为什么说 极限趋于0 就是无穷小
1520LK梵音356
柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量.这是数学史上一个划时代的概念,这一概念的提出,使得微积分学中很多模糊、甚至是相互矛盾的概念顿时明朗.无穷小一般意义上是一个变量（包括数列、函数）,在自变量的变化过程中,这个变量与0无限接近（注意,可以大于也可以小于0）,柯西就是在这一概念的基础上,提出了微积分的一系列计算方法,从而为微积分的严格化做出了自己的贡献.
那负数趋于0算无限小，趋于负无穷呢
负数趋于0也是无限小，负数的绝对值无限增大（也就是这个量无限减小）才是负无穷
负数趋于负无穷是无限小还是无限大
无穷大，就是我上面提到的负无穷大
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因为在自然值中0是最小的，所以∞接近0就是无穷小，负数虽然比0小，但它不是自然数那由负趋近0也是 无穷小么不是的，负数不是自然数，自然数是0以上，打个比方你有一个花生米那里是无穷的少（小），有一堆就是无穷多（大），难道你的花生米会出现负数吗？如果算负数的话那么这个问题就没有界限了，因为负数比0小，那么负数可以数到负无数，也就是说没有界限的话这个问题就矛盾了负1/X
在0到正无穷上 当x趋于无穷...
不是的，负数不是自然数，自然数是0以上，打个比方你有一个花生米那里是无穷的少（小），有一堆就是无穷多（大），难道你的花生米会出现负数吗？
如果算负数的话那么这个问题就没有界限了，因为负数比0小，那么负数可以数到负无数，也就是说没有界限的话这个问题就矛盾了
在0到正无穷上 当x趋于无穷的极限是多少
趋于正无穷
没有极限的
无穷就是没有限定的值
无穷可以是任何数
在0到正无穷上 当x趋于正无穷的极限能不能是0
看图像是啊
也可以这么说，因为0是自然数最小值，也就是0是一个极限数
可如果是趋于0
那不就是由负趋近0了，那是算无限大，还是无限小
唉，我也蒙圈了
因为负无穷和正无穷一样，只是符号不一样，
就好比1＋1＝2，这是规定
就是一个符号
无穷是很多，而0是没有，你说谁小？
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& && && &麻烦知道的同学回复一下，十分谢谢！
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o(1)表示一类函数，即lim(x→0)f(x)/1=0,也就是若f(x)是当x→0时的无穷小，则有f(x)=o(1).希望你能明白，好好看看o(x)的概念吧！
恋云荒 发表于
o(1)表示一类函数，即lim(x→0)f(x)/1=0,也就是若f(x)是当x→0时的无穷小，则有f(x)=o(1).希望你能明白，好 ...
& && &这里说到：a和B都是同一变化过程的无穷小，
但是1不是x→0的无穷小啊
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Turing2012 发表于
这里说到：a和B都是同一变化过程的无穷小，
但是1不是x→0的无穷小啊
o(1)是另外定义的。若f(x)某一过程中的无穷小，则f(x)可以记作o(1).兄弟&&都什么时候&&还纠结这些啊！
o(1)表示一个无穷小量
回头看看概念吧
最基本问题建议多看书，太基础的东西
恋云荒 发表于
o(1)是另外定义的。若f(x)某一过程中的无穷小，则f(x)可以记作o(1).兄弟&&都什么时候&&还纠结这些啊！
& && && & 明白了，谢谢。
我对比了一下，13年的全书这道题删掉了。。。。所以我立马不纠结了~哈哈~
lynnsang 发表于
我对比了一下，13年的全书这道题删掉了。。。。所以我立马不纠结了~哈哈~
& && & 在华东师范的《数学分析》里面有提到这个，当x→x0时，若f(x)→0，则记f(x) = o(1) （x→x0）。
& && &&&我回头又看了一下全书，原来里面在无穷小的概念那里也有讲到。
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复合函数的内部函数的等价无穷小问题
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考研年份2013
本科学校德州学院
问题一：请问：当x正向趋近于0时lim ln(arctanx)~对吗？
我这样说的原因如下：当x正向趋近于0， arctanx的等价无穷小是x,请问我这样做对吗？
问题二：lim ln(arctanx+1)~lim ln（x+1）对吗？
这样说的原因如下：当x正向趋近于0， arctanx的等价无穷小是x,请问我这样做对吗？
问题补充：
再比如：当x趋向0时，求Ln（tan2x)/Ln(tan7x)的极限，请问我能否先把括号里面的等价无穷下成Ln(2x)/Ln(7x)，然后再洛比达。
其实以上都是一个问题：就是复合函数内部的那个函数能不能等价无穷小
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应该是正确的
考研ing···
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问题1 直接用罗密达&&问题二 不可以这么说 用罗密达验证&&第三个&&不可以直接换 除非是tan x和x这样单除 你找机会换了他 其他的+1什么的 需要重新验证
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考研年份2013
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我猜在数一的填空题计算题范围内都找不到“不能这样替代的反例”，也许作为选择题（对于某些非初等函数）不正确，但也不会出得那么笼统。所以基本上可以认为是正确的
ダンガンロンパ 希望の学园と绝望の高校生 アニメ化决定
進撃の巨人 アニメ化决定
2013世界末日~
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& & 也就是说一般情况下是可以替换的喽？
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考研年份2013
本科学校德州学院
& & 同感，就是没人能肯定的给出一个“权威的可以”，哎！谁能告诉我“一定可以就好了”
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考研年份2013
本科学校德州学院
谢谢你的回答：可是我觉得第三个是可以换的，我再举个例子：当x趋近于零时， lim tanx^2,那么你说tanx^2和x^2等价无穷小吗?其实我觉得这是一类问题，你觉得哪？
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本科学校北京电子科技学院
这几个问题，只是楼主理解等介无穷小的传递性即可
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考研年份2013
报考学校华东师大
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你这些说法既对又不对。建议你将等价无穷小与Taylor公式联系起来，抓住求极限的问题的本质——将任意函数展开为幂函数之和，就可以回答你的疑问了。
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考研年份2013
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洛比达。。。很害人啊。。。L'H有三个条件，第二个就是做比值的时候分母不能取到0.复合函数内部的函数也一样不能取到0.比如Sin(sin(1/x))这种很坑人的玩意儿。
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考研年份2013
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本科学校西北农林科大
一个月前的帖子……但还是想回复一下。
关于等价无穷小替换，你理解了教材上的替换的证明过程后，你就大概明白了。
你的第一个问题结果是正确的，但是解法和你的想法是不对的。第二个问题结果是错的，还是因为解法的问题。复合函数应该首先考虑的是极限运算法则，在此基础上再考虑其他。
lim ln arctanx，它首先应当是极限运算法则，变成ln lim arctanx，这时你就发现，很明显可以用无穷小替换。
同样的，lim ln(arctanx+1)，就变成ln lim(arctanx+1)，这个是没法替换的。
第三个问题结果正确，但解法和想法都是不科学的(没说不正确……)。
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考研年份2013
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上学的小二郎
& & lim ln(arctanx+1)，就变成ln lim(arctanx+1)，这地方其实我觉得是可以替换的，其实按照课本或全书的话，都说这种含有加减法的等价无穷小是不能替换的，但是我们一个辅导班老师总结出一个经验，“和差的极限，只要有一个极限存在，就等于极限的和差”，你好好理解一下这句话，看看是不是就可以替换了？
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考研年份2013
报考学校华东师大
本科学校苏州大学
问题一，将ln提到lim前，等价变换再放到后面就可以了
问题二，lim ln(arctanx+1)~lim arctanX~lim X~limln(X+1)
补充问题 还是将ln提到lim前，这样就没有任何问题了
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考研年份2013
报考学校浙江大学
本科学校西北农林科大
& & 这个总结可能是个做题技巧，不需要条件么？但是感觉好像用不到的样子……
至于能不能用无穷小替换，我也没有好办法向你解释我要表达的意思。书上用了一行就证明了无穷小替换定理。我们做题时所用到的替换都是基于这一行的证明过程。所以根据这一行的证明过程，加减是没办法直接替换。很容易错。
有些之所以结果正确了，要么是因为可以通过极限运算自行纠正了错误的做法，给人一种可以替换的错觉。要么就是它本身就是等价无穷小，因此即使你没注意到，但却误打误撞正确了。
不能替换的例子：lim[ln(x+1)-x]/x2，其中x趋于零。
回到你的问题，lim arctanx+1你觉得可以直接替换，但是可以替换的原因是省略了将它拆开的步骤，lim arctanx + lim1，然后再合并。这与你的想法中的含义相差甚大！因为没有任何理论依据可以证明，在缺乏拆开的步骤下，lim arctanx+1=limx+1。
我大概就是要表达这些。
顺便，手机搜狗输入法好NB！连X2都能打出来！！！~\(≧▽≦)/~
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考研年份2013
报考学校浙江大学
本科学校西北农林科大
对了，这是一个月前的内容。你现在应该也复习到很后面了。能不能交流下复习进度吖？我高数还差级数和曲面积分，感觉有些慢。
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报考学校浙江大学
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卧槽！X∧2可以打出来，但是显示不出来！！！坑爹啊！
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考研年份2013
本科学校德州学院
上学的小二郎
& & 我课本已经全部看完了，现在再看全书以及辅导班的笔记以及课本上以前做错的题，主要在做题和总结题型。。不过我真的很慢。。。。。
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考研年份2014
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本科学校南京理工
复合函数无穷小不能替换，反例有
|||王道论坛君，已阅读到文档的结尾了呢~~
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延伸：本文除了聚合《为什么无穷小量的倒数不是无穷大量，但是无穷大量的倒数却是无穷小量》，免费提供的有关倒数却是和为什么无穷小量的倒数不是无穷大量的内容之一，已有不少的网友认为此答案对自己有帮助！获取更多与《》相关的知识。
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因为当这个数为正数时,无穷小量的倒数是无穷大量,无穷大量的倒数也是无穷小量,但是若这个数为0或负数时网友1的回答
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