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　　我们都知道韦达定理：
　　韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中学数学教学和中考中有着广泛的应用。可以将其应用归纳为：
　　①不解方程求方程的两根和与两根积；
　　②求对称代数式的值；
　　③构造一元二次方程；
　　④求方程中待定系数的值；
　　⑤在平面几何中的应用；
　　⑥在二次函数中的应用。
　　韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
　　历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
　　韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
　　韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
　　韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
　　韦达定理与一元二次方程的根根的判别式的关系更是密不可分。
　　根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
　　韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
　　利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
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杭州市初中数学教育研究院院长，数学专家，出版《中考最后冲刺...
中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授韦达定理的应用
韦达定理的应用
范文一：韦达定理的应用韦达定理及其应用一、知识要点1、若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?中，两根为x1，x2。则x1?x2??x1?x2?caba，，；补充公式x1?x2??a2、以x1，x2为两根的方程为x2??x1?x2?x?x1?x2?0 3、用韦达定理分解因式ax2?bx?c?a?x2???bax?c???a?x?x1??x?x2? a?二、例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）x2?3x?10?0
（2）3x2?5x?1?0
（3）2x?43x?22?02、 已知关于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。3、 已知方程x?5x?2?0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。1?11????4、 解方程组?xy12?xy?2?225、 分解因式：（1）3x?5x?2?
（2）4x?8x?1?22三、练习1、 在关于x的方程4x2??m?1?x??m?7??0中，（1）当两根互为相反数时m的值；（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值2、 求出以一元二次方程x2?3x?2?0的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。??x?y?33、 解方程组?xy?2??4、 分解因式（1）4x四、聪明题1、 已知一元二次方程ax?22?5x?6=
（2）2x?2xy?y22?2bx?c?0的两个实数根满足x1?x2?2，a，b，c分别是?ABC的?A，?B，?C的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a?c，求?B的度数。2、在?ABC中，?C?90?，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于x的方程x?mx?3m?6?0的两个实数根，求m的值。2韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中
字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次
方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c
= a(x- x1)(x- x2)题1：（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0
的一根是另一根的4倍，则k= ________（2）已知：a,b是一元二次方程x2+ 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b)
= 6ao5b=30ab 解法二：由题意知∵ a2 +； b2 + ∴ a2 +1=- 2000a;
b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6ao5b=30ab∵ab=1， a+b=-200∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)= （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2)
=a(b +2006+a) ob( a +2005+b)=a() ob() =30ab 解法三：由题意知∵ a2 +； b2 + ∴ a2 +1=- 2000a;
b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6ao5b=30ab 题2：已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考． 一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d． 求证：(1)c＋d＝2bcosA； (2)c·d＝b－a．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．22证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)． ∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0， d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根． 由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b－a．例2 已知a＋a－1＝0，b＋b－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．2222分析：显然已知二式具有共同的形式：x＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解． 解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1． 故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．2由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ① a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．2∴ 方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x＋px＋q＝0的两根为α、β，x＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇． 由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α－2αβ＋β＝α＇－2α＇β＇＋β＇． 从而有(α＋β)－4αβ＝(α＇＋β＇)－4α＇β＇．①22222222把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0． 故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x＋mx－3＝0与方程x－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－224x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．原文地址：
范文二：韦达定理的应用及推广韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。韦达定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当?≥（）2-4ac
时，则原方程的两根满（）1+（）2=-（）足以下规律 （）（）1（）2=（）韦达定理的逆定理：如果x1，x2满足 （a≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明（）1+（）2=-（）1（）2=（）（），那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=01. 求根公式法：根据将ax+bx+c=0（a≠0）配方得到的x1,2=2-（）± 2（）-（）+-（）--2（）1+（）2=+==--（）+-（）-（）2-（（）2-4ac)4（）（）1×（）2= ×===2. 同解方程法 ： 若ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么知道ax2+bx+c=a(x-x1)(（）-（）2)左边=ax2-（）×（）1-（）×（）2+（）1（）2=ax2-（）(（）1+（）2)（）+（）1（）2 比较系数知：-（） （）1+（）2 =（）
（）1（）2=（） ?x1+ x2=-x1×（）2=（）（）与韦达定理有关的推论： （）1-（）2 =三、 韦达定理的应用（）2-4（） （）1. 已知A、B为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根A≠B(1)求A2+（）2，A3+（）3，（2）求以、为根的方程和以(A2+A+1)、(B2+B+1)为根的方程（）（）111（）2+1（）2，A-B解(1)：由韦达定理知（）+（）=-（）×（）=（）（）∴A2+（）2=(（）+（）)2-2（）=（）2（）2-2（）=（）2-2（）2A３+（）=（）11（）2+（）2（）+（）３（）= （）+（）÷（） 3（）33（）-（）3+3（）-3（） （）+（） =-+=（）2-2（）=（）2-2（）2（）2-2（）=（）A-B=
=（）+（）=-（）×（）=（）（）-2（）= （）（）2-4（）2=（）22解(2)：由韦达定理知?A2+A+1+B2+B+1=（）-2（）-（）+2=（）-2（）-（）+2（）2（）（）2（）2（）-（）2-2（）2+（）2+（）2-（）-（）-（）(A+A+1)(B+B+1)=+-+1+=22∴此方程为a2（）2- （）2+2（）2-2（）-（） （）+(（）2+（）2+（）2-（）-（）-（）)=0 （）+1（）+1（） （）-1（）-22. 证明恒等式：x1+（）2= （）1+（）2
（）1+（）2-（）1（）2(x1+（）2) 证明：设（）1+（）2=A
（）1（）2=（）,则（）1、（）2为方程x2+Ax+B=0的两根+1（）-1x（）=Ax（）x2（）-1（）-11-Bx11=Ax1-B1+1+1（）∴ 2? （）+1?x（）+x（）=（） x（）1+x1 -（）(x1+x2) 12（）-1x2=Ax2-Bx2=Ax2-Bx23. 已知A、B是方程4ax2-4（）+（）+4=0的两个实数根+1+1（）?x（）+x（）=(（）1+（）2) x（）1+x1 -（）1（）2(x112（）-11+x（）-2)51适当选取实数a的值，问能否使(A-2B)(B-2A)的值等于○42求使○（）2（）2+（）2（）2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a≠0
△=16a2-16a(a+4)=-64a≥0?a≤0（）+（）=-1由韦达定理知 （）×（）=（）+4若 A-2B
9AB-2 A+B 2=54（）?9×（）+45-2=?
52a=36a+36? a=9∵a≤0又∵a=9>0∴无满足条件的a
A+B 3-3（） （）+（）（）解○2原式==-3=（）+4-14（）3（）+12（）+4=1-（）+416所以a+4被16整除所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a、b、c使得方程ax2+（）+（）=0与方程 a+1 x2+ （）+1 （）+ （）+1 =0都有两个整数根。解:反证法，若存在满足条件的a、b、c（）3+（）4=-（）+1（）1+（）2=-（）2】显然a与(a+1)必为一奇一偶 则由韦达定理知 【1】和 【（）+1（）1（）2=（）3（）4=（）（）+1（）（）+1（1） 当a为偶数时，（a+1）必为奇数，由【1】知b、c必为偶数，那么（b+1）、（c+1）必为奇数，由【2】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，但若两数之和为奇数，那么必为一奇一偶，那么他们的乘积为偶数，与奇数相矛盾（2） 当a为奇数时，（a+1）必为偶数，由【2】知(b+1)、(c+1)必为偶数，那么b、c必为奇数，由【1】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，同上知不存在这样的整数综上所述，不存在这样的a、b、c5．已知方程x2-3（）+2-（）2=0,（）为实数且（）≠0,证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。解：∵?= -3 2-4 2-k2 =1+4（）2>0∴方程有两个不相等的实数根，设他们为x1,（）2且x1≠x2（）1+（）2=3由韦达定理知（）1（）2=2-（）2x1-1)(（）2-1 =（）1（）2- （）1+（）2 +1=2-（）2-3+1=-（）2 ∴-k2≤0
∴ x1-1)(（）2-1那么（x1-1）、（（）2-1）中必有一个大于0所以 x1、（）2中必有一个大于1，另一个小于16.求所有实数k，使二次方程kx2+ （）+1 （）+ （）-1 =0的根都是整数。 解：(1)当k=0时原方程为x=1,则k=0满足条件(2)当k≠0时，?= k+1 2-4（） （）+1 =-3（）2+6（）+1≥0
?-2 2 +1≤k≤--1 （）+1（）1+（）2=-=-1-（）【1】设两根为x1、x2,则有韦达定理知
（）-11（）1（）2==1-【2】【1】-【2】得（）1+（）2-（）1（）2=-2那么（）1（）2- （）1+（）2 +1=1+2=3即（(x1-1)(（）2-1)=1×3所以x-1=1x1-1=3x1-1=-1x1-1=-3 1
（）2-1=3（）2-1=1（）2-1=-3（）2-1=-1（）1+（）2=6或-2当（）1+（）2=6时，-1-（）=6
此时k=-71当（）1+（）2=-2时，-1-（）=-2
此时k=1 -2 12 1+1（）+（）+（）+（）7.已知a、b为正整数，且满足=49,求(a，b)的值。4（）+（）=4（）+（）=4（）?
解：设 2222 22
（）=（）+（）-（）+（）+（）=16（）-49（）+（）+（）=49（）由韦达定理的逆定理知a、b为x2-4（）+16（）2-49（）=0的两根 此方程?=(4n)2-4× 16（）2-49（） =-48（）2+196（）>0?（）4912因为n为正整数，所以n必为1,2,3,4
经验证，当n=1,2,3时?不为完全平方数；当n=4时，原方程为x2-16（）-60=0?（）1=6,（）2=10所以 a,b =(6,10)四、韦达定理的推广 高次方程中的韦达定理：一元三次方程中的韦达定理，像上文中的同解方程法一样设ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三根为x1,（）2,（）3易知
ax3+（）2+（）+（）=（） （）-（）1
（）-（）2
（）-（）3
左右分别展开得:ax3+（）2+（）+（）=ax3-（） x1+（）2+（）3 （）2+（） （）1（）2+（）2（）3+（）3（）1 （）-（）1（）2（）3 比较系数得:
x1+（）2+（）3=-（）1（）2+（）2（）3+（）3（）1=（）1（）2（）3=-（）（）（）（）（）（）依此类推也可知在高次方程中一般情况下，如果一元n次方程a（）+（）-1（）-1+（）-2（）-2+?+a1（）+（）0=0 （）≠0 的根为x1,（）2,（）3……x（） 那么再由同解方程法并展开比较系数后有如下结论：x1+（）2+（）3+?+x（）=-（）-3（）1（）2（）3+（）2（）3（）5+（）3（）4（）5+?（）-2（）-1（）=-（）……… （）0 （）1（）2（）3……（）-1（）= -1 （） （）这就是高次方程中韦达定理的形式。应用：已知f x =x3+（）+1为一个三次多项式，g x 也是一个三次多项式，满足g 0 =（）-1（）-2（）1（）2+（）2（）3+?x（）-1（）=（）-1，且g x =0的三个跟恰好是f(x)=0的三个跟的平方，求g(9)的大小。 （）+0（）2+（）+1=0 由韦达定理知 （）1+（）2+（）3=0解：x31（）2+（）2（）3+（）3（）1=11（）2（）3=-1（）12+（）22+（）32=(（）1+（）2+（）3)2-2 （）1（）2+（）2（）3+（）3（）1 =0-2×1=-2（）12（）22+（）22（）23+（）12（）23= （）1（）2+（）2（）3+（）3（）1 2-2（）1（）2（）3 （）1+（）2+（）3 =1-2× -1 ×0=1(（）1（）2（）3)2=1所以原方程为g （） =（）3+2（）2+（）-1那么g 9 =93+2×92+9-1=899阅读详情：
范文三：韦达定理的若干应用摘 要：韦达定理及其逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一，在中学数学中应用较为广泛，在一些数学竞赛中常出现巧用韦达定理来解决问题。本文从六个方面来谈韦达定理及其逆定理的应用。关键词：韦达定理 韦达定理的逆定理 初中数学竞赛 一元二次方程一元二次方程的根与系数关系定理是韦达定理的特殊情况，它的逆命题也是正确的。初中阶段我们不妨称之为韦达定理和逆定理。韦达定理及逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一，在解决初中数学的许多问题中，它是有力的工具，在初中数学竞赛中巧用韦达定理及逆定理来解的竞赛题屡见不鲜。本文通过六个方面的应用探讨如何利用韦达定理及逆定理解题目的方法和技巧。一、求值，当所求代数式是某个一元二次方程两根对称时，可应用韦达定理使计算简便。说明：1.求代数式值的问题常规方法是先求出代数式中求知数的值，然后代入。此例如按上述方法解将陷入复杂的计算，没有用韦达定理求解简便。2.这种解法必须能熟练地将要求的代数式化为用α+β和αβ表示的形式。3.这种方法一般适用于求关于方程根的对称式。分析：要求7p+2q的值，应先求出p、q 的值，而此例中方程的两根都是质数，由韦达定理知两根之积为74，故必有一根为偶数，而2是唯一的偶质数，则方程两根是2和37，再结合 p、q是自然数可求p、q的值。（解略）二、构造一元二次方程，当问题中出现a+b=m、ab=n的形式时，可用韦达定理和逆定理把a、b看作t■-mt+n=0的两∴ 当m=-7或m=3时，抛物线与x轴两个交点间距离是3。说明：此类问题利用二次函数图像与x轴交点横坐标是函数值为零时自变量的值，即方程的根，再利用韦达定理把图像与x轴交点的距离与函数解析式联系起来。四、研究一元二次方程的整数解，此法主要是应用韦达定理结合题意把问题转化为不定方程组或不等式，再进一步求不等式的整数解，以达到解决问题的目的。六、证明不等式。例7. 已知：a、b、c为实数，且a+b+c=0，a?b?c=1，求证：a、b、c中必有一个大于 。分析：已知条件是三个数的和与积，把它转化为两个数的和与积的问题，然后利用韦达定理解决。证明：由a+b+c=0a?b?c=1知a?b?c＞0，且a、b、c中有一个正数两个负数，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，参考文献：［1］吴志翔.中学数学教学参考书证明不等式［M］.1982年02月第1版.［2］唐耀庭.一元二次方程的特殊解法［J］.中学生数理化初中版，2007年Z1期.［3］杨茜，郑建平.谈韦达定理的应用［J］.成都教育学院学报，2002年01期.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文阅读详情：
范文四：韦达定理的应用讲义一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）复习引入 填写下列表格问题：你发现了什么规律？内容分析如果ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么2x1?x2??这一关系也被称为韦达定理．bc，x1?x2?． aa2特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x?px?q?0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即
p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，222所以，方程x＋px＋q＝0可化为x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以,x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此由已知两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．2我们来看个题,试试利用韦达定理简不简单例 已知方程5x＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．2分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．36，?x1??． 5533k由(?)?2??，得k＝－7．所以，方程的另一个根为?．k的值为－7555解：设方程的另一个根为x1，则2x1??注：可能觉得这题并不能体现有多简单，如果我们把2改为，又如何呢？ 一 掌握韦达定理例1：说出下列各方程的两根和与两根积1、x?2x?1?0
x1x2?1 2、2x?3x?222131?0
2243、 2x?6x
x1?x2?3 x1x2?04、3x2 -4x+2=0例2：已知x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:（1）x1?1,x2?2
p=-3,q=2 （2）x1?3,x2??6
p=3,q=-18 （3）x1??7,x2?7
p=0,q=-7（4）x1?2?,x2?2?
p=-4,q=-1二 利用韦达定理求对称式求与方程的根有关的代数式的值，通过转化把对称式转化为与x1?x2，x1x2有关的式子，然后整体代入；例 若x1,x2是方程x2?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值：(1) x12?x22；(2)11?； x1x2(3) (x1?5)(x2?5)；
(4) |x1?x2|．解：由题意，根据根与系数的关系得：x1?x2??2,x1x2??2007(1) x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2?(?2)2?2(? (2)11x1?x2?22????x1x2x1x2?(3) (x1?5)(x2?5)?x1x2?5(x1?x2)?25??)?25??1972(4) |x1?x2|????注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、x1x2表示求解x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2，11x1?x2，(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2，??x1x2x1x2|x1?x2|?x1x22?x12x2?x1x2(x1?x2)，x13?x23?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x1,x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，求下列各式的值：2(1) x12?x22
(2)(x1?x2)2.设x1,x2是一元二次方程2x?5x?1?0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）(x1?3)(x2?3)；
（2）(x1?1)?(x2?1)
（5）(x1?222211)(x2?) 3x23x1三 已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理 例1已知一个直角三角形的两条直角边长恰是方程2x?8x?7?0的两个根，则这个直2角三角形的斜边长是___________。分析：直角三角形的勾股定理：a2?b2?c2，从已知条件里可知a?b?4,ab?过变形就可以解出答案。7，通2解：设直角三角形的两条直角边为a,b,斜边为c，222由勾股定理可知：c?a?b ，而由题意可知a?b?4,ab?7， 2所以c2?a2?b2?(a?b)2?2ab?9, 有因为c是直角三角形的斜边，所以c>0
C=3例2 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于等于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．22∵x1＋x2－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2－6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝－1．注：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例3 已知x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根．(1) 是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??存在，请您说明理由． (2) 求使3成立？若存在，求出k的值；若不2x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x1解：(1) 假设存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??23成立． 2∵ 一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根?4k?0
∴ ??k?0， 2???(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0又x1,x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根2?x1?x2?1?
∴ ?k?1x1x2??4k?∴ (2x1?x2)(x1?2x2)?2(x12?x22)?5x1x2?2(x1?x2)2?9x1x2
?k?93??k4k29，但k?0． 53成立． 2∴不存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??x1x2x12?x22(x1?x2)24k4(2) ∵
??2??2??4??4??x2x1x1x2x1x2k?1k?1∴ 要使其值是整数，只需k?1能被4整除，故k?1??1,?2,?4，注意到k?0，要使x1x2??2的值为整数的实数k的整数值为?2,?3,?5． x2x1说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2) 本题综合性较强，要学会对4为整数的分析方法． k?1【课堂练习】1．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根x1,x2．（1）当m为何值时，x1?x222；（2）若x1?x2?2，求m的值.22．已知关于x的方程x?3x?m?0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程(k?3)x2?kmx?m2?6m?4?0有实数根．四 与跟的判别式相结合，判断根的符号引入：不解方程x?37x?5?0，判断方程根的符号2解：由题意可知，x1?x2?37?0,x1x2??5?0，所以有一个根大于0，有一个根小于0.由于用根的表达式比较复杂时，可以考虑利用韦达定理并结合根的判别式，从而解答。例1已知关于x的方程x2?(k?1)x?k2?1?0，根据下列条件，分别求出k的值．(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|?x2．14分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 判定x1的符号去掉绝对值，有两种可能，一是x1?x2?0，二是?x1?x2，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为512?2??[?(k?1)]?4(k?1)?0?3?4?k?,k??4 ∴ ?2?xx?1k2?1?512??4所以，当k?4时，方程两实根的积为5．(2) 由|x1|?x2得知：①当x1?0时，x1?x2，所以方程有两相等实数根，故??0?k?3； 2②当x1?0时，?x1?x2?x1?x2?0?k?1?0?k??1，由于??0?k3，故k??1不合题意，舍去． 2综上可得，k?3时，方程的两实根x1,x2满足|x1|?x2． 2例2
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题．解：由Δ＝－32m＋16≥0得m?112．x1＋x2＝－m＋1，x1x2?m?0． 24∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论： (1)若x1＞0，x2＞0，则??x1?x2?0，解得m＜1且m≠0．xx?0?12?m?1且m≠0． 2(2)若x1＜0，x2＜0，则?综上所述：当m??x1?x2?01，解得m＞1，与m?相矛盾．2?x1x2?01且m≠0时，方程的两根同号． 2注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【课堂练习】1．已知一元二次方程x?10x?21?a?0。（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？2m2?0
2.已知关于x的方程：x?(m?2)x?42(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根x1,x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1,x2阅读详情：
范文五：浅谈韦达定理的应用10 5小议 英汉 被动 语态表达方式 之 异 同t St ae s18 研 年 In.,林肯再 次 当选 为美 国总 统o。18 麟 U n c,i lls a wee lee td P 况 s id entf ot l犯i td Un e陶红佩( 宿 松 中学 安徽 宿 松,o 月 中华人 民 共 和 国 于 1叫 9 年 r2 《欢刀 ),I 日成立。nlee Pl,oe p}.’5u l c i e pb Rf oCh i r a l鱼组鱼 型噢因 。,C O英语 动 词 是 一个 十分 复 杂 的词 类 掌握 动 词 用 法 是学 好 英语 的 关 键, 。 ,torl犯r19 4 9有 些 汉语 句 子 形 式 上 象 被 动 结 构 实 际 上 是 将 主 语 省 略 了 译 为 英语 时 以 主 动 结 构 为宜, 。,英 语动 词的形 态和表 达方 式 与“ ” ,如:汉 语动 词 相 比 可 以 说 是 小 同大 异这 给 中国学 生,第 二 课 的 生 词 看 了没 有 ?Ha ve带来 许多 困 难“ ”。在 英 语成 绩 较 差 的 学 生 当 中 不 少 人。yolle a r dta h~ro 心 wuf 此s s o on( 〕 l 、’ ?的 病 根 就 出在 动 词 上 面要 等你 吗 ?10 S】笔 者 想 从儿 个 方 面 将英 汉 动 词 的表 达 方 法 进 行 一 些 比较。e 胭 山w玩sro fyo?“如 果 我 们 用 被 动 语 态将第 一 句 译 为。Ha veh tenw e英 汉 动 词 在句 法 上 有 某 些 相 似 之 处例如 它 们。,w“o找‘f on o s比Tw oe be nod as ? u”byy 钾?”第二 句 译 为,在 句 中都 可 用 作 谓 语 ; 都 可通 过 连 系 动 词 加 表 语 构 成 复 合 谓 语 ; 都 可 以 带 宾 语 ; 都 可 以 被状语 修 饰等 看以 下 例句,Sh o 己du o yi a wtd f e r o。场就 会 生 搬 硬 套 之嫌 不请符合英语 表达 习 惯:还 有 些 汉 语动 词,,形 式 上 是 主 动 的 却要 用 英 语:,t l‘ Y。 Ma ld eI型 些些 r.对 啦 玛 蒂尔 德 我鱼鱼,,的被 动 结 构来 翻 译 如,圭工。(谓语) e G。我 不 反 对 这 个意 见。……a n d是 他 的母 语1e x( 复合谓语 )d my5.~~扮5ni v t a elan即明e.……德 语I m’t o nop衅edtoe h twi dea.我 们 听 了他 的话 感 到惊 讶 我 表示 鱼直o ra 〔 s。。ps e rs e鱼丝四 丝运t a,( 宾语 )e W竺鱼丝1丝迹因 b y,ll athesi d a,…a n de h t1、e n m s,y t b e hl id el av a d,… …这,总 之 英语 被 动 语 态 是 一 项 很 重 要 的 语 法 内 容 通过 英 汉 比 较 进 行 教 学 有 助 于 学 生 克 服 汉 语 的 影, 。六个 瞎 子 整孟坐 在 星 鱼 边 … … ( 状 语)但在许 多 方 面 英 汉 动 词 却存在 较大 的 差 异:。现响 加 深 对英语 被 动语 态 的 理 解 和 掌握仅 从 被 动 语 态 表 达 方 式 来 比较 英 汉 动 词 都有 主 动 形 式 和 被 动 形 式 结 构却大 不 一 样 式是通过加 被 受 让“ , , , ” , 。汉语 动词的被 动形,由 等 字眼 构 成的 动 词本 身浅 谈 韦 达定 理 的应 用王 立群( 宁 国 市 高级 职业 中 学 安 徽 宁 国,无 变 化 ; 英语 动 词 的 被 动 形 式 是 通 过 助 动 词 统 加 上 及物动词的过去 分词构 成的 句子 由于 带 有, “ 、 ” 。有 些 汉 语 被动 结 构 的,被 受 等 字 眼 很容 易看 出主 语是行。242 30 )为 对 象 因 而 译成 英 语 时 不 太 困难如:第 二 天 他 就 丝燮望并 鱼差 进 了 巴 士 底监 狱,。韦 达 定 理 是 初 中数 学 的 重 要 内 容 已是 揭 示 一 元o,‘ne屺.n e xta dyIl e丝竺~丝 鱼四回 朋d 鱼些鲤in tta h二次方程 根 与 系数 关 系的 重要 定 理 其 应 用非 常) 泛。 ,,-Ba stil近年 来 各 地 中考 及 数 学竞 赛 中 也 常 出 韦 达 定 理。告 诉 你 我 们 就 是 这 样 地 垫室乞 丝孟提 一 贫 如 洗 以至……I, ,,方 面 内容 的题 目,为丰富学生知识 面 开 阔学生 解题,思 路 本 文 介 绍 以 下 儿 种 有 关 韦 达 定 理 问 题 的救 解 方y a se w~o s旦 2业 垦 多声n丝卫 翌 弓 s d 丝旦 旦 ox 沁 lr,t h a t法。一 观察 法 求解,、但 在许 多 场 合 汉语 句 子 是 不 带 被 受 这 类 字眼 的 却 同样 要 译 成 英语 的 被 动 句, 。“、”例:l解 方程 (,xa+b一x)=C(a+b一C)。如:解 由观 察 可 知 等式 左 边 的x与右 边的C地位10 6相当(可 换位) 故 则 由 韦 达定 理 得e,x l=c是 其一 根。设2 x为另 一根,的两 个 根 解 之 得t,,=2.产二 3二、.二e(a+b一一。)石巧了 贾 巧b )尸+飞或子 r 产 、 Je L s . L ‘、l 丫于Z x 2:二a+bc”一例解方程(a一(b一。)x+(e一a)二0。石 丫 不万二二=「二x l二5 4,2 x为54,解 由观 察 知方 程 中各 项 系 数 之 和 为 零 故 为其一根。,x ll解得 嘴y一=二2 设另 一 根 为 x,则有C这 个无 理 方 程 组,通过 转化 处 理 最 后 用 根 与 系, , 。一a2 x=数 的 关 系 求解 只 要 交 待清楚 学 生 易 接 受 不 失 是 一 种解这类 方 程 组 的 妙 法a二 不 毛,例 3 及 8护 一~ 一十’已知a,b都 不 为 1 且 有 5 犷 十 1卯s,J 一十8二0三 运 用 韦达定 理 的逆 定 理 求解例 6 已 知 实数: 、、、1 “。姚‘b十’5“=一o一 “求 手 的 值 ( 第 八 届 冲 之 杯数 学 “ ” 曰 b ~ ~ ~ ~“ z ,‘y、z/、‘‘’r‘切满足,,x二6一y,产二 x y一9,竞赛题 )解5(:求证5 矛 + 19 5 a2: x=y。丫十8+二0,证 根 据 韦 达 定理 的 逆 定 理0,:x、y是方程 产一t 6十) 士’+1螂 ( 告,, ’8,二矛+9=0 的 两 个根x、。因。 “’ / 廿 Iy为实数 故 利 用 根 的 判别 式 的 逆 定 理 可 得一,由题 设 易 见 ~ ~ ~ ~ ~,。,r’“故 牛是 方 程 牛 一 b ~ b ~5分 + l△:‘(6)2一4 ( 矛+ 9 )=一4 产妻 。卯sx+8二0:一4 矛成 0=.的两个根’ .a,△0,故 方 程 有 两 个相 等 的 实 根 即, ,,x=y。1a 二s“韦 达 定 理 的 应 用 极 为广 泛 只 要 多 观 察 多 分 析, ,,,下下了 找到解题 的 思 路 和多 练 习 注 意总 结找 出 规 律 便可 找 到 解 题 的 思 路 和以 上 各 例 均 是 通过 直接 观 察技巧。在 教 学 中适 当介 绍 其 解 法 思 路 和 题 型 这 对 培。,方法 很 有 启 发 性、,。养学 生 分 析 问题解 决 问 题 的 能 力 很 有 益 处二 .二 转化 条件 求解、,J,例 4犷 已知 专 ~ 32’、。一份 5护二一1‘, ’介 15扩+‘苍 7护二 一l,‘”一 十 求 丫 『 的 幼 。J 、 曰 ‘。测量 电 阻误 差 与电源 内阻 的关 系王利平值。解 将 已 知 条件 变 形 为a 一 万-:Z 万 l十,丁-护一一只 二1,二 万,斗 一斗,,扩 二 一l 10 一十3 哭联) ( 定远 三 中 安 徽 定 远 2 的两个 根 该 方,,显然 程可 化为 尸一、 1。是 方程+法+利用一只 电流表 或 一只 电压 表和 一 只 已知 的 标 准电阻 R 0 来测量 未知电阻 R x 的 数值 测 量 结果 的 误 差 当 然与 电 压 表 并 人 电 路 时 的 分 压 作 用 和 电 流 表 串,2 (a+2 b+10)x2 ( 9a+2 b+9)=0。由 韦达 定 理 得4:.入 电路 时 的 降 压 作 用 有 关+。那 么 电源 内阻对 测量 结16二扩 护++10果 的 准 确度 有 什 么 影响 呢 ?现 在用 一 只 电 压表 和 一 只 已 知 标 准 电阻 凡 测 未护十 宁二10例’” 方程组2x{+寿石尹一,十了 不弓=4、 ‘ 了 . 21 ‘ 八 1、 Z 产 ,、知 电阻 凡 为例 来 说 明 测 量 的 电 路 如 图 ( l ) 所示 x U U 0 分别 为 凡 和 凡 上 的电 压 则 实 测 电阻 值 是、 ,,尸一二9二:解 ( ) 可化 为 (:了:y)(xy)9八不 刻 丫.,刻 万歹3,二 一石不万 关不丁3 ) (若 考 虑 到 电 压 表 的 内阻 凡 和电 源 内阻or,设电 源 电 动:由( 1 ) 与 ( 3 ) 知 了牙 石万 巧是 方 程 产十4t +3二势为e,则 电 压 表 的 读数 实 际 上 反 映 的 是阅读详情：
范文六：韦达定理的应用练习韦达定理练习题一、填空。1、若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?中的两个实数根为x1，x2。则x1?x2?x1?x2?；2、关于x的一元二次方程x?bx?c?0的两个实数根分别是1和2，则，3、关于x的一元二次方程2x-3x?1的两个实数根分别是x1，x2。则x1?x2?，x1?x2?；二、选择题。 22（a?b）?0的跟的情况是（
） 1、一直a，b，c是分别是三角形的三边，则方程（a+b）x?2cx?A没有实数根
B可能有且只有一个实数根
C有两个相等的实数根
D有两个不相等的实数根 2-2k?1）x?1?0有两个不相等的实数根，2、如果关于x的一元二次方程kx（那么k的取值范围是（
k＞-221111
k＞-且k≠0
k≥-且k≠0 4444三、不解方程说出下列方程的两根和与两根之积：1、x2?3x?10?0
2、 3x2?5x?1?0
3、2x2?4x?22?0四，已知m，n是方程2x-4x?1?0的两个实数根，利用跟与系数的关系，求下列各式的值： 2（1）（2m-3）（2n-3） ；22mn?mn（2） ；（3）m-n（4）2m2?3n2?2m五、在关于x的方程4x??m?1?x??m?7??0中， 2（1）当两根互为相反数时m的值；（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值2六、在?ABC中，?C?90?，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于x的方程x?mx?3m?6?0的两个实数根，求m的值。阅读详情：
范文七：韦达定理的运用韦达定理应用一
教材分析本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标:二
教学目标1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。2、提高学生综合应用能力三
教学重难点重点:运用韦达定理解决方程中的问题难点:如何运用韦达定理四
教学过程(一 )
回顾旧知，探索新知上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理?2
如果ax?bx?c?0(a?0)的两个根是x1,x2那么x1?x2??bc,x1?x2?
aa{老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。)(二)
举例分析例
已知方程5x?kx?6?0的一根是2，求它的另一根及k的值。
请同学们分析解题方法:思路:应用解方程的方法，带入法解法一:把X=2代入方程求的K=-7把K=-7代入方程:5x?7x?6?0 运用求根公式公式解得?x1?2,x2??223 5提问:同学们还有没有其它方法呢?启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。解法二:设方程的两根为x1,x2，则x1?2,x2是未知数用韦达定理建立关系式632x2??,?x2?? 55k?x2?2??,?k??75
3?x1?2,x2??,k??75对比分析，第二种方法更加简单总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某些代数式的值例2
不解方程，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和方法小结:(1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1?x2,x1?x2的代数式表示。(2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。
②求出x1?x2,x1?x2的值
。 ③将所求代数式用x1?x2,x1?x2的代数式表示 。
④ 将x1?x2,x1?x2的值代人并求值。三
综合运用 巩固新知1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是解：2、设 x1,x22(1)?x1?1??x2?1? (2)?x1?x2? 2(3)x2x1 ?x1x2217，求M的值板书设计阅读详情：
范文八：韦达定理的巧用韦达定理,即一元二次方程中根与系数的关系,设x-px+q=0的两个根为x、x,则x+x=p,xox=q,是初等代数中的重要内容。在实施创新教育的教学中,教师有目的、有意识地运用此知识,不仅能简化、优化解题过程,而且对拓宽学生的思路,发展学生的思维,提高学生的解题能力大有裨益。下面我列举几例说明其巧用:1.巧求系数例1:已知关于x的方程x+2(m-3)x+m+7=0有两个实数根,且这两个根的平方和比两根积大40,求m的值。分析:应用韦达定理求一元二次方程中待定系数是一种常见的方法,但我们应特别注意一元二次方程是否有根的检验,还应注意二次项系数及本身隐含的取值范围。解:设x+2(m-3)x+m+7=0的两根值为x,x,则x+x=-2(m-3),xx=m+7,又(x+x)=x+x+2xx,∴x+x=(x+x)-2xx。由题意得:x+x=xx+40,∴[-2(m-3)]-2(m+7)=m+7+404(m-3)-3(m+7)-40=0,∴m=25,m=-1。把m=25代入原方程得x+44x+632=0,△　　∴方程无实数根,∴m=25不合题意,舍去。把m=-1代入原方程得x-8x+8=0,△>0,∴m=-1。2.巧解条件例2:当m为何值时,方程x+(m+1)x+4m-6=0两根的平方和最小。分析:若用求根公式x=算出两根显然较为繁琐,若设x,x为此方程二根,则由韦达定理和恒等式:x+x=(x+x)-2xx则能很快求出m的值。解:设x,x为方程x+(m+1)x+4m-6=0的两个根,则x+x=-(m+1),xx=4m-6,∴x+x=(x+x)-2xx=[-(m+1)]-2(4m-6)=(m+3)+4,∴当m=-3时,此方程两根的平方和最小,且最小值为4。3.巧证等式例3:若实数x、y、m满足x=6-y,2m=xy-9,求证:x=y,并求m的值。分析:由已知条件知:x+y=6,xy=2m+9可构造出一个一元二次方程,进而解题就可挖掘其潜在的内涵。证明:将已知二式变形为x+y=6,xy=2m+9。由韦达定理设x、y是方程t-6t+(2m+9)=0的两个根。∵x、y是实数,∴△=36-8m-36≥0,则-8m≥0。又∵m为任何实数,8m≤0,∴m=0,即△=0,∴方程t-6t+(2m+9)=0有等根,∴当m=0时,该方程的两个根x=y。4.巧解无理方程例4:解方程+=4。分析:细心观察此方程,将会发现,若设=m,=n,则m+n=4,且m+n=10,于是由恒等式m+n=(m+n)-2mn,求出mn=3,再代入所设即可求出原方程的解。解:设=m,=n,则m+n=4,又m+n=10,即(m+n)-2mn=10,∴mn=3。由韦达定理可设m,n为方程t-4t+3=0的两个根,解得:m=1,n=3或m=3,n=1,代入所设可得:x=-2,x=6。经检验:x=-2,x=6均为原无理方程的根。5.巧解集合与不等式例5:已知关于x的不等式ax+bx+c1},则不等式ax-bx+c>0的解集为。解:由题设条件知:-2与1是方程ax+bx+c=0的两根,并且由不等式ax+bx+c　　∴由根与系数的关系知:-2+1=--2×1=,∴1=-2=,∴b=a,c=-2a。∵不等式ax-bx+c>0,∴ax-ax-2a>0,即a(x-x-2)>0。又∵a　　∴x-x-2　　∴-1　　故不等式ax-bx+c>0解集为{x|-1　　例6:已知集合A={x|　　解:∵A={x|1},又∵A∪B=R,A∩B={x|1　　如图:∴B={x|-2≤x≤4}。由不等式与方程之间的对应关系知:x+px+q=0的两根为x=-2,x=4,由韦达定理知:x+x=-2+4=-pxox=-2×4=q,解得:p=-2q=-8。6.巧解解析几何分析:我们可以利用韦达定理根据条件建立恰当的方程或不等式来确定参数的值或取值范围,巧解圆锥曲线与直线相交中的有关问题。例7:椭圆的中心在原点O,焦点在轴上,离心率为,它与直线x+y-2=0交于A、B两点,且AO⊥BO,求该椭圆方程。解:由已知设椭圆方程为+=1,且c=a-b。∵e==,∴2c=a,则b=a,又设直线x+y-2=0与椭圆交于A(x,y),B(x,y),∴+=1x+y-2=0,∴x+2y=ay=2-x,∴3x-8x+(8-a)=0,∴x+x=,xox=,∵AO ⊥BO,∴kok=-1,即o=-1,∴xox+yoy=0,∴yoy=(1)又∵x+2y=ax=2-y,∴3y-4y+4-a=0,由韦达定理得yoy=(2)由(1)、(2)得=,∴a=6,b=3,∴所求椭圆方程为+=1。本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文阅读详情：
范文九：再谈韦达定理及逆定理的应用作者：艾萍包汉忠理科考试研究 2010年12期韦达定理及逆定理是研究一元二次方程的根与系数关系的两个重要结论，不仅是初中数学教材的重点知识，也是整个数学中的方程理论的重点基础知识。以下用具体题例来说明韦达定理及逆定理在初中数学中的一些应用。一、确定方程的系数以上对韦达定理及其逆定理的一些应用作了归类，以后随着不断学习新知识，韦达定理及其逆定理的应用会更广泛。从整体上来说，对韦达定理及其逆定理的应用方式，主要是从两根之和与两根之积的关系入手，通过与条件、结论相关的演绎变形，得到所求的结论。如何进行“相关的演绎变形”，这就需要知识在学习过程中的积累，只有在知识达到相当的积累之后，才有可能自然而然地找到“相关的演绎变形”。作者介绍：艾萍，贵州省平塘二中(558300)；
包汉忠，贵州省都匀三中(558000)。阅读详情：
范文十：韦达定理应用(资料)韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x1，则相加，得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵又 ∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为∴，。∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴A=5. ∴x-y=5又xy=-6.
∴.∴解方程组∴可解得例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。 ∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时，∴m=5∴S.例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①
均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不存在这样的情况。③∴m④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。6. 已知方程组值。 的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。【试题答案】1. －1 2. 4，1 3. A 4. a=1或135. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解6. 13例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(’97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得 α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。考查题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=05．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x1ox2等于（）（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝7．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是8．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1ox2＝，（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝二、考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=02、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是；若两根之和为－3/5 ，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－√5 和1+√5 。7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1解题指导1、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;2、方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m= ;3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ;4、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ;5、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1＊6.实数s、t分别满足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值。7.已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？8.求证：不论k为何实数，关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分解成两个一次因式的积。9．实数K在什么范围取值时，方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是 ;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+√3 和2－√3 ，则p= ,q= ;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m= ;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn= 。7、已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β，若s＝1/α ＋1/β ，求s的取值范围。独立训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 ;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ，则k= ;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;5、方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;7、已知p8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x210．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。12．是否存在实数k，使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2，满足｜x1/x2 ｜＝3/2 ，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。阅读详情：}