指数函数和自然常数 e 的一个直观说明 - 文章 - 伯乐在线
& 指数函数和自然常数 e 的一个直观说明
e 一直困扰着我—不是作为字母，而是作为数学常数。它究竟代表什么呢？
数学书、甚至我所心爱的Wikipedia，都用这样呆板的行话来描述e：
e，作为数学常数，是自然对数的底数。
而当你查找自然对数时，你会得到：
自然对数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.。
漂亮的循环引用，就像词典用Byzantine定义labyrinthine一样（译注：Byzantine意为“错综复杂的”，源自“拜占庭”，与后者同义）：正确但无益。为啥不用“complicated”这样的日常用语呢？
我不是在挑剔Wikipedia—为了追求严谨，许多数学解释形式而枯燥。但是这样对于试图入手某个主题的新手毫无帮助（在某种意义上，我们都是新手）。
不罗嗦了！我这就对e是什么、为什么重要，分享下我的见解。省省吧，收起严谨的数学书，这有一个微视频，概述了我的见解：
e不仅仅是一个数字
把e描述为“一个近似于2.71828…的常数”就像把pi叫做“一个近似等于3.1415…的无理数”。尽管正确，但是完全遗漏了要点。
Pi是所有圆都共有的周长与直径的比率。它是所有圆固有的一个基本比率，因此在计算圆形、球体、柱体等周长、面积、体而且、表面积中都有影响。Pi很重要，它表明所有圆都是相关联的，更不要提由圆所导出的三角函数（sin，cos，tan）。
e是所有连续增长过程都共有的基本增长率。你可以用e表示一个简单的增长率（其中增长是发生在年末的一个瞬变），同时发现连续型复合增长的影响，其中每一纳秒（或者更快）的增长微乎其微。
只要当系统呈连续型指数级增长，e便会出现：种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状系统都能用e来近似。
就像每个数字都可以认为和1（基本单位）的呈某个比例，每个圆可以认为和单位圆（半径为1）的呈某个比例，同样每个增长率都可以认为和e（单位增长率）的呈某个比例。
因此e并不是一个模糊的、似乎随机的数字。e表示这样的思想，即所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系。
理解指数增长
首先来看一个基本系统，其在一段时间之后会翻倍。比如，
细菌每24小时分裂并翻倍
把面条对折，我们可以得到。
如果你（幸运！）得到100%的利润率，那么你的财富每年翻倍。
看起来就像这样：
分裂成两个或者翻倍是一个很普遍的级数。当然我们可以三倍或四倍地增加，但是双倍比较方便，所以这里就随我吧。
数学上，如果分裂x次，那么我们得到原始物品数量的({2^x})倍。一次分裂我们得到({2^{1}})或者2倍。四次分裂我们得到({2^{4}})或者16倍。通用公式：
另一种描述方式，双倍也就是100%的增长。我们可以重写公式如下：
虽然等式相同，但我们对2的分割具有真实意义，即原始值（1）加上100%。聪明吧？
当然，我们可以用任意数字（50%，25%，200%）代替100%，然后得到关于新比率的growth公式。因此x个周期的回报的通用公式是：
这只是意味着我们连续使用自定义的回报率，(1 + return)，“x”次。
上述公式假设增长是离散型的。细菌在等待，等待，然后爆发，它们在最后的最后数量加倍；利息收入在一年的刻度处魔幻般出现。基于上述公式的增长是离散的、瞬间发生的，即，绿点突然出现。
事实并非如此，如果我们放大来看，会发现细菌随时间分裂：
绿先生（Mr. Green）不只是突然出现：它缓慢增长，然后脱离蓝先生（Mr. Blue）。一个单位时间（本例中是24小时）之后，绿先生完成生长，然后成熟为蓝细胞，可以创造它自己的新绿细胞。
这个信息会改变我们的等式么？
不！在细菌实例中，半成品的绿细胞仍然做不了任何事情，除非它们完全长大并从蓝色父母中分离。因此，等式保持不变。
金钱改变一切
然而财富却不一样。每收入1便士的利息，这1便士就能开始收入它自己的微便士（micro-pennies）。我们不需要等到收入完整的1美元利息—新的财富不需要成熟。
基于我们旧的公式，利息增长看起来是这样的：
但是这样并不正确：所有的利息出现在最后一天。让我们把一年放大并分为两块。即每年收入100%的利息，或者每6个月收入50%。那么前六个月收入50美分，后六个月收入另外50美分：
但这依然不正确！当然，原始的财富（Mr. Blue）在一年之内收入1美元。但是6个月后收入了其中的50美分，明白了吧，我们之前忽略了这一部分！这50美分本来也有它自己的收入：
因为比率是每半年50%，那50美分本可以收入25美分（50美分的50%）。年末我们可以得到：
原始财富（Mr. Blue）
蓝先生创造的财富（Mr. Green）
绿先生创造的25美分（Mr. Red）
总共得到$2.25，即从初始的财富中收益$1.25，比翻倍要好！
让我们把回报写成公式。两个50%的半周期的growth是：
复合增长研究
是时候提升一个等级了。这次不再把增长为为两个50%的增长周期，而把它分为三段33%的增长周期。谁说我们必须等待6个月才能开始收入利息？毫厘必争！
3个复合周期的增长得到下面有趣的图表：
想象每种颜色将收益向上传送给另一种颜色（它的孩子），每个周期增长33%：
0月：初始蓝先生为$1。
4月：蓝先生已经收入它自己的1/3美元，同时创造出的绿先生拥有33美分。
8月：蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有66美分。绿先生在它之前的值上收益33%，创造11美分（33% * 33），这11美分变成红先生。
12月：情况变得略疯狂了。蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有完整的1美元。绿先生在它8月份的值（66美分）上收入33%的回报，即22美分，这22美分加到红先生上，红先生现在总共33美分。而且红先生开始有11美分，并以此收入4美分（33% * 11），创造出紫先生。
哊！12个月后的最终值是：1 + 1 + .33 + .04即2.37。
花点时间真正来搞懂这种增长的原委：
每种颜色从其自身上收入利息，并交给另一种颜色。新创造的财富可以收入它自己的财富，依次循环。
我喜欢把原始量（蓝先生）看做是不变的。蓝先生收益财富来创造绿先生，由于蓝先生不会变化，所以这是稳定的每4个月33美分的收益。图中，蓝先生有一个蓝色箭头显示出他如何喂养绿先生的。
绿先生恰好创造并喂养红先生（绿色箭头），但是蓝先生没有意识到。
绿先生随时间增长（不断被蓝先生喂养），它对红先生贡献越来越多。4-8月间，绿先生给了红先生11美分。8-12月间，因为绿先生在8月份有66美分，所以给了红先生22美分。如果我们扩展下图表，绿先生将给红先生33美分，因为绿先生在12月份达到了完整的1美元。
明白不？开始很费解—我在整合图表时，甚至自己都凌乱了。但看到每一笔财富都能创造收益，收益反过来又创造出收益……
通过在growth等式中使用3个周期，得到这样的公式：
我们挣了$1.37，比上次得到的$1.25更好！
我们可以得到无尽的财富么？
为什么不采用更短的时间周期呢？每月、每天、每小时，甚至每纳秒会怎么样？回报会猛涨么？
回报确实会变得更好，但也只是在某种意义上。尝试在我们魔幻般的公式中，来看下总的回报：
n (1 + 1/n)^n
——————
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
数字越来越大，最终收敛到2.718附近。喂…等等…这看起来像e呢！！
真棒！在令人厌恶的数学术语中，如果在越来越小的时间周期上，连续复合100%的回报，e则被定义为其增长率：
这个极限似乎是收敛的，而且存在相应的证明。但是如你所见，当我们采用更小的时间周期时，总的回报稳定在2.718附近。
但这意味着什么呢？
当在一个时间周期内复合100%的增长时，数字e（2.718…）是最大的可能结果。当然，开始时你期望从1增长到2（一个100%的增长，对吧？）。但是每向前一小步，你所创造的微薄利润本身也在收益。当所有过程指明并结束，你在一个时间周期末最终得到e（2.718…），而不是2。e是最大的，当我们尽可能多地复合100%时，又发生了什么呢？
那么，如果我们以$1.00为开始，以100%的回报连续复合，我们得到1e。如果我们以$2.00为开始，我们得到2e。如果我们以$11.79为开始，我们得到11.79e。
e像是一个速度极限（类似光速c），指明在使用一个连续过程时，可能增长多快。你可能不总是达到速度极限，但它是一个参考点：你可以用这个通用常量的表示每个增长率。
（注：注意将增量和最终结果分离。1变成e（2.718…）是一个171.8%的增量（增长率）.e本身是在所有增量考虑进去之后（原始值+增量），你所观测到的最终结果。
如果使用不同的比率呢？
好问题。如果我们以每年50%增长，而不是100%呢？我们依然可以使用e么？
来看看，50%的复合增长应该是这样的：
嗯…，这里该肿么办？回想下，50%是总的回报，n是将增长分成复合增长的周期数。如果我们取n=50，我们可以将增长分成50块，每块1%的利息：
当然，这不是无穷的，但是已经相当小了。现在想象我们也将常规的100%分割成1%的块：
Ah，殊途同归。在我们的常规案例中，有100个1%的累积变化。在50%的场景中，有50个1%的累积变化。
这两个数字间的差异是什么呢？好吧，只是差了一半的变化数目而已：
相当有趣的是，50 / 100 = .5，正是e的指数。这是普遍适用的：如果有300%的增长率，我们可以将它分成300个1%的增长块。这将是标准量的三倍，最终比率为({e^{3}})。
尽管增长可能看起来像加法（+1%），我们需要铭记其实它是乘法（x 1.01）。这正是我们为什么使用指数（重复乘）和平方根（({e^{1/2}})表示变化量的一半，比如，乘数的一半）。
这里取了1%，但我们本可以选择任意小的增长单位（.1%，.0001%，甚至一个无穷小量！）。重点是对于所选取的任意比率，它只是e上的一个新指数而已：
如果使用不同的周期呢？
假设我们以300%增长两年，我们要将一年的增长（({e^{3}})）乘以其自身：
因于指数的魔力，我们可以避免使用两个乘幂，而仅仅在一个指数中将比率和时间相乘。
大秘密：e整合了比率和时间
这也太粗暴了！({e^{3}})可以表示两个东西：
X是时间乘以增长率：以100%增长三年是e3
X是增长率本身：以300%增长一年是e3
这个重叠不会引起混淆么？公式会不会不成立呢，又是世界末日？
一切正常，当我们写为：
变量x是比率和时间的组合。
我来解释下。当处理连续型复合增长时，10年3%的增长和1年30%的增长是等效的（然后再无增长）。
10年的3%的增长意味着30个1%的变化，这些变化在10年内发生，所以你是以每年3%连续增长。
1个周期的30%的增长意味着30个1%的变化，但是在一年内发生，所以一年增长30%，然后停止。
每个案例中有同样的“30个1%的变化”发生。速率（30%）越快，达到同样的效果所用时间越少（1年）。速率越慢（3%），需要增长的时间越长（10年）。
但是在两个案例中，最后的增长是 e.30 = 1.35。我们更加急切地希望大而快的增长，而不是慢而长的增长，但是e显示出它们的最终效果是一样的。
所以我们的通用公式变为：
如果我们有t个周期r增长的回报，我们最终的复合增长是 ert。顺便，这甚至对于负的、
小数型回报也适用。
实例时间！
实例使所有事情更有趣。一条速记：我们习惯了像 2x 这样的公式以及常规的复合利息，以至于很容易混淆（包括我自己）。更多阅读—
这些实例着重于平稳的连续型增长，而不是在年度区间上的跳跃式增长。有很多方法可以在二者之间转换，但我们将把它留给另一篇文章。
实例1：生长的水晶
假设我有 300kg 魔力水晶。它们富有魔力是因为它们每天都会生长：我观察到一颗水晶，其在24小时之内，以自身的重量脱落生成水晶（子水晶以同样的比率立即开始生长，但是我追踪不到，因为我在观察原始的脱落量）。10天之后我将拥有多少？
好的，因为水晶立即开始生长，所以我们希望连续型的增长。我们的比率是每24小时100%，那么10天之后我们得到：300*e1*10 = 6.6Mkg 魔力宝石。
这可能不易理解：注意输入速率和输出速率间的差异。“输入”是一颗水晶的改变量：24小时内100%。最终的输出速率是e（2.718x），因为子水晶自己也在生长。
本例中我们有输入速率（一颗水晶的生长速率），想要复合后（由于子水晶的加入，整个水晶群的生长速率）的全部结果。如果我们有总的生长速率，想要单颗水晶的生长速率，我们可以使用逆向运算。
实例2：最大利率
假设我有账户上有$120，利率5%。银行很慷慨，给了我最大可能的复合。10年后我将得到多少呢？
我们的比率是5%，而且很幸运得以连续复合。10年之后，我们得到($120*e.05*10 = $197.85)。当然，大多数银行并不是友好地给你最优的比率。你的确切回报和这个连续型模型之间的差异是它们不喜欢你的程度。
实例3：放射性衰变
我有10kg的放射性材料，似乎以每年100%的速率连续衰变。3年后我将有多少呢？
一丁点？0？一无所有？再想想。
每年100%的连续衰减是我们的起始条件。是的，我们确实开始时有10kg，并且预期在年末“失去所有”，因为我们以每年10kg的速率衰变。
过了几个月，我们到达5kg，还剩半年？不！现在我们以每年5kg的衰变，所以此刻开始又是完整的一年！
再等几个月，我们到达2kg。同样，现在我们以每年2kg的速率衰变，所以我们有完整的一年（从此刻开始）。我们到达1kg时，有完整一年，到达.5kg时，有完整一年—看出道道没？
随着时间推移，我们失去了材料，但是衰变速率也在下降。这个不断改变的增长（growth）是连续增长和衰变的本质。
3年后，我们将有(10*e-1*3=.498kg)。我们对衰变使用负的指数—我们想要一个小数 1/ert 与一个增长乘子 ert 做对比。[衰变常常称为“半衰期”—我们将在以后的文章中谈论这些比率的转换。
如果你想要更有趣的实例，试试（注意指数衰变中e的取值）或者（放射性衰变）。目的是看看公式中的 ert，然后理解它存在的原因：它模拟了一种增长或衰变。
那么现在你知道为什么是“e”，而不是pi或者其他什么数字：e的“r*t”次幂告诉你速率r和时间t对增长的影响。
更多学习内容：
我的目标是：
解释e为何重要：它是类似于pi的一个基本常量，出现在增长率中。
给出一个直观解释：e让你看到任意增长率的影响。每个新的“成员”（绿先生，红先生，等等）对总的增长有贡献。
展示他的使用方式：ex让你预测任意增长率和时间周期的影响。
让你渴望学习更多：在即将出炉的文章中，我将研究e的其他属性。
本文只是一个开始—把所有东西塞进一篇文章会使你我一样劳累。放空自己，休息一下，继续学习e的邪恶孪兄—
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