导读：相量法在正弦交流电计算中的几个问题，用相量法来分析计算正弦交流电时，为什么能用对应相量相加来计算，计算交流电路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础，并提出了用相量法（复数）来计算功率的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，讲解相量法分析计算正弦交流电路中，从而同频率的正弦量可以化为相应的相量（复数）来表示与计算，为什
相量法在正弦交流电计算中的几个问题
大家知道，用相量法来分析计算正弦交流电时，能把复杂的三角函数的加减与微分积分运算，化为简单的复数代数运算。但在传统教材中，对于两个同频率的正弦量相加，为什么能用对应相量相加来计算，阐述不是很清楚；计算交流电路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，却只采用了实数的方法。 本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础；并提出了用相量法（复数）来计算功率的方法，和用相量法来求解电感性电路中功率因数的提高的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，更加促进了相量法理论的统一与和谐。
一、相量法理论基础探讨
传统教材中，讲解相量法分析计算正弦交流电路中，一般分析电路中的e、i、u均为正弦量，它具有有效值、初相位、同频率的特征。然后讲解正弦量可以用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数来表示，从而同频率的正弦量可以化为相应的相量（复数）来表示与计算。在含有电容和电感的电路中，又巧妙的引入复数阻抗，从而把复杂的三角函数的微分积分运算转化为简单的复数乘除运算。但在论述两同频率正弦量相加减，为什么可以转化为其对应相量相加减来计算，阐述不是很清楚。下面就这个问题作深入的研究和证明，例子中只证明了电流i的相加，其实也适用也电压u与电动势e的相加，当然也适用于相减的情况。
（一）证明两同频率正弦量相加等价于两正弦理对应的相量相加 证明两同频率正弦量相加可以用相量式相加来表示。即证明如下问题： 已知：三个正弦交流量，i1=I12sin(wt+φ1)，i2=I22sin(wt+φ2)，i=I2sin(wt+φ)，且i1+i2=i 。证明 ?（另证明反过来I1??I2??I 。
?I1??I2??I，i1+i2=i也成立）
证：从i1+i2=i中套入已知的表达式，得
I12sin(wt+φ1) +I22sin(wt+φ2)= I2sin(wt+φ)
I1sinwtcosφ1 + I1coswtsinφ1+I2sinwtcosφ2+I2coswtsinφ2)
= Isinwtcosφ+ Icoswtsinφ
sinwt (I1cosφ1 +I2cosφ2)+ coswt(I1sinφ1+I2sinφ2)= sinwtI cosφ+ coswtIsinφ 从而可以推出以下两等式：
I1cosφ1 +I2cosφ2= I cosφ①
I1s i nφ1+I2sInφ2=I sinφ②
从②可以推出，
jI1sinφ1+jI2sInφ2=jIsinφ③
由①③两式左右分别相加，整理得
I1cosφ1 +I2cosφ2+ jI1sinφ1+jI2sInφ2= I cosφ+jIsinφ
I1（cosφ1 +jsinφ1）+I2（cosφ2 +jsInφ2）= I（cosφ+jsinφ）
第 1 页，共 4
j?1j?2?Ie?Ie?Iej据欧拉公式，可以化为：1 2
即 ?I1??I2??I
很明显，以上证明反过来也成立，故?I1??I2??I，i1+i2=i也成立。
（二）证明两正弦量相加用相量法计算与三角函数计算结果是一样的
已知：并联电路中，i1=I12 (sinwt+φ1)，i2=I22 (sinwt+φ2)，
求：i=I2sin(wt+φ)。（即求其中的Ｉ和φ，用I1 I2φ1φ2表示）
解：方法一：用三角函数式来计算
i=i1+i2=2[I1sin(wt+φ1)+I2sin(wt+φ2)] = 2(I1sinwtcosφ1+ I1coswtsinφ1+I2sinwt cosφ2+I2coswt sinφ2) =2[sinwt(I1cosφ1+I2 cosφ2)+ coswt(I1sinφ1+I2 sinφ2)] ①式
两个同频率的正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量 i=2Isin(wt+φ) =2(sinwtIcosφ+ coswtIsinφ)
对比①式②式可得,
Icosφ= I1cosφ1+I2 cosφ2
Isinφ= I1sinφ1+I2 sinφ2
综合③式 ④式得出：
I?(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2
??I1sin?1?I2sin?2 I1cos?1?I2cos?2
方法二：用相量来计算
j?1j?2j????I?Ie，I?Ie，求I?Ie把已知条件化为相量得1 122
据并联电路特点：I???I1??I2?I1ej?1?I2ej?2
=I1cosφ1+jI1sinφ1+ I2cosφ2+jI2sinφ2
=I1cosφ1+ I2cosφ2+j(I1sinφ1+I2sinφ2)
把上面相量从代数式化为指数式得
?I?(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2e
得出：I?Isin?1?I2sin?11I1cos?1?I2cos?2(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2
第 2 页，共 4
Isi?n?Isi?n2
??ar112 I1co?1s?I2co?2s
方法三：用相量图来分析
从相量图来看，电流的有效值与初相位计算
方法，与上面的方法安全一致。
可以看出，合正弦量的有效值I等于两分正弦量
实部与虚部分别相加，再分别取平方后相加，最
后求平方根。合正弦量的初相位就是φ。 实际中常用实数结合相量图来进行分析计算。
结论：以上证明，清楚说明了同频率两正弦量相加减可以用它们对应的相量相加减来表示与计算。
二、用相量法来计算正弦交流电路的功率
j?2j?1??已知：正弦交流电中，电压为U?Ue，电流为I?Ie，u与i的相位
差为φ=φ1―φ2，S为视在功率，Q为无功功率，P为有功功率。
I的共轭复数为解：设S*为复功率，电流???Ue定义复功率S?*j?1?Ie?j?2， Ie?j?2?UIej(?1??2)?UIej?
则复功率的模就是视在功率S?|S*|?UI
复功率的实部就是有功功率P?Re(S*)?UIcos?
复功率的虚部就是无功功率Q?Im(S*)?UIsin?
电压、阻抗、功率三角形
结论：引入复功率以后，各种功率计算更加有规律可循。
三、相量法求解交流电路中功率因数的提高
已知：某电感性交流电路中，电路电压为u，原电流为iL，u与iL的相位差为φ1，频率为f，原电路功率为P=UILcosφ1。若要把功率因素从cosφ1提高到cosφ2。
求：电路中应并联的多
大的电容器C。
解： 第 3 页，共 4
方法一：实数计算法
并联电容前后，因电容器不做功，故并联前后电路的有功功率不变，即
P=UIL cos?1 =UI cos?2，从而求出IL和I
IL=P/（U cos?1）
I=P/（U cos?2）
从相量图可以看出：
I C= ILsin?1―Isin?2
又据纯电容电路特点，
XC=1/(2πfC)
综合①②③⑤⑥式得出
C= P/[2πf U2（tg?1― tg?2）]
方法二：相量计算法（即复数计算法）
设u的初相位为0，则iL、i和ic的初相位分别为-?1，-?2和90°。
据并联电路的电流关系，有?IL??IC??I
展开得：ILe?j?1?Icej90??Ie?j?2，
即 ILcos?1― jILsin?1 + jI C = Icos?2 ― jIsin?2
ILcos?1 ― j(ILsin?1 ― I C) = Icos?2― jIsin?2
据两复数相等的定义，可以推出，
（一）实部相等
ILcos?1= Icos?2，所以P=UIL cos?1 =UI cos?2
从而可以说明并联电容器后，电路中有功功率没有变，并可以求出IL和I
IL=P/（U cos?1）
I=P/（U cos?2）
（二）虚部相等 ―（ILsin?1 ― I C）=―Isin?2
I C= ILsin?1―Isin?2
①式和②式代入③式得：
I C=PL sin?1/（U cos?1）―P sin?/（U cos?2）=P/[U（tg?1― tg?2）] ④式 又据纯电容电路特点，
XC=1/(2πfC)
把⑤式和⑥式代入④式，解得：
C= P/[2πf U2（tg?1― tg?2）]
对比：用实数法来求解问题时，要判断出电路的总有功功率不变，还要从右边的相量图中推导出I C
I三者的关系，难度比较大。而用相量法，不用看右边的相量图，这些结论都可以从相量式中完全推导出来，只要判断一下三个电流的相位关系就可以了，降低许多难度，纯粹是数学公式的推导，也比较有规律。
第 4 页，共 4
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第八章__相量图和相量法求解电路
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官方公共微信正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
范文一：《电工学（少学时）》
第三章 正弦量的相量表示法学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。2 ．掌握正弦量的相量表示法。重点： 正弦量的相量表示法。难点： 相量图一、相量法的引入一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。二、复数概述1 ．复数：形如均为实数，的式子称为复数， 为复数的实部，为复数的虚部， 、为虚数单位。图 4-3
复数的图示法2 ．复数的图示法式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。3 ．复数的表示形式及其相互转换其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。4 ．复数的运算法则①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和 辐角 分别相等）。②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。③乘法运算：模和 模相乘 ， 辐角和辐角相加。④ 除法运算： 模和 模相除 ， 辐角和辐角相减。三、相量表示法1 ．正弦量与复数的关系
= sin( ψ )=[ ]=[ ]正弦电压 等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。
2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量① 有效值相量：= / ψ② 最大值相量：= / ψ3 ．相量图在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值 I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。例 4-4 ：。 写出表示 1 和2 的相量，画相量图 。解：1 =100 /60 ° V2 =50 /-60 ° V相量图见图 4-4 。例 4-5: 已知1 =100 sin A ，2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求1 + 2 ，画相量图。解：1 =100 /0 °A
2 =100 /-120 ° A1 + 2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A1 + 2 =100 sin( -60 ° )A相量图见图 4-5 。作业： 4-5 、 4-7 、4-8原文地址：《电工学（少学时）》
第三章 正弦量的相量表示法学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。2 ．掌握正弦量的相量表示法。重点： 正弦量的相量表示法。难点： 相量图一、相量法的引入一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。二、复数概述1 ．复数：形如均为实数，的式子称为复数， 为复数的实部，为复数的虚部， 、为虚数单位。图 4-3
复数的图示法2 ．复数的图示法式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。3 ．复数的表示形式及其相互转换其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。4 ．复数的运算法则①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和 辐角 分别相等）。②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。③乘法运算：模和 模相乘 ， 辐角和辐角相加。④ 除法运算： 模和 模相除 ， 辐角和辐角相减。三、相量表示法1 ．正弦量与复数的关系
= sin( ψ )=[ ]=[ ]正弦电压 等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。
2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量① 有效值相量：= / ψ② 最大值相量：= / ψ3 ．相量图在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值 I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。例 4-4 ：。 写出表示 1 和2 的相量，画相量图 。解：1 =100 /60 ° V2 =50 /-60 ° V相量图见图 4-4 。例 4-5: 已知1 =100 sin A ，2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求1 + 2 ，画相量图。解：1 =100 /0 °A
2 =100 /-120 ° A1 + 2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A1 + 2 =100 sin( -60 ° )A相量图见图 4-5 。作业： 4-5 、 4-7 、4-8
范文二：4－１
正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。 一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。如：Im、Um、Em。?????有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。如：I、 U、E。2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。 二、同频率正弦量的加、减确定Im和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。 １、 相量作图法的步骤：先用出相量I1和I??2?，而后以I1和I2为邻边作一平行四???边形，其对角线即为合成电流i的相量I。?I的长度为有效值，I与横轴正方向的夹角?即为初相ψ。２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。例如：I?I1?I2?I1?(?I2)?????３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。 多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。I?a?jb?其中，a----实部，b----虚部
则I?a?jb?Icos??jIsin??I?cos??jsin??，?a?Icos?,b?Isin?：式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角I?a?b,tg??22ba复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：?I?Iej??I??复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。正弦量用复数表示后，能适应各种运算的需要，在正弦电路的计算中，常采用复数来运算，配合作相量图进行定性分析。4-3 正弦电路中的电阻电感电容元件一、正弦电路中电阻元件的电压和电流之间的关系如下： １、大小关系：UmIm?UI?ui?R２、相位关系：同相。 ３、频率关系：同频。 ４、相量式：U???RI5、平均功率――瞬时功率在一个周期内的平均值。P?1T?Tpdt?UI?IR?2U2R可见，电阻元件在交流电路中和直流电路中消耗功率的公式相同。 二、正弦电路中电感元件的电压和电流之间的关系如下： １、大小关系：UmIm?UI??L即：电阻元件的电压和电流的最大值、有效值之间都服从欧姆定律。 ２、相位关系：电压超前电流90°。３、频率关系：同频。??４、相量式：U５、感抗：?j?LI注意：感抗和电阻不同，电阻是由于电荷在移动中与原子、分子发IXL??L?2?fL?U???生碰撞等因素引起的，感抗则是由于正弦电流通过电感元件时产生的自感电动势引起的，因而感抗仅反映电感元件对正弦电流的阻碍作用，只在正弦交流电路中才有意义。感抗与频率成正比，是因为Ｉ一定时，频率越高，电流变化越快，自感电动势越大，对电流的阻碍作用越大。感抗与电感成正比，因为Ｉ一定时，电感越大，产生的磁链越大，自感电动势越大。两种极端情况：f??,XL??， f?0,XLＬ相当于开路；?0,
Ｌ在直流电路中相当于短路。6、平均功率――瞬时功率在一个周期内的平均值。P??T1Tpdt?0可见，电感元件不消耗电能，是个储能元件。 7、无功功率――电感元件与电源交换功率的最大值。QL?UI?IXL?2U2XL“无功”并非“无用功”，而是指“交换而不消耗”。三、电容元件的电压和电流之间的关系为： 1、 大小：Um1I?UmI?C?X1?c?2?fC2、 频率：同频3、 相位：电流超前电压900注意：⑴Xc——容抗，Xc?UmI?UmI?ui⑵Xc与C、f成反比；因为U一定时，C越大，Q?CUi越大；f越高，单位时间内电荷移动量多，i越大。⑶两种极端情况：
①f??,Xc?0，电容元件相当于短路； ②f?0,Xc??，电容元件相当于开路，即“隔直”。4、平均功率：P?UI?0，可见，电容元件不消耗电能，是储能元件。 5、无功功率——电容元件与电源交换功率的最大值。
Q2c?UI?IXc?U2X?var?c越多，
范文三：4．2
正弦量的相量表示附加：复数1．复数的实部、虚部和模复数叫虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用j代表虚单位，即j=-1。如图4.5所示，有向线段A可用下面的复数 表示为
A=a+jb图4.5 有向线段的复数表示
22r?a?b由图4.5可见，r表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用Φ表示，规定幅角的绝对值小于180°。A?a?jb?rcos??jrsin?2．复数的表达方式 复数的直角坐标式 ： ?r(cos??jsin?)j?复数的指数形式 ： A?reA?r??复数的极坐标形式 ：实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表示A的共轭复数， 则有
A=a+jbA*=a-jb例 写出下列复数的直角坐标形式。
5∠48°；1∠90°；
解：5?48??5cos48??j5sin48??3.35?j3.72（1）（2）1?90??cos90??jsin90??j复 数 的 运 算 1复数的加减若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A1=a1+jb1
则A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。2．复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。A1r1??1r1r????(?1??2) A1=a1+jb1=
11?A2r2??2r2r2??2 A2=a2+jb2 =如将复数A1=rejφ乘以另一个复数ejα则得
j(???)ej?j?A2= r ee= jα同理，如以e除复数A1=rejφ，则得A1=rejφ-α
相量法正弦量的表示方法：i?Imsin??t???三角函数式：波
法：用复数的方法表示正弦量一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。有向线段的长度表示正弦量的幅值；有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算 的方法称为相量法。设有一正弦电压 u?Usin(?t??)mU?I??图4.7
用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量有向线段可以用复数表示。有向线段OA可用复数形式表示：直角坐标式：A?a?jb?rcos??jsin?j?指
式： A?reA?r??O极坐标式式：??复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用指数式或极坐标式。一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。??U(cos??jsin?)?UeUmmmj??Um??为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值复数的辐角表示正弦量的初相位于是表示正弦电压u=Umsin（ωt+φ）的相量为：或 j??注意： 相量用上面打点的大写字母表示。U?U(cos??jsin?)?Ue?U??把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图，它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。 U?电压相量
比电流相量
如右图?注意： Ι?1. 只有正弦周期量才能用相量表示。2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量１ψ图上。例题 在如图所示的电路中，设：i1?I1msin(?t??1)?100sin(?t?45?)Ai1?I2msin(?t??2)?60sin(?t－30?)A求总电流 i[解](1)用复数形式求解。根据基尔霍夫电流定律??I??IeI?m?I1m2m1mj?1?I2me?j?2?100ej45???60e?j30??? 100cos45?j100sin45?????60cos30A?60sin30???70.7?j70.7???52?j30?
?122.7?j40.7?129ej1820??（2）用相量图求解：
画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。+j+1弦电流i1=8sin(ωt+600)A和i2=6sin (ωt-300)A，试用复数计算电流 i=i1+i2
, 并画出相量图。思考题4.2.6
范文四：正弦交流量的相量表示3.2.1
复数1．复数的表示形式1） 代数形式，式中实数称为实部，实数称为虚部，复平面上的点与复数一一对应。称为虚数单位。图3.6 复数的坐标表示 复数还与复平面上的矢量一一对应。矢量的长度 称为复数的模，矢量和正实轴的夹角称为辐角。 于是及（3-5）及（3-6）复数的代数形式在正弦量的相量法中用得较多。2） 三角函数形式3） 指数形式复数的指数形式在正弦量的相量法中用得较少。4）极坐标形式复数的极坐标形式在正弦量的相量法中用得最多。2.复数的加减运算复数的加减运算必须用代数形式来进行。设，则有（3-7）复数的加减运算也可以用矢量相加减的平行四边形法则或三角形法则用作图法进行，如图3.7所示。
范文五：《复数
正弦量的相量表示》 1．复数的实部、虚部和模复数叫虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用j代表虚单位，即j=-1。如图4.5所示，有向线段A可用下面的复数表示为
A=a+jb图4.5 有向线段的复数表示
由图4.5可见，
22r?a?br表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用Φ表示，规定幅角的绝对值小于180°。2．复数的表达方式A?a?jb?rcos??jrsin?复数的直角坐标式 ：?r(cos??jsin?)j?复数的指数形式 ： A?re复数的极坐标形式 ： A?r??实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表示A的共轭复数， 则有
A=a+jbA*=a-jb例 写出下列复数的直角坐标形式。
5∠48°；1∠90°；
解：（2）复 数 的 运 算 1复数的加减若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A1=a1+jb1
A2=a2+jb2则
A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。 复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。2．复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。A1r1??1r111111???(?1??2) A2r2??2r222222（1）5?48??5cos48??j5sin48??3.35?j3.721?90??cos90??jsin90??jA=a+jb= r ??r??A=a+jb =如将复数A1=rejφ乘以另一个复数ejα则得A2= reej?j?=ej(???)同理，如以ejα除复数A1=rejφ，则得A1=rejφ-α相量法正弦量的表示方法：波
用复数的方法表示正弦量转的有向线段表示。 一个正弦量可以用旋有向线段的长度表示正弦量的幅值；有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算 的方法称为相量法。设有一正弦电压 u?Umsin(t?)i?Imsin??t???三角函数式：??图4.7
用正弦波形和旋转有向线段来表正弦量有向线段可以用复数表示。有向线段OA可用复数形式表示：
A?a?jb?rcos??jsin?直角坐标式：
j?A?re指数式：A?r??极坐标式式： O复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用指数式或极坐标式。一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值????U(cos??jsin?)?Uej??U??UmmmmU?I??复数的辐角表示正弦量的初相位.于是表示正弦电压u=Umsin（ωt+φ）的相量为：或 j???U(cos??jsin?)?Ue?U?? UU?注意： 相量用上面打点的大写字母表示。把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图，?它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。Ι?电压相量
比电流相量
如右图 注意：１1. 只有正弦周期量才能用相量表示。2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 例题 在如图所示的电路中，设：i1?I1msin(?t??1)?100sin(?t?45?)Ai1?I2msin(?t??2)?60sin(?t－30?)A求总电流 i[解](1)用复数形式求解。根据基尔霍夫电流定律j?j?j45??j30????Im?I1m?I2m?I1me?I2me?100e?60e12? 100cos45??j100sin45??60cos30??60sin30???70.7?j70.7???52?j30?
?122.7?j40.7?129e+j???A?j18?20?（2）用相量图求解：
画出相量图，并行四边形，其对角线即是总电流。作出平+1
范文六：[摘 要]由于旋转矢量能够有效体现正弦量的三要素角频率、最大值和初相位，因此利用旋转矢量方法表示正弦量是可行的。而且由于旋转矢量具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，其为确定正弦量的初相及正弦量的合成等提供了最为直观、简捷的研究方法。[关键词]正弦交流电；旋转矢量；正弦量的三要素中图分类号：O441 文献标识码：A 文章编号：X（1-011 引言角频率、最大值和初相位是确定正弦量变化情况的三个重要的量，称之为正弦量的三要素。正弦量的常用表示方法有：解析式法、波形图法、旋转矢量法和复数法等。通常，不论用何种方法表示正弦量都需要知道正弦量的三要素，因为只有确定了正弦量的三要素才能确定该正弦交流电。正弦量的解析式和波形图表示法，均可完整地表示一个正弦量的三要素，是正弦量的两种基本表示法。但在直接运用解析式或正弦波形表示法进行分析计算是比较繁琐和困难的。而旋转矢量由于具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，为确定正弦量的初相及正弦交流电量的合成提供了最为直观、简捷的研究方法。2 旋转矢量的基本原理由原点O做一矢量OM，使矢量的长度等于正弦交流电的最大值A，令矢量OM绕O点做逆时针方向的匀角速旋转，其角速度与正弦交流电量的角频率相等。这个矢量称为旋转矢量以A表示。设时，旋转矢量与OX轴的夹角为，等于正弦交流电量的初相。经过时间t，旋转矢量转过的角度为，它与OX轴的夹角变为，等于正弦量在该时刻的相位。由图1可知，旋转矢量A在纵轴上的投影为，此表达式正是正弦量的表达式。因此，旋转矢量A的矢端M在纵轴上投影点的运动，可用来表示正弦量。矢量A以角速度旋转一周，相当于正弦交流电变化一个周期。需要说明的是：旋转矢量本身并不按正弦规律变化，而是旋转矢量的矢端在纵轴上投影点的运动与正弦量的变化规律一致。旋转矢量只是表示正弦量的一种数学工具，两者存在一种对应关系，但旋转矢量并不等于正弦量。不难看出，正弦量的旋转矢量表示法吧正弦交流电的三要素：最大值、角频率和初相直观地表示出来。矢量的长度为正弦交流电的最大值，矢量旋转的角度为正弦交流电的角频率，矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的相位，时矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的初相。3 应用举例已知正弦量和，分别用解析式表示它们。解：由，可得该正弦量的三要素为，电压有效值，初相，可设角频率为，根据正弦量的解析式，可得的解析式为：。同理，由，可计算得出，初相，由旋转矢量根据很容易判断出初相，而排除了的可能。因此，相较于初相已知的正弦量，由于相量的相量需求解，且，显然用旋转矢量可直观、快速的判断出其初相。这正是应用旋转矢量分析正弦量初相的优势所在。求与之和。解：用相量表示和：，计算和的相量和：将相量转化为正弦量，得：电流旋转矢量图如图2所示。从该问题的解决可知：用复数形式表示正弦量，使正弦量的计算简便精确；而旋转矢量图将正弦量的相位关系直观形象地表示出来，并提供了几何分析的依据。在实际应用中，常将复数法与旋转矢量法结合起来使用，使问题的解决既有精确的结果，又有直观的图形。两者结合使用是分析和计算正弦交流电路很重要且行之有效的一种方法。4 结论由上述对旋转矢量的原理及应用举例的分析可得如下结论：（1）正弦量的旋转矢量表示法把描述正弦量的三要素直观地表示出来，为确定正弦量的初相及正弦量的合成提供了直观、简洁的研究方法；（2）只有同频率的正弦量才能画在同一旋转矢量图上，不同频率的旋转矢量由于其相位差随时间变化，无法进行比较和计算，不能画在同一相量图上。（3）除了正弦交流电量，简谐振动也可以用旋转矢量来表示，其在求解简谐振动的初相位、作振动图及振动的合成等方面，同样具有直观、简捷的优点。参考文献[1] 王慧娟等.旋转矢量法在谐振动教学中的应用[J].渤海大学学报，2009，02.[2] 杨薇. 机械波中一基本题型的旋转矢量法求解[J].高等函数学报，2010，04.[3] 马业万等. 大学物理学教学转中初相位的求解―旋转矢量法[J].安庆师范学院学报，2012，02.[4] 陈颖聪，田杨萌.大学物理（上册）[M].上海：华东师范大学出版社，2006.[5] 史仪凯.电工电子技术[M].北京：科学出版社，2009.[6] 秦曾煌，姜三勇.电工学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.[7] 黄锦安.电工技术基础[M].北京：电子工业出版社，2011.[摘 要]由于旋转矢量能够有效体现正弦量的三要素角频率、最大值和初相位，因此利用旋转矢量方法表示正弦量是可行的。而且由于旋转矢量具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，其为确定正弦量的初相及正弦量的合成等提供了最为直观、简捷的研究方法。[关键词]正弦交流电；旋转矢量；正弦量的三要素中图分类号：O441 文献标识码：A 文章编号：X（1-011 引言角频率、最大值和初相位是确定正弦量变化情况的三个重要的量，称之为正弦量的三要素。正弦量的常用表示方法有：解析式法、波形图法、旋转矢量法和复数法等。通常，不论用何种方法表示正弦量都需要知道正弦量的三要素，因为只有确定了正弦量的三要素才能确定该正弦交流电。正弦量的解析式和波形图表示法，均可完整地表示一个正弦量的三要素，是正弦量的两种基本表示法。但在直接运用解析式或正弦波形表示法进行分析计算是比较繁琐和困难的。而旋转矢量由于具有能够直观地表达正弦量三要素的优点，为确定正弦量的初相及正弦交流电量的合成提供了最为直观、简捷的研究方法。2 旋转矢量的基本原理由原点O做一矢量OM，使矢量的长度等于正弦交流电的最大值A，令矢量OM绕O点做逆时针方向的匀角速旋转，其角速度与正弦交流电量的角频率相等。这个矢量称为旋转矢量以A表示。设时，旋转矢量与OX轴的夹角为，等于正弦交流电量的初相。经过时间t，旋转矢量转过的角度为，它与OX轴的夹角变为，等于正弦量在该时刻的相位。由图1可知，旋转矢量A在纵轴上的投影为，此表达式正是正弦量的表达式。因此，旋转矢量A的矢端M在纵轴上投影点的运动，可用来表示正弦量。矢量A以角速度旋转一周，相当于正弦交流电变化一个周期。需要说明的是：旋转矢量本身并不按正弦规律变化，而是旋转矢量的矢端在纵轴上投影点的运动与正弦量的变化规律一致。旋转矢量只是表示正弦量的一种数学工具，两者存在一种对应关系，但旋转矢量并不等于正弦量。不难看出，正弦量的旋转矢量表示法吧正弦交流电的三要素：最大值、角频率和初相直观地表示出来。矢量的长度为正弦交流电的最大值，矢量旋转的角度为正弦交流电的角频率，矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的相位，时矢量与OX轴的夹角为正弦交流电的初相。3 应用举例已知正弦量和，分别用解析式表示它们。解：由，可得该正弦量的三要素为，电压有效值，初相，可设角频率为，根据正弦量的解析式，可得的解析式为：。同理，由，可计算得出，初相，由旋转矢量根据很容易判断出初相，而排除了的可能。因此，相较于初相已知的正弦量，由于相量的相量需求解，且，显然用旋转矢量可直观、快速的判断出其初相。这正是应用旋转矢量分析正弦量初相的优势所在。求与之和。解：用相量表示和：，计算和的相量和：将相量转化为正弦量，得：电流旋转矢量图如图2所示。从该问题的解决可知：用复数形式表示正弦量，使正弦量的计算简便精确；而旋转矢量图将正弦量的相位关系直观形象地表示出来，并提供了几何分析的依据。在实际应用中，常将复数法与旋转矢量法结合起来使用，使问题的解决既有精确的结果，又有直观的图形。两者结合使用是分析和计算正弦交流电路很重要且行之有效的一种方法。4 结论由上述对旋转矢量的原理及应用举例的分析可得如下结论：（1）正弦量的旋转矢量表示法把描述正弦量的三要素直观地表示出来，为确定正弦量的初相及正弦量的合成提供了直观、简洁的研究方法；（2）只有同频率的正弦量才能画在同一旋转矢量图上，不同频率的旋转矢量由于其相位差随时间变化，无法进行比较和计算，不能画在同一相量图上。（3）除了正弦交流电量，简谐振动也可以用旋转矢量来表示，其在求解简谐振动的初相位、作振动图及振动的合成等方面，同样具有直观、简捷的优点。参考文献[1] 王慧娟等.旋转矢量法在谐振动教学中的应用[J].渤海大学学报，2009，02.[2] 杨薇. 机械波中一基本题型的旋转矢量法求解[J].高等函数学报，2010，04.[3] 马业万等. 大学物理学教学转中初相位的求解―旋转矢量法[J].安庆师范学院学报，2012，02.[4] 陈颖聪，田杨萌.大学物理（上册）[M].上海：华东师范大学出版社，2006.[5] 史仪凯.电工电子技术[M].北京：科学出版社，2009.[6] 秦曾煌，姜三勇.电工学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.[7] 黄锦安.电工技术基础[M].北京：电子工业出版社，2011.
范文七：理论广角Ｃ ｈｉ ｎ ａ 　 Ｓ Ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ 　 ａ ｎ ｄ 　 Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏｌ ｏ ｇ ｙ 　 Ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ■Ｉ正 弦 量 的旋 转矢 量 表 示 法王 翔 李东波 周 进（ 兰 州城 市学 院 甘 肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）【 摘 要］ 由于旋转矢量能够有效体现正弦量的三要素角频率、 最大值和初相位 ， 因此利用旋转矢量方法表示正弦量是可行的。 而且 由于旋转矢量具有能够　 直观 地表 达正 弦量 三要素 的优 点 ， 其为确 定正 弦量 的初相 及 正弦量 的合 成等提 供 了最 为直 观 、 筒捷 的研 究方法 。 　 ［ 关键词】 正弦交流电ｔ 旋转矢量； 正弦量的三要素　 ｅ ｏ ｌ ｌ ｔ ￣ 类号 ： ｏ ４ ４ １ 　 文献标 识码 ： Ａ 　 文章 编号 ： １ ｏ ｏ ９ — ９ １ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ０ １ — ０ ２ ９ １ — ０ １ｌ引言位， ｔ ：０ 时矢量与Ｏ Ｘ 轴的夹角为正弦交流电的初相９。３应用 举例角频率、 最大值和初相位是确定正弦量变化情况的三个重要的量， 称之为正弦量 的三 要素 。 正 弦量的常 用表 示方法 有 ： 解 析 式法 、 波形 图法 、 旋 转矢量 法　 和 复数 法等。 通常 ， 不论用何 种方法表 示正弦量都 需要 知道 正弦量 的三要素 ， 因已 知正弦量　 ：２ ２ ０ ｅ ／ ３ ￣ 。 　和Ｉ ＝ （ ４ 一 ｊ ３ ） Ａ， 分别用解析式表示它们 。解： 由　 ：２ ２ ０ ｅ ｊ ３ ０ ＊ 　 ， 可得 该 正 弦量 的 三 要 素 为 ， 电压 有 效 值　 Ｕ ＝２ ２ ０ Ｆ ， 初 相　 ＝３ ０ 　， 可 设角 频率 为 ∞ ， 根据 正 弦量 的解 析式为只有确定了正弦量的三要素才能确定该正弦交流电。 正弦量的解析式和波形　 图表示法， 均可完整地表示一个正弦量的三要素， 是正弦量的两种基本表示法。 　 但在直接运用解析式或正弦波形表示法进行分析计算是比较繁琐和困难的。 而　 旋转矢量由于具有能够直观地表达正弦量三要素的优点， 为确定正弦量的初相　 及正弦交流电量的合成提供了最为直观、 简捷的研究方法。２旋转 矢量 的基 本曩 理“ ＝ 　ｓ ｊ ｎ （ 　＋ 　 ） ， 可 得驴 ； ２ ２ ０ ８ ｊ ３ ｏ ‘ 　 的 解 析式 为： Ⅳ ＝ ２ ２ ０ √ 互 ｓ ｉ ｎ （ ｍ ｔ ＋ ３ ０ 。 ） 　 。一３同 理， 由Ｉ ＝ （ ４ － ｊ ３ ） Ａ， 可计算得出Ｉ ＝５ Ａ， 初相　 口 ｒ ｃ 增— 　， 由旋转矢量根据（ ４ － ｊ ３ ） 很容易判断出初相　 ＝一 ３ ７ 。 ， 而排除了　＝１ ４ ３ 。 的可能。 因此， 相较于初相已知的正弦量驴：２ ２ ０ ｅ ｊ ３ ０ ＂ Ｖ， 由于相量，＝ （ ４ － ｊ ３ ） Ａ 的相量需求解，一由原点Ｏ 敞一矢量Ｏ Ｍ， 使矢量的长度等于正弦交流电的最大值Ａ， 令矢量　 Ｏ Ｍ绕０ 点做逆时针方向的匀角速旋转， 其角速度与正弦交流电量的角频率 ∞　 相等。 这个矢量称为旋转矢量以Ａ 表示。 设ｔ ：０ 时， 旋转矢量与Ｏ Ｘ 轴的夹角为，１且　＝ａ ｒ ｃ ｔ ｇ — 　：一 ３ ７ 。 或ｌ ４ ３ 。 ， 显然用旋转矢量可直观 、 快速 的判断出其初相毋＝一 ３ ７ 　 。 这正是 应用 旋转 矢量分 析正 弦量初 相 的优势 所在 。等于正弦交流电量的初相。 经过时间ｔ ， 旋转矢量转过的角度为　 ， 它与Ｏ Ｘ求‘＝ ｌ ｏ ４ ２ 　 ｓ ｉ ｎ （ ｗ ｔ ＋ ３ ０ 　 ） 　与‘＝８ ４ ２ ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｔ 一 ６ Ｏ 。 ） 　之和。轴的夹角变为（ 耐＋ 　） ， 等于正弦量在该时刻的相位。 由图ｌ 可知， 旋转矢量Ｒ Ｅ解： 用 相量 表示ｉ ｉ 和ｆ ， ： １ １ ＝ １ ０ Ｚ ３ ０ 。 Ａ ＝ （ ８ ． ６ ６ ＋ ｊ ｓ ） ａ，厶 ＝ ８ Ｚ － ６ ０ 。 Ａ ＝ （ ４ ～ 　． ９ ３ ） Ａ纵轴上的投影为　＝Ａ ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｔ ＋ 　） 。 此表达式正是正弦量的表达式。 因此。 旋转矢量Ａ 的矢端Ｍ Ｅ纵轴上投影点的运动， 可用来表示正弦量 。 矢量Ａ 以角速度　 Ｃ Ｏ 旋转一周． 相当于正弦交流电变化一个周期。 需要说明的是 ： 旋转矢量本身并不按正弦规律变化， 而是旋转矢量的矢端在纵轴上投影点的运动与正弦量的　 变化规律一致。 旋转矢量只是表示正弦量的一种数学工具， 两者存在一种对应　 关系 ， 但旋转矢量并不等于正弦量 。 　 不难看出， 正弦量的旋转矢量表示法吧正弦交流电的三要素 ： 最大值 、 角频　 率和初相直观地表示出来。 矢量的长度为正弦交流电的最大值。 矢量旋转的角计 算‘ 和 　的 相 量 和： Ｉ ＝ １ １ ＋ 厶＝ （ ８ ． ６ ６ ＋ ｊ ５ ） Ａ ＋ （ ４ 一 ｊ ６ ． ９ ３ ） ／ ／＝ｆ １ ２ ． ６ ６ 一／ １ ． ９ ３ ） Ａ＝ １ ２ ． ８ １ ／一 ８ ． ７ 　 Ａ将相量， 转化为正弦量， 得： ｆ ＝１ ２ ． ８ １ ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｔ 一８ ． ７ 　 ） ／电流旋转矢量 图如 图２ 所示。 　 从该问题的解决可知： 用复数形式表示正弦量， 使正弦量的计算简便精确 ， 　 而旋转矢量图将正弦量的相位关系直观形象地表示出来， 并提供了几何分析的　 依据。 在实际应用中， 常将复数法与旋转矢量法结合起来使用 ， 使问题的解决既　 有精确的结果， 又有直观的图形。 两者结合使用是分析和计算正弦交流电路很　 重要且行之有效的一种方法。４ 结论度 ∞为正弦交流电的角频率， 矢量与０ Ｘ ｌ 轴的夹角（ ｃ ｏ ｔ ＋ 妒 ） 为正弦交流电的相由上述对旋转矢量的原理及应用举例的分析可得如下结论： （ １ ） 正弦量的　 旋转矢量表示法把描述正弦量的三要素直观地表示出来， 为确定正弦量的初相　 及正弦量的合成提供了直观、 简洁的研究方法； （ ２ ） 只有同频率的正弦量才能画在 同一 旋转 矢量 图上 ， 不 同频率 的旋转矢 量 由于其相 位差 随时 间变化 ， 无 法进行比较和计算， 不能画在同一相量 图上。 （ ３ ） 除了正弦交流电量， 简谐振动也可’ 　 ｌ以用旋转矢量来表示， 其在求解简谐振动的初相位、 作振动图及振动的合成等　 方面， 同样具有直观 、 简捷的优点。 　 参考 文献［ １ １王慧娟 】 等． 旋 转矢量 法在谐 振动教 学 中的应用 ［ Ｊ 】 ． 渤 海大学 学报 ， ２ ０ ０ ９ ，０ ２ ．＼＼、 、一 一 ， ，／ ／一一 一一 ，旋转 矢量 图【 ２ 】杨薇 ．机械渡中一基本题型的旋转矢量法求解［ Ｊ ］ ． 高等函数学报，２ ０ １ ０， ０ ４．［ ３ 】 马业万等．大学物理学教学转中初相位的求解一旋转矢量法［ Ｊ 】 ． 安庆师范学院学报 ， ２ ０ １ ２ ， ０ ２ ．［ ４ ］陈颖聪 ， 田杨萌 ． 大学物理 （ 上册） ［ Ｍ 】 ． 上海 ： 华东师范大学出版社 ，２ ０ Ｏ ６ ．［ ５ 】 史仪凯． 电工电子技术［ Ｍ】 ． 北京： 科学出版社 ， ２ ０ ０ ９ ． 　 ［ ６ 】 秦曾煌， 姜三勇 ． 电工学 （ 上册） 【 Ｍ】 ． 北京 ： 高等教育出版社 ， ２ ０ １ ０ ． 　 ［ ７ 】黄锦安． 电工技术基础　 】 ． 北京 ： 电子工业出版社， ２ ０ １ １ ．图 ２相 量 图科技 博克 ｌ 　 ２ ９ １
范文八：第八章 相量法本章重点：正弦信号的相量表示、电路元件伏安关系的相量表示
本章难点: 复数的计算第十五讲 8.1复数相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法。应用相量法，需要用到复数的运算1.复数的表示形式1)代数形式
(j?复数可用复平面上的向量表示： 2)三角形式?1)F?|F|(cos??jsin?)j?e3)指数形式 ?4)极坐标形式?cos??jsin?
( 欧拉公式
)F?|F|??8.2正弦量一．正弦量：电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用sin函数，也可采用cos函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用。本书采用cos函数。 周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。周期T：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S）； 频率f： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz）。，f=1/T。交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。二．正弦量的表达式1.
函数表示法：f(t)?Fmcos(?t??)Fm—最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值；?t??—相位，反映正弦量变动的进程；，反映正弦量变化的快慢。?T?2?,???—角频率（rad/s）2??2?f T?(??????)—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。 Fm，?，?—正弦量的三要素。已知Im?10A,f?50Hz,???15o， 则i(t)?10cos(314t?15)A。 2. 波形表示法o?t???0，
?t???。当??0时，最大值点由坐标原点左移?。如下图。三．两个同频率正弦量的相位差?t?t??i) 设 u(t)?Umcos(?t??u)
i(t)?Imcos(则u(t)与i(t)的相位差
??(?t??u)?(?t??i)??u??i 设电压u=6cos(?t+90?)V，电流i=2cos(?t-150?)A， 问哪个正弦量滞后？滞后的角度是多少？
解：相位差?＝?u－?i＝90?－(－150?)＝240?>0 所以电压u比电流i 超前240°。 另作分析：相位差?＝?u－?i＝240?-360? = -120? 所以电压u比电流i 滞后120°。几种特殊相位关系:（1）u1(t)?Um1cos(?t??1)
当?1??，则下图φ＝Ψu -Ψi=0 。?????1?0，u1与u同相。如t（2）u2(t)?Um2cos(?t??2)
当?2???如下图（这里φ=Ψ－Ψ2＝+π/2）2?2，?????2???2，u2与u正交。（3）u3(t)?Um3cos(?t??3)
当?3????,?????3???,u3与u反相。t2＝π注意：1. 函数表达形式应相同，均采用cos形式表示。如
u(t)?100cos(?t?15?)Vi(t)?10sin(?t?30?)?10cos(?t?60?)A??15??(?60?)?75?2. 函数表达式前的正、负号要一致。当??0,i1和i2同反相 i1比i2超前i1和i2正交i1和i2反相8.2正弦量的有效值f(t)—任意周期函数1F?T?Tf2(t)dt
—方均根值可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。因此，有效值又称为方均根值。这样正弦量的数学表达式写为 f(t)?cos(?t??)。对于正弦电流i＝Imcos(ωt+φi) 的有效值为I=Im/2=0.707Im同理，正弦电压u＝Umcos(ωt+φu)的有效值为U＝Um /2＝0.707Um在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压U=220V，就是正弦电压的有效值，它的最大值Um＝2U＝1.414×220＝311V。 应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。8.3
相量法的基础一 相量：令正弦量f(t)?Fmcos(?t??)?cos(?t??)，根据欧拉公式，可知
e?cosx?jsinx，取x??t??
则 ej(?t??)jx?cos(?t??)?jsin(?t??)j(?t??)?
cos(?t??)?Re?e?? j(?t??)?
sin(?t??)?Im?e??可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。u(t)?t?30)V?Um?30V
F?F?? —有效值相量Fm???????
范文九：项目一
正弦交流电的相量表示法学习内容: 正弦交流电的相量表示法学习目标: 1．了解正弦交流电的表示法。2．掌握正弦交流电的相量表示法。学习重点 : 正弦交流电的相量表示法。学习难点: 正弦交流电的三要素、相量表示法。学习方法:
预习、讨论、练习、小结学习过程：复习、预习：1、正弦交流电的三要素。2、正弦交流电的解析法。3、什么叫相量？4、正弦交流电的相量表示法。二、讨论：1、.正弦量的相量表示：相量是用来表示正弦量的特殊复数。具体表示方法是：用相量的模表示正弦量的有效值（或最大值）；用相量的幅角表示正弦量的初相位如某正弦交流电流：则其相量表示为：正弦交流电流的最大值相量或有效值相量说明：（1）.
今后，凡未作特别说明，本书中的相量均指有效值相量。（2）.
需要注意的是，相量是一种被用来表示正弦交流量的特殊复数，它不等于正弦量，只是一种运算工具，即（3）.
电压相量与电动势相量可以用相同的方式来定义2、相量图相量和复数一样可以在复平面上用矢量的形式来表示，这种表示相量的图形称为相量图。注：这种用相量表示正弦量，进行正弦交流电路运算的方法称为相量法。【例1】
已知：求：绘出相量图。解：（1）将两个同频率的正弦交流电流用相应的相量形式表示出来。绘出相量图，如图所示。(三)、总结正弦交流电的相量表示法(四)、
练习1、某正弦交流电流，频率为５０Hz，最大值为２０A，初相位为-４０°，此正弦交流电的瞬时值表达式，交流电流的相量表示式。2、已知两交流电流分别为i１＝１５sｉｎ（３１４t＋４５°）A，i２＝１０sｉｎ（３１４ｔ－３０°）A，它们的相位差为多少？画出相量图。?P126
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范文十：第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示大 学 物 理主讲教师：杨宏伟第五章 正弦交流电路 一、复数的基本知识§5-3 正弦量的复数表示一个复数 可以有几种表示法。它可以表示为& A& A = x + jyA = Acos? + jAsin?利用欧拉公式e j? - e - j? sin ? = 2jjE ( x1 , y1 )oe j? + e - j? cos ? = 2+1图5-7 复数的平面表示第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示e j? + e - jy e j? - e - j? & A = A( + ) = Ae j? 2 2上式称为复数的指数形式，或称为极坐标表达式。 用复数法计算正弦量时，经常会遇到复数的几种形式 之间的相互转换。通常用复数进行加减运算时，采用 复数的代数形式或三角函数式比较方便，而当复数进 行乘除运算时，则采用复数的指数式比较方便。第五章 正弦交流电路 二、正弦量的复数表示§5-3 正弦量的复数表示& 复数 B 可写成B = Be j (ω t +? ) = B cos( ω t + ? ) + jB sin( ω t + ? )复数B的虚部系数恰好是一个正弦量，这样，我们可 以用一个复数来表示正弦量。正弦量与复数之间的对 应关系如下：u = U m sin( ω t + ? )
U m = U m e j ( ω t +? )oo即复数的模对应正弦量的峰值，复数的辐角与正弦量 的相位对应。第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示(1)上式中的符号表示对应关系，而不是等量关系。即u ≠ U m 或 U m sin(ωt + ? ) ≠ U m e j (ωt +? )o（2）在正弦量的复数表达式 Umej (ω t + ? )中，为了简化，通常略去 ωt 因子，但由复数表达式写出正弦量瞬时值表达式时， 则不能遗漏 ωt 因子。（3）在用复数表示正弦量时，习惯上将A = Aeo j (ω t +? )中的A表示正弦量的有效值。于是正弦电压所对应的复 数表达式为第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示U = Ueoj ( ω t +? )而不是U m = U m e j ( ω t +? )o的形式。但最后由复数表达式写出正弦量的瞬时值表 达式时，一定要求出相应的峰值。u = 220 2 sin(ωt + 30 o )(V ) 例如某正弦电压对应的复数表示为 U m = 220 2eo j 30 ooj (ωt + 30 o )（V）亦可表示为j (ωt + 30o )U = 220e （V），但不能写成 u = 220 2e（V）第五章 正弦交流电路 例7.3 用复数求下列两电流之和：§5-3 正弦量的复数表示i1 = 100 sin(ωt + 45o )( A) i2 = 60 sin(ωt - 30 o )( A)解：利用（7.9）式可得到i1与i2相对应的复数形式表 达式。I 1m = 100e I 2m = 60eo o j 45o= 100cos45o + j100sin45o = 70.7 + j70.7( A)?- j 30o= 60cos30o - j60sin30o = 52 - j30( A)则总电流的复数表达式为第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示I m = I 1m + I 2 m = (70.7 + 52) + j (70.7 - 30) = 122.7 + j 40.7( A) I m = 122.7 2 + 40.7 2 = 129( A)40 ? = tg -1 122..77 = 18 o 20′ooo总电流的瞬时值表达式为i = 129 sin(ωt + 18 20′)( A)o第五章 正弦交流电路§5-3 正弦量的复数表示三、复阻抗、交流电路的欧姆定律 复数法解交流电路的基本原则是把所有的正弦量用对 应的复数表示，然后利用复数运算规则求解。 设正弦电压和电流分别为u = Um sin( t + ?u ) ω对应的复电压复电流为oi = I m sin( t + ?i ) ωUm= Um ej (ω t + ?u)oIm= Imej (ω t + ? i )第五章 正弦交流电路o§5-3 正弦量的复数表示某一元件上的 U m 和 I m 的比值一般为复数，即U m e j ( ω t + ? u ) U m j (? u -? i ) = = e j (ω t +? i ) o I Ime Im o m ? o U m U m j ( ? u -? i ) 将这个复数记作 Z ，即 Z = o = e = Ze j? Im Im o o U U j (?u -?i ) Z= o = e = Ze j? 或 （5.10） I I Um oo称 Z 为复阻抗，这反映了某元件的阻抗特性。? （7.10）式中Z是复数 Z 的模， = ? u - ? i 是辐角。??第五章 正弦交流电路Z =o o§5-3 正弦量的复数表示U R = IUoI其形式与直流电路的欧姆定律Z =o o很相似。我们称Uo为复数交流欧姆定律。oI应该注意，复阻抗 Z 虽然也是复数，但与 U m I m 不同。 U mooo和oIm是正弦量对应的复数形式，式中均有 ω t?因子；而阻抗 Z 不与任何正弦量对应，是不随时间 变化的。}