一元三次方程解法_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
一元三次方程解法
上传于|0|0|文档简介
&&一元三次方程解法
阅读已结束，如果下载本文需要使用1下载券
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩4页未读，继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢三次方程和四次方程求根公式_中华文本库
第1页/共4页
三次方程求根公式
设一元三次方程x3+px+q=0 在复数集中的根是x1,x2,x3，那么
其中 ω1= - 1±i
2, ω2= - 1- i
早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。7世纪初期，我国唐朝的数学家土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。阿拉伯人也很早就研究过三次方程。但是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。
1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如
的三次方程的一般解法。但他向外保密，只是秘传给他的一个学生。在菲洛死后近十年，这个学生以上述三次方程求解问题向当时意大利数学家塔塔里亚挑战。塔塔里亚也找到了方程（1）的一般解法，并公开了结果。但他也不肯公布推导过程。这件事为数学物理教授卡丹所知，便要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹。卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为此塔塔里亚向卡丹提出责难，引起双方一场论战。三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。塔塔里亚与卡丹的解法如下：
作变换 x=y- p ，使方程（1）化成
py6+qy3- )3=0
令 y3=z，得
z2+qz- 13 p=0 27
第1页/共4页
寻找更多 ""一元三次方程因式分解 【范文十篇】
一元三次方程因式分解
范文一：６ 　
题 专　 研 究　
｜ ｌ 　 Ａ 勘　 　 蝴 　 　｜
此时可直接开立方求解． 　
◎蔡 宇 麟　 （ 宁省 盘 锦 市辽 河 油 田 第一 高级 中 学一 年 三 班　 １４ ０ ） 辽 ２０ ０　
【 要】 摘 一元 三 次 方 程 的 解 法 是 数 学 史 上 著 名 的 问题 ， 　
但 卡 尔 丹 公 式 的 推 导 方 法 令 人 匪 夷 所 思． 文 利 用 复 数　 本
种 能用 常规 思 维 得 到 的方 式 推 导 其 根 式 解． 　
— — 　 — 一 ‘ 　
【 关键词 】 一元三次方程； 求根公 式； 　 复数
元 三次 方 程 ０ ＋ 　 　 ＋ｃ 　＋ｄ＝ （ ， ， ， ０， ｒ ｂ ｃ ｄ∈Ｒ， ≠ 上 ０ 　
情况 三 ： ｐ＜０　 ．
将 广 ＝ｙ ｐ 　ｑ两边 同除以 ， ， １ ｐ 。＋ｑ　 ，得 ＝ ｙ Ｙ
设 Ｙ＝Ｙ 。 即 ｑ ３＋ｐ 一１＝０　 ， ｙ 　 ．
此 方 程 可 用 Ｐ＞ ０时 得 到 的 结 论 获解 ． 　 最 终 得 到 的结 果 是 ： 　
， 　 ｂ、 　 ｂ 一３ａ 　 　 ｃ ｂ 一２７ 　 　 ａ ｄ　
【 Ｊ Ｈ　 　
３ ｃ △ ： ｎ? 。 ＇２ ３ 　
一　 ’ 　
设： 圭并 ｐ 主 　——ｂ２Ｚ ｙ ＋ ， ＝ 　，９ －　 ７． 　 记　 ＝—　广ａ　 ａ ２－ ｄ ｂ ３ ｅ
方程化为 ｙ ＝ ｙ ｑ 　 ｐ　 ． 　
３ ｒ—— ——— ——— — ＝＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝＝ －—一 　
下面解这个缺项三次方程． 　
／＋ｚ—－Ａ一 Ａ 　Ａ — ＡＪ　 ４ｔ１ ￣ Ｚ 　
＾ √ 　 一Ａ ２? 　
１ 当方程有一个实数根时　 ．
情况一 ： ０ ｐ＞ ． 　
设 方 程 的一 个 复 数 根 为 Ｙ ＝Ｆ ． 　 ｅ　 　
２ 当方程 有两个实数根时 （ ． 其中有一个 二重根 ） 　
此时无需开立方求解． ，ｙ 设 （ ）＝Ｙ ， （ ）： Ｙ＋ｑ 则 厂 　ｇ ｙ Ｐ ， 　
实 系数 方 程 的复 数 根 是 两 两 共 轭 的 ， 　
Ｙ　 ２ ｉ Ｏ
（＝。（与轴 交 坐 （詈ｏ ｙ ３ｇ） 的点 标 一 ， ）ｙ ｙ横 ， ） ． 　
设 ＿ ｙ 与 ｇ ｙ 的 交 点 坐 标 为 （ 。Ｙ ） 由 斜 率 公 式 ， 厂 ） （ （） Ｙ ，　 ， 　
由 韦 达定 理 Ｙ ＋ 　 Ｙ ＝ ， 方 程 的实 数 根　 ． Ｙ ， ０得
Ｙ ＝ 一ｒ ｅ ３ （　＋ｅ ） 　。 ． 　
代 衔　 ＋） ＋） 人 专 　 专 　 展 ，ｒ ＋（＋）ｉｐ 　　 开 ３ ３ｅ　 ＋ ＝ 得ｅ ｒ　 　 ｒ ） ３３ ｉ ￣ ． 　＋ ３
－ ，　 √ ① 号
Ｉ３　一ｇ ② 　ｉ １０ 　＋ ３ 　 ? 　 　
焉一 ３） （　 　 号
解 方程 可得 原 方 程 的解 为 ： 　
Ａ　 ２ 　
３ 当 方程
有 三个 不 等 实数 根 时　 ．
Ｐ＞ ０的公 式 仍 成 立 ， 是会 出 现 虚数 开 立 方 的 『 题 ， 但 口 Ｊ 此　
时可利用棣莫弗定理解决之． 　
设 』 　 ４： ， 　 Ｂ： ， 　 Ｒ： ， 　
① 入 ， ｅ＋ ＋ 　 代② 　 　　 √ 务
把 Ｐ ｑ换 掉 ， 理 ， ， 整 得　
则 Ｉ ： １．： 一 　 Ｒ： ， ： １ ｌ ． ．
（ ? 一） ＋ 　　 。 ； ｚ　 ｖ 　 　 　 ｅ
＋￣ －ｉ 　 Ａ Ｂ ：２
（ ＝０， 　 　 ）　 ．
记 ｚ：ｅ △． 　一３ ｃ △２：３ ．ｂ＿ ９ａ 　， ：ｂ ｎ， 。 　 ｃ－ ｄ ｉ
ｃｓ ｒ ＋２ ￣＝ ｃｓ ｏ 丁ｇ ｋｒ ２ ｏ ａｚ 　
２， ６ 则　
方 程 的解 可 写 作 ： 　
６＋ ２ 　 。 ａ ｇ　 ２ ￣　 ｓ— ｚ＋ ｋ ｒ ｒ
＝ — 一 — —
２ 　酉 　
＝ ——————————— ——＿ 　————————— ＝
（ ＝ ， ，） 　 ０ １２ ． 　
＿ 　÷　 √ ） 号 ．
经理得 整 可　
： — — — — — 　 ＝－
（÷ 　 ） ＋　
元三 次方 程 ： ＋ ｘ ＋ ＋ ０ （ ， ，， ∈Ｒ， ≠０ ， 　 ｂ　 　 ｄ＝ ，。 ｂｃ ｄ ０ ）　
＿６ ２—３ ￣ ａ　 ３ 　 。? 一２ ， ｂ　
４ ２ 　 　
７兰 垒　 　
取 负均　 正 号 可
（ 转 １ ８页 ） 下 　 １ 　
数学学习与研究
情 况 二 ： Ｏ 即 ｂ 一３ ｃ ０ 　 Ｐ＝ （ 　 ａ ＝ ）
２１ ： ０１ 　
警 １ ：　 ：１ ８ 略
专 题 研 究　
Ｃ 表 示 “ ｉ 丙 胜 ”， ＝１ ２ ３ 　 第 局 ｉ ， ， …　 ｃ 表 示 丙 最 终　
次 硬 币 ， 结 果 就 好 了 ． 如 ， 续 抛 ２次 硬 币 ， 果 先 出 正　 赌 例 连 如 面后出反面 ， 你胜 ； 算 如果 先 出 反 面 后 出 正 面 ， 算 对 方 胜 ； 则 　
则 最 终 结 果 可 以用 以 下 形 式 表 示 ： 　
Ａ１ Ａ２， Ｃ２ Ａｌ Ｃ３， Ｃ２ Ｂ４， Ｃ２ Ａ４ Ａｌ Ｂ３ Ａｌ Ｂ３ Ａ５， Ｃ２ Ａ４ Ｃ６…　 Ａ１ Ｂ３ Ｃ５ Ｂ１ Ｂ２， Ｃ２ ， Ｃ２ ３ Ｂｌ Ｃ３ Ｂ１ Ａ　 Ａ４， Ｃ２ Ｂ４ ， Ｃ２ Ｂ４ Ｃ６ 　 Ｂ１ Ａ３ Ｂ５ Ｂ１ Ａ３ Ｃ５ …
如 果 ２次都 是 正 面或 反 面 ， 算 平 局． 则 　
按 照 这 样 的 规 则 赌博 ， 即使 硬 币 有 问 题 ， 不 会 影 响 赌　 也 博的公正性． 设硬 币出现正 面的概率 为 ０８ 出现反 面 的 假 ．， 　
概率为 ０２ ．． 　
则 Ｐ（ ）＝Ｐ Ａ Ｃ ｃ ）＋ Ｂ Ｃ ｃ ）＋ （ 　 ２ ３ ４ ５ 　　 Ｃ （ 　 　 ３ Ｐ（ 。 　 ３ Ｐ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ ）
Ｐ（ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ ）＋…　 Ｂ１ ２　 ４ ５ ６ ３
连 续 抛 ２次 ， 出 正 面 后 出 反 面 的 概 率 为 ０ ８Ｘ ． 　 先 ．　 　 ２＝ ０
０ １ ， 出反 面 后 出正 面 的 概 率 为 ０ ２× ． ：０ １ ． ．６先 ． ０８ ．６ 　
２吉＋× ２ ． 　 ２ ｘ 　＋× ． 　＋　 ?
显 然 ， 两 种 情 况 出 现 的概 率 是 相 等 的 ， 就 是 说 ， 这 也 这　
个 比赛 规 则 能 保 证 比赛 的 公 平 性 ． 　 ２ 赌 金 的 分 配　 ． 下 面我 们 来 看 一 下 贵 族 梅 尔 向 帕 斯 卡 请 教 的 问 题 ： 梅　 尔 和赌 友 掷 一 枚 骰 子 ， 押 ３ 枚 金 币 ， 尔 如 果 先 掷 ３次 ６ 各 ２ 梅 　
１ 　 ， 　 ＇ 、 　
２ —　 　
由于甲 、 乙所 处 地 位 对 称 ， 以 所 　
Ｐ ） Ｐ ＝ １Ｐｃ）寺（一 ＝ 　 （ ＝（ 寺（一（）： １手）云? Ａ 　
点 或赌 友 先 掷 ３次 ４点 ， 赢 了 对 方 ， 梅 尔 已 掷 了 ２次 ６ 就 当 　 点 ， 对 方 掷 了 １次 ４点 时 ， 博 不 得 不 终 止 ， 如 何 分 配　 而 赌 问 ６ ４枚 金 币才 合 理 ？ 　 如果 赌 博 继 续 进 行 下 去 ， 出 胜 负 的 所 有 可 能 性 只 有 ３ 分 　 种 ， 括 梅 尔 赢 一 局 ， 尔 先 输 一 局 ， 赢 一 局 ， 尔 连 输 两　 包 梅 再 梅
所 甲乙丙 功 出 概 分 为４云， 由 　 以 、、成 胜 的 率 别 　， 云－此 １。
可 见 ， 样 的 比赛 规 则 对 第 一 局 的两 人 比较 有 利 ． 这 　
其实 这种 比赛 规则 ， 日本 的相扑 比赛 中也 有应 用 ． 然 ， 在 显 　
如 果 ３ 人实 力相 当 ， 两个 人获 胜 的概率 要高 于第 三个 人． 个 前 　
三、 赌博 中 的概 率　
局 ， 中梅尔赢一局的概 率 为÷ ， 其 先输一 局 ， 再赢一 局 的概　
ｌ ７世 纪 ， 国有 一 位 好 赌 的 贵 族 名 叫梅 尔 ． 一 次 ， 法 有 他　 和 宫 廷 侍 卫 在 掷 骰 子 赌 博 时 发 生 分 歧 ， 是 便 向 好 友 — —　 于 数 学 家 帕斯 卡 请 教 ． 帕斯 卡 通过 书 信 与 数 学 家 费 马 、 更 斯　 惠 进 行 深 入 而 持 久 地 讨 论 ， 终 导 致 了 概 率 论 这 一 学 科 的 诞　 最 生． 毫不 夸 张 地说 ， 率 论 来 源 于 赌 博 ， 后 概 率 学 知 识 在　 概 此 赌 博 中得 到 了广 泛 的应 用 ． 　 １ 有 问 题 的 硬 币　 ． 硬 币 因其 简 单 方 便 在 大 大 小 小 的 赌 博 中 被 广 泛 应 用 ． 　
率÷ ÷ ÷连 两 的 率 是 × ＝ ．以 为 × ＝ ， 局 概 也 ÷ ÷ ÷所　 输
梅尔最终赢的概率为÷ ， 其对手赢的概率为÷． 因此梅尔 　
应分得 ６ ４枚 金 币 的 四 分 之 三 ， 就 是 ４ 也 ８枚 金 币 ， 对 手 获　 其 得剩下的 １ ６枚 金
【 考文 献 】 参 　
［］ 兴武 ， 宏伟． 率 统计释 难解疑． 京： 学 出 １谢 李 概 北 科 　
版 社 ．０ ７　 ２０．
假 如你 不信 任 对 方 ， 疑 硬 币 被 他 做 过 手 脚 ， 心 结 果 对 你　 怀 担
不利 ， 义无法拒绝这场赌博 ， 时该如何是好呢 ？ 可 此 　 在这种情况下 ， 实不必 着急 ， 使硬 币做 过手 脚 ， 其 即 也　
［ ］ 口哲 典 ． 天 懂 一 点成 功概 率 学． ２野 每 西安 ： 西 师 范 陕 　
大 学 出版 社 ，０ ９ ２０ ． 　
样 可 以进 行 公 平 赌 博 ， 一 个 规 则 就 行 了． 换 只要 连 续 抛 ２ 　
（ 接 １ ６页 ） 上 　 １ 　
总判别式 Ａ： ； ４ 。 Ａ 一 Ａ． 　
① △＞ （ Ａ ０ ， 程 有 一 个 实 数 根　 ０ 或 　＝ ） 方
， ｚ 。 　 　
当?＞０时 ， — △ 　＝—
当 … 　 一 　
（÷　 ｚ ） ＋， 　
（ 取正负号均可） 　
一 … 　 … 　
③ Ａ＜０ 方 程 有 三 个 实 数 根 ： ， 　
６ ＋２ 　
。 ａｇ ｓ＿ ｚ＋２ｋｒ ｒ ￣　
— — — — 　 — — — — — — —
（ ｋ：０， ， ）， １２ 　
ａｒ 　 ｃ
当△ 。 　＞ 　
当 ｏ 一 二± 　 　 　　
其中 ａｚ　 ｒ ＝ ｇ
… ｒ ａ　 ｃｎ ｔ ， 　 。时　
当 △１ 。 ＜　
特别 地 ， ｂ ３ ｃ＝ｂ 一９ ｄ＝ 当 　一 ａ ｃ ａ ０时 ， 程 有 三 重 实 数　 方
根　 ＝ ＝ ＝ 一 ｂ 　 　 　
一２ 　 △
２ 根 的判 别式　 ．
注 ： 里 三次根 号表 示 在 复数 范 围 内求立 方 根 ， 样 方 程　 这 这 的 实根 和虚根 可 以统一 进一 个公 式． △ ＝ 当 　 ０时 ， 意义 ． △无 　 ② Ａ＝ 方 程 有 两 个 实 数 根 （ 中有 一 个 重 根 ）　 ０， 其 ：
总手 另式 △＝△ 一 Ａ ． ０４ ： ４， 　
Ａ＞ ， 程 有 一 个 实 数 根 ； ０方 　
△＝ ， ０ 方程 有 两个 不 等实 数 根 （ 一 个 二 重 根 ）　 有 ； △＜ ， ０ 方程 有 三个 不 等实 数 根 ． 　
数 学 学 习 与磅 究 ２ １　２ 　 ０１ １
范文二：（1）
2 3 4 5要点诠释：
(1)(2)“设”、(3)例1.
举一反三：
①【变式1】解方程组?
?x?2y?3z?29③
【变式2】若 ?x?3y?z?0①
? ，则x：y：z＝
3x?3y?4z?0②
类型三、三元一次方程组的应用
例3.黄冈市在国庆节前夕举办了庆祝建国六十一周年足球联赛活动，这次足球联赛共赛11 轮，胜一场记3分，平一场记一分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的1，
结果共得20分．问该校队胜、平、负各多少场?
【思路点拨】该题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场数与负的场数之间的关系， 等量关系有：
①胜场数+负场数+平场数＝11；
②胜得分+平得分+负得分＝总得分； ③胜场数＝负场数×2．
将以上相等关系转化成方程(组)可得解．
【总结升华】
例4.(凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地3
公顷可供12头牛吃4周；3
乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?
【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的 速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示，设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组．
【总结升华】
举一反三：
【变式】某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零 件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对 这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套?
一元一次不等式的解法(基础)
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标： ? ?
理解一元一次不等式的概念; 会解一元一次不等式．
学习策略： ?
将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对
性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
ax＞ay(a≠0)，那么x_______y.
2. 如果ax＞b的解集为x>
,则a_____0.
的形式（其中a?0）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不 等式的解集. 要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘
； ②移项时不要忘记
③去括号时，若括号前面是
，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要
． 3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有
【变式2】已知关于x的方程x?2x?m?x3
的解是非负数，m是正整数，求m的值．
范文三：一元一次不等式方程的解法
教学目标：
（一） 知识与技能：
1、 知道一元二次不等式的概念
2、 会求一元二次不等式（a＞0）的解集
（二） 能力目标：
培养数形结合的能力、培养分类讨论的思想方法、培养抽象概括能力和逻辑思维的能力。
（三） 情感、态度、价值观：
阅发学生数学的热情、培养勇于探索的精神、勇于创新精神、同时体会了事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点：
1、 会求一元二次方程不等式的解
2、 会利用数轴表示一元二次不等式的解集
教学难点：
将一元二次不等式转化为同解的不等式组。
教学方法：
本节课主要采用启发式教学法、首先通过旅馆客房的租金问题引入一元二次不等式的解法问题、然后介绍一元二次不等式的有关概念、并教学生学习用划归的思想、把一元二次不等式转化为一元二次不等式组、从而求出其解集。
教学过程：
（一） 导入
1、 解一元二次方程
2（1）x—15x+50=0
2（2）x—x—12=0
2、解一元二次不等式组
二、新课、
问题：一家旅社有客房300间、每间客房的日租金为30元、每天都客间、如果一间客房的日租金每增加2元、则客房每天出租会减少10间、不考虑其他因素、旅社将每间客房的日租提交到多少元时、所以不保证每天客房的总租金不少于10000元。 解：设每间客房的日租金增加到2元、即客房的日租金为（30+2x）元、
这时将有300—10x房间出租：
（300—10x）(30+2x)≥10000
2 —20x+600x—300x+
2X—15x+50≤0
（x—5）（x—10）≤0
解不等式组Ⅰ、得5≤x≤10。
解不等式组Ⅱ、得其解集为空集。
所以、原不等式的解集为＜5、10＞
即旅社将每间客房的日租金提交到40至50元时、所以保证每天客房的总租金不少于10000元。
2、 一元二次不等式的概念：
只含有一个未知数、未知数的最多次项的次数2、且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式。
ax+bx+c＞0或ax+bx+c＜0（a≠0）
练习、判断下列不等式是否是一元二次不等式。
22(1) X—3x+5≤0
（2）x—9≥0
（3）3x—2x＞0
（4）x+5＜0
（5）x—2x≤3
（6）3x+5＞0
（7）（x—2）≤4
2、解一元二次不等式
列1、接下列不等式
22（1）x—x—12＞0
（2）x—x—12＜0
x+c＞0或ax+bx+c＜0(a≠0)
练习、判断下列不等式是否是一元二次不等式？
22（1）x—3x+5≤0
(2)x—9≥0
22 (3)3x—2x＞0
2 (5)x—2x≤3
(6)3x+5＞0
22 (7)(x—2)≤4
2、解一元二次不等式：2
列1、解下列不等
（1）x—x12＞0
(2)x—x—12＜0
练习：解一元二次不等式
2（1）x—2x—3＞0
x—2x—3＜0
Ax=+bx+c＞0或ax+c＜o(a≠0)中
2当b—4ac＞0时进行求解、
（1） 两边同除以a、得到二次项系数为一的不等式：
（2） 解因式要为（x+x1）(x+x2)＞0
或（x+x1）（x+x2）＜o的形式、将其转化为同解的一元一次不等式组从而求出其解。 作业：
教材p48、练习A组第一二题。
范文四：1、某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间.若设完成此项工程共用x天，则下列方程正确的是（
、把方程A．
B．+=1 C．+ =1
去分母，正确的是
、方程去分母后可得
A、3 x－3 =1＋2 x ， B、3 x－9 =1＋2 x ，C、3 x－3 =2＋2 x ，
D、3 x－12=2＋4 x ； 4、代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值等于
6、解方程：
15、3x－2＝1－2(x＋1)
17、解方程．
21、5（x－2）=4－(4－x)
38、关于x的方程
23、； 24、
26、． 27、5(x+8)－5=－6(2x－7)
30、31、若方程
和的解相同，则的值是
32、将数、b、c、d
写成两行两列33、如果关于的方程2+1=3
36、若方程
的方程是方程
=，若=－9，求x的值。
的解相同，那么的值为_______
是一元一次方程，则
，方程的解是_________
5、解方程：
、解方程：
、解方程：
7、 3(x＋1)－1＝x＋2； 8
11、14、17、
． 15、 18、
13、5（2x+1）-2（2x-3）=6
21、解方程：22、解方程：.23、24、；
25、2{3[4（5x－1）－8]－20}－7＝1；26、28、解方程
、解方程：
29、已知y=1是方程2－
(m－y)＝2y
的解，则代数式的值＝
、若方程的解也是关于2x+3b=3的解，则b的值为____．31
、解方程，则_______．
则______．33、
已知方程，那么方程的解是
35、把方程A．36
去分母后，正确的结果是（
= 5的解是（
37、方程2（x ＋1）=4x-8的解是（
Ｃ．-7 Ｄ． 7
A．38、若A．
互为相反数，则a的值为（
的解相同，则的值为（
、已知方程
与方程同解,求的值.
范文五：23.2.3一元二次方程的解法（三）
1． 掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2． 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点
1、 使学生掌握配方法，解一元二次方程。
2、 把一元二次方程转化为(x?p)2?q
一、复习提问
1、 解下列方程，并说明解法的依据：
（1）3?2x?1
（2）?x?1??6?0
（3） ?x?2??1?0 22
通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
x2?b?b?0?和?x?a??b?b?0?
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。 如?x?1???2
2、 请说出完全平方公式。 22
?x?a??x2?2ax?a2
。 222?x?a??x?2ax?a
二、引入新课
我们知道，形如x2?A?0的方程，可变形为x2?A(A?0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如x2?bx?c?0的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
三、探索：
1、例1、解下列方程： 2
x2＋2x＝5；
（2）x2－4x＋3＝0.
能否经过适当变形，将它们转化为
的形式，应用直接开方法求解？
解:（1）原方程化为x＋2x＋1＝6，
（方程两边同时加上1）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为x－4x＋4＝－3＋4
（方程两边同时加上4）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
上面，我们把方程x－4x＋3＝0变形为?x?2?＝1，它的左边是一个含有未知数的2222
完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
四、试一试：对下列各式进行配方：
2 (1)x2?8x_____?(x?_____)；
x2?10x_____?(x?_____)2
2(2)x2?5x?______?(x?_____)；
x2?9x?______?(x?_____)2
（3）x?23x?_____?(x?_____)2； 2
）x2??_____?(x?_____)2
(5) x2?bx?______?(x?_____)2
通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例2、 用配方法解下列方程：
（1）x－6x－7＝0；
（2）x＋3x＋1＝0.
解:（1）移项，得
（2） 移项，得 22
x2－6x＝7.
x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得
方程左边配方，得
x2－2·x·3＋32＝7＋32，
x2＋2·x·
233＋（）2＝－1＋(22325）＝. 4232)， 2即
（x－3）＝16.
x－3＝±4.
x＋35＝?. 22
原方程的解是x1＝7，x2＝－1.
原方程的解是： x1＝－
六、试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
先由学生讨论探索，教师再板书讲解。
解：移项，得
x2＋px＝－q，
配方，得 x2＋2·x·33＋，x2＝－－。 2222ppp＋()2＝()2－q, 222
(x＋) ＝. 24
p2－4q≥0时，直接开平方，得
x＝-±2p2?4q. 2p2?4q, 2
?p?p2?4q即
思 考：这里为什么要规定p2－4q≥0？
1、如何用配方法解下列方程？
4x2－12x－1＝0;
请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
解：（1）将方程两边同时除以4，得
x2－3x－1＝0 4
32132配方，得
x2－3x+（)＝+（) 422
(x—) 2＝. 22移项，得
直接开平方，得
x—3＝± 22
3±, 22所以
3，练习：用配方法解方程： 3?3?，x2= 22
（1）2x?7x?2?0
（x1?4,x2??
（2）3x2＋2x－3＝0.
2?1??1?，x2=） 33
（3）2x?4x?5?0
（原方程无实数解）
让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3.如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
布置作业：习题2 .（3）、（4）、（5）、（6），3，
excel解三元一次方程
（以“x-y-z=8 y-x-z=4 z-x-y=4”为例）
1 安装“规划求解”
打开EXCEL，打开“工具”菜单，单击“加载宏”
弹出以下窗口：
在复选框中选中“规划求解”，单击“确定”。
2 设置未知数及方程组
A1输入“x”, B1为x所求值(空白)
A2输入“y”, B2为y所求值(空白)
A3输入“z”, B3为z所求值(空白)
A4输入“x-y-z”, B4输入“=B1-B2-B3”
A5输入“y-x-z”, B4输入“=B2-B1-B3”
A6输入“z-x-y”, B4输入“=B3-B1-B2”
3 规划求解
3.1打开“工具”菜单，单击“规划求解”，弹出参数窗口。
3.2“设置目标单元格”选择“B4”，“值为”输入“8”，第一个方程“x-y-z=8”设立
3.3 “可变单元格”选择“B1、B2、B3”，分别为所求未知数x、y、z
3.4单击“添加”，“单元格引用位置”选
择“B5”，符号选择“=”，“约束值”输入
“4”，第二个方程“y-x-z=4”设立
3.5同样的方法设立第二个方程“z-x-y=4”
3.6单击求解，得出结果。（参数框中“选项”可以调整计算精度）
范文七：一元三次方程的解法
一元三次方程的标准型为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 定义
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。
编辑本段标准型
形如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型。
编辑本段公式解法
1．卡尔丹公式法
（卡尔达诺公式法）
特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式，
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。
【卡尔丹判别法】
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
２．盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
【盛金公式】
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－
Y⑵^(1/3))/(6a)；
其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)
【盛金判别法】
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
范文八：一元三次方程求根公式
A new means
to solving a problem in mathematics
on the cubic equations in Shengjin’s formulas
三次方程新解法——盛金公式解题法
Shengjin’s Formulas
and Shengjin’s Distinguishing Means
and Shengjin’s Theorems from the Writings
to introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
Shengjin’s Formulas
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b^2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c^2－3bd，
总判别式：
Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B^2－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－((Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)))/(3a)；
X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i)/(6a)，
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B^2－4AC =0，Shengjin’s Formula③）：
X1=－b/a＋K；
X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B^2－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：
X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)
由于输入设备的原因，公式只能写成这样，可以自己再用数学符号写到纸上，这样会看得更清楚些。
盛金判别法
Shengjin’s Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
Shengjin’s Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new
extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .
以下是传统解法
图片说明：
贡献者： asbalatica
所属词条： 一元三次方程求根公式
一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）
一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向
世人公开了这个解法。他在此书中写道：
塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。
关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0
(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k
k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k
所以相加后y^2抵消
得到y^3+py+q=0
其中p=(-k^2/3)+m
q=(2k^3/27)-(km/3)+n
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
×推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1= A（1/3）,v1= B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
下面介绍一个三次方求根计算方法：
X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3
n,n+1是下角标，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；
1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：
第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1;
第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;
第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709X3;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
范文九：一元三次方程求根公式
三次方程新解法——盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
Shengjin's Formulas
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；
X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，
其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X2，X3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A＞0，－1＜T＜1)。
编辑本段盛金判别法
盛金判别法
Shengjin's Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
编辑本段盛金定理
Shengjin's Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98
页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .
编辑本段传统解法
一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花木子米给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）
编辑本段方程公式历史
一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式(有的数学资料叫卡尔丹公式)”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。 塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获
全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生费拉里找到了。
关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
编辑本段一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3 ，
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，
(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，
k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，
所以相加后y^2抵消 ，
得到y^3+py+q=0，
其中p=(-k^2/3)+m ，
q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
方程x^3+px+q=0的三个根为：
x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，
其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，
x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；
2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。
再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
则u^3=A；v^3=B ，
u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；
v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；
u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；
u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，
方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）
判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。
x1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹判别法
当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；
当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；
当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。
编辑本段根与系数的关系
设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则
x1+x2+x3=-b/a；
x1x2+x2x3+x1x3=c/a；
x1x2x3=-d/a。
编辑本段一个三次方求根计算方法
下面介绍一个三次方求根计算方法：
X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3
n,n+1是下角标，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；
1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：
第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1；
第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2；
第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3；
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
编辑本段一元三次方程置换群解法
求出X,Y，后有
这是个线性方程，其中
为原方程的三个根！
范文十：/*
用二分法求在一个范围内一元三次方程的根
double fan(double,double,double,double,double);
//一元三次方程函数
double huan(double,double,double,double,double,double,double);
//求根的函数 double main()
double x1,x2,f1,f2,x,A,B,C,D,k;
cin>>x1>>x2;
f1=fan(x1,A,B,C,D);
f2=fan(x2,A,B,C,D);
if(f1*f2>0)
while(f1*f2>0);
x=huan(x1,x2,A,B,C,D,k);
double fan(double x,double A,double B,double C,double D)
y=A*x*x*x+B*x*x+C*x+D;
double huan(double x1,double x2,double A,double B,double C,double D,double k) {
double x,y;
x=(x1+x2)/2;
//用二分法求x1与x2的中值
if(fan(x,A,B,C,D)*fan(x1,A,B,C,D)<0)
else x1=x;
y=fan(x,A,B,C,D); } while(fabs(y)>=k);}