e
当y???时，e
???。故sinz???.
（3）怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。 答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数，
Lnz?lnz?iArgz.
Lnz的主值即lnz?lnz?iargz，是单值函数，当z?x，而x?0时，lnz就与高等数
学中的lnx值一致了。
在复变对数函数的运算性质中，注意到等式 ln(z1z2)?lnz1?lnz2与ln(z1/z2)?lnz1?lnz2,
要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如，
Ln(z1z2)?Lnz1z2?iArg(z1z2).
lnz1?lnz1?iArgz1,lnz2?lnz2?iArgz2,
lnz1z2?lnz1?lnz2
Arg(z1z2)?Argz?Argz2
应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的（即不能只考虑某一单值支）。后一式也同样理解，但对等式
nLnz?Ln(z)和
它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对nLnz?Lnz，取n?2时，设z?re，22i2?
得2Lnz?2lnr?i(2??4k?).k?0,?1,?2,?而从z?re，得
Ln(z)?lnr?i(2??2m?),m?0,?1,?2,? 两者的实部是相同的，但虚部的可取值不完全相同。 （4）调和函数与解析函数有什么关系？
答：如果f(z)?u?iv是区域D内的解析函数，则它的实部u和虚部v的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。
由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是f(z)的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：u、v的任意阶偏导数仍是调和函数。
（5）若v是u的共轭调和函数，可以说u是v的共轭调和函数吗？ 答：不行，两者的地位不能颠倒。因为，若v是u的共轭调和函数，则应有 ?u?x
?v?v?u?v?u?u?v,??;?,??,?y?x?y而u是v的共轭调和函数，要求?x?y?x?y两者一般不能同
时成立，所能推知的是?u是v的共轭调和函数。
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利用指数函数公式,将以上几个数据代入进去就算求出一个未知数.即可列出该方程建立函数.
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3秒自动关闭窗口(二)目标解析 1．学生在学习了分段函数.指数函数.对数函数等函数模型后.对建立函数模型的基本步骤有所了解.但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触.特别是对如何根据实际背景及问题的条件.注——精英家教网——
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(二)目标解析 1．学生在学习了分段函数.指数函数.对数函数等函数模型后.对建立函数模型的基本步骤有所了解.但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触.特别是对如何根据实际背景及问题的条件.注意考虑实际意义.对问题的解进行具体分析.学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一． 2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期.领悟形成期.应用发展期.巩固深化期四个阶段.而非通过简单如“复制与灌输 手段得以实现．所以通过数学建模的过程.让学生领悟到“数学建模思想 .“数形结合思想 .“函数思想 等.并能运用这些数学思想分析三角函数的图象.通过解决一些具有实际背景的综合性问题.培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力． 3．通过数学建模的过程.使学生在观察.分析.探究.归纳.概括等思维活动中获取新知.这不仅可以提高学生的思维能力.培养学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力.同时也可以增强学生的应用意识.促进学生良好思维品质的形成． 【】
题目列表(包括答案和解析)
下列叙述中，是离散型随机变量的为（&&& ）&
A.某人早晨在车站等出租车的时间 B.将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数 C.连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数 D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 3．C.解析：由条件f(a)&0,f(b)&0仅知道二次函数图象过x轴上方两点，据此画图会出现多种情况与x轴交点横坐标在（a,b）上可能有0个、1个或2个，因此选C
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