例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（；解：如图，将8×8的棋盘染成黑白相间的；形状；字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住；例2如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体；解：甲虫不能走遍所有的正方体；成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中；正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的；显然，在27个小正方体中，14个是
例1 用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示），能否覆盖一个8×8的棋盘？
解：如图，将 8×8的棋盘染成黑白相间的
形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”
字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。
例2 如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割
成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小
正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。
显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
例3、 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。
解：如下图，对8×8的棋盘染色，则每一个4×1的长方形能盖住2白2
黑小方格，每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推
知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个
偶数，故这种剪法是不存在的。
例4 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？
解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，
这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走
一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增
加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
例5 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是1×2×4。现在有一批现成的木箱，内空尺寸是6×6×6。问：能不能用这些商品将木箱填满？
解：我们用染色法来解决这个问题。先将6×6×6的木箱分成216个小
正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2的正方体。我们
将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。容易计算出，
有14个黑色的，有13个白色的。现在将商品放入木箱内，不管怎么放，
每件商品要占据8个棱长为1的正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据4个。现在白色的小正方体共有8×13=104（个），再配上104个黑色的小正方体，共可以放26件商品，这时木箱余下是8个黑色小正方体所占据的空间。这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。例6 下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成C??Z变成A）。问：能否经过若干次操作，使表1变为表2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。
解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2??Z用26代替）。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：1→2，2→3，?，25→26，26→1。
15 2 18/20 26 6 16/8
11 2 4 19/8
5 24 7/18 20
2 19/3 6 25
容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字的和的奇偶性没有改变。因为表3中16个数字的和为213，表4中16个数字的和为174，它们的奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2。
例7 平面上n（n≥2）个点A1，A2，?，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。所有线段对应的整数值的总和为（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋?＋（an-1＋an）＝a1＋an＋2（a2＋a3＋?＋an-1）＝2＋1＋2（a2＋a3＋?＋an-1）＝奇数。设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则2l＋m＋4n=奇数。由上式推知，m必为奇数，证明完毕。
1.中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来的位置。问：马所跳的步数是奇数还是偶数？
答：偶数。解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略）。马如从黑点出发，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑??要想回到黑点，必须黑、白成对，即经过偶数步，回到原来的位置。
2.右图是某展览大厅的平面图，每相邻两展览室之间都有门相通。今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？
答：不能。
解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如
图）。若满足题设要求的走法存在，必定从白色
的展室走到黑色的展室，再从黑色的展室走到
白色的展室，如此循环往复。现共有36间展室，
从白色展室开始，最后应该是黑色展室。但右图中出口处的展室是白色的，矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。
3.能否用下图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为99的正方形（图中每个小方格的边长为1）？请说明理由。答：不能。
解：我们将 99×99的正方形中每个单位正方形方
格染上黑色或白色，使每两个相邻的方格颜色不
同，由于 99×99为奇数，两种颜色的方格数相差
为1。而每一种纸片中，两种颜色的方格数相差数为0或3，如果它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为3的倍数。矛盾！
4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形，能否覆盖8×8的棋盘？
答：不能。解：如图，给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色
（用数字1，2，3，4表示）。显然标有1，2，3，4的小方格各
有16个。每个1×4的长方形恰好盖住标有1，2，3，4的小方
格各一个，但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格，
故无法将每个方格盖住，即不可能有题目要求的覆盖。
5.从10个英文字母A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z中任意选5个字母（字母允许重复）组成一个“词”，将所有可能的“词”按“字典顺序”（即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列，得到一个“词表”：AAAAA，AAAAB，?，AAAAZ，AAABA，AAABB，?，ZZZZY，ZZZZZ。设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间（这两个词除外）的“词”的个数是k，试写出“词表”中的第k个“词”。
答：EFFGY。解：将A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z分别赋值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则CYZGB=28961，_XEFDA=74530。在2之间共有-1=45568（个）数，词表中第45568个词是EFFGY。
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