第一章函数，极限与连续；第一节函数；注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点；一、函数的概念与表示；1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法；2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的；构成函数概念的三要素:①定义域(x的取值范围)②；二、函数的定义域、解析式与值域；1、求函数定义域的主要依据：；（1）整式的定义域是全体实数；；（2）分
函数，极限与连续
注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。
一、函数的概念与表示
1、映射:设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.
2、函数:如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A?B就叫做A到B的函数，记作y?f(x),其中x?A,y?B.原像的集合A叫做函数y?f(x)的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做y?f(x)的值域，显然值域是集合B的子集.
构成函数概念的三要素: ①定义域(x的取值范围)②对应法则（f）③值域（y的取值范围） 两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致.
二、函数的定义域、解析式与值域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）整式的定义域是全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次方根的被开方数大于等于零；
（4）零取零次方没有意义（零指数幂的底数不为0）；
（5）对数函数的真数必须大于零；
（6）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
（7）若函数y?f(x)是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各部分结果的交集；
（8）复合函数的定义域：
若已知f(x)的定义域[a,b]，求复合函数f(g(x))的定义域，相当于求使g(x)?[a,b]时x的取值范围；
若已知复合函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域，相当于求g(x)的值域. 2求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合
y?ax?b? ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分子或分母为二次且x∈R的分式；
此种类型不拘泥于判别式法，如y?b的形式可直接用不等式性质；a2?k
bxax2?m?x?n?y?2可先化简再用均值不等式；y?通常用判别式法；ax?mx?nx2?mx?n
x2?m?x?n?y? 可用判别式法或均值不等式； mx?n
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：1.闭区间?a,b?上的最值；
求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；
注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.
2.注意y?ax?bb(a?0,b?0)型函数的图像在单调性中的应用：增区间为(??,?]，xa
bbb,??)，减区间为[?,0)，(0,]； aaa
⑦利用对号函数：y?x?1（如右图）； x
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数
三．函数的奇偶性
1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(?x)?f(x)，则称y=f(x)为偶函数.
如果对于任意x∈A，都有f(?x)??f(x)，则称y=f(x)为奇函数.
①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称,
y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称;
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0;
③奇±奇=奇
奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；
4，复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”
四、函数的单调性
作用：比较大小，解不等式，求最值.
1、函数单调性的定义：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f?x2??f(x1)?f?x2??，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D叫y?f(x)的单调区间.
图像特点：增函数：从左到右上升（y随x的增大而增大或减小而减小）；
减函数：从左到右下降（y随x的增大而减小或减小而增大）；
2.判断单调性方法：①定义法(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数； x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. x1?x2
②观察法：根据特殊函数图像特点；
③掌握规律：对于两个单调函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：
(i)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时，
①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)，g(x)相同，
②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?
(ii)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：
①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；
②F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性不能g(x)f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数；F5(x)?(f(x)?0)为减函数. g(x)f(x)
3.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
4.复合函数单调性的确定（同增异减）：y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则
y?f?g?x??在M上是增函数.
五、函数的对称性函数
y?f(x)的图象的对称性（自身）
1.函数y?f(x)的图象关于直x?
特殊的有：①函数a?b对称?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x) 2y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?)x?(f??af(x2a?x)?. f(x
②函数y?f(x)的图象关于y轴对称（奇函数）?f(?x)?f(x);
③函数y?f(x?a)是偶函数?f(x)关于x?a对称;
2.函数y?f(x)的图象关于点(a,b)
?f(x)?2b??ff(a??ax)?fx(a?x)?2b.
特殊的有：
① 函数y?f(x)的图象关于点(a,0)
?f(x)??f(?f(ax?)?fx(2a?x)?0;
② 函数y?f(x)的图象关于原点对称（奇函数）?f(?x)??f(x);
③ 函数y?f(x?a)是奇函数?f(x)关于点?a,0? 对称.
④ 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称.
两个函数图象的对称性:
①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称;
②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b
特殊地: y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称;
③函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称的解析式为y?f(2a?x);
④函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为y??f(2a?x);
⑤函数y?f(x)与a?x?f(a?y)的图像关于直线x?y?a成轴对称
函数y?f(x)与x?a?f(y?a)的图像关于直线x-y?a成轴对称
函数y?f(x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x?y 成轴对称.
六．函数的周期性：
1．定义 若f(x?T)?f(x)(T?0)?f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
说明：nT也是f(x)的周期。推广：若f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，b?a是它的一个周期
结论1：如果f(x?a)?f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b
结论2：如果f(x?a)??f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论3：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x?a、x?b对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论4：如果偶函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论5：如果奇函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a
结论6：如果函数同时关于两点?a,c?、?b,c?（a?b）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论7：如果奇函数f(x)关于点?a,c?（a?0）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论8：如果函数f(x)的图像关于点?a,c?（a?0）成中心对称，且关于直线x?b（a?b）成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a?b
结论9：如果f(x?p)?周期T?2p
结论10：如果f(x?
中一个周期T?2p
结论11：如果f(x?p)??f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p 11或f(x?p)??，那么f(x)是周期函数，其中一个f(x)f(x)p1?f(x)p1?f(x))?或f(x?)?，那么f(x)是周期函数，其21?f(x)21?f(x)
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