第56讲解析法证；几何题；解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．；此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能；例1．如图，以直角三角形ABC的斜边AB及直角边；三角形两侧作正方形ABDE、CBFG．求证：DC；证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．；故直线BD的方程为bx－ay－(b2b－a20)；即bx－ay－b＝0．；ED方程设
解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．
此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”．
例1．如图，以直角三角形ABC的斜边AB及直角边BC为边向
三角形两侧作正方形ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析 只要证kCD2kAF＝－1，故只要求点D的坐标．
证明 以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．
故直线BD的方程为bx－ay－(b2b－a20)＝0，
即bx－ay－b＝0．
ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得
a＋b， a＋b
解得C＝±(a＋b)－ab． 如图，应舍去负号．
所以直线ED方程为ax＋by＋a＋b－ab＝0．
解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为kAF＝
kCD＝，而kAF2kCD＝－1．所以DC⊥FA． bb－a
例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，
CH交AB于F．
试证：AD平分ED与DF所成的角．
证明 建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是
xyBH：＋＝1
bhxyAC：＋＝1
过BH、AC的交点E的直线系为：
λ1)＋μ(＋－1)＝0．
以(0，0)代入，得λ＋μ＝0．
分别取λ＝1，μ＝－1，有x()＋y(－)＝0．
所以，上述直线过原点，这是直线DE． 1111
同理，直线DF为x()＋y(＝0．
显然直线DE与直线DF的斜率互为相反数，故AD平分ED与DF所成的角．
说明 写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实际上并不失为一种通法．
例3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍．
证明 在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
x1＋x3y1＋y3x2＋x4y2＋y4
A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为B(，C()．
x1＋x3x2＋x4
＋(x1－x3)＋(x2－x4)
＝(x1＋x3－x2－x4)＋(x1－x3)＋(x2－x4) ＝2(x1＋x2＋x3＋x4－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1) ＝(x1－x2)＋(x2－x3)＋(x3－x4)＋(x4－x1)， 同理有4(
y1＋y3y2＋y4
)＋(y1－y3)＋(y2－y4)
＝(y1－y2)＋(y2－y3)＋(y3－y4)＋(y4－y1)，
两式相加得：
|A1A2|＋|A2A3|＋|A3A4|＋|A4A1|＝4|BC|＋|A1A3|＋|A2A4|．
说明 本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算．
1．如图，⊙O的弦CD平行于直径AB，过C、D的圆的切线
交于点P，直线AC、BC分别交直线OP于Q、R．
求证：|PQ|＝|PR|．
2．自圆M外一点E作圆的切线，切点为F，又作一条割线EAB，交圆M于A、B，连结EF的中点O与B，交圆M于D，ED交圆M于C． 求证：AC∥EF．
3．CH是ΔABC中边AB上的高，H为垂足，点K、P分别是H关于边AC和BC的对称点．
证明：线段KP与AC，BC(或它们的延长线)的交点是ΔABC高线的垂足． 例4．P、Q在ΔABC的AB边上，R在AC边上，并且P，Q，R将ΔABC的周长分为三等分．
． SΔABC9
证明 如图，以A为原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系． 设AB＝c，BC＝a，CA＝b，Q(q，0)，P(p，0)．
p(a＋b＋c)，AR＝PQ－AP＝q－2p，
yRARq－2p从而．
由于2SΔPQR＝yR(q－p)，2SΔABC＝xByC， 所以
SΔPQRyR(q－p)(q－p)(q－2p)
＝＝． SΔABCyCxBbC
注意到p＝q－(a＋b＋c)＜ca＋b＋c)，
所以q－2p＞(a＋b＋c)－c＞a＋b＋c)－(a＋b＋c)a＋b＋c)，
SΔPQR2(a＋b＋c)22(b＋c)22
2＞． SΔABC94bc94bc9
说明 本题中是不可改进的，取b＝c，Q与B重合，则当a趋向于0时，p，面
积比趋向于
例5．设H是锐角三角形ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q．
证明：P、H、Q三点共线．(1996年中国数学奥林匹克)
证明 如图以BC为x轴BC中点O为原点建立直角坐标系． 设B(－1，0)，C(1，0)，A(x0，y0)， 则PQ方程为x0x＋y0y＝1． 点H的坐标为H(x0，y)，满足
y21， x0＋1x0－1
显然H满足PQ方程，即H在PQ上． 从而P、H、Q三点共线．
例6．设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z．若P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C和M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B和N．
试证：AM、DN、XY三线共点．
分析 只要证明AM与XY的交点也是DN与XY的交点即可，为此只要建立坐标系，计算AM与XY的交点坐标．
证明 如图，以XY为弦的任意圆O，只需证明当
P确定时，S也确定．
以Z为原点，XY为y轴建立平面直角坐标系，设X(0，m)，P(0，y0)，∠PCA＝α，其中m、y0为定值． x
于是有xC＝y0cotα．
但是－xA2xC＝yX，则xA＝－tanα．
因此，直线AM的方程为：
y＝cotα(x＋tanα)．
令x＝0，得yS＝，即点S的坐标为(0)．
同理，可得DN与XY的交点坐标为(0，)．
所以AM、DN、XY三线共点． 情景再现
4．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是ΔABD与ΔACD的内心，连接MN并延长分别交AB、AC于K、L两点．
求证：SΔABC≥2SΔAKL．
5．已知△ABC中，∠A＝α＋m．
求证：BC边过定点．
6．设△ABC的重心为G，AG、BG、CG的延长线交△ABC的外接圆于P、Q、R． 求证：＋AGBGCG
例7．以ΔABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于D和E．过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．
求证：AM⊥BC．(1996年国家队选拔题)
分析 建立以BC为x轴的坐标系，则只要证明点A、M的横坐标相等即可．
证明 以BC所在的直线为x轴，半圆圆心O为原点建立直角坐标系．设圆的半径为1，则B(－1，0)，C(1，0)．
令∠EBC＝α，∠DCB＝β， 则直线BD的方程为y＝cotβ2(x＋1)．
同样，直线CE的方程为y＝－cotα2(x－1)， 联立这两个方程，解得A点的横坐标
cotα－cotβsin(α－β)
cotα＋cotβsin(α＋β)
因为∠EOC＝2∠EBC＝2α，∠DOB＝2β， 故E(cos2α，sin2α)，D(－cos2β，sin2β)，G(cos2α，0)，F(－cos2β，0)．
于是直线DG的方程为y＝2(x－cos2α)，
－(cos2α＋cos2β)sin2α
直线EF的方程为y＝2(x＋cos2β)．
－(cos2α＋cos2β)联立这两个方程，解得M点的横坐标
sin2α2cos2β－cos2α2sin2β
sin2α＋sin2β
sin2(α－β)
sin(α＋β)cos(α－β)sin(α－β)
sin(α＋β)
故AM⊥BC．
例8．如图，一条直线l与圆心为O的圆不相交，E是l上一点，OE⊥l，M是l上任意异于E的点，从M作圆O的两条切线分别切圆于A和B，C是MA上的点，使得EC⊥MA，D是MB上的点，使得ED⊥MB，直线CD交OE于F．
求证：点F的位置不依赖于M的位置(1994年IMO预选题)
分析 若以l为x轴，OE为y轴建立坐标系，则只要证明F点的纵坐标与点M的坐标无关即可．
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O的半径为r，OE＝a，∠OME＝α，∠OMAsinθr
yC＝MC2sin(α－θ)＝ME2sin(α－
＝acotα2sin(α－θ)cos(α－θ)， xC＝－yC2tan(α－θ)＝－acotαsin2(α－同理，yD＝acotα2sin(α＋θ)cos(α＋θ)，
xD＝－acotαsin2(α＋θ)． sin2(α＋θ)－sin2(α－θ)
所以，kCD＝ 22
2[sin(α－θ)－sin(α＋θ)]
＝－cot2α．
则直线CD的方程为
y－acotα2sin(α＋θ)cos(α＋θ)＝－cot2α[x＋acotαsin2(α＋θ)]． 令x＝0，得
yF＝acotα2sin(α＋θ)[cos(α＋θ)－cot2αsin(α＋θ)]
acotα2sin(α＋θ)sin(α－θ)
－cos2α＋cos2θ＝a22
4sinθsinθ
＝－) 2sinα
由于是定值，这就表明F的位置不依赖于点M的位置．
2a情景再现
7．在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，经AC、BD交点O作二直线分别交AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H，GF、EH分别交BD于点I、J．
求证：IO＝OJ．（1990年冬令营选拔赛题）
8．水平直线m通过圆O的中心，直线l?m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A、B、C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP、BQ、,CR为圆O的三条切线，P、Q,、R为切点．
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压轴题解题思路
范文一：三 背景 所有的压轴题都是存在于运动背景，具体可分为 （1）点的运动：涉及到一个点或两个点同时运动 （2）平移：直线平移，抛物线的平移，图形的平移 （3）旋转、轴对称 （4）图形的折叠 四 数学思想（1）函数与方程思想 （2）分类讨论思想 五 解题策略 （1）遇到一个无从下手的数学问题，在不选择放弃的情况下，怎么办？ A 反复阅读问题，从所给中寻找可以尝试下去的“蛛丝马迹” 。 B 回忆有没有做过类似的题目，或考虑比它简单、特殊的情况。 C 试试能否用上一些典型的方法；凭感觉写写关系式、画画图像、列出图表，说不定 会有好运气。 （2）探究问题时遇到“拦路虎”，或走进了“死胡同”，怎么办？ A 重新阅读原题，看看有没有漏用或用错的条件。 B 解题路子或使用的方法可能“误入歧途” 尝试换一种思路进行下去。 C 这可能是本题的难点，正常的思路一般难以奏效，要“往外想”、“反着想”，这 叫“正难则反” 。 （3）探究过程中出现错误，或三番五次尝试，总是找不出正确的解答，心情往往会很急 躁，甚至感到很沮丧，如何调整你的心态？ A 特别是在考试中，越想使自己冷静下来往往心情越是烦躁，索性“跳出来”，先不 管它，回头重新来一遍。 B 重新细细读题,检查涉及到的公式、定理以及解题方法是否用得对，在这个过程中心 情也就慢慢平静下来了,然后接着原思路或者换个角度往下摸索。 关键结论 无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、 结论： ※※※关键结论：无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、出现错误 一定选择 ．．．．．． 选择重复仔细阅读问题，这是一种典型、很有价值、 时，一定选择重复仔细阅读问题，这是一种典型、很有价值、而又简 单易行的自我监控方式。要注意实战运用。 单易行的自我监控方式。要注意实战运用。 ※※解题策略提示：已知条件能推出什么？ 有什么特点？ 属于什么题型？ 要证（求）……只要证（求）……? 解决此类问题的一般方法有哪些？ 反复阅读问题，想想有关定义、定理、公式。 解压轴题的几个关键点： ※※解压轴题的几个关键点： 1、养成良好的的读题习惯，不漏条件。 2、关注题目中的特殊图形。 1 3 4 tanA= 或 特殊角：30 0 60 0 45 0 还有 tanA= 2 4 3 特殊三角形（正三角形、3：4：5 或 1：2： 5 的直角三角形、有一个 30 0 的直角三角形、等腰直角三角形……） 3、找准“题眼” （1）“题眼”在于某一个特殊图形中。 （如一对相似三角形、某个直角三角形、一对 全等三角形……） （2）“题眼”在于某个思想方法中。 （如分类讨论问题中，如何进行分类讨论） 4 通过对图形的平移、旋转、轴对称，以及研究几何图形在运动变化中的不变量与变量， 能用信息和推理高度浓缩的方式解答此类 5 中间量策略， 用公式及公式的变形表示中间量， 利用相似三角形对应边构成比例等式来 求出中间量，用函数（解析式、坐标）来表示中间量，利用三角函数表示中间量。 6 将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立 方程，平时应加强这方面的训练。 ※ ※数学思想分析（1）函数与方程的思想仍倍受青睐。 （2）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。要注意：必须确定分类标准，要正确进行 分类，要不重复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续分类，同时要注意层次分明。 ．．．．．．．． ※心态调整 要树立必胜的信心 ※※压轴题的方向 ※※压轴题的方向（1）运动背景的问题还将大行其道。（2） 分类讨论还将是“压点”所在。 （3）函数、相似三角形知识非常关键 A 函数知识是初中数学的核心知识，函数部分的内容主要可归为以下三类：函数关系 式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成。 使其成为初中数学中有关线段长度计算的重 B 相似三角形由于对应边构成比例等式， 要途径和工具，主要知识内容包括：三角形相似的条件、利用相似比建立方程来解 决问题中的中间量。 （4） ）压轴题中好多中间量的计算还是通过建立方程来解决。同学们要有这样一个观念： 将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来 建立方程，平时应加强这方面的训练。 （5）要关注探索性问题。 ※※时间分配 ※※时间分配解压轴题的时间最少也要 35 分钟，所以要根据自己的情况来训练做题的速度，保 证有足够的时间来做压轴题。三 背景 所有的压轴题都是存在于运动背景，具体可分为 （1）点的运动：涉及到一个点或两个点同时运动 （2）平移：直线平移，抛物线的平移，图形的平移 （3）旋转、轴对称 （4）图形的折叠 四 数学思想（1）函数与方程思想 （2）分类讨论思想 五 解题策略 （1）遇到一个无从下手的数学问题，在不选择放弃的情况下，怎么办？ A 反复阅读问题，从所给中寻找可以尝试下去的“蛛丝马迹” 。 B 回忆有没有做过类似的题目，或考虑比它简单、特殊的情况。 C 试试能否用上一些典型的方法；凭感觉写写关系式、画画图像、列出图表，说不定 会有好运气。 （2）探究问题时遇到“拦路虎”，或走进了“死胡同”，怎么办？ A 重新阅读原题，看看有没有漏用或用错的条件。 B 解题路子或使用的方法可能“误入歧途” 尝试换一种思路进行下去。 C 这可能是本题的难点，正常的思路一般难以奏效，要“往外想”、“反着想”，这 叫“正难则反” 。 （3）探究过程中出现错误，或三番五次尝试，总是找不出正确的解答，心情往往会很急 躁，甚至感到很沮丧，如何调整你的心态？ A 特别是在考试中，越想使自己冷静下来往往心情越是烦躁，索性“跳出来”，先不 管它，回头重新来一遍。 B 重新细细读题,检查涉及到的公式、定理以及解题方法是否用得对，在这个过程中心 情也就慢慢平静下来了,然后接着原思路或者换个角度往下摸索。 关键结论 无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、 结论： ※※※关键结论：无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、出现错误 一定选择 ．．．．．． 选择重复仔细阅读问题，这是一种典型、很有价值、 时，一定选择重复仔细阅读问题，这是一种典型、很有价值、而又简 单易行的自我监控方式。要注意实战运用。 单易行的自我监控方式。要注意实战运用。 ※※解题策略提示：已知条件能推出什么？ 有什么特点？ 属于什么题型？ 要证（求）……只要证（求）……? 解决此类问题的一般方法有哪些？ 反复阅读问题，想想有关定义、定理、公式。 解压轴题的几个关键点： ※※解压轴题的几个关键点： 1、养成良好的的读题习惯，不漏条件。 2、关注题目中的特殊图形。 1 3 4 tanA= 或 特殊角：30 0 60 0 45 0 还有 tanA= 2 4 3 特殊三角形（正三角形、3：4：5 或 1：2： 5 的直角三角形、有一个 30 0 的直角三角形、等腰直角三角形……） 3、找准“题眼” （1）“题眼”在于某一个特殊图形中。 （如一对相似三角形、某个直角三角形、一对 全等三角形……） （2）“题眼”在于某个思想方法中。 （如分类讨论问题中，如何进行分类讨论） 4 通过对图形的平移、旋转、轴对称，以及研究几何图形在运动变化中的不变量与变量， 能用信息和推理高度浓缩的方式解答此类 5 中间量策略， 用公式及公式的变形表示中间量， 利用相似三角形对应边构成比例等式来 求出中间量，用函数（解析式、坐标）来表示中间量，利用三角函数表示中间量。 6 将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立 方程，平时应加强这方面的训练。 ※ ※数学思想分析（1）函数与方程的思想仍倍受青睐。 （2）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。要注意：必须确定分类标准，要正确进行 分类，要不重复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续分类，同时要注意层次分明。 ．．．．．．．． ※心态调整 要树立必胜的信心 ※※压轴题的方向 ※※压轴题的方向（1）运动背景的问题还将大行其道。（2） 分类讨论还将是“压点”所在。 （3）函数、相似三角形知识非常关键 A 函数知识是初中数学的核心知识，函数部分的内容主要可归为以下三类：函数关系 式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成。 使其成为初中数学中有关线段长度计算的重 B 相似三角形由于对应边构成比例等式， 要途径和工具，主要知识内容包括：三角形相似的条件、利用相似比建立方程来解 决问题中的中间量。 （4） ）压轴题中好多中间量的计算还是通过建立方程来解决。同学们要有这样一个观念： 将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来 建立方程，平时应加强这方面的训练。 （5）要关注探索性问题。 ※※时间分配 ※※时间分配解压轴题的时间最少也要 35 分钟，所以要根据自己的情况来训练做题的速度，保 证有足够的时间来做压轴题。
范文二：物理选择中的压力压强压轴题解题思路文/张老师1．甲、乙两个实心正方体的密度之比ρ A∶ρ B＝4∶1，质量之比m A∶m B＝1∶2，若按（甲）、（乙）两种不同的方式，分别将它们叠放在水平地面上（如图3所示），则地面受到的压力之比和压强之比分别是A
F甲∶F乙＝1∶1，
p甲∶p乙＝1∶4 B
F甲∶F乙＝1∶1，
p甲∶p乙＝1∶2 C
F甲∶F乙＝1∶2，
p甲∶p乙＝4∶1 D
F甲∶F乙＝1∶3，
p甲∶p乙＝1∶8（甲）图3（乙）图22、如图2所示，三个底面积不同的圆柱形容器内分别盛有A、B、C三种液体，它们对容器底部的压强相等，现分别从三个容器内抽出相同深度的液体后，剩余液体对容器底部的压强pA、pB、pC的大小关系是3.甲、乙两个实心均匀正方体（已知ρ甲＞ρ乙）分别放在水平地面上。若在两正方体右侧沿竖直方向各截去相同的体积，它们剩余部分对地面的压强相等。则未截去前，两实心正方体对地面的压力F甲、F乙 的关系是A.F甲一定大于F乙
B.F甲一定小于F乙 C.F甲可能大于F乙
D.F甲可能小于F乙4．甲、乙两个实心正方体放在细沙面上，沙面凹陷程度如图1所示，则甲A．甲的质量一定比乙大B．甲的质量一定比乙小C．甲的密度一定比乙大D．甲的密度一定比乙小图1A．pA?pB?pC
B．pA?pB?pC
C．pA?pB?pC
D．pA?pC?pB（a）图3（b）5．如图3（a）所示，在质量、高度均相等的甲、乙两圆柱体上沿水平方向切去相同的厚度，并将切去部分叠放至对方剩余部分上表面的中央，如图3（b）所示。若此时甲′、乙′对地面的压力、压强分别为F甲′、F乙′、p甲′、p乙′，则A．F甲′＞F乙′，p甲′＞p乙′
B．F甲′＜F乙′，p甲′＞p乙′
C．F甲′＝F乙′，p甲′＝p乙′
D．F甲′＝F乙′，p甲′＞p乙′6.7．如图2所示，盛有液体甲的薄壁圆柱形容器和均匀圆柱体乙放置在水平地面上，甲和乙的质量相等。现从容器中抽取部分液体甲，并沿竖直方向切去部分乙后，甲对容器底的压强P甲′等于乙对地面的压强P乙′，则原先甲对容器底的压强P甲和乙对地面的压强P乙的关系是
） A．P甲可能大于P乙 C．P甲可能小于P乙B．P甲一定大于P乙D．P甲一定等于 P乙图29. 均匀实心正方体甲和乙放置在水平地面上，甲的边长小于乙的边长，甲、乙各自对水平地面的压强相等。现分别在两物体上沿竖直方向截去质量相同的部分并分别放在对方剩余部分的上方， 此时甲、乙剩余部分对地面的压强分别为p甲′、p乙′，则p甲′：p乙′的值A．一定大于1 C．可能等于1B．一定小于1
D．可能小于110.如图3所示，质量分布均匀，厚度相同且均匀的等腰梯形物体A放在水平地面上，若在其二分之一的高度处，沿着水平方向将其切成B、C两块梯形物体，然后将B、C两块梯形物体放在水平地面上，现在这两块物体对地面的压强分别为PB 和PC ，则A.PB＞PCB.PB＝PC
D.无法判断图311．甲、乙两个底面积不同的轻质圆柱形容器放在水平地面上，分别盛有质量相等的水，如图4所示。现有铁、铝两个金属实心小球(m铁>m铝、V铁A．将铁球放入甲中
C．将铝球放入甲中12．如图4所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，它们对地面的压力相等，现在A、B上沿水平方向分别截去相同厚度Δh，若Δh＝l 时，A、B剩余部分对水平地面的压强关系为pA′＝pB＇。下列说法中正确的是A．若Δh＜l时，A、B剩余部分对地面的压强关系为pA′＞pB＇ B．若Δh＜l时，A、B剩余部分对地面的压强关系为pA′＜pB＇ C．若Δh＞l时，A、B剩余部分对地面的压强关系为pA′＝pB＇ D．若Δh＞l时， A、B剩余部分对地面的压强关系为pA′＞pB＇B．将铁球放入乙中 D．将铝球放入乙中甲乙AB图413．如图13①若甲的质量为1千克，求物体甲的密度ρ甲； ②若乙的质量为2千克，求物体乙对地面的压强p乙； ③若甲、乙的质量分别是m、2m，底面积分别是S、nS(n>2)，要使两个正方体对水平地面的压强相等，可同时在两个正方体上表面施加一个竖直方向、大小相等的力F。某同学分别设方案 A B C D米图13设计的方法加在两物体上的力方向都向下 加在两物体上的力方向都向上甲物体上的力方向向上，乙物体上的力方向向下 甲物体上的力方向向下，乙物体上的力方向向上计了如右表所示的四种方案。选择：方案________的设计是可行的；且方案________的力F最小； 求出：可行的方案中的最小力F小。14. 如图9所示，轻质圆柱形容器甲、乙置于水平地面上，甲盛有质量为m的水、乙盛有质量为3m的酒精，甲、乙的底面积分别为3S、5S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）① 求甲容器中质量为2千克水的体积V水。 ② 求乙容器中，0.1米深处酒精的压强p酒精。③ 为使容器甲、乙对水平地面的压力相等，且两容器内液体对各自容器底部的压强相等，需将一实心物体A浸没于某一液体中（此液体无溢出），求物体A的质量mA与密度ρA。甲图
乙15、如图10甲所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，A的边长为0.2米，B的边长为0.3米，A的密度为3000千克/米3，B的密度为2000千克/米3．（1）求正方体A的质量； （2）求正方体B水平地面的压强；（3）若正方体A、B在底部中间挖去厚度为h，底面积为0.01米2的相同柱形后，如图9乙所示，A、B剩余部分对水平地面的压强PA?和PB?．则PA?、PB?
能”） 相等，请通过计算说明．附：柱形固体的压强专题涉及的物理量：柱形固体的高度、面积、密度、压力、压强及其变化量等。AB（甲）图10（乙）（选填“能”或“不常用公式：p=F/s、p=ρgh（此式虽然是液体内部压强公式，但对于实心柱体对支撑面的压强也成立）基本类型大致可以分成以下四类情况： 1、竖切对于实心均匀柱形固体，根据p=ρgh知，由于竖切前后高度不变，所以竖切后剩余部分的压强与未切割前的压强相等，再根据切割后的底面积关系便可以得出对水平面的压力关系。 2、横切分为两种情况：一类是涉及切去部分的重力或质量关系，此类用p=F/s；第二类则涉及切去部分的高度关系，此类用p=ρgh. 3、竖直方向施力此类也分为两种，一类竖直向上施加力（拉力大小小于物体的重力）；另一类竖直向下施加力。两者都用p=F/s求解即可，竖直向上时施力后的压强可表示为P’=F’/s=(G-F)/s=G/s-F/s=P-F/s；竖直向下时施力后的压强可表示为P’=F’/s=(G+F)/s=G/s+F/s=P+F/s（其中F’表示施力后物体对水平地面的压力，F表示对物体施加的力，P表示未施力前的压强，G表示物体的重力，s表示受力面积）。 ［4、叠放在柱形物体上叠放物体。在柱形物体上放物体和竖直向下施力问题相似，但是与施力时的表达式略有不同。附加、压力压强的变化问题［例1］如图所示，物体A在水平推力F的作用下，从甲图位置匀速运动到乙图位置. 在此过程中， A对桌面的压力将____________，A对桌面的压强将
（填“变大”、“不 变” 或“变小”）［例2］如图,物体A静止在水平桌面上,把物体A向右移动一点(不落地),则物体A对桌面的(
)A.压力和压强都不变,
B.压力不变,压强变大C.压力变大,压强不变.
D.压力和压强都变大［例3］如图所示，在水平桌面上放置一个装满水的杯子，杯内水对杯底的压强为p1，杯子对桌面的压强为p2。若将一物块M轻轻地放入杯中，则物块M静止后
A. p1一定不变，p2可能增大
B. p1可能增大，p2一定不变
C. p1一定增大，p2可能增大
D. p1可能不变，p2一定不变、叠加问题［例1］同种材料制成的正方体A和B，如图所示，对地面的压强分别为P1，P2，把A放在B的上面，此时对地面的压强P3为（
）（用P1、P2表示）［例2］同种材料制成的正方体A和B，如图所示，对地面的压强分别为P1，P2，把B放在A的上面，此时对地面的压强P3为（
）（用P1、P2表示）［例3］正方体甲和乙的边长之比是2：3，将它们分别放置在水平桌面上时，它们对桌面的压强均为p，将甲如图所示放置在乙上面，乙对桌面的压强为p′。则p′：p等于（
） A，9：13；
B，13：9；
D，13：4；
范文三：压轴题破解常用基础知识和基本思想：一、基础知识①中点坐标公式：已知A?x1,y1?，B?x2,y2?，则A、B两点的中点坐标C为：?x1?x2y1?y2?,?? 22??②中位线逆定理：已知1个中点+平行?另一个中点；③习惯并熟练用字母表示数；④线段和差来求某个线段长；⑤直线平行与垂直的应用：（这个垂直在上海使用较少）。 平行：k1?k2,垂直：k1?k2?-1；⑥射影定理的应用：⑦直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；⑧相似与全等里的2个判断方法：(HL对应成比例或相等09年中考压轴题就考了这个方法。)倍倍⑨勾股数的拓展：?3,4,5??2???6，8，10??3???9，12，15???⑩抛物线的对称点式及快速配方法：A(x1,m),B?x2,m?,y?a(x?x1)(x?x2)?m二、基本思想①弦长→垂径定理；②中点→中位线、等腰；③角平分线→角边距离、三线合一等等； ④矩形、正方形对角线上的点→往角两边作垂线；⑤一线三角天天见→造相似、用相似； ⑥求面积→能切割用切割，不能切割去作高；特殊角，特殊边作哥求面积更舒服；⑦相切问题→三要素：圆心距、大小圆半径；⑧动点特殊四边形问题→抓各四边形的专有特点是关键；⑨解的可能个数→注意关键字眼（射线、延长线、线段、直线）、（等腰、等边、相切、旋转、翻折）等等；⑩临界状态的考虑→是定义域的关键；说一千道一万：2个最最重要的东西：1、字母表示：数、坐标、线段长；同一水平线+同一垂直线上的线段长；坐标与线段长的转化；不要怕字母，字母是解决题的工具和桥梁；2、勾股数的应用：减少计算量、节约时间、与锐角三角比+相似紧密结合；与字母表示数相伴相行。三、基本方法1、等面积法2、方程与函数思想利用方程解决几何计算已经不能算难题了，建立变量间的函数关系，也是经常会碰到的，常见的建立函数关系的方法有比例线段，勾股定理，三角比，面积公式等3、分类讨论思想这个大家碰的多了，就不多讲了，常见于动点问题，找等腰，找相似，找直角三角形之类的。4、转化与化归思想就是把一个问题转化为另一个问题，比如把四边形问题转化为三角形问题，还有压轴题中时有出现的找等腰三角形，有时可以转化为找一个和它相似的三角形也是等腰三角形的问题等等，代数中用的也很多，比如无理方程有理化，分式方程整式化等等5、数形结合思想初中用的较多的是用几何问题去解决直角坐标系中的函数问题，对于初中生，尽可能从图形着手去解决，比如求点的坐标，可以通过往坐标轴作垂线，把它转化为求线段的长，再结合基本的相似全等三角比解决，尽可能避免用两点间距离公式列方程组，比较典型的是08年中考，倒数第2题，用解析法的同学列出一个极其复杂的方程后，无法继续求解下去了，而用几何方法，结合相似三角比可以轻易解决。另一个典型的例子是09静安区二模倒数第2题，用几何法3分钟解决，而用代数法30分钟也未必能解决。所以遇到此类题目，切记先用几何方法，实在做不出再用解析法。附：很多东西只是一个大概；我的一个心得体会，没办法细化，除非真正在课堂上讲授！刘老师：2014年6月
范文四：一道高考压轴题多种解题思路的思考【摘 要】作为高中数学教师，应该对高考压轴题认真分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质，以达到拓宽数学视野的目的。适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。【关键词】高考 压轴题 多解【中图分类号】g632 【文献标识码】a 【文章编号】（60－02【试题】已知函数f（x）＝ ，h（x）＝ 。（i）设函数f（x）＝f（x）－h（x），求f（x）的单调区间与极值；（ⅱ）设a∈r，解关于x的方程log4[ f（x－1）－ ]＝log2h（a－x）－log2h（4－x）；（ⅲ）试比较f（100）h（100）－ （k）与 的大小。本题以函数为纽带，有机地将函数、方程、数列不等式融为一体，主要考查函数导数的应用、解方程及不等式证明等基础知识，体现了分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想方法，试题采用平行设问方式，各小问之间相互独立，本文就第（ⅲ）问给出几种解法。解：（i）、（ⅱ）略【解法探究】（ⅲ）解法一：记即 ，则 。＝＝＝故{an}是单调递增数列，故 ，即f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：本题将比较函数值大小问题转化为数列问题，即通过探讨数列的单调性达到证明目的。解法二：先证明：对任何正整数n≥2，有f（n）h（n）－ （k）＞，即证对任何正整数n≥2，有＞ ，当n＝2时，左边 ，结论成立；假设当n＝k（k≥2）时，命题成立，即 ，当n＝k＋1时，欲证＞ 成立，只须证：（4k＋7） －（4k＋3） －（4k＋1） ＞（4k＋3）（4k＋1）2（k＋1）＞（4k＋3）2k 16k3＋24k2＋9k＋1＞16k3＋24k2＋9k，结论成立。即当n＝k＋1时，命题也成立，由归纳原理知，对任何n∈n*，结论都成立。所以，取n＝100时，有f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：凡是与自然数有关的命题，从理论上说都可以用数学归纳法证明。如考生能想到用归纳法证明，则难度并不大，问题可迎刃而解。解法三：由已知得 。设数列{an}的前n项和为sn，且sn＝f（n）h（n）－ （n∈n*），从而有a1＝s1＝1，当2≤k≤100时， 。又ak－＝＝ 。即对任意的2≤k≤100，有ak＞ 。又因为a1＝1＝ ，所以 。故f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：虚拟数列{an}，将 不能求和的代数式，利用ak＞搭桥，巧妙地链接，通过恰当放缩，完成了对问题的解决，但这种方法对考生的思维能力要求较高（本解法是高考答案提供的解法）。解法四：由已知得 。设数列{an}的前n项和为sn，sn＝f（n）h（n）－ ，从而有a1＝s1＝1，当2≤k≤100时，ak＝sk－sk－1＝ k ＋－ （k－1） －。又 ＝ (k－1) ＝。即对任意的2≤k≤100，有ak＞ ，又因为a1＝s1＝1，所以 ，故f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：思想方法的实质与解法3相同。解法五：由已知得 。≤＝所以 ≤，故f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：对于 不能直接求和的式子，通过构造恒等式，再恰当的放缩求和，但对考生的能力要求较高。解法六：f（100）h（100）－ ＝ 。＝＝＝。所以 ，，,,， ，上式叠加得，化简得。故f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：从通项入手，通过一系列放缩转化，利用“拆项相消”的方法达到解题目的。解法七：f（100）h（100）－ ＝ 。在x轴正半轴上依次取点a1，a2，,,，a100，使oa＝1，a1a2＝1，a2a3＝1，,,，a99a100＝1，过ai作垂直于x轴的直线交函数h（x）的图象于pi（1＜i＜100）。因为函数h（x）＝ 是上凸函数，所以线段pipi＋1在函数的图象下方，因此梯形aiai＋1 pi＋1pi的面积小于函数h（x）＝ 上弧pipi＋1与aipi、ai＋1pi＋1、aiai＋1所围成的图形的面积。即： （1≤i≤99）。所以： 。。。故：f（100）h（100）－ （k）＞ 。点评：利用高等数学定积分知识和数形结合思想，可以容易获得探索与证明的思路。若是使用“新课标”的考生，则本题是一道较好的中档训练题。本题较好地体现了现代社会对数学教育的要求，情境朴实，形态简洁明了；采用“以能力立意”的命题思路，注重新旧知识的交汇，着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质，使新课程所倡导的“多样性、交叉性、纵向不深、模向拓宽”的命题要求得以充分地体现；同时突出了高考的选拔功能，具有较高的准确度和区分度。【启示】高考压轴题往往都有一定的创新，但并非无源之水，而是推陈出新，有根可导，本题就是在高等数学的背景下设置的一道压轴题。作为高中数学教师，应该对高考试题特别是压轴题认真地分析研究，了解试题背景，摸清命题意图，揭示试题本质、以达到拓宽数学视野、居高临下，对高考试题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的，这也是高三数学中把握复习方向的重要基础。“一题多解”教学，对于拓展学生思维，培养学生分析问题、解决问题能力具有十分重要的意义，适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地去思考问题，从而深化对知识的理解，激活学生的数学思维。
范文五：中考数学压轴题解题思路分享中考解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。4、综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。5、分题得分中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。6、分段得分一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。
范文六：作者：张荣蓉数学教学 1998年10期一、试题：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD，垂足为O。。设AB=a,CD=b,a+b=34。(1)求a,b；如果存在，说明理由，并判断点(m,n)在第几象限？如果不存在，请证明。二、解法：(1)过点C作CE⊥AB交AB于E，过点C作CF∥BD交AB的延长线于F。∵ABCD是等腰梯形，且AC⊥BD，∴△ACF为等腰直角三角形，四边形BDCF是平行四边形。∴AF=AB+DC=a+b=34，EC=1/2AF=17.∴EB=1/2(a-b)=7,a-b=14,a+b=34.∴a=24,b=10.(2)假设存在实数m,n(m＞n)使得关于x,y的方程组:即△＞0，方程有实数解。∴点(m,n)在第四象限。三、剖析：1.综合审题：要提炼内容，分出层次。所谓提炼内容就是把题中拗癖的句子能用简单的数学语言及符号语言表达，分出层次就是把混杂的问题与条件分别清晰地一一列出，本题有两小题，可这样来提炼内容，分出层次：第一小题的层次是：(1)图形是等腰梯形，即AD=BC；(2)对角线互相垂直，即AC⊥BD；(3)已知腰；(4)已知两底和a+b=34，即AB+DC=34；(5)求两底，a，b，即AB，CD。条件、问题一目了然。第二小题的层次是：(4)是否存在实数m,n(m＞n)满足上述关系？(5)如存在，判断点(m,n)在第几象限；(6)如不存在，请证明。意思表达清楚易明。2.探索思路：要运用规律，揭示本质。所谓运用规律就是把题中的条件与问题之间通过基本知识点贯通，理出一条完整的思维路子，所谓揭示本质就是以题中特定的条件及特殊的问题、结论，找出清晰的解题思路。本题归为两条解题思路：(1)求a，b的思路：①由已知图形为等腰梯形，且对角线互相垂直而思考把等腰梯形转化为等腰直角三角形的思路，由此可添出辅助线，把a，b搬到同一线段AF上；②由已知两底和与一腰长而思考能否求出两底差的思路，这样就把条件与问题通过这两条思路贯穿起来了。(2)确定实数m,n是否存在的思路。凭什么作为判断依据是关键，这条思路只能以假设与推理作为猜想的思考途径。假设是猜想的前提，推理过程是猜想的探索过程，最后以推理的结果为判断依据是科学思维的方法。所以一条思路是以假设实数m,n存在，并满足的解出发。进行一系列推理，最后来审定m,n的存在与否。另一条思路则是m,n的审定，推理过程中审定方法，通过用根的判别式来判定有无解，得出结论。综合上两条思路，第二小题的特殊问题，由特定的条件通过探索找到了清晰的思路。3.分析解题：要缜密思维，知识点明确。所谓缜密思维就是要提高思维的变通能力，掌握综合归纳解题方法，所谓知识点明确就是在分析问题中，分类灵活运用知识点，综合贯穿知识点，达到解题正确无误。本题两小题，可归纳成十二个知识点：第一小题，求梯形两底采用逆向思维方法，找出所用知识点：(1)用知识点二元一次方程组的解法，已知a+b=34，只要求得a-b，即可求得a,b。(2)用知识点等腰梯形性质，作AB边上的高CE。求得BE=(1/2)(a-b)。(3)用知识点勾股定理，可求得.(4)用知识点等腰直角三角形性质，可求得CE=(1/2)AF=(1/2)(a+b)。第二小题，以假设实数m,n存在，的思维方法找出所用的知识点。(1)用知识点方程组解的概念，把(2)用知识点解方程组的方法，先消去n，得：m[2]-4m+t-9=0。(3)用知识点根的判别式△=b[2]-4ac，得△=4(13-t)。(4)用知识点不等式的基本性质，由(5)用知识点一元二次方程求根公式得：m=2±(6)用知识点数的大小关系，∵m＞n,m+n=4得m＞2。∴m=2+,由此可得n=2-，则实数m,n存在。(7)用知识点不等式的基本性质，m=2+＞4,n=2-＜0(8)用知识点点在象限内的判定方法得(m,n)在第四象限。由此，就可顺利地解出本题，达到理想的效果。作者介绍：张荣蓉，江苏无锡市山明中学
214035作者：张荣蓉数学教学 1998年10期一、试题：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD，垂足为O。。设AB=a,CD=b,a+b=34。(1)求a,b；如果存在，说明理由，并判断点(m,n)在第几象限？如果不存在，请证明。二、解法：(1)过点C作CE⊥AB交AB于E，过点C作CF∥BD交AB的延长线于F。∵ABCD是等腰梯形，且AC⊥BD，∴△ACF为等腰直角三角形，四边形BDCF是平行四边形。∴AF=AB+DC=a+b=34，EC=1/2AF=17.∴EB=1/2(a-b)=7,a-b=14,a+b=34.∴a=24,b=10.(2)假设存在实数m,n(m＞n)使得关于x,y的方程组:即△＞0，方程有实数解。∴点(m,n)在第四象限。三、剖析：1.综合审题：要提炼内容，分出层次。所谓提炼内容就是把题中拗癖的句子能用简单的数学语言及符号语言表达，分出层次就是把混杂的问题与条件分别清晰地一一列出，本题有两小题，可这样来提炼内容，分出层次：第一小题的层次是：(1)图形是等腰梯形，即AD=BC；(2)对角线互相垂直，即AC⊥BD；(3)已知腰；(4)已知两底和a+b=34，即AB+DC=34；(5)求两底，a，b，即AB，CD。条件、问题一目了然。第二小题的层次是：(4)是否存在实数m,n(m＞n)满足上述关系？(5)如存在，判断点(m,n)在第几象限；(6)如不存在，请证明。意思表达清楚易明。2.探索思路：要运用规律，揭示本质。所谓运用规律就是把题中的条件与问题之间通过基本知识点贯通，理出一条完整的思维路子，所谓揭示本质就是以题中特定的条件及特殊的问题、结论，找出清晰的解题思路。本题归为两条解题思路：(1)求a，b的思路：①由已知图形为等腰梯形，且对角线互相垂直而思考把等腰梯形转化为等腰直角三角形的思路，由此可添出辅助线，把a，b搬到同一线段AF上；②由已知两底和与一腰长而思考能否求出两底差的思路，这样就把条件与问题通过这两条思路贯穿起来了。(2)确定实数m,n是否存在的思路。凭什么作为判断依据是关键，这条思路只能以假设与推理作为猜想的思考途径。假设是猜想的前提，推理过程是猜想的探索过程，最后以推理的结果为判断依据是科学思维的方法。所以一条思路是以假设实数m,n存在，并满足的解出发。进行一系列推理，最后来审定m,n的存在与否。另一条思路则是m,n的审定，推理过程中审定方法，通过用根的判别式来判定有无解，得出结论。综合上两条思路，第二小题的特殊问题，由特定的条件通过探索找到了清晰的思路。3.分析解题：要缜密思维，知识点明确。所谓缜密思维就是要提高思维的变通能力，掌握综合归纳解题方法，所谓知识点明确就是在分析问题中，分类灵活运用知识点，综合贯穿知识点，达到解题正确无误。本题两小题，可归纳成十二个知识点：第一小题，求梯形两底采用逆向思维方法，找出所用知识点：(1)用知识点二元一次方程组的解法，已知a+b=34，只要求得a-b，即可求得a,b。(2)用知识点等腰梯形性质，作AB边上的高CE。求得BE=(1/2)(a-b)。(3)用知识点勾股定理，可求得.(4)用知识点等腰直角三角形性质，可求得CE=(1/2)AF=(1/2)(a+b)。第二小题，以假设实数m,n存在，的思维方法找出所用的知识点。(1)用知识点方程组解的概念，把(2)用知识点解方程组的方法，先消去n，得：m[2]-4m+t-9=0。(3)用知识点根的判别式△=b[2]-4ac，得△=4(13-t)。(4)用知识点不等式的基本性质，由(5)用知识点一元二次方程求根公式得：m=2±(6)用知识点数的大小关系，∵m＞n,m+n=4得m＞2。∴m=2+,由此可得n=2-，则实数m,n存在。(7)用知识点不等式的基本性质，m=2+＞4,n=2-＜0(8)用知识点点在象限内的判定方法得(m,n)在第四象限。由此，就可顺利地解出本题，达到理想的效果。作者介绍：张荣蓉，江苏无锡市山明中学
范文七：五大中考数学压轴题的常用解题思路在中考数学考试中最后一道题一般都是比较难的，我们称之为中考数学压轴题。中考数学压轴题的出题目的一般就是拉开考生之间的差距。下面的文章就向各位同学介绍几种中考数学压轴题的常用解题思路。一、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想。纵观最近几年各地的中考数学压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，点的位置转化为坐标问题，“三十六技：点在图像上，点的坐标满足方程”;另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答，把坐标的问题转化为线段的关系，利用“直角坐标系中求线段的长度，不管三七二十一先考虑三角形相似再说80%”，“几何中求线段的长度，不管三七二十一先构造直角三角形再说80%” 的方法解决问题。二、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想。直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。“方案选择与最值问题，不管三七二十一先建立目标函数再说100%”、“二次函数极值问题，不管三七二十一先考虑化成顶点式作图再说100%”。在解答一次函数与二次函数图像问题的综合题时，应结合图像的特点、函数的性质，牢记参数a\k的几何意义，“三十六技：k在一元一次函数中的作用”、“a在一元二次函数中的作用”、“二次函数图形对称”。三、 利用条件或结论的多变性，运用逻辑划分的思想。纵观近几年的逻辑划分(即分类讨论)思想解题已成为重点，每年肯定要考。原因在于逻辑划分思想可考查学生数学思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考核。请同学们牢记“三十六技：分类讨论不重复，不遗漏”、“不增根，不漏解”，“特别的点，特别的爱”，避免不注意对各种情况分类讨论，造成错解或漏解不必要的失分。四、 综合多个知识点，运用等价转换的思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。五、 抓住定义法，运用归纳猜想的思想新课标中，还有一类新题型，就是材料阅读理解题与规律探究开放问题。这类题型主要考查学生获取新知识，学以致用的能力，形象的讲就是“糖炒栗子，现炒现卖”。阅读材料理解题，关键读懂材料本身想说明的知识点，这类知识点或是教材的拓展，或是高中数学的简单知识点，这种题型有一定的难度。解决这类题“不管三七二十一先抓住定义法再说”，“三十六技：阅读理解题，以瓢画葫芦”。规律探究开放问题是中考必考的一种题型，它融合了考查学生发散思维、数学研究能力。鉴于但此类题目相对难度比较大，故在命题中运用“低起点高落点”的命题原则，让学生容易上手，故中考题目得分率还是比较高，但考生一定要做到“三十六技：观点开放题，有根有据、合情合理”，以免不必要的丢分。上文中所讲述的五个内容就是中考数学压轴题的常用解题思路。希望对各位中考考生解答中考数学压轴题能有一定的帮助。
范文八：中考数学压轴题解题思路与应试技巧压轴题解题思路与应试技巧数学压轴题常分为两类：函数型压轴题和几何型压轴题.1.函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质.初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线.求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）.此类题基本在第最后两题中出现，基本设置2~3小问来呈现.2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等.求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式.一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求.找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法.求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解.而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值.几何型综合题基本是做为压轴题出现，一般设置3小问.解中考数学压轴题秘诀:数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高.
具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活.解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略.现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考:1.以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答.2.以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形.因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想.例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得.3.利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点.4.综合多个知识点，运用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用.中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面.因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略.5.分问得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小问，难易程度是第（1）小问较易，第（2）小问中等，第（3）小问偏难，在解答时要把第（1）小题问的分数一定拿到，第（2）小问的分数要力争拿到，第（3）小问的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.6.分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分.因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏.数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型.综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现.压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质.下面结合实例谈谈解题方法：1.利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题【例1】在△ABC中，∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.(1)求△ABC的面积；(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置，有三种情况.①当0﹤t≦6时，P、Q分别在AB、BC边上；②当6﹤t≦8时，P、Q分别在AB延长线上和BC边上；③当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.【例2】已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y.（1）写出y与x的关系式；(2)求当y＝1时，x的值等于多少？
3点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.2.利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程.【例3】如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【参考答案】（1）①∵t?1秒，∴BP?CQ?3?1?3厘米，∵AB?10厘米，点D为AB的中点，∴BD?5厘米．又∵PC?BC?BP，BC?8厘米，∴PC?8?3?5厘米，∴PC?BD．又∵AB?AC，∴?B??C，∴△BPD≌△CQP．②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5，∴点P，点Q运动的时间t?BP4CQ515?秒，∴vQ???厘米/秒． 433t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意， 得?10，解得x?秒． 3480?3?80厘米． 3∴点P共运动了∵80?2?28?24，∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． 3第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性.第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来.中等的动点题也就没问题了.但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内.练一练1.对称翻折平移旋转【练一练1】如图12，把抛物线y??x（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点2E.（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S?ABM?S?四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由.2.动态：动点、动线【练一练2】如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于2点C(0，4)，其中x1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.比例比值取值范围【练一练3】图9是二次函数y?(x?m)2?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?5S?MAB,若存在，求出P点的坐标；4若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.4.探究型2y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两【练一练4】如图，抛物线点，与y轴交于C点.（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说 明理由.5.最值类【练一练5】如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.//
范文九：☆!数学教学!数学压轴题解题思路形成的三个环节’牛锦萍（兰化一中，甘肃兰州,#〔关键词〕审题；归类分析；揭示关键〔中图分类号〕&’##(’〔文献标识码〕)〔文章编号〕*数学压轴题以其表述较长、涉及面广、条件多且错综复杂而让考生望而生畏!因此，在教学中要指导学生抓住三个基本环节!一、形成解题思路的基础———审题例’(%’)与%轴交于*、+两点，与#轴的负半轴交于,点，且，求#*+,外接圆面积!［思路分析］此题表述十分简约，若审题稍不慎，极易出错!（对题中信息作记录及整理：!$0*?0+；由图可判断出%，且)2.；#由式子$，并注意0*$1%%&，0,$1)4（这里符号的处理要求十分谨慎）$要求的外接圆直径就是*+，即5%（&）从以上分析可找出解题思路：由!0,&$0*?0+，即)&$1%$1)，)$1从而可求得*+!&!抓住关键字句!数学语言的表达往往是十分精确并具有特定意义的，审题时，应该仔细看清题目的每一个字、词、句，尤其要注意“关键词”的确切含义，这样才能找到解题的突破口!例&!若6、7互为相反数，8、9互为倒数，:是;的平方根，求&..［思路分析］本题应抓住的“关键词”有：互为相反数、互为倒数、平方根，它们的意义分别是：若6、7互为相反数，则6’7$.；若8、9互为倒数，则8?9$则:&$;4因此有&..是指数学题中那些含而不露的条件，它需要通过仔细观察、联想、分析后才能发现!这些因素极容易被学生忽视，这不仅影响到能否找到解题途径，还影响到解题的准确性!所以教师在教学中应注意启发学生挖掘题目条件中的隐含条件，即“化隐为显”!例#1!#1&#’［思路分析］!和成立的条件是%%二、形成解题思路的条件———归类分析中学阶段数学综合题虽然题目繁多，千变万化，但是万变不离其宗!只要我们注意启发学生勤于动脑，善于归纳总结，就不难发现复杂变化中不变的基本规律，即同类数学题具有共同的特点和基本思路!在审清题意的基础上正确运用归类分析的方法，再结合具体题目的特点就容易形成比较完整的解题思路!例;!如图求此大厦的高度+,!（解略）讲解完此题后，针对此题中的方法，依次设计如下小题目：变式&...米处经过，沿水平方向飞行，到达+点，炮兵测得其仰角图*为;>/，一分钟后到达*点，炮兵测得其仰角为变式&：一轮船自西向东航行，在*处测得某岛,在北偏东?./的方向上，船前进@变式一艘渔船以&.海里A小时的速度向北航行，在*处看见灯塔B在船的北偏东甘肃教育!$,!数学教学!☆二、开拓学生思维的空间，培养学生创新意识计算机辅助教学，能根据教学需要将教学内容实现动与静、快与慢、整与散、虚与实之间的转换，形象生动地再现事物发生、发展的过程，揭示事物的本质联系，克服单纯靠语言讲解的抽象性和局限性。扩大学生认识的时空，降低学生认识的难度，缩短学生的认识过程，能发展学生的思维个性。利用计算机中图像位置、形状、颜色等变化，引导学生运用观察、联想、对比、抽象、概括等使学生主动地参与研究问题，从中得出新概念、新发现、新结论，培养学生的创造能力。如在《圆与圆的位置关系》教学中，借助计算机图像的两个圆运动过程，让学生得出两个圆位置关系，可加深对概念的理解，掌握判断两圆位置关系的方法。合理利用多媒体教学可增加教学的直观性、形象性，降低难度，节省教师板书画图时间，让学生有更多时间思考、理解和练习。同时从不同角度启迪学生进行思维，有利于培养学生发散思维，提高创造力。总之，现代技术手段在数学教学中的应用，通过声响、图像、色彩等种种表现，有利于扩大学生的视野，培养学生的创新意识和探索意识，拓宽学生获取知识的途径，培养学生学习的自主性，优化课堂教学，提高教学质量。节，尤其是解一些复杂的、难度较大的综合题，寻找解题突破口更为重要2突破这个难点的方法是通过老师多引导，学生多分析、多练习来解决2例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售,&件，每件盈利#&元2为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采用适当的降价措施2经调查商场平均每天可多发现，如果每件衬衫每降价(元，售出,件；若商场平均每天要盈利(,&&元，每件衬衫应降价多少元？［思路分析］尽量减少库存，即是减少费用，加快流通，这是与生活相关的隐含条件，也是潜藏于实际生活中的规律，这类题为方程知识的应用开拓了新视野2计算机辅助教学在数学教学中的作用（天水市玉泉中学，甘肃天水.+*〔关键词〕创设教学情境；开拓思维空间〔中图分类号〕&’##(’〔文献标识码〕)〔文章编号〕*境，使学生身历其境，受到感染与启发，就可充分激发学生的学习兴趣，增强求知欲。同时，教师设置启发性的问题，借助计算机课件中的图像引导，点拨学生认真思考，积极探索。例如，讲解“到直线3的距时，先设离等于定长-的点的轨迹”正确、合理地将计算机辅助教学应用到教学中，是初中数学教学的新发现、新突破。实践证明，计算机辅助教学的合理应用，对增强学生主动参与教学的全过程，更好地掌握基础知识、基本技能、基本思想以及培养学生创新意识和实践能力都有积极的作用。一、创设教学情境，变苦学为乐学传统课堂教学以教师语言讲授为主，辅以卡片、黑板、图形、模型、挂图等静态实物，学生在学习中感觉单调、枯燥、乏味，往往教师讲得津津有味，学生听得昏昏欲创设与教学内容相吻合的教学情是否有触暗礁的危险？变式#：$地气象台测得台风中心在$地正西%&&千米的’处，正以(&!千米)时的速度向北偏东若在台风中心,&&千米范围内都受*&+的方向移动，台风影响，求$地受台风影响的时间？沿变式-：有两条公路./、.0相交成%&+的角，公路./方向1&米处有一所学校，当拖拉机沿.0方向行驶时，路两旁-&米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为(1千米)小时，那么拖拉机沿.0方向行驶将给学生带来噪音影响的时间是多少？三、形成解题思路的突破口———揭示关键寻找解题的突破口是形成解题思路的重要环置问题：!为什么自行车的车轮制成圆形而不制成正方形；睡。若能在教学中运用电教手段，愉快和谐的学习气氛，使学生变塔!的周围$,甘肃教育!
范文十：二次函数压轴题 例题：如图，已知抛物线 y= x +bx+c（b，c 是常数，且 c＜0）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位 于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣1，0） ． （1）b= 果均用含 c 的代数式表示） ； （2）连接 BC，过点 A 作直线 AE∥ BC，与抛物线 y= x +bx+c 交于点 E，点 D 是 x 轴上的一点， 其坐标为（2，0） ．当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PB，PC，设所得△ PBC 的面 积为 S． ① 求 S 的取值范围；② 若△ PBC 的面积 S 为整数，则这样的△ PBC 共有 个．2 2，点 B 的横坐标为（上述结分析： （1）将 A（﹣1，0）代入 y= x +bx+c，可以得出 b= +c；根据一元二次方程根与系数的关22系，得出﹣1oxB= ，即 xB=﹣2c； （2）由 y= x +bx+c，求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，c） ，则可设直线 BC 的解析式为 y=kx+c，将 B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线 BC 的 解析式为 y= x+c；由 AE∥ BC，设直线 AE 得到解析式为 y= x+m，将点 A 的坐标代入，运用待定系数法求出直线 AE 得到解析式为 y= x+ ；解方程组，求出点 E 坐标为（1﹣2c，1﹣c） ，将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y=﹣ x+c，求出 c=﹣2，进而得到抛物线的 解析式为 y= x ﹣ x﹣2； （3）① 分两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，由 0＜S＜S△ ACB，易求 0＜S＜5； （Ⅱ ）当 0＜ x＜4 时，过点 P 作 PG⊥ x 轴于点 G，交 CB 于点 F．设点 P 坐标为（x， x ﹣ x﹣2） ，则点 F 坐 标为（x， x﹣2） ，PF=PG﹣GF=﹣ x +2x，S= PFoOB=﹣x +4x=﹣（x﹣2） +4，根据二次函数 的性质求出 S 最大值=4，即 0＜S≤4．则 0＜S＜5；② 由 0＜S＜5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4．分 两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，根据△ PBC 中 BC 边上的高 h 小于△ ABC 中 BC 边上的 高 AC= ，得出满足条件的△ PBC 共有 4 个； （Ⅱ ）当 0＜x＜4 时，由于 S=﹣x +4x，根据一元二2 2 2 2 2 2次方程根的判别式，得出满足条件的△ PBC 共有 7 个；则满足条件的△ PBC 共有 4+7=11 个．解答 过程略。点评：本题是以二次函数为背景的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二 次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标（二、以直线 或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想），三角形的面积（四、运用等价转换 的思想），一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识（四、综合多个知识点），综 合性较强，有一定难度，运用数形结合（一）、分类讨论（三、利用条件或结论的多变性， 运用分类讨论的思想）及方程思想（二、方程思想）是解题的关键．例 2 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是(4，0)，并且 OA＝OC＝4OB，动点 P 在 过 A，B，C 三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F， 连接 EF.当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标．解：(1)由 A(4，0)，可知 OA＝4. ∵ OA＝OC＝4OB，∴ OC＝4，OB＝1， ∴ C(0，4)，B(－1，0)． 解法一：设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ?a－b＋c＝0， ?a＝－1， 从而得方程组?16a＋4b＋c＝0，解得?b＝3， ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4. 解法二：设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－4)(x＋1)(a≠0)， ∵ C(0，4)在抛物线上， ∴ 4＝a(0－4)(0＋1)，解得 a＝－1. ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4.??? ?c＝4，? ?c＝4.(2)存在． 第一种情况，当以点 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1⊥ AC 交抛物线于点 P1，过点 P1 作 y 轴 的垂线，垂足为 M. ∵ ∠ ACP1＝90° ，∴ ∠ MCP1＋∠ ACO＝90° ， ∵ ∠ OAC＋∠ ACO＝90° ，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC. ∵ OA＝OC，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC＝45° ， ∴ ∠ MCP1＝∠ MP1C，∴ MC＝MP1. 设 P1(m，－m2＋3m＋4)，则 m＝－m2＋3m＋4－4. 解得 m1＝0(舍)，m2＝2， ∴ －m2＋3m＋4＝－4＋6＋4＝6. 即 P1(2，6)． (3)连接 OD，由题意知，四边形 OFDE 为矩形，则 OD＝EF，根据直线外一点到直线上的各 点的线段中，垂线段最短可知，当 OD⊥ AC 时，OD 最短，即 EF 最短． 由(1)知，在 Rt△ AOC 中，OC＝OA＝4， 则 AC＝ OC2＋OA2＝ 42＋42＝4 2. 根据等腰三角形性质，D 为 AC 的中点， 1 又∵ DF∥ OC，∴ DF＝ OC＝2，∴ 点 P 的纵坐标为 2. 2 3＋ 17 3－ 17 从而得－x2＋3x＋4＝2，解得 x1＝ ，x2＝ . 2 2 3＋ 17 3－ 17 ∴ 当 EF 最短时，点 P 的坐标分别为( ，2)或( ，2)． 2 2 例 3 已知抛物线 C：y＝－x2＋bx＋c 经过 A(－3，0)和 B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记 为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的函数表达式； (2)求点 M 的坐标； (3)将抛物线 C 平移到抛物线 C′，抛物线 C′的顶点记为 M′，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N′，如果以点 M，N，M′，N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样 平移？为什么？?－9－3b＋c＝0， ? 解：(1)根据题意，得? ? ?c＝3， ?b＝－2， ? 解得? ?c＝3， ? ∴ y＝－x2－2x＋3. b 2 (2)∵ x＝－ ＝－ ＝－1，∴y＝4， 2a 2 ∴ M(－1，4)． (3) 由 题 意 ， 知 以 点 M ， N ， M′ ， N′ 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 边 MN 的 对 边 只 能 是 M′N′.∴ MN∥ M′N′，且 MN＝M′N′， ∴ MN· NN′＝16，∴ NN′＝4. ① 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是? MNN′M′时，将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单 位长度可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ② 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是? MNM′N′时，将抛物线 C 先向左或向右平移 4 个 单位长度，再向下平移 8 个单位长度，可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ∴ 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线 C′.例 4 如图 4，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a图4 解：(1)过点 C 作 CG⊥ x 轴，垂足为 G，则 OG＝1. AC 3 ∵ AC∶ BC＝3∶ 1，∴ ＝ . AB 4 AC AG 3 AG 3 由△ AGC∽ △ AOB，得 ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得 AG＝3，则 AO＝4.∴ 点 A 的坐标为(－ AB AO 4 AG＋1 4 4，0)．(2)由题意，得 c＝0，将 A(－4，0)代入 y＝ax2＋bx 中， 得 0＝16a－4b，∴ b＝4a. 2 ∴ y＝ax ＋4ax，此时 F(－2，－4a)，C(－1，－3a)． DE AE 2 DE 2 由△ ADE∽ △ ACG 得 ＝ ＝ ，即 ＝ ， CG AG 3 －3a 3 ∴ DE＝－2a，D(－2，－2a)． 若△ FCD 与△ AED 相似， 显然只有∠ DCF＝∠ DEA＝90° 情况下，△ FCD∽ △ AED.过点 C 作 CH⊥ DF 于点 H，则 CH＝EG＝2－1＝1，HE＝CG＝－3a.∴ HF＝－4a－(－3a)＝－ a，DH＝－3a－(－2a)＝－a， 1 1 ∴ H 为 DF 的中点．∵ ∠ DCF＝90° ，∴ CH＝ DF，即 1＝ × (－2a)，∴ a＝－1，∴ 二次函数的表 2 2 达式为 y＝－x2－4x. 例 5 如图 5，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)， 1 ( a， )两点，点 P 在抛物线上运动，以 P 为圆心的⊙ P 经过定点 A(0，2)． 16 (1)求 a，b，c 的值； (2)求证：点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交； (3)设⊙ P 与 x 轴相交于 M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△ AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标．图5 解：(1)∵ 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)，( a， 1 )两点， 16 b＝0， 1? ? ?c＝0， ?a＝4， ∴ ? 1 解得?b＝0， ?a ＝16， ? ?c＝0. ?2(2)证明：设 P(x，y)，⊙ P 的半径 r＝ x2＋（y－2）2， 1 2 ?2 1 又 y＝ x2，则 r＝ x2＋? ?4x －2? ， 4 1 4 1 化简得 r＝ x ＋4＞ x2， 16 4∴ 点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交． 1 2 1 4 1 4 (3)设 P(a， a )，∵ PA＝ a ＋4，作 PH⊥ MN 于点 H，则 PM＝PN＝ a ＋4，又 PH＝ 4 16 16 1 2?2 1 2 1 4 a ，则 MH＝NH＝ a ＋4－? ?4a ? ＝2，故 MN＝4，∴M(a－2，0)，N(a＋2，0)． 4 16 又 A(0，2)，∴ AM＝ （a－2）2＋4，AN＝ （a＋2）2＋4. 当 AM＝AN 时，解得 a＝0；当 AM＝MN 时， （a－2）2＋4＝4， 1 解得 a＝2± 2 3，则 a2＝4± 2 3； 4 1 当 AN＝MN 时， （a＋2）2＋4＝4，解得 a＝－2± 2 3，则 a2＝4± 2 3. 4 综上所述，点 P 的纵坐标为 0 或 4＋2 3或 4－2 3.拓展练习 1．如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式． （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MN∥ y 轴交抛 物线于 N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长． （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△ BNC 的面积最大？若存在，求 m 的 值；若不存在，说明理由．拓展练习 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，﹣3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t． （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式． （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积． （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直 接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．拓展练习 3．如图，Rt△ ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐 标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y= 直线 x=2 2 x +bx+c 经过点 B，且顶点在 35 上． 2（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把△ ABO 沿 x 轴向右平移得到△ DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得△ PBD 的周长最小，求出 P 点的 坐标； （4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ，过点 M 作∥ BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，△ PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关 系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标； 若不存在，说明理由．参考答案：1、解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x﹣3） ，则：a（0+1） （0﹣3）=3，a=﹣1；∴ 抛物 线的解析式：y=﹣（x+1） （x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线 BC的解析式为：y=kx+b，则有： y=﹣x+3． 已知点 M 的横坐标为 m，MN∥ y，则 M（m，﹣m+3） 、N（m，﹣m2+2m+3） ； ∴ 故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3） ． （3）如图；∵ S△ BNC=S△ MNC+S△ MNB= ∴ S△ BNC= ∴ 当 m= ，解得 ；故直线 BC 的解析式：1 1 MN（OD+DB）= MNoOB， 2 2（0＜m＜3） ； ．1 1 3 （﹣m2+3m）o3=﹣ （m﹣ ）2+ 2 2 2 3 时，△ BNC 的面积最大，最大值为 22、解： （1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3．设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3；（2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3） ，则 M（t，t2﹣2t﹣3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t﹣3） ﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当 t=﹣ =，则 S△ ABM=S△ BPM+S△ APM= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 = ．（3）存在，理由如下：∵ PM∥ OB，∴ 当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边 形， ① 当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3．② 当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= 标是 ，t2= （舍去） ，所以 P 点的横坐 （舍去） ，t2= ． ，；③ 当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= ．所以 P 点的横坐标是 或所以 P 点的横坐标是拓展 2 图 拓展 3 图解： （1）∵ 抛物线 y=经过点 B（0，4）∴ c=4，∵ 顶点在直线 x=上，∴ ﹣=﹣=，∴ b=﹣；∴ 所求函数关系式为； （2）在 Rt△ ABO 中，OA=3，OB=4，AB=，∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ BC=CD=DA=AB=5，∴ C、D 两点的坐标分别是 ，当 x=2 时，（5，4） 、 （2，0） ，当 x=5 时，y= y=，∴ 点 C 和点 D 都在所求抛物线上；（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则，解得：，∴，当 x=时，y=，∴ P（） ，（4）∵ MN∥ BD，∴ △ OMN∽ △ OBD，∴ 则 S△ PNF= （PF+OM）oOF=即得 ON= ，∵ ，S=，设对称轴交 x 于点 F， ， （﹣ ） ，=﹣1 2 （ +t）× 2 31 1 5 1 2 × NFoPF= × （ ﹣ t）× = 2 2 2 2 3（0＜t＜4） ，a=﹣＜0∴ 抛物线开口向下，S 存在最大值．由 S△ PMN=﹣ ﹣ ）2+ ，∴ 当 t= 时，S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0，1 2 t+ 4） ．t=﹣1 （t 4练习 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 AC ： y =4 x +8 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 3 C ，抛物线 y＝ax2 +bx+c 过点 A 、点 C ，且与 x 轴的另一交点为 B( x0 ,0) ，其中 x0 ＞ 0，又点 P 是抛物线的对称轴 l 上一动点．A 与点 C 的距离之和最小； （1）求点 A 的坐标，并在图 1 中的 l 上找一点 P 0 ，使 P 0 到点（2）若△ PAC 周长的最小值为 10+2 41 ，求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，在线段 CO 上有一动点 M 以每秒 2 个单位的速度从点 C 向点 O 移动( M 不与端点 C 、 O 重合)，过点 M 作 MH ∥ CB 交 x 轴于点 H ,设 M 移动的时间为 t 秒，试把△ P 0 HM 的面积 S 表示成时间 t 的函数，当 t 为何值时， S 有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当 S = 图图 3）75 时，过 M 作 x 轴的平行线交抛物线于 E 、 F 两点， 32 问：过 E 、 F 、 C 三点的圆与直线 CN 能否相切于点 C ？请证明你的结论．（备用y C A O B l y C x A O B lx}