《运筹学案例》
运筹学案例
范文一：运筹学案例第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 第六部分 第七部分?管理科学专业“运筹学”课程案例教学情况说明目录概 述,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 线性规划（案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 非线性规划（案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 整数规划 （案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11 运输问题（案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,14 最大流问题（案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17 排队论（案例）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21东北财经大学数学与数量经济学院学院管理科学教研室2006年10月第一部分
概述进入21世纪以来，信息社会和知识经济迅速发展，我国高等教育改革逐步深化，高等教育规模不断扩大，我国高等教育迅速进入大众化阶段。当前，我省高等教育的发展战略重心将由规模扩张全面转移到提升质量上来。新形势下我省高等教育事业的迅速发展和建设老工业基地的经济社会需要，提出了我省普通高等院校培养适应现代化建设需要的具有创新精神、实践能力和创业精神的高素质、应用型人才的人才培养目标。运筹学是一门运用定量分析方法研究和解决管理、经济和工程技术中的实际问题，从而为决策者提供科学决策方法和量化工具的一门学科。随着我国经济的持续快速发展，社会经济的各个领域越来越注重运用定量分析方法进行决策，以取得更好的经济效益和社会效益。当前，运筹学教育面临着新的挑战和问题，其突出表现为：（1）在人才培养目标上，更加强调培养学生运用优化的思想和方法解决实际工程、经济、管理问题的能力；（2）在课程体系上，通识教育和学习型社会的兴起，出现了课程选修多样化、专业课时逐步压缩的总体趋势；（3）在教学手段上，多媒体技术、网络技术迅速走进高校，带来了教育观念、教学手段和教学管理的革新。新形势下运筹学教育所面临的机遇和挑战，对从事运筹学一线教学的教师和教学管理人员提出了迫切的教学改革要求。一方面需要我们摒弃过去那种只讲理论建模而轻视（甚或忽视）实践的教学模式，把引导学生在理解运筹学的基本理论和方法的基础上，大幅度提高其运用运筹学方法进行优化决策的能力作为教学的首要目标；另一方面必须大幅度地提高运筹学教学的效率，在巩固传统黑板板书教学模式优点的基础上，结合更加新颖、有效、多样化的教学手段，更有效地实现高素质、应用型人才的培养目标。为了迎接这些挑战，意味着我们教师必须重新对运筹学原有的教育观念和教学体系作全面的审视和思考。为此，我们数学与数量经济学院管理科学教研室在“运筹学”课程教学活动中大力开展案例教学、实验教学活动，并取得了一定的成果。我院管理科学等专业的学生在参加全国和世界数学建模竞赛活动、社会调查活动中，多次取得良好的成绩，受到学校领导和老师的高度表扬和鼓励。例如，2006年我院郑永冰副教授担任指导教师，组织以我院学生为主的东财代表队参加了2006年度美国大学生数学建模竞赛。十几个国家和地区的近1000个代表队参加了此次竞赛，东财代表队荣获二等奖（竞赛结果见06年3月21日美国数学及其应用联合会网站ap.com，见支撑材料6）。在2006年度社会实践调查活动中，管理科学专业05级学生许露霞、刘恩妤等多人获得东北财经大学社会实践调查一等奖。1第二部分
线性规划例
雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？表1
雅致家具厂基本数据解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。 据此，列出下面的线性规划模型：MaxZ?60x1?20x2?40x3?30x4（木材约束）?4x1?2x2?x3?2x4?600?6x?2x2?x3?2x4?1000（玻璃约束）?1?2x1?1x2?3x3?2x4?400（劳动时间约束）?（家具1需求量约束）?x1?100s.t.?（家具2需求量约束）?x2?200?x?50（家具3需求量约束）3?（家具4需求量约束）?x4?100?x,x,x,x?0（非负约束）?1234①②③④⑤⑥⑦⑧其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。 下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。2第一步 在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。第二步
在“工具”菜单中选择“规划求解”。3第三步
在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。第四步
点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。第五步
选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。单击“求解”，即可解决此题。4最后结果如下页图所示。与此结果对应的敏感性报告如下表所示。说明：（1）可变单元格表中，终值对应决策变量的最优解；递减成本指目标函数中决策变量的系数必须改进多少才能得到该决策变量的正数解，改进对最大值为增加，对最小值为减少。（2）允许的增量（或减量）指在保证最优解不变的前提下，目标函数系数的允许变化值。（3）在约束表中，终值是指约束的实际用量；影子价格式指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数值；这里的允许的增量（或减量）是指在影子价格保持不变的前提下，终值的变化范围。5根据模型运行结果可作出如下分析：(1)由模型的解可知，雅致家具厂四种家具的最优日产量分别为100件、80件、40件和0件，这时该厂的日利润最大，为9200元。本问题的敏感性报告如上页表所示。由上述敏感性报告可进行灵敏度分析，并回答题目中的问题(2)一(5)。(2)由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为12元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加l小时劳动时间，该厂的利润(目标值)将增加12元。因此，付给某工人10元以增加l小时劳动时间是值得的，可多获利为：12—10＝2(元)。(3)当可提供的劳动时间从400小时减少为398小时时，该减少量在允许的减量(100小时)内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为12元。因此，该厂的利润变为：8—400)＝9 176(元)。(4)由敏感性报告可见，劳动时间与木材这两种资源的使用量等于可提供量，所以它们的约束条件为“紧”的，即无余量的；而玻璃的使用量为800，可提供量为1000，所以玻璃的约束条件是“非紧”的，即有余量的。因此，应优先考虑购买劳动时间与木材这两种资源。(5)由敏感性报告可知，家具1的目标系数(即单位利润)允许的减量为20，即当家具1的单位利润减少量不超过20元时，最优解不变。因此，若家具1的单位利润从60元下降到55元，下降量为5元，该下降量在允许的减量范围内，这时，最优解不变。因此，四种家具的最优日产量仍分别为100件、80件、40件和0件。 最优值变为：)X100＝8 700(元)。6第三部分
非线性规划案例：北海玩具厂生产一种玩具，设该玩具下月产量为x(个)，而且所有的产品均可销售出去。已知玩具A的单位产品利润随着销量的增加而减少，其规律是单位产品利润为100－0.5x(元)。该玩具每月单位产品的原材料消耗量为1单位，对人工的需求量为2单位。已知该厂下月可提供的原材料为200单位，可提供的人工为350单位。问该厂下月应如何安排生产，才能使总利润最大?案例分析：设下月玩具的产量为x(个)，因此有下月的利润为：(100—0.5x)x＝100x一0.5x2下月玩具消耗的原材料为：x下月玩具需要的人工为：
由此得到本问题的模型如下：O.b．
100x一0．5x
x≥0上述问题中，目标函数(利润)为决策变量(产量x)的非线性函数，所以本规划问题为非线性规划问题。用Spreadsheet求解此题的步骤如下：
第一步：输入已知数据首先在Excel的工作表上输入已知数据。在单元格D4：E4中输入目标函数的系数，在单元格D6：D7中分别输入单位产品消耗的原材料和人工，在单元格G6：G7中分别输入原材料和人工的可提供量。第二步：建立非线性规划模型在Spreadsheet上描述规划的决策变量、目标函数与约束条件。27本问题的决策变量是下月的计划生产量，在Spreadsheet上用单元格D9表示该决
本问题的目标函数是下月总利润最大。用单元格D11表示总利润。它等于单位产品的利润与产量的乘积，其中单位产品的利润等于100x一o.5x2，所以，在单元格D11中输入：＝D4*D9—E4*D9*D9本问题共有三个约束条件。 第一个约束是原材料约束，即所消耗的原材料不得超过原材料的可提供量，用单元格E6表示该约束条件的左边，即所消耗的原材料，它应等于单位产品消耗的原材料与产量的乘积，所以在单元格E6中输入：＝D6*$D$9
第二个约束是人工约束，即所需要的人工数不得超过可提供的人工数，用单元格
E7表示该约束条件的左边，即所需要的人工，它应等于单位产品需要的人工数与产量
的乘积，所以在单元格E7中输入：＝D7*$D$9第三个约束是非负约束，该约束将在下一步规划求解时输入。第三步：利用“规划求解”功能求出非线性规划的最优解；在规划求解参数框中输入目标单元格(目标函数地址)、可变单元格(决策变量地址)和约束条件。其规划求解参数框如下图所示。8然后在规划求解选项参数框中选择“假定非负”(注意：本问题是非线性规划问
题，所以不选择“采用线性模型”)，最后在规划求解参数对话框中单击“求解”得到本问题的最优解,如下页图所示。9敏感性报告如下图所示。10第四部分
整数规划案例：乐天保健仪器厂的生产优化问题乐天保健仪器厂下月拟生产两种保健仪器A和B，生产该两种仪器的利润、消耗 的主要原材料和劳动力如表5．1．1所示。该厂下月可提供的原材料和劳动力分别为 2 000(千克)和140(千小时)。另根据市场调查，下月对仪器A的需求量不大于5台。 为大的总该厂应两种仪少台?获得最利润，生产这器各多乐天保健仪器厂生产利润与消耗资源表案例分析：据题意，本问题的决策变量是下月两种仪器的生产量，设下月仪器A与B的生产量分别为X(台)与y(台)。本问题的目标函数是总利润最大，由于生产每台仪器A与仪器B的利润分别为10与15千元，所以总利润为：lOX+15Y本问题的约束条件有四个。第一个约束是原材料约束，即所消耗的原材料总量不得超过原材料的可提供量； 第二个约束是劳动力约束，即所需劳动力的总量不得超过劳动力的可提供量； 第三个约束是仪器A的生产量约束不得超过其最大需求量； 第四个约束是决策变量必须为非负整数。 由此得到整数规划模型如下： O．b．
10X+15Ys．t．
282X+400Y≤2 000
4X+40y≤140
X ≤5X，y≥0并且为整数线性整数规划模型的Spreadsheet解法用SPreadsheet方法求解整数规划的基本步骤与求解一般线性规划问题相同，只是在
约束条件中添加一个“整数”约束。在Excel的规划求解的参数对话框中，用“int”表示整数。因此，只要在该参数对话框中添加一个约束条件，在左边输入的是要求取整数的决策变量的单元格地11址，然后选择“int”，见下图。下面说明整数规划模型的Spreadsheet解法。 第一步：输入已知数据与解一般线性规划问题相同，首先在Excel的工作表上输入已知数据：在单元格
B4：C5中分别输入两种仪器消耗的原材料和劳动力，在单元格G4：G6中分别输入可提供的原材料、劳动力和最大需求量，在单元格B7：C7中输入两种设备的利润，如下图所示。第二步：建立整数规划模型首先在Spreadsheet上描述规划的决策变量、目标函数与约束条件。
本问题的决策变量是两种仪器的产量，分别用单元格B17与C17表示。本问题的目标函数是总利润最大，用单元格B13表示总利润，它应等于每种仪器的单位利润与其产量的乘积之和，即在单元格B13中输入下述公式：＝sumproduct(B7：C7，B17：C17)本问题共有四个约束条件。第一个约束条件是原材料约束，即所消耗的原材料总量
不得超过其供应量。在约束条件左边是所消耗的原材料总量，用单元格F15表示，它应等于每种仪器的单位原材料消耗量与其产量的乘积之和，即在单元格F15中输入下述公式：＝sumproduct(B4：C4，B17：C17)在约束条件右边输入原材料供应量。用单元格H15表示原材料供应量，并输入以下公式：
＝G412同理可得第二个约束条件(劳动力约束)的公式，用单元格F16表示所需要的劳动
力总量，在单元格F16中输入：＝sumproduct(B5：C5，B17：C17) 用单元格H16表示劳动力供应量，在单元格H16中输入：
＝G5第三个约束是仪器A的需求约束。仪器A的产量不得超过其最大需求量。用单元格F17表示仪器A的产量，它应等于表示仪器A产量的那个决策变量，因此，在单元格F17中输入：＝B17用单元格H17表示仪器A的最大需求量，它用下述公式得到：
＝G6第四个约束条件是决策变量必须为非负整数。该约束条件在下一步规划求解时输入。 第三步：在Excel规划求解功能中输入整数约束并求解在规划求解参数框中输入目标单元格(目标函数地址)、可变单元格(决策变量地址)和四个约束条件，包括整数约束，其规划求解参数框，如下图所示。然后在规划求解选项参数框中选择“采用线性模型”和“假定非负”，最后在规划求解参数对话框中单击“求解”得到本问题的最优解。本问题的最优解为：仪器A的产量为4台，仪器B的产量为2台。这时总利润最大，为70千元。13第五部分
运输问题案例：
海华设备厂均衡运输问题海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂A，B，C，该三个分厂生产同一种设备，设每月的生产能力分别为20台、30台和40台。海华设备厂有四个固定用户，该四个用户下月的设备需求量分别为20台、15台、23台和32台。设各分厂的生产成本相同，从各分厂至各用户的单位设备运输成本如下表所示，而且各分厂本月末的设备库存量为零。问该厂应如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用户需求的前提下使总运输成本最低。海华设备厂运输成本表案例分析：本题可用下页图所示的网络图描述。网络图左边的节点表示三个分厂，右边的节点表示四个用户，左、右节点间的连线表示从左边某分厂生产的设备运输到右边某用户，线段上的数字表示单位设备的运输成本。网络图最左边的数字分别为三个分厂的生产能力，最右边的四个数字分别为四个用户的需求量。总供应量：20十30十40＝90(台)； 总需求量：20十15十23＋32＝90(台)。即所有供应点的供应量之和等于所有需求点的需求量之和。所以本问题是供需均衡的运输问题。这时，所有供应点的供应量全部供应完毕，而所有需求点的需求量全部满足。据题意，本问题的决策变量是下月各分厂为各用户生产与运输的设备数量。 可设分厂A下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为：A1,A2,A3,A4(台)；14分厂B下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为:B1，B2，B3，B4(台)；
分厂C下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为:C1，C2，C3，C4(台)。
本问题的目标函数是总运输成本最小化。总运输成本的计算公式如下：总运输成本＝∑(各分厂至各用户的设备运输成本)X(各分厂至各用户的运输量)
因此，该问题的目标函数为：o.b min
70Al+40A2+80A3+60A4+70Bl+100B2+110B3+50B4+80C1+70C2+130C3+40C4本问题的约束条件有两个部分，第一部分是需求约束，即各用户从各分厂收到的设备总数不得少于它们的需求量：A1+Bl+C1＝20
(用户1从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量)
A2+B2+C2＝15
(用户2从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量)
A3+B3+C3＝23
(用户3从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量)
A4+B4+C4＝32
(用户4从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量)第二部分是生产能力约束，即各分厂生产和运输的设备总数不得超过其生产能力：A1+A2+A3+A4＝20
(分厂A下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力) B1+B2+B3+B4＝30
(分厂B下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力) C1+C2+C3+C4＝40
(分厂C下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力)最后还有非负约束，即：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4≥0
(非负约束)综上所述，本问题的线性规划模型如下：o.b min
70Al+40A2+80A3+60A4+70Bl+100B2+110B3+50B4+80C1+70C2+130C3+40C4s.t
A1+Bl+C1＝20A2+B2+C2＝15
A3+B3+C3＝23A4+B4+C4＝32A1+A2+A3+A4＝20B1+B2+B3+B4＝30C1+C2+C3+C4＝40A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4≥0
本问题的Spreadsheet描述及建模如下图所示。15用Excel中的规划求解功能求出本问题的结果。最后的结果如下图所示。16第六部分
最大流问题案例：
供水网络问题。某城市有7个供水加压站，分别用节点1，节点2，,,,,，节点7表示。见下图。其中节点l为水厂，各泵站间现有的管网用相应节点间的边表示。现规划在节点7处建一个开发区，经对现有管网调查，各段管网尚可增加的供水能力(万吨／日)如下图中各边上的数值所示。依照现有管网状况，从水厂(源点)到开发区(汇点)，每日最多可增加多少供水量?案例分析：本问题要解决的问题是在各管网可增加的供水能力为定值时，该网络可增加的从水厂至开发区的最大供水流量。这是一个网络最大流问题。这时可在网络图中添加一条从节点7(汇点)至节点1(源点)的“虚”边(由于实际上并不存在从节点7流向节点1的管道，所以称该边为“虚”的)。增加这条边的目的，是为了使网络中各节点的边形成回路，各节点的流出量与流入量的代数和(即净流出量)为零。本问题可以看作在满足边容量约束条件下的网络流优化问题，目标函数是开发区(节点7)的总流人量(或虚拟的总流出量)最大化，这时节点7的总流人量(或虚拟的总流出量)就是网络最大流，即最大供水量。本问题的Spreadsheet描述与求解如下页图所示。 (1)输入部分首先输入已知数据。在单元格C22：I28中输入各节点间的边的容量增量。例如在单元格F22中输入3，表示从节点l至节点4的边可增加的供水能力为3(万吨／日)，等等。凡是节点间没有管道相连接的边，令其容量为零。从节点7至节点1的边为“虚”边，可设它的能力增量等于从源点出发的所有边的供水能力增量之和，即：3+4+3＝10。此外，当网络中总流入量与总流出量达到平衡时，应满足以下条件：各中间节点的流出量等于流入量，即它们的净流出量应等于零；17源点的流出量与从汇点经虚边的流入量的代数和应等于零； 汇点的流入量与从汇点经虚边的流出量的代数和应等于零。因此，所有节点的净流出量均应等于零。在单元格C17：I17中输入各节点净流出量应取的值，它们均为零。(2)决策变量本问题的决策变量用C6：I12中的单元格表示，它们是从各节点到其他节点的流量，也是供水流量增量在网络中各条边上的分配量。例如单元格D6表示从节点1流入节点2的流量，也是连接节点1与节点2的边上的流量。(3)目标函数本问题的目标函数是流入节点7的总流人量最大(即开发区得到的供水流量增量最大)，或者＝C12(4)约束条件本问题的约束条件有三个:第一个约束是网络中边的容量约束。容量约束是指各节点间的边上的流量不得超过该边的容量。因此有：单元格C6：I12中的数值(边流量)≤单元格C22：I28中的数值(边容量) 第二个约束是节点总流人量与总流出量的平衡约束。其计算过程如下：
①计算各节点的总流人量节点的总流人量等于所有流人该节点的流量之和。用单元格C13表示节点1的总流人量，其计算公式如下：＝sum(C6：C12)18从节点7流向节点1的流出量最大。在单元格L6中输入目标函数，它用下式计算：将上述公式复制到单元格D13：I13，得到其他节点的总流人量。
②计算各节点的总流出量节点的总流出量等于从该节点的所有流出量之和。用单元格J6表示节点1的总流出量，其计算公式如下：＝Sum(C6：I6)将上述公式复制到单元格J7：J12，得到其他节点的总流出量。
③计算各节点的净流出量为便于计算节点的净流出量，需将单元格J6:J12的总流出量写入单元格C14:I14。可在单元格C14中输入：＝J6然后，用同法逐个将单元格J6：J12的内容分别写入单元格D14：I14。也可以使用transpose(转置)命令完成这个工作。transpose是一个将行向量或列向量进行转置的命令，其步骤是：选择区域C14：I14，在单元格C14中输入：＝transpose(J6：J12)按下Ctrld+Shift+Enter键，就将总流出量写入了单元格C14：I14。节点的净流出量等于该节点的总流出量与总流入量之差即两者之代数和。在单元
格C17：I17中输入各节点的净流出量。单元格C15表示节点1的净流出量，它的计算公式如下：＝I14-C13将上述公式复制到单元格D15：I15，得到其他节点的净流出量。 ④当网络中总流人量与总流出量达到平衡时，所有节点的净流出量均为零 (5)用Excel中的规划求解功能求出本问题的解在规划求解参数框中输入目标单元格(目标函数地址)、可变单元格(决策变量地址)和两个约束条件，然后在规划求解选项参数框中选择“采用线性模型”和“假定非负”，最后求解得到本问题的最优解。规划求解参数框如下图所示。模型运行结果见上上表。由表可知，本问题的最优解如下表所示。这时，节点7的总流人量为9，达到最大值，即该供水网络最多可供给开发区的供水流量增量为9（吨/日）。19上述结果可用如下的网络图表示。20第七部分
排队论案例某高速路口收费站，汽车按泊松分布到达此高速路口，平均每小时90辆。每辆车通过收费口的平均时间为35秒，服从负指数分布。（排队系统中各项数量指标计算公式，请参考教材。）用Spreadsheet求解M/M/1模型M/M/1排队模型如下图所示。1．在单元格B4、B5、B6输入参数。B4：模型的时间单位，秒；B5：平均到达率，B5＝90/3600(辆/秒)；B6：平均服务率，B6＝1／35(辆／秒)。2．根据模型输入参数计算模型的输出参数，先求得直接计算的输出，见单元格
；B10：计算平均到达时间间隔，B10＝1／B5(秒)；
：B11：计算每辆车的平均服务时间，B11＝1／B6(秒)；
：B12：计算服务强度，B12＝B5／H6。3．计算系统数量指标，见单元格B15:B22。
’B15：if—算系统中没有顾客的概率，B15＝1-B12；21B16：输入顾客个数n；B17：计算系统中有n个顾客的概率,B17=B12^B16*B15；B18：计算等待队长，B18＝B5xB5／(H6*(B6-B5));B19：计算总队长，B19＝B5／(B6一B5)；B20：计算等待时间，B20＝B5／((B6－B5)*B6)；U21：计算逗留时间，B21＝1／(B6-B5)；B22：计算顾客到达必须等待的概率，B22＝B5/B6.其他符合M／M／1排队模型条件的排队模型都可用这个过程来汁舒：，计算时只需要改变模则的输入参数即可。各公式如下图所示。2241原文地址：
范文二：运筹学案例运筹学案例――某计算机公司生产计划某计算机公司是专营计算机及其外围设备的有限责任公司。由于在生产的计算机上预装了其自主开发的中文办公软件，该公司的计算机一直是市场上的热销产品。公司的总部设在北京，在北京、上海、广州设有计算机制造厂负责供应周边地区的市场。由于各地条件不同（地方优惠政策、生产批量、运输和人工成本等），计算机生产成本也不同。尽管该公司经营上百种产品，但根据历史上的统计，该公司的四种主导产品（小型计算机、工作站、微机和打印机）占了销售额和销售利润的主要部分。公司的市场主要集中在华北、华东和华南的沿海地区。公司每季度末开一次生产调度会，根据本季度生产与各地区的销售情况以及各地区下一季度的市场预测，制定下一季度各计算机制造厂的生产计划。各制造厂的管理人员可以根据这一生产计划大致估算出下一季度该厂需要的人力与原材料资源，并根据这一计划调整职工人数（生产线上的装配工人大部分是合同工）、与供应厂商签定供货计划。在每次开会之前，管理人员都要做大量的数量分析，以确定合理的采购计划。分析首先从市场分析开始，市场部门提供下一季度的市场预测数据（见表1）。华北地区仍然是他们的主要市场，华北地区的需求高于华东和华南之和。从历史上看，市场部门预测的准确性还是令人满意的。分析进一步转向制造部门，在会议开始前，各制造厂都要提供一份关于工厂生产能力限制（如场地、人工等）的报告，这些数据列在表2中。生产各种产品对生产能力的消耗数据在表3中列出。最重要的数据来自公司的财务部门，表4列出了财务部门提供的不同制造厂生产的不同产品销售到不同地区时的获利统计数据（表中所列数据是销售每台产品的平均税后销售利润）。例如北京厂生产的小型计算机在华北地区销售可获利1.25万元，而销售到华南地区能获利1.1万元。一个典型的利润计算表如下：公司的计划部门为优化公司的资源配置开发了线性规划优化模型。请利用以上提供的信息完成以下内容：1．为计划部门完成优化模型的构造及求解，并做敏感性分析，指出生产中存在的瓶颈环节以及改善这些瓶颈后可能给公司带来的利益；由于广州制造厂的工人每天的工作时间受到当地劳动法规的制约，该厂可以使用的人工小时数可能会减少10%，分析这一变化可能对公司生产计划的影响，并解释其原因。2．该公司的长期合作伙伴华科公司开发出一种新的技术，可望将制造每台工作站需要的人工小时数降到23.5小时，场地的需要减少到1.35平方米，但公司必需投资155万元购买该项技术。公司的技术人员估计在两年的时间内，该项技术将公开化，到那时只需付很少的费用，甚至不用付费就可以得到该项技术。公司是否应该购买该项技术，该技术对公司的价值是多少。3．根据历史统计数据，在任一制造厂维持一条工作站生产线的管理费用高达186万元（这一费用在计算生产成本时已平摊到每台产品上，每个制造厂只有一条工作站生产线），公司高层管理人员一直考虑关掉一条生产线。考虑到其他生产线因增加生产会增加一些管理费用，但总的计算下来还可以减少150万元的费用。你能否建议关掉哪一制造厂的工作站生产线最好，并用数据说明理由。4．一些部门经理对在模型中直接使用财务部门提供的税后销售利润的正确性表示怀疑。他们的怀疑是否有道理？利用你所学过的经济管理方面的知识做出你的分析。阅读详情：
范文三：运筹学案例运筹学案例分析08管理5班
投资建设方案某经济开发区准备筹集资金，在下个计划期内投资建设轻工业、重工业和新技术产业三种新项目。这些项目能否如期建成有一定风险。在建成投产后，其收入与投资额有关。经过分析研究，各项目的建设方案不能如期投入的风险因子及投产后可以增加的经济收入的资金收益率百分数见表1－9所示。表1－9 投资建设方案有关参数根据该地区情况，决策部门提出如下：用于轻工业的投资额不超过总资金的35%，用于新技术产业的投资额至少占总资金的15%，用于重工业的投资额不超过总资金的50%，并且首先有考虑总风险因子不超过0.2，其次考虑总收益率至少要达到22%，然后再考虑各项投资的总和不能超过总资金额。现在要确定对不同行业的各投资方案所占的比例。解：根据题意,可知这是一个目标规划问题，设不同行业的各投资方案所占的比例为Xi(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), 分别赋予这三个目标P1，P2，P3三个优先级因子， 综上所述，数学模型为：minZ= P1d1?+ P2d2?+ P3d3?+ P3d4?+ P3d5?约束条件：P1:
0.2x1+0.2x2+0.3x3+0.3x4+0.4x5+0.2x6+0.5x7+0.7x8+0.6x9+0.4x10+0.1x11+d1??d1?=0.2
20%x1+20%x2+12%x3+16%x4+30%x5+16%x6+30%x7+20%x8+4%x9+??30%x10+15%x11+d2=22%
P2d2? ?d2??P3:
x1+x2+x3+x4+d3?d3?35%
P3d3???x5+x6+x7+d4?d4?15%
P3d4?x8+x9+x10+x11+d5???d5?50%
P3d5??????????0x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,d1?，d1?,d2,d3，d2d4，d4，d5，d5，d3，案例2
办公用品问题桑斯公司办公用品的管理层针对不同类的客户制定了相应的月目标和配额。在接下来的4周里，桑斯公司的客户接触策略要求一个由4名销售员组成的销售小组从购买过公司产品的老客户中挑出200位并建立起联系。另外，这个策略还要求与120位新客户建立联系。后面这个目标的目的在于确认销售小组能继续开拓新的销售市场。桑斯公司为销售员因出差、等候以及演示和直接销售的时间提供津贴，并给每一次接洽老客户分配了2小时的销售时间。接洽新客户则需要更长的时间，每次需3小时。通常，每个销售员每周工作40小时，或是说在计划的4周范围内工作160小时；按照正常的工作安排，4名销售员将有4×160＝640（小时）的销售时间可用于接洽客户。如果有必要，管理层愿意使用一些加班时间；同时，如果所用的时间少于规定的640小时，他们也乐意接受。但是，不管是加班时间还是未被利用的时间，管理层希望在4周的时期里把它们都控制在40小时之内。这样，如果加班的话，管理层的目标是销售时间不超过640＋40＝680（小时）；如果劳动力有富余，那么管理层希望销售时间不少于640－40＝600（小时）。除了客户接触这个目标外，桑斯公司还制定了销售额目标。基于以往的经验，桑斯公司估计每次与老客户的接触会带来250元的销售额，而一次与新客户的接触则会带来125元的销售额。管理层希望下个月的销售额至少达到70000元。鉴于桑斯公司规模很小的销售小组和较短的时间，管理层决定把加班和劳动力使用度作为第一优先级目标。管理层还决定把70000元的销售额作为第二优先目标，而那两个客户接触的目标应该是第三优先级目标。确立了这些优先级后，现在可以总结目标如下：第一优先目标：（1）销售时间不得超过680小时。 （2）销售时间不得少于600小时。 第二优先目标：（3）销售额不少于70000元。第三优先目标：（4）接洽的老客户不少于200位。 （5）接洽的新客户不少于120位。解：根据题意，可知这是一个目标规划的问题，设给老客户洽谈的次数为X1，给新客户洽谈的次数为X2. 分别赋予这三个目标P1，P2，P3三个优先级因子， 综上所述，数学模型为：minZ= P1d1?+ P1d2?+ P2d3?+ P3d4?+ P3d5?约束条件为：第一个：2x1+3x2+d1??d1?=680
P1d1???第二个：2x1+3x2+d2=600
P1d2? ?d2??
第三个：250x1+125x2+d3?d3?7000
第四个：x1+d4?d4?200
第五个：x2+d5?d5?120
P3d5??????????0x1,x2, d1?，d1?,d2,d3，d2d4，d4，d5，d5，d3，求解可得，x1=200，x2=93.333, d1?=0, d1?=0, d2?=80, d2?=0,d3?=,d3?=0, d4?=0,d4?=0, d5?=0,d5?=26.667,目标函数= P3d5?=26.667案例3维修点的设置问题某家用电器生产厂因售后服务的需要，拟在A、B、C三个城市设置四个维修点,根据历史的销售数据预测,在各城市设置不同个数的维修点后,每月所得到的利润如表1－10所示。试问该是家用电器厂要在各个城市设置几个维修点,才能使得每个月所获得的利润为最大。表1－10解：根据题意可知，这是一个整数规划问题，设Xij为0—1变量，Xij=??1，当指派i个维修点到第j个城市进行设置，?0，当不指派i个维修点到第j个城市进行设置，i=1,2,3,4
j=1,2,3则数学模型为：目标函数： Max Z=16x11+28x21+40x31+50x41+13x12+24x22+34x32+42x42+12x13+22x23+36x33+47x43约束条件：
x11+x12+x13=1
x21+x22+x23=1
x31+x32+x33=1
x41+x42+x43=1
x11+x21+x31+x41?2
x12+x22+x32+x42?2
x13+x23+x33+x43?2
Xij?0, i=1,2,3,4
j=1,2,3用管理运筹学软件可得，x11=x1,
x22=x6,x32=x7,
x43=x12.答：x2=x21=1,指的是在A城市设置两个维修点，x3=x31=1,x5=x12,案例4
林业公司铺设公路某林业公司有6片林区，为便于树木的维护和砍伐运输，需要在林区之间修建公路，并保证任意两个林区都可以通过这些公路彼此连通。已知铺设公路的费用平均为850元/米，每两片林区之间的距离如表1－11所示。现要最小化总铺设成本，请问该林业公司应该如何铺设公路？表1－11两片林区之间的距离解：此问题为最小生成树问题，用管理学软件可得，如图，得出线路图，线路图保证了任意两个林区都可以通过这些公路彼此连通，此问题的解为4.1，已知铺设公路的费用平均为850元/米，所以最小化总铺设成本为3485元。案例5. （教材第185页的案例11）北京安居房地产开发有限责任公司投资项目分析
（题目材料略）解：由题意可知，这是一个整数规划的问题，设Yi（i=1,2,3）分别表示99年、00年、01年的贷款金额；设Mi（i=1,2,3,）分别为99年、00年、01年的剩余金额；设X为是0---1变量， 并规定，Xi???0，不给A,B,C,D,E五个项目投资，i?1,2,3,4,51，给A,B,C,D,E五个项目投资，?则99年初可投资金额为99年底可收益的金额为00X2+00X5+1.1M1-1.12Y1 00年初的可投资金额为（00X2+00X5+1.1M1-1.12Y1）+M2 00年底可收益的金额为000X2++.1M2-1.12Y201年初可投资金额为（000X2++.1M2-1.12Y2）+M301年底可收益金额为00X2+00X4+.1M3-1.12Y3 因此，目标函数为：Max Z= 00X2+00X4+.1M3-1.12Y3 约束条件：+00X3+00X5+M1=00X2+00X4+=（00X2+00X5+1.1M1-1.12Y1）+Y200X2+00X4+=000X2++.1M2-1.12Y2）+Y325X1+20X2+40X3+20X4+65X5?120X5=1+000X3+00X5?00X1+00X3+00X5?50X1+00X3+00X5?00X1+00X4+500 000X2++00000X2+00X4+000其中Xi为0---1 变量;Xi≥0, Yj≥0; i=1,2,3,4,5; j=1,2,3;用管理运筹学软件求其结果，则有：Y1=X6，
M3=X11由管理运筹学软件可得：五个项目都可以进行投资，1999年贷款投资的金额为91250元， 2000年贷款投资的金额为39200元，2001年的总产出为元。案例6. 教材第345页的案例18（案例分析）工商银行科学院储蓄所排队问题解：系统里顾客数不会达到拥挤我们认为排队系统达到最优，所以问题属于M/M/C/∞/∞C=1～7
平均到达率?=132人/小时
平均服务率?=35人/小时当通道数为3时，一小时最多同时服务105人，所以该情况下会出现顾客排队队列会出现增长情况。当通道数为4时， 运用管理运筹学软件得：当通道数为5时运用管理运筹学软件得：可见，设置5个通道基本满足系统里顾客不需排队的要求，平均排队顾客数1.4409。案例7.教材第345页的案例17（案例分析）解：由题意可知排队模型记为M/M/c/?/?/,合并前，平均到达率??0.5次/小时 ， 平均服务率??1次/小时 ，C=3 通过管理运筹学软件可得，合并后，物业公司零维修方式暂时不做调整，主要目的是精简零修工数量，提高服务质量，降低成本，，公司内部管理指标零维修及时率控制在99%，则顾客需排队等候的概率≤1%。平均到达率λ=4 次/小时，平均服务率μ=0.8 次/小时，C 待定 通过管理运筹学软件可得，当C=11时，当C=12时，当C=11时，顾客需要排队等候的概率为1.51%当C=12时，顾客需要等待的概率为0.59%可见，C=12时可以能保证零维修即使率，同时，两个管段的维修工共12*2=24人，低于合并前的48人，可见方案可行。阅读详情：
范文四：运筹学案例集运筹学案例集运筹学的一些典型性应用o 合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 o 配料问题：在原料供应量的限制下，如何获取最大收益 o 投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大 o 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 o 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 o 运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少 一、生产计划问题案例1（2-4）、某工厂用A、B、C、D四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：多？案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？案例4（2-28）、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工，数据如下表所示。问题：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？ 案例5、某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸 10/3 公斤，每打笔记本用白坯纸 40/3 公斤，每箱练习本用白坯纸 80/3 公斤。生产一捆原稿纸可获利 2 元，生产一打笔记本可获利 3 元，生产一箱练习本可获利 1 元。问题：（1）试确定在现有生产条件下的最优生产方案。（2）如白坯纸的供应量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资支出为每人每月40元，问：要不要招收临时工？案例6（6-18）、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。问题：试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。二、套材下料问题案例7（2-15）、某钢筋车间制作一批钢筋（直径相同），长度为3米的100根，长度为4米的60根。已知所用的下料钢筋长度为10米，问怎样下料最省？共需多少根钢筋？案例8（2-18）、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m、2.1 m、1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？共需多少根原料？案例9（2-21）、现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？ 共需多少板料？ 三、人力资源分配问题案例10、生产轮班人员的双向选择问题金伦化工（镇江）有限公司为提高工作效率和增强团队的凝聚力，对28名生产操作人员进行重新分组，拟分成4组，每组7人，由1名组长和6名普通员工组成，28名生产操作人员中已有4名员工被上级任命为4个组的组长。为在24名普通员工和4位组长之间进行最有效的分组，以实现总体满意度值最高，采取了如下的评价办法。首先，发放调查问卷，由24名普通员工对4位组长进行打分（具体打分方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：然后，由4位组长对24名普通员工进行选择排序（具体方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：经过综合评价，24名普通员工与4位组长之间的相互满意度值如下表所示（得分越低表示满意度值越高）：问题：试求总体满意度值最高的分组方案。案例11（2-9）、某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下表所示：问题：该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备数量最少司机和乘务人员?案例12（2-11）、某工厂车间共50人，其中男的为30人，女的为20人，每人每天的工作效率如下表所示，在植树节当天，如何合理安排人员，使得种活的树的数量最多？案例13（2-13）、一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货员充分休息，售货员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问题：应该如何安排售货员的作息时间，既满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？案例14种文字，分别记作A、B、C、D。现在甲、乙、丙、丁四人，将中文说明书翻译成不同语种的说明书，每人做各项工作所所需支付的费用如下表所示。问题：应如何指派工作，才能使总的费用为最少。四、配料问题案例15（2-31）、某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表所示。问题：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？案例16（2-36）、 营养配餐问题。假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以及市场价格如下表所示。问题：如何选择才能使在满足营养的前提下使购买食品的总费用最小？案例17（2-42）、养海狸鼠
饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表。问题：如何实现即满足营养要求，又使用成本最低？五、投资问题案例18（2-43）、设有下面四个投资的机会：甲：在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息。乙：在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元，两年后取息重新将本息投入生息。这种投资最多不得超过20000元。丙：在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元投资可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15000元。丁：在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息0.4元，这种投资不得超过10000元。问题：假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30000元可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年年底获得最高的收益。建立此问题的线性规划模型。案例19（2-45）、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：问题：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？案例20（2-49）、证券组合投资决策某人有一笔50万的资金可用于长期投资，可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数见下表。六、进度问题案例21（2-52）、 某厂生产的一种产品，其需求量具有季节性，假定每年只能在连续的三个月内进行生产和销售。生产可以按正常工作时间进行，也可以加班。前二个月的月产量可以大于当月的销售量而将多余的产品存贮，但要付出存贮费；而在第三个月月末要将产品全部售完。设产品在正常工作时间生产，每月最多能生产300单位，单位成本为75元。在加班时间生产，每月最多能生产90单位，单位成本为95元。每月生产量及平均成本不一定要相等。存贮费每月每单位0.5元。三个月的需求量分别为160、380和300单位。问题：试确定每月在正常时间及加班时间各生产多少产品，使总成本最小。案例21（2-56）、一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3(木材采购后一律进入仓库)，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数），当季出售不需要支付储存费用。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。11为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
七、固定成本问题案例22（7-11）、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器设备有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多还是少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。案例23（7-13）、企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产。已知每种生产形式的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如下表所示，怎样安排产品的加工使总成本最小。12八、分布系统设计问题案例24（7-19）、某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂后的产量，销地预计的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。问题：在满足销量的前提下，问应该在哪几个地方建厂，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小?九、不确定型决策问题案例25、某企业有三种新产品待选，估计销路和损益情况如下表所示：试分别用乐观准则、悲观准则、等可能性准则、后悔值准则选择最优产品方案。13案例26（8-16）、某企业有三种新产品待选，估计销路和损益情况如下表所示：试分别用乐观准则、悲观准则、等可能性准则、折衷准则、后悔值准则选择最优产品方案。 十、排列问题案例27（10-15）、某市六个新建单位之间的交通线路的长度（公里）如下表所示。其中单位A距市煤气供应网最近，为1.5公里。为使这六个单位都能使用煤气，现拟沿交通线铺设地下管道，并且经A与煤气供应网连通。应如何铺设煤气管道使其总长度最短。案例28（10-18）、某厂办公室拟在三天内举行六项活动，每项活动各需半天时间。厂办拟请10名厂级干部参加这些活动，如下表中√号所示。已知活动A须安排在第一天上午，活动F须安排在第三天下午，活动B只能安排在下午，而每名厂级干部都希望每天最多参14加一项活动。厂办应如何安排这六项活动的日程。15阅读详情：
范文五：运筹学案例分析皮革厂租用厂库安排刘梦瑶
一、 研究目的及问题表述（一）研究目的：在生活中，厂商通常面临货物存储问题，有时便需要租借仓库进行货物存储，而租金也会随着租借时间的长短而有所改变。这时我们就可以运用运筹学算出最优的租借方案，使租金最小，减少存储成本。（二） 1、问题表述：广东黄埔区的某皮革代理商需要寻租可存储采购到的皮革的仓库，并在广州58同城网上找到了位于黄埔区中心地带的具有6000平方米的高标准仓库。出租商原定价1.2元/平方米/天，后经协商 ，双方同意如下：租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。2、皮革代理商根据经验预测租赁期间所需仓库大小，其预测结果如下：第一个月 2000平方米；
第二个月 3000平方米 第三个月 2500平方米；
第四个月 3500平方米 第五个月 1600平方米将租赁合同设为每月初办理，每月签订合同份数不限，每份所选租期不限。求租金最小。3、将各方条件汇表如下（三）数据来源：在58同城网上找到相关的仓库租赁信息，其中发现位于黄埔区中心地带，107国道旁有高标准仓库招租，并标明其有6000平方米的仓库可供出租，1.2元/平方米/天。经过在网上联系该出租商，了解到其出租价格为按天数算的短期出租，若存储时间长，可另外折扣。于是我便假定租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。而由于能力有
限，尚未查出有公司或厂商具体需要租借仓库并有具体租借时长与租借大小的数据资料，于是按照课本题目例子，假定了如上的皮革代理商与其的租借要求。二、 方法选择及结果分析（一）方法选择：该问题的目标能为求租金最小，可用线性函数描述该目标的要求，且有多个方案可选。达到目标具有一定的约束条件，且这些条件可用线性不等式描述，所以可选用线性规划模型求解。（二）1、解：设Xij为第i个月签订的是租期为j个月的合同面积，可建立如下模型：minz=3600（x11+x21+x31+x41+x51）++x32+x42) ++x33) +1)+11700x15 st2、(1) 在lindo软件中输入模型如下：(2)点击“solve”键下拉子菜单的“solve”，在弹出的方框中点击“ok”即可得到如下结果3、根据软件输出结果可知当 x21=5, x41=10 , x14=9 , x24=5 , x15=11 , 而其它变量均为0时，目标函数值最小为323820。已知租地面积单位为100平方米米，可将结果整理制表如下：minz=）+1）+1820，即最少租金为32382元。结果分析：在现实生活中，有很多组合可供选择，特别是公司和企业在管理投资等方面，需要提高效益的同时降低成本。运筹学为各个企业提供了很多方法，便于企业在决策时选出最优或是接近最优的方案，为企业能更好地运行并收取更大的利益带来了巨大的帮助。如在本例中，如果按照一般的思维，在每个月初分别签订租期为1、2、3、4、5个月的合同，那么计算公式则为20×80+25×080+16×0（元），相对于经过线性规划求解的结果323820元竟多出了698580元之多！由此可见在生产管理过程中结合实际将问题抽象简化后，正确合理地使用相应的数学工具是多么的重要，它能给企业节省一大笔费用，使企业利润最大化，让企业更具竞争力。Lindo给出的结果除了最优解和最佳目标函数值之外，还给出了相应的灵敏度分析，即各数据在什么范围内变化时问题的最优解不变。模型中的各数据一般是由企业根据以往经验来进行预测的，而在现实生活中，预测出来的数据很多情况下并不百分百的准确，所以灵敏度分析使企业应对事物的变化更有信心。在lindo给出的数据中，CURRENT
COEF 表示目标函数中变量的系数，ALLOWABLE
INCREASE 表示该相应系数允许增加的值，ALLOWABLE DECREASE 表示该系数允许减少的值。如x11目标函数中的系数为3600，则当3600增至无穷大或减少1980时（其它数值保持不变）对最优解是没有影响的。CURRENT
RHS 表示约束条件右端项的数值，如在本例第一个约束中其右端项为20，当其增加5或减少11时（其它数值保持不变）最优解也不变。了解其数值允许的变化范围之后，可更好得对实际情况实行掌控，真正做到运用运筹学解决实际问题。阅读详情：
范文六：运筹学案例(改)4.2仓库布设与物资调运数学112 程文君 高慧婷 聂雅倩 汤小坚 季若若（18、 21、 33 、34、 42）【摘要】:公司须货物从生产厂运往中转仓库或用户，中转仓库也须将货物运往用户，运输过程就会出现许多方案，厂方如何确定一个可行且实惠的调配方案，使总调运费用最小。为实现合理调配，就运用相关数学方法，软件或工具，本案例属于运筹学原理中整数规划与分配问题，除具体方法，数据处理用到LINGO软件，相应的就减少了运算量。关键词：运输问题，0-1规划，最小费用 1.问题的重述红梅食品公司有两个生产厂A1、A2，四个中转仓库B1、B2、B3、B4，供应六家用户C1、C2、C3、C4、C5和C6。各用户可从生产厂家直接进货，也可从中转仓库进货，其所需的调运费用（元/t）如表4-27所示：表4-27注：表中“——”为不允许调运。部分用户希望优先从某厂或某仓库得到供货。他们是：C1?A1,C2?B1,C5?B2,C6?B3或B4。已知各生产厂月最大供货量为：A1?150000t，A2?200000t；各中转仓库月最大周转量为：B1?70000t，B2?50000t，B3?100000t，B4?40000t；C1?50000t，C2?10000t，用户每月的最低需求为：C3?40000t，C4?35000t，C5?60000t，C6?20000t。要求回答：（a）该公司采用什么供货方案，使总调运费用最小； （b）有人提出建议开设两个新的中转仓库B5和B6，以及扩大B2的中转能力，假如最多允许开设4个仓库，因此考虑关闭原仓库B3和B4，或两个都予关闭。新建仓库和扩建B2的费用及中转能力为：建B5需投资万，中转能力为每月30000t，建B6需投资400000元，月中转能力为25000t；扩建B2需投资300000元，月中转能力比原增加20000t。关闭原仓库可带来的节约为：关闭B3月节省100000元；关闭B4可月节省50000元。新建仓库B5、B6同生产厂及各用户间单位物资的调运费用（元/t）见表4—28.表4-28要求确定B5、B6中哪一个应新建，B2是否需扩建，B3和B4要否关闭及重新确立使总费用为最小的供货关系。 2.模型假设1．部分用户希望优先从某厂或某仓库得到供货时，优先考虑并首先满足其最低需求。2．不考虑货物运输过程中除运费外的其他费用。 3.符号说明：1、xij：某地到某地的运货量； 2、Z：满足条件下的最小费用；3、B（i=1,,6）：中转站开设或关闭；Bi=0，第i个中转站开设；Bi=1，i第i个中转站关闭4、mij：某地到某地的运费；5、ai,bi,ci分别为Ai的最大供货量，Bi的最大中转量，Ci的最低需求。4.模型建立及求解 (A)本问题的目的在找出最优调运方案，使总的调运费最省，解决的方法很多，主要的有表上作业法和单纯形法，单纯形法可以解决一般的线形规划问题，本题为产销模式的运输问题，也属于线形规划，而且操作过程中涉及到的变量较多，计算量庞大，通过计算机软件lingo就很好的解决了计算量问题，基于单纯形法的简洁方便，我们就选择此数学方法来求解。1． 确定目标函数Z将表4-27中数据转化为目标函数和约束条件 目标函数为所求最小费用，公式：minZ???mijxijj?0i?196(1)这里将中转地Bi即看成产地又是销地，那么由表4-27得有6个产地，10个销地方，mijxij表示为从i产地运xij到j销地的费用，公式（1）就是所有运费的相加，并取最小。 2．确定约束条件由于Ai有最大供货量，Bi有最大周转量，Ci有最低需求，那么在调运，中转，供货都有一定的限制，在运算中可列出相应的约束条件， 对Ai的限制，公式：??xij?aij?0i?192（2）ai表示为Ai的最大供货量。对Bi的限制，公式：??xij?bji?1j?023（3）bj为Bi的最大中转量。由于Bi是中转站，所以Bi与Ci之间还有约束关系，即Ci在某个Bi中得到的供货量不能超过此Bi从Ai得到的中转量。公式为：??xij???xijj?4i?3i?1j?09623（4）对Ci的限制，在考虑优先的前提下，满足最低需求即可，公式：（5）下面就对以上的目标函数和约束条件进行程序编辑，再用LINGO软件对数据进行处理。 程序如下： min=50*X10+50*X11+100*X12+20*X13+100*X14+150*X16+200*X17+100*X19+30*X21+50*X22+20*X23+200*X24+150*X35+50*X36+150*X37+100*X39+100*X44+50*X45+50*X46+100*X47+50*X48 +150*X55+200*X56+50*X58+150*X59+20*X66+150*X67+50*X68+150*X69;x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19x10x35+x36+x37+x39x44+x45+x46+x47+x48x14>50000; x35>10000;x16+x36+x46+x56+x66>40000; x17+x37+x47+x67>35000; x48>50000; x59+x69>20000; x58+x68>10000;运行结果：Global optimal solution found.Objective value:
0.Total solver iterations:
12Variable
Reduced CostX10
0.000000X11
20.00000X12
50.00000X13
0.000000X14
0.000000X16
0.000000X17
0.000000X19
100.0000X21
0.000000X22
0.000000X23
0.000000X24
200.0000X35
0.000000X36
0.000000X37
0.000000X39
150.0000X44
0.000000X45
150.0000X46
50.00000X47
0.000000X48
0.000000X55
200.0000X56
150.0000X58
0.000000X59
0.000000X66
0.000000X67
30.00000X68
0.000000X69
30.00000X15
0.000000X18
0.000000Row
Slack or Surplus
Dual Price1
-1.0000002
0.00000060.000008
100.000010
50.0000011
80.0000012
-100.000013
-200.000014
-100.000015
-200.000016
-150.000017
-200.0000-100.0000结果分析：在满足部分用户优先供货的前提下，总调运费用最小为2460万元，具体供货方案如下表所示; 表1-1 注：表中空格处的值为0，即没有货物调运表1-1(b)由表4-27和表4-28合并可得：(1)假设B2不扩建：min=50*X10+50*X11+100*X12+20*X13+60*X14+40*X15+100*X16+150*X18+200*X19+100*X111+30*X21+50*X22+20*X23+40*X24+30*X25+200*X26+150*X37+50*X38+150*X39+100*X311+100*X46+50*X47+50*X48+100*X49+50*X410+150*X57+200*X58+50*X510+150*X511+20*X68+150*X69+50*X610+150*X611+120*X76+60*X77+40*X78+30*X710+80*X711+40*X87+50*X89+60*X810+90*X811+100000*(B3-1)+50000*(B4-1)++;x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x110+x111x12+x22x14+x24x37+x38+x39+x311x46+x47+x48+x49+x410x16>50000; x37>10000;x18+x38+x48+x58+x68+x78>40000; x19+x39+x49+x69+x89>35000; x410>50000; x511+x611>20000;x510+x610+x710+x810>10000;B1+B2+B3+B4+B5+B6X12X69@bin(B1); @bin(B2); @bin(B3); @bin(B4); @bin(B5); @bin(B6);（bin表示二进制，Bi只能取值0或者1）Global optimal solution found.Objective value:
0.Extended solver steps:
0Total solver iterations:
32Variable
Reduced CostX10
0.000000X11
20.00000X12
100.0000X13
0.000000X14
60.00000X15
0.000000X16
0.000000X18
50.00000X19
0.000000X111
100.0000X21
0.000000X22
50.00000X23
0.000000X24
40.00000X25
0.000000X26
200.0000X37
10000.00X38
0.000000X39
0.000000X311
150.0000X46
200.0000X47
150.0000X48
50.00000X49
0.000000X410
0.000000X57
150.0000X58
100.0000X510
0.000000X511
0.000000X68
0.000000X69
30.00000X610
0.000000X611
0.000000X76
120.0000X77
60.00000X78
0.000000X710
0.000000X711
80.00000X87
0.000000X89
0.000000X810
80.00000X811
240.0000B3
50000.00B5
0.000000X110
0.000000X59
0.000000B1
1.000000B2
0.000000Row
Slack or Surplus
Dual Price1
-1.0000002
0.000000120.000010
50.0000011
100.000012
0.00000013
80.0000014
0.00000015
150.000016
-100.000017
-200.000018
-100.000019
-200.0000-150.000021
-230.000022
-130.000023
0.00000024
0.00000025
0.00000026
0.00000027
0.00000028
0.00000029
0.00000030
0.0000000.00000032
0.00000033
0.00000034
0.00000035
0.00000036
0.00000037
0.00000038
0.00000039
0.00000040
0.00000041
0.0000000.00000043
0.00000044
0.00000045
0.00000046
80.0000047
80.0000048
0.00000049
0.00000050
0.00000051
0.00000052
0.0000000.00000054
60.0000055
100.000056
0.00000057
0.00000058
0.00000059
0.00000060
0.000000(2)假设B2扩建：min=50*X10+50*X11+100*X12+20*X13+60*X14+40*X15+100*X16+150*X18+200*X19+100*X111+30*X21+50*X22+20*X23+40*X24+30*X25+200*X26+150*X37+50*X38+150*X39+100*X311+100*X46+50*X47+50*X48+100*X49+50*X410+150*X57+200*X58+50*X510+150*X511+20*X68+150*X69+50*X610+150*X611+120*X76+60*X77+40*X78+30*X710+80*X711+40*X87+50*X89+60*X810+90*X811+100000*(B3-1)+50000*(B4-1)+++300000;x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x110+x111x10x11+x21x12+x22x13+x23x14+x24x15+x25x37+x38+x39+x311x46+x47+x48+x49+x410x57+x58+x59+x511x68+x69+x610+x611x76+x77+x78+x710+x711x87+x89+x810+x811x16>50000;x37>10000;x18+x38+x48+x58+x68+x78>40000; x19+x39+x49+x69+x89>35000; x410>60000;x511+x611>20000;B1+B2+B3+B4+B5+B6X10X11X21X12X22X13X23X14X24X15X25X37X38X39X311X46X47@bin(B1);@bin(B3);@bin(B4);@bin(B5);@bin(B6);用Lingo软件解得如下：Global optimal solution found.Objective value:0.Extended solver steps:
0Total solver iterations:
35Variable
Reduced CostX10
30000.00X11
20.00000X12
100.0000X13
0.000000X14
60.00000X15
10.00000X16
0.000000X18
50.00000X19
50.00000X111
100.0000X21
0.000000X22
0.000000X23
0.000000X24
40.00000X25
0.000000X26
200.0000X37
0.000000X38
0.000000X39
50.00000X311
150.0000X46
150.0000X47
100.0000X48
0.000000X49
0.000000X410
0.000000X57
150.0000X58
100.0000X510
50.00000X511
0.000000X68
0.000000X69
80.00000X610
130.0000X611
0.000000X76
0.000000X77
60.00000X78
0.000000X710
30.00000X711
80.00000X87
140.0000X89
0.000000X810
160.0000X811
190.0000B3
50000.00B5
0.000000-0.B6
0.000000X110
0.000000X59
0.000000B1
0.000000B2
0.000000Row
Slack or Surplus
Dual Price1
-1.0000002
0.0000000.0000005
70.0000010
50.0000011
50.0000012
0.00000013
80.0000014
0.000000100.000016
-100.000017
-200.000018
-100.000019
-150.000020
-100.000021
-230.000022
0.00000023
0.00000024
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0.00000030
0.00000031
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0.00000033
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0.0000000.00000038
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0.00000040
0.00000041
0.00000042
0.00000043
0.00000044
0.00000045
0.00000046
80.0000047
0.0000000.00000049
0.00000050
0.00000051
0.00000052
0.00000053
60.0000054
0.00000055
0.00000056
0.00000057
0.00000058
0.0000000.00000060
0.000000结果分析：（b）在有人提议下，要求确定B5、B6中哪一个应新建，B2是否需扩建，B3和B4要否关闭及重新确立使总费用为最小的供货关系，具体供货方案如下表所示：表5-2注：表中空格处的值为0，即没有货物调运Bi=0，第i个中转站开设；Bi=1，第i个中转站关闭根据调运费用分析比较可知,B2扩建较好，B1，B2，B4，B6，关闭B3，并且扩建B2，不须开B5。总调运费用最小为2190，阅读详情：
范文七：运筹学案例分析某测绘队在年计划内准备安排 1 :2000和 1 :5000此恻尺地形图的航测内业生产。 该测绘队所具备的生产能力为： 电算加密工序3600工天， 测图仪器工序有效工天2000工天，编图工序为3000工天。每幅 1:2000地形图生产的计划定额为：加密 9工天(包括部分平坦地区的特征点) ，测圆4工天，编图3工天，单位产品产值270元／幅。每幅 1：5000地形图生产的计划定额为:加密 4工天,测图5工天，编图10工天 ，单位产品产值 460元／幅。 根据以上资料确定使总产值指标为最大的生产计划。其数学模型建立如下：设： 1：2000地形 图的计划产量为 X1 幅 ；1：5000地形 图的计划产量为 X2 幅。
希望获得的最大总产值 目标函数为：Z max= 270 x1+ 460x2根据确定的变量， 约束条件为：
9 X l + 4 X2 ≤36004 X1 + 5X2 ≤20003 X1 +1 0 X2 ≤3000X1≥0
X2≥0这是一个比较简单的线性规划数学模型，化为标准形式用单纯形法即可计算求得最优解。 但如果约束条件不是这样，比如该测绘队的生产能力： 电算加密工序远大于3600工天，要求至少要工作3600工天,测图工序仪器有效工天只能是2000工天，少于2 00 0工天要浪费资源 ，多于2000工天又不可能。那么，这一线性规划问题的数学模型将建立成如下形式: Zmax = 270 X1+460 X29 X1 + 4 X2 ≥ 36004 X1 + 5X2 ≤ 20003 X1 + 10X2 ≤3000X1≥ 0
X2 ≥ 0此时，线性规划问题的结束条件有“=”式或“≥”式， 这意味着将原问题化为标准形式后，约束条件的系数矩阵中不包含有单位矩阵，无法计算。因此 ，要引入人工变量， 即人 为地构造一个单位基矩阵。具体做法是在不等式左端先减去一个大于等于0的剩余变量(也可理解为松驰变量),化为等式后再添一个人工变量。据此，将前面的数学模型化为标准形式， 在约束条件中分别添加橙驰变量、剩余变量和人工变量，得到以下形式的约束条件 ：
9 X1+ 4 X2-X3 + X4
= 36004 X1 + 5X2
=20003 X1 + 10X2
= 3000X1、X2、X3、X4、X5、X6 ≥ 0用两阶段法解线性规划问题的第一阶段是先求解目标函数中只包古人工变量的线性规划问题。令目标函数中其它变量的系数为 0 ，人工变量的系数取某个正的常数(本题取1 ) ，保持原问题约束条件不变的情况下， 用单纯形法求出这个目标函数极小化时的解。很明显， 在第一阶段中， 当人工变量取值为 0时，目标函数值也为0 ，此时的最优解就是原线性规划问题的一个可行解如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为 0 ，亦即最优解的基变量中古有人工变量，这说明原线性规划问题无可行解。当第一阶段求解结果表明所解线性规划问题有可行解时，第二阶段是在原问题中去除人工变量 ，并从这一可行解(即第一阶段最优解)出发，用单纯形法求出问题的最优解。前倒用两阶段法求解时，第一阶段的线性规划问题可写为：Wmin=X4+X59 X1+ 4 X2-X3 + X4
= 36004 X1 + 5X2
=20003 X1 + 10X2
= 3000X1、X2、X3、X4、X5、X6 ≥ 0用单纯形法求解见下表：第二阶段是将上表中的人工变量X4和 X5去除，此时目标函数改为:Z=270 X1+ 460 X2 + 0 X3 + 0 X6再接着上表计算下去:本例只迭代一次，所有的检验数均≤0 。原线性规划问题的最优解为：X1 = 360 (幅)
X2 = 124 (幅) 。目标函数 Z=270 X1+ 460 X2 = 270×360 +450×124 =154240 (元)采用两阶段法求线性规划问题最优解时，重要的是要明确晦 一阶段的任务及其内在联系。首先要求出线性规划问题的可行解。如果有基本可行解而且是单位矩阵可直接转入第二阶段，否则要引入人工变量，并求得初始可行解。如果第一阶段最优解目标函数值不为 0 ， 则原问题无可行解，终止计算。此外，第一阶段目标函数必须是极小化。参考文献胡运权《运筹学基础及应用}哈尔滨工业大学出版社 1993龚 强 《 人工熏量法( 1 ) —— 大 M 法 》测绘软科学研究
1996.3阅读详情：
范文八：运筹学案例题食油生产问题问题食油厂通过精炼两种硬质原料油和软质原料油，得到一种食油，以下简称产品油。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地：产地3，产地4，产地5.据预测，这五种原料油的价格从一至六月分别为表C.1所示，产品油售价200 元/ 吨。表C.1 原料油的价格（元/ 吨）硬质油和软质需要由不同生产线来精炼。硬质油生产线每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/ 月。五种原料油都备有储罐，每个储罐容量均为1000吨，每吨原料每月存储费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存储。精炼油加工费用可略去不计，产品销售没有任何问题。产品油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品油的硬度与各种成分的硬度以及所占比例呈线性关系。根据技术要求，产品油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0.硬质1、硬质2、软质3、软质4、 软质5,各种原料油的硬度为8.8，6.1,2.0,4.2,5.0，其中硬度单位是无量纲的，并且这里假定精制过程不会影响硬度。 假设在一月初，每种原料油有500吨存贮而要求在六月底仍然保持同样贮备。（1） 根据表C.1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。（2） 考虑原料油价格上涨对利润 影响。据市场预测分析，若二月份硬质原料油价格比表C.1中数字上涨σ%,则软质油在二月份的价格将比表C.1中的数字上涨2σ%.相应的，三月份，硬质原料油将上涨σ%，软质原料油将上涨4σ%，以此类推至六月份。试σ分析从1到20的各种情况下，利润将如何变化？ （3） 附加以下3个条件后，在求解上面的问题：① 每一个月所用的原料油不多于三种。② 若在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。 ③ 若在一个月中用硬质油1或者硬质油2，则这个月就必须用软质油5.问题的分析与假设这个优化问题的目标是使一年获利最大，要做的决策是生产计划，即每月购买和生产多少硬质油、软质油，决策受到3个条件约束：生产能力，存贮能力，技术要求。假设一吨原料油可精炼一吨产品；产品油的硬度与各种成分的硬度以及所占比例呈线性关系，记来自产地j的原料油硬度为bj（j均为正整数，j≤5），产品油硬度M满足如下关系：M= 5j=1bj按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。基本模型决策变量设每月第i月来自产地j的原料油采购量xij吨；第i月来自产地j的原料油耗用量yij吨。记第i月生产来自产地j的原料油售价cij元，（i，j均为正整数，i≤12，j≤5）目标函数设每月获利z元，第i月购买产地j的油xij吨，消耗 12元； j=1cijxij第i月生产产地j的油yij吨，获利200 6j=1yij元， 第i月存贮消耗2500+5 ii=1 5j=1（xij-yij）元， 故z=12512512i5-
200yij- （2500+5
（xij-yij））i=1j=1i=1j=1i=1i=1j=1约束条件： 生产能力硬质油生产线每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/ 月，即yi1+yi2≤200 yi3+yi4+yi5≤250存贮能力五种原料油都备有储罐，而每个储罐容量均为1000吨，即500+ ii=1（xij-yij）≤1000500+ ii=1（xij-yij）≥0要求在六月底仍然保持同样贮备 则500+ 6i=1（xij-yij）=500技术要求产品油的硬度与各种成分的硬度以及所占比例呈线性关系，记来自产地j的原料油硬度为bj（j均为正整数，j≤5），产品油硬度M满足如下关系：8.8yi1+6.1yi2+ 2.0yi3+4.2yi4+5.0yi5 M= y+yi2+ yi3+yi4+yi5i1产品油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0.硬质1、硬质2、软质3、软质4、 软质5,各种原料油的硬度为8.8，6.1,2.0,4.2,5.0，即
8.8yi1+6.1yi2+ 2.0yi3+4.2yi4+5.0yi5yi1+yi2+ yi3+yi4+yi5≥3.08.8yi1+6.1yi2+ 2.0yi3+4.2yi4+5.0yi5yi1+yi2+ yi3+yi4+yi5≤6.0非负约束均不能为负值，即i，jxij≥0yij≥0均为整数，i≤12，j≤5模型求解软件实现用EXCEL拟合得到原料油一年价格表如下使用lingdo 可得如下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP
100OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)
REDUCED COSTX12
50.................000000X54
200.000000
159.259262
250.000000
159.259262
250.000000
0......000000
0.000000X10,1
159.259262
250.000000
159.259262
250.000000
159.259262
250.000000
181.481476
163.333328
159.259262
5...........000000
0.000000Y23
0.000000Y24
250.000000
0.000000Y25
0.000000Y31
0.000000Y32
200.000000Y33
0.000000Y34
0.000000Y35
250.000000Y41
0.000000Y42
200.000000Y43
250.000000Y44
0.000000Y45
0.000000Y51
159.259262Y52
40.740742Y53
0.000000Y54
250.000000Y55
0.000000Y61
200.000000Y62
0.000000Y63
163.333328
0.................000000Y65
0.000000Y71
200.000000
0.000000Y72
0.000000Y73
103.333336
0.000000Y74Y75Y81Y82Y83Y84Y85Y91Y92Y93Y94Y95Y10,1Y10,2Y10,3Y10,4Y10,5
146.666672
159.259262
250.000000
159.259262
250.000000
159.259262
250.000000
0.......407406Y11,2
0.000000Y11,3
31.814816Y11,4
250.000000
0.000000Y11,5
48.703705Y12,1Y12,2Y12,3Y12,4Y12,5ROW2)3)4)5)6)7)8)9)10)
159.259262
250.000000
SLACK OR SURPLUS
481.481476
413.333344
500.000000
336.666656
159.259262
440.740753
413.333344
250.000000
336.666656
0..............000000
DUAL PRICES12)
240.740738
0.00000013)
413.333344
0.00000014)
250.000000
0.00000015)
0.00000016)
159.25926217)
40.74074218)
163.33332819)
250.00000020)
86.66666421)
0.00000022)
0.00000023)
163.33332824)
0.00000025)
86.66666426)
0.00000027)
0.00000028)
0.00000029)
0.00000030)
0.00000031)
0.00000032)
0...000000
0...000000
-3.00000034)
-2.00000035)
0.00000036)
-6.00000037)
-4.00000038)
0.00000039)
0.00000040)
0.00000041)
0.00000042)
0.00000043)
0.00000044)
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0.00000047)
0.00000048)
0.00000049)
0.00000050)
0.00000051)
0.00000052)
0.00000053)
0.00000054)
-62.000000
-90.5.000000
-80.00000056)
0.00000057)
0.00000058)
0.00000059)
370.000000
0.00000060)
0.00000069)
0.00000070)
230.00000071)
980.00000072)
0.00000073)
180.00000074)
0.00000075)
0.00000076)
0.................51851877)
9.25925978)
9.62963079)
10.37037080)
125.00000081)
60.00000082)
0.00000083)
0.00000084)
0.00000085)
0.00000086)
0.00000087)
0.00000088)
0.00000089)
0.00000090)
0.00000091)
0.00000092)
0.00000093)
0.00000094)
0.00000095)
0.00000096)
0.00000097)
0.00000098)
60.................07407499)
127.666664100)
101.037041101)
130.333328102)
103.962959103)
133.666672NO. ITERATIONS=
100RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE
ALLOWABLECOEF
-170.000000
-180.000000
-190.000000
-170.000000
-175.000000
-185.000000
-185.000000
INFINITYX24
-145.000000
-170.000000
-160.000000
-190.000000
-180.000000X34
-150.000000X35
-145.000000X41
-160.000000X42
-150.000000X43
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-160.000000X45
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-155.000000X53
-185.000000X54
-145.000000X55
-135.000000X61
-120.000000X62
-150.000000X63
-180.000000X64
-140.000000
INFINITY 15.000000
INFINITYX71
-87.000000
-106.000000
106.000000
-141.000000
141.000000
-90.000000
X75X81X82X83X84X85X91X92X93X94X95X10,1X10,2X10,3X10,4X10,5X11,1
-120.000000
-82.000000
-103.000000
-145.000000
-88.000000
-123.000000
-77.000000
-100.000000
-150.000000
-86.000000
-126.000000
-71.000000
-96.000000
-155.000000
-84.000000
-128.000000
-67.000000
120.000000
INFINITY 21..000000
INFINITY 29....000000
INFINITY 6..000000 INFINITY 2.000000 INFINITY 4.000000X11,2
-93.000000
-159.000000
-82.000000
-131.000000
-62.000000
-90.000000
-164.000000
-80.000000
-135.000000
260.000000
260.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
3.000000 INFINITY 2.000000 INFINITY 0...000000 INFINITY 0...000000 INFINITY 0.000000 INFINITY INFINITY 0.000000 INFINITYY34
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
INFINITY 15.000000
0.000000Y81
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
195.000000
23..136372
INFINITY 30.259262
INFINITY 25..590916
INFINITY 30.629631
INFINITY 26..045444
INFINITY 31.814804
INFINITY 28..500011Y12,4
195.000000
195.000000
INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROW ALLOWABLE2
-500.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.000000 CURRENT
481.481476
413.333344
500.000000
336.666656
159.259262
440.740753
413.333344
250.000000
336.666656
159.259262
240.740738
413.333344
250.000000
INFINITY17
-500.000000
-500.000000
163.333328
-500.000000
250.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
-500.000000
200.000000
163.333328
159.259262
159.259262
250.000000
159.259262
INFINITY 200.000000
0...740742
INFINITY 250.000000
INFINITY 159..74074239
-500.000000
250.000000
250.000000
-500.000000
-500.000000
159.259262
159.259262
-500.000000
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250.000000
159.259262
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370.000000
250.000000
159.259262
250.000000
INFINITY 159..740742
INFINITY61
200.000000
250.000000
259.999969
110.000008
110.000008
310.000000
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157.142868
310.000000
0...............888885结果分析 一年方案一年计划利润为附加题1若考虑原料油价格上涨对利润 影响。据市场预测分析，若二月份硬质原料油价格比表C.1中数字上涨σ%,则软质油在二月份的价格将比表C.1中的数字上涨2σ%.相应的，三月份，硬质原料油将上涨σ%，软质原料油将上涨4σ%，以此类推至六月份。试σ分析从1到20的各种情况下，利润将如何变化？附加题2若附加3个条件后，增加以下约束条件每一个月所用的原料油不多于三种：1，第i月生产来自产地j的原料油设Zij= ； 则 0，第i月不生产来自产地j的原料油5Zij=3;Yij≤1000Zijj=1若在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨： Yij≥20若在一个月中用硬质油1或者硬质油2，则这个月就必须用软质油5： Zi1≤Zi5; Zi2≤Zi5文献《运筹学》胡运权主编 清华大学出版社阅读详情：
范文九：运筹学案例分析案例三 光明制造厂经营报告书(1) 双层卷焊钢管是光明制造厂2002年从意大利引进的主导民用产品，生产流程为：钢带镀铜→镀铜带精剪→制管。产品广泛应用于汽车、机床、大型机械油气管制造。目前全国市场占有率为 15% ，年利润为 350 万元。为扩大市场占有率，进一步提高企业知名度，为下步上市做好准备，该厂 2008 年拟对双层卷焊钢管分厂实行资产经营，要求有关部门拿出一份经营报告书，分析如何确定钢带订货量，使外商供货，既能满足生产，又能尽量为工厂节约费用。生产过程中各项经济指标如下：(1) 钢带镀铜：废品率 1% ，废品回收扣除废品镀铜过程中各项生产费用后净收入为 1 000 元 /t 。职工工资实行计件工资，合格品 675 元 /t ，钢带 8000 元 /t。(2) 镀铜带精剪：废品率 2% ，废品回收扣除废品镀铜精剪过程中各项生产费用后净收入为零。职工工资实行计件工资，合格品 900 元 /t 。(3) 制管：废品率：直径 4 . 76 为 8% ，直径 6 为 8 . 5% ，直径 8 为 9% ，直径 12 为 10 . 5%。废品回收扣除废品镀铜、精剪、制管过程中各项生产费用净收入为 700 元 /t 。职工工资实行计件工资，合格品 900 元 /t 。售价情况：直径 4 . 76 ： 16000 元 /t ；直径 6 ： 16100 元 /t ；直径 8 ： 16000 元 /t ；直径 10 ： 16 100 元 /t ；直径 12 ： 16 300 元 /t 。折旧： 200 万元．生产费用：合格钢管 1 200 元 /t ．企业管理费： 1000 元 /t 。特殊说明：(1) 钢带镀铜后镀镆很薄，镀铜带与钢带质量可近似认为一致．(2) 生产过程中废料很少，可忽略不计。销售部门经过严密的市场分析后，结合明年订货情况给厂长提供了以下信息： 1998 年共需我厂钢管 2 800 t ，其中直径 4.76的不少于50% ；直径 6 的至少占 10% ，至多占 30% ；直径 8 的有 300 t 的老主顾订货，必须予以满足；直径 10 的订货历史上一直与直径 6 有联动关系，一般为直径 6 的一半；直径 12 的属于冷门产品，一年必须有 100 t 备货，但市场预测绝对不会突破 200 t 。解：设钢带x0,制管中直径 4 . 76 为x1 ，直径 6 为 x2 ，直径 8 为 x3 ，直径10为x4直径 12 为 x5钢带销售收入Y1=00x2+00x4+16300x5废品回收收入Y2=(8%x1+8.5%x2+9%x3+10.5%x5)*700+1000x0钢带成本C1=8000x0职工工资C2=x0*(1-1%)*675+x0*(1-1%)*(1-2%)*900+(x1+x2+x3+x4+x5)*900= +(x1+x2+x3+x4+x5)*900净利润（目标函数）Y0=Y1+Y2-C1-C2-(x1+x2+x3+x4+x5)*（）约束条件1.+1.+1.+x4+1.=x0*0.99*0.98x1+x2+x3+x4+x5=2800x1≥1400280≤x2≤840X3≥300X4=0.5x2100≤x5≤200求解X1=1400X2=666.67X3=300X4=333.33X5=100X0=Y0=阅读详情：
范文十：运筹学案例1分析：该案例有两个问题需要决策：1、总经理需要作出是否应投资生产该新产品的决策；那么就要分别计算生产与不生产的盈利额。2、需要决策是否值得花100万元进行试生产并免费赠送用户试用。那么就要计算其样本情报价值。解：Ⅰ、①当不投资生产时；E1=2000×（1+6%）^6+1000 ×（1+6%）^5-75、2 （万元）②当投资生产时。E2=(100×30%+600×30%+1000×40%）×「（1+6%）^4+（1+6%）^3+（1+6%）^2+（1+6%）^1+（1+6%）^0」-2000×(1-20%)-0×5.637-(万元)其中（1+6%）^4+（1+6%）^3+（1+6%）^2+（1+6%）^1+（1+6%）^0=5.637因为E2==1175.2答：所以需要投资生产该新产品.1^0」-2000×(1-20%)=-1036.3(万元）W2=600×「（1+6%）^4+（1+6%）^3+（1+6%）^2+（1+6%）^1+（1+6%）^0」-2000×(1-20%)=1620.2(万元）W3=1000×「（1+6%）^4+（1+6%）^3+（1+6%）^2+（1+6%）^1+（1+6%）^0」-2000×(1-20%)=4637.0(万元）要使用样本情报进行决策，首先我们应该画出该问题的决策树，算出其样本情报决策其期望收益，进而得出其样本情报的价值。我们已知：P(N1)=0.3、P(N2)=0.3、P(N3)=0.4以及P(N1/I1)=0.7、P(N2/I1)=0.3、P(N3/I1)=0.1、P(N1/I2)=0.25、P(N2/I2)=0.4、P(N3/I2)=0.3P(N1/I3)=0.05、P(N2/I3)=0.3、P(N3/I3)=0.6由全概率公式，可知：P(I1)=P(N1)·P(N1/I1)+P(N2)·P(N2/I1)+P(N3)·P(N3/I1)=0.3×0.7+0.3×0.3+0.4×0.1=0.340同理可得：P(I2)=0.315
P(I3)=0.345由贝叶斯公式可得：P(N1/I1)=P(N1)·P(I1/N1)/P(I1)=0.3×0.7/0、340=0.618则同理可求得：P(N2/I1)=0.265、P(N3/I1)=0.117、P(N1/I2)=0.238、P(N2/I2)=0.381P(N3/I2)=0.381、P(N1/I3)=0.043、P(N2/I2)=0.261、P(N3/I3)=0.696E4=7.0×0.315+.345=.16+1243.14=3091.5(万元）那么EVSI=E4-E1=8.6=1252.9(万元）因为其样本情报要价100万元综合可得：值得花100万元进行试生产并免费赠送用户试用，有必要进行试验。运筹学案例——新产品投资决策问题小组成员：周仁拓 赵健羽 张樑
何静 邵琪 肖静 刘雪奇阅读详情：}