关于常微分方程初值问题数值解误差的探讨--《西北师范大学学报(自然科学版)》2003年01期
关于常微分方程初值问题数值解误差的探讨
【摘要】：引用B样条插值函数讨论了一阶常微分方程初值问题的数值解 ,给出一个隐式近似求解公式 ,并得到此公式的局部截断误差为O(h5) ,整体截断误差为O(h4 ) .在此基础上又给出了一个校正显式求解公式 ,其局部截断误差为O(h4 ) .
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O241.81【正文快照】：
在常微分方程中 ,初值问题是指形如ｄｕｄｔ =ｆ(ｔ,ｕ) ,0 ≤ｔ≤Ｔ≤ +∞ ,ｕ(0 ) =ｕ0(1)的方程求解问题 .若ｆ(ｔ,ｕ)连续且满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件 ,即存在Ｌ 0 ,使得 ｆ(ｔ ,ｕ1) -ｆ(ｔ,ｕ2 ) ≤Ｌ ｕ1-ｕ2 ,则此问题存在唯一满足初始条件的解 ,但往往其精确解不
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')一类高振荡常微分方程数值解法的误差分析--《中国科学院研究生院学报》2007年02期
一类高振荡常微分方程数值解法的误差分析
【摘要】：以特殊的线性振荡方程y″+g(t)y=0(其中limt→∞g(t)=+∞)为例讨论了高振荡微分方程数值解的问题.分析了梯形格式的整体截断误差,并对梯形格式做了修改,讨论了修改后格式的局部截断误差对整体截断误差的影响,最后给出了数值结果.
【作者单位】：
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【基金】：
【分类号】：O241.81【正文快照】：
1引言高振荡微分方程是指其解含有高振荡函数的一类微分方程,它在分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面有着广泛的应用.对于高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情.近来,Iserles利用数值求解解常微分方程的一个整体截断误差公式详细研究了求
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《微分方程数值解》教学大纲
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《微分方程数值解》课程是信息与计算专业的专业课程。《微分方程数值解》，以介绍常微分和偏微分方程的数值解法为讲授对象，重点是介绍偏微分方程的一些典型的、常用的数值解法，是集理论性与应用性为一体的学科。
设置本课程的目的是：微分方程数值解课程的目的是通过本课程的学习使学生掌握微分数值解法中的几种最常用的方法，了解如何在计算机上应用这些数值方法求解一个微分方程定解问题，培养学生解决实际问题的能力，为学生今后在各自的专业工作中应用科学计算这一重要研究手段打下基础。
学习本课程的要求是：掌握求解微分方程近似解的一些典型、常用、有效的数值方法，同时具有一定的理论分析能力。能够在计算机上应用这些数值方法求解一些微分方程定解问题的近似解。
先修课程：
数学分析、高等代数、数值分析、常微分方程和数学物理方程。
本课程计划72学时，4学分。
选用教材：
戴嘉尊、丘建贤，《微分方程数值解法》，东南大学出版社，2002。
教学手段：
课堂讲授，结合习题课和讨论
考核方法：闭卷考试或考查
教学进程安排表
& 数学物理方程中的三大类方程
抛物型方程
典型方程：热传导方程，由空间物体的热传导问题导出。利用物理中传热学的傅里叶实验定律。
双曲型方程
椭圆型方程
& 数学物理方程中的基本概念
何为线性的或非线性的，给出一个方程怎么判断它是哪类方程，定解问题的三种提法等。
掌握、吸收所学知识。
欧拉法的格式：用差商代替微商。
收敛性研究
稳定性研究
格式对初值误差的连续依赖性。
2.2& 梯形法、隐式格式的迭代计算
用梯形公式近似计算积分得到常微分方程的梯形公式，而且是一个隐式格式。估算梯形法的整体截断误差。
2.3Runge-Kutta
用泰勒级数构造一般的单步法，几种不同的Runge-Kutta法，以及各自的优缺点。其中经典的四阶Runge-Kutta法尤为重要。
用Lagrange插值近似小分割上的曲线，得到线性多步法。Adams外插、内插公式等。
何为误差的事后估计法，以及如何利用事后估计法得到的截断误差作为步长h自动选择的标准。
怎样把高阶微分方程转化为一阶的方程组，然后怎么对方程组利用前面所介绍的方法进行近似计算。
掌握有关差分格式以及稳定性的一些基本概念，会构造差分格式并可用两种方法分析差分格式的稳定性。了解差分格式稳定性的定义及其含义划14学时。
对所考虑的方程的初边值问题进行网格剖分，建立差分格式。学习三种差商代替微商的方法。学会用算子形式表示差分格式。
3.2 显示差分格式
一维常系数热传导方程的古典显式格式，以及系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式。计算各自的截断误差。
由向后差商得到古典隐式格式，推导常用的Crank-Nicolson隐式格式和加权的六点隐式格式，知道前两种是六点加权隐式格式的特殊形式。系数依赖于x,t的一维热传导方程的隐式格式。
在求解隐式差分方程时形成一个线性代数方程组，它的系数矩阵是三对角形矩阵，因此要学会用追赶法求这类方程组，分为追和赶两步。
学习 -图方法、矩阵法、Fourier级数法（Von Neumann方法）分析差分格式的稳定性。重点用矩阵法和Von Neumann方法分析前面学习的几种差分格式，并比较后两种方法的优劣。对于收敛性利用Lax等价性定理转化为对稳定性的研究。
包括Richtmyer线性方法和Less三层差分格式。对于Less三层差分格式要对第二层利用其他方法求出。
初边值问题要进行三维方向的网格剖分，其中方法与一维的类似，也有显式和隐式之分，以及稳定性分析等，其中显式简单，但效果没有隐式好。
为了提高精度和满足无条件稳定的差分格式，把每一时间层的计算分成几步进行，而使每步具有一维格式的特点，提出以下几种格式：Peaceman-Rachford格式、Douglas-Rachford格式、Mitchell-Fairweather格式等。
Von Neumann
4.1 LaplaceDirichlet
对Dirichlet边值问题从x和y轴方向进行网格剖分得到Laplace方程的五点差分格式。然后转化为解一个线性矩阵。
4.2 Neumann边值问题的差分模拟
由于边值问题通过告诉它的法向量在边值的值，这样关键就是如何把这个条件转化为边值上的解。利用中心差商代替微商把导数边值转为一般的边值条件。
区域的一部分是Dirichlet条件而另一部分是Neumann条件，那么对于Neumann条件利用类似上节的方法处理边值问题。
当区域不是规则的矩形时，我们对这种区域的邻接边界的内部结点需要特别的处理，它到边界的距离可以是非整数倍的分割。也可以得到Laplace方程的五点差分格式，它是前面五点格式的推广。
有的时候所求区域是圆环、环形域或扇形域，采用极坐标形式更为方便，此时应该把一般的Poisson方程转化为极坐标的形式。在极坐标情况下会出现奇异点，故需要附加条件，对它需特别处理。
4.6Poisson
利用极值原理分析五点差分格式的敛速估计。
通过一些实例学习二阶线性椭圆型方程的差分格式。
由于前面介绍的各种边值问题的差分格式最终都是解一个大型的线性方程组。那么怎样求这个大型的线性方程组? 本节介绍三种迭代法（Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、超松弛迭代）。通过比较Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的敛速发现， Gauss-Seidel迭代是Jacobi迭代的两倍。虽然前两者都收敛，但是他们的速度还是比较慢，如果选择适当的松弛因子，利用超松弛方法可以大大提高敛速，故如何选择最佳松弛因子是关键。
学习为何引入多重网格法，有哪些优点? 包括二重网格法和多重网格法等。
三、重点、难点提示和教学手段
本章重点是：差分格式的建立，极值原理及数值解的收敛性分析。
教学难点：边界条件的处理及非均匀部分差分格式的建立。
如果通过向前差商代替对t方向的微商，用中心差商代替对行x方向的微商, 经过验证发现这是一个恒不稳定的格式，所以通过改进此格式得到Lax-Friedrichs格式。根据方程系数的不同对x方向的微商向前差商或向后差商就是Courant-Isaacson-Rees格式。如果对时间层进行中心差商代替就是跳蛙格式。还有Lax-Wendroff格式和隐式的Crank-Nicolson格式。
类似一阶双曲型方程的差分格式，也有Lax-Friedrichs格式和Courant-Isaacson-Rees格式，以及Courant-Friedrichs-Lewy条件。
有显式格式和隐式格式之分，但是由于双曲型方程的初值问题比较复杂，因此对告诉初始时刻速度的初始条件需要像处理Neumann问题进行差商代替微商。
三、重点、难点提示和教学手段
本章重点是：
教学难点：
怎样判断一个方程组的对应Jacobi矩阵的特征值和特征向量决定此方程组是（严格）双曲型守恒律的？以及什么是弱解，为什么需要提出弱解的概念，有什么优点？
&&& 把一阶的线性双曲型方程中的Lax-Friedrichs格式和Lax-Wendroff格式推广到双曲型守恒律方程，可以证明它们都是守恒型差分格式
此前的守恒型差分格式虽然收敛到弱解，但是不能保证极限是唯一物理解，所以提出单调差分格式，这种格式若收敛，则收敛到唯一物理解。给出满足什么条件才是单调差分格式。另外这种格式只有一阶精度，对于高精度还在研究中。
由于前面提到的单调差分格式精度不高，所以为了能够得到精度较高且能得到唯一物理解的差分格式，由A.Harten于1983年提出了总变差减少差分格式(TVD)。本节给出什么格式是TVD格式，以及保单调格式，并且证明前面讨论的差分格式在一定条件下都是TVD差分格式。
把Lax-Wendroff格式和Lax-Friedrichs格式可以推广到一维方程组的情况。
三、重点、难点提示和教学手段
本章重点是：
教学难点：
对于常微分边值问题，介绍如何利用有限元方法把边界条件当成最小化泛函的一部分，以及怎样在给定的集合上某一个函数类中找到一个使泛函I达到极小值的函数。
&&& 与常微分边值问题类似，也是归结为泛函求极小的一种解法，不过偏微分问题相对复杂一些。了解用有限元方法的一般步骤。
三、重点、难点提示和教学手段
本章重点是：
教学难点：
[1] 李荣华，冯果忱编著：《微分方程数值解法》（第三版）高等教育出版社，1999。
[2] 余德浩，汤华中编著：《微分方程数值解法》（第三版）科学出版社2004.6。
[3] 汤怀民、胡建伟，《微分方程数值解法》，南开大学出版社，1990。
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