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小学数学解题思路技巧 投稿：李旵时
神奇的1和0 ［知识要点］ 1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。 ⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。 2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；…
小学数学典型应用题解答技巧 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平…
小学毕业数学复习典型应用题类型分析与 小学毕业数学复习典型应用题类型分析与解题思路 毕业数学复习典型应用题类型分析 题型 名称 含义 在解题时，先求出一份是多少 （即单一量），然后以单一量 为标准，求出所要求的数量。 这类应用题叫做归一问题。 解题时…
神奇的1和0
［知识要点］
1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有
⑴ α×1=1×α=α；
α÷1=α。
⑵ α＋0=0＋α=α；
α－0=α；
α×0=0×α=0；
0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。
2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个0。
［范例解析］
计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。
“金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？
由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的积。
我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？ 解
将数3按这两种方法计算有：
3×3＋1=10
5×3＋1=16
简记为：3→10→5→16→8→4→2→1 同样，对于数7有：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角谷猜想”。
2÷0得几？说明理由。
假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。 例5
把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么： ⑴ 两个0都不读出来的数是什么数？ ⑵ 只读出一个0的数是什么数？ ⑶ 四位数中最大的一个数是什么数？ ⑷ 四位数中最小的一个数是什么数？
计算：⑴ 1300×3
⑵ 1600×5
⑷ 5008×5 解
［思路技巧］
任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。
总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。
［习题精选］
）=1 2．计算。
⑴ 617×0×4
⑶ 80×3×1
3．用“角谷猜想”计算方法填数。 ⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→
⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→
4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？ 5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？ 6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？
7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？还是积大？
8．比比看，谁做得又对又快？
7×7 （6－6）×4
（8－8）×0
0÷（8－4） 1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1
9．用四个3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：
一个零都不读出来
只读出一个零
） 读出两个零
读出三个零
） 10．数字迷。
下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数： ⑴ 7
19 这个数被3除余1； 这个数比最小的两位数大；
这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数； 这个数的几？
03000 这个数只读出一个零； 这个数的最高位在二节中； 这个数各个数位上的数的和为8； 这个数是几？
11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（
余数的妙用
［知识要点］
1．被除数=除数×商＋余数；
2．余数要比除数小；
3．会解有余数除法的应用题。
［范例解析］
如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？
14÷3 = 4余2
每班分得4个还余2个。
下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？
第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8；
第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；
第三个竖式是对的，余数3小于除数5。
计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：
被除数 = 除数×商＋余数 被除数－余数 = 除数×商
把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？
11÷3 = 3余2；
12÷3 = 4余0；
13÷3 = 4余1；
14÷3 = 4余2；
15÷3 = 5余0；
16÷3 = 5余1；
17÷3 = 5余2。
一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。
“余数”在我们生活中还有不少的用处呢！
国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装
50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？
可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成
50÷6 = 8（组）余2（只）
于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。 例5
今天是星期三，再过20天是星期几？
今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3
天。所以有
（20＋3）÷7 = 3余2
即再过20天是星期二。
把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。
第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，
第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下： （ 18 ）÷（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）
［思路技巧］
１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 ２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。
［习题精选］
１．看图填数。
11÷3 = ______( 根 ),,,,______（ 根 ）
14÷4 = ______( 份 ),,,,______（ 个 ）
14÷3 = ______( 个 ),,,,______（ 个 ）
２．下面各题的计算对吗？把不对的改过来。
⑴ 38÷5 = 6,,,,8
49÷6 = 7,,,,7
49÷8 = 5,,,,9
33÷4 = 8,,,,1
2÷1 = 1,,,,1
17÷3 = 5,,,,
）里最大能填几？
）×7＜33 （
）×4＜14 ４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？ ５．
被4除没有余数的：________________
被9除没有余数的：________________
６．⑴ 用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪些
11、13、14、15、17、19
⑵ 用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？
11、12、13、14、15、16、17
７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。
） ８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
）÷7 = （
）,,,,1 （
）÷6 = （
）,,,,5 （
）÷5 = （
）,,,,4 ９．在□里填上适当的数。
１０．在机场上停着20架飞机，准备每3架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ １１．⑴ 把16张风景画片平均分给5个同学，每人分得几张？还剩几张？
⑵ 把16张风景画片分给同学，每人分得5张，可以分给几个同学？还剩几张？ １２．⑴ 一件衬衣前面要钉5个纽扣，袖口要钉2个纽扣，一共要钉几个纽扣？
⑵ 现有45个纽扣，每件钉7个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？
１３．有30千克水果糖，每盒装4千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？ １４．一个星期有7天，十月份有31天，十月份里有几个星期零几天？
１５．⑴ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？
⑵ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，会场两边各插4面旗，中间插1面旗，共插了几面旗？
［知识要点］
自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民间流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周期现象。
算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被3除的余数是：
1、2、0、1、2、0、1、2、0、,,,, 它是1、2、0重复出现的一列数，即周期是3。
本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。
［范例解析］
有一串黑白珠子排列如图1-4所示。
○●○○○●○○○●○○○●○○○●○,,,,
其中黑珠与白珠共有70个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？ 解
我们由图1-4可知○●○○四个珠子是一个周期，又70÷4=17余2，即这一串珠子经过17次重复后还余2个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。
一个周期的4个主张中有3个白珠，最后2个主张中有一个白珠，白珠一共应有：
3×17＋1 = 51＋1 = 52（个）
对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。 例2
日是星期六，那么这一年的7月5日是星期几？ 解
从4月10日至7月5日的天数是：
（30－9）＋31＋30＋5 = 87（天）
又一个周期的周期是7，所以
87÷7 = 12余3
即87天经过12个星期又3天，这3天应是星期六、星期日、星期一。
我们推算出7月5日是星期一。
1、2、0、1、2、0、1、2、0,,,,第1995个数字是多少？ 解
这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是3。又
1995÷3 = 665
故这一列数按12、0重复665次，所以第1995个数字是0。 例4
1＋2＋3＋4＋,,＋被5除的余数是多少？
这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这1993个数被5除的余数周期性的出现，组成下面一列数：
1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0,,,,
我们知道，1、2、3、4、0是一个周期，周期是5。并且一个周期的5个余数的和是：
1＋2＋3＋4＋0 = 10
又10÷5 = 2，即是一个周期中5个数字之和可被5 除尽。这就是说，前5个数字的和能被5整除，接着的5个数字的和同样也能被5整除，等等。这样，有多少个5个数字的和可以被5整除呢？ 我们知道，1993÷5 = 398余3。
即应有398个5个数字的和可以被5整除。只考虑最后三个数的余数是1、2、3。 又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1 所以，它们的和被5除的余数是1。
［思路技巧］
１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。
２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。
［习题精选］
１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5,,,,，第273个数字是多少？ ２．某年3月5日是星期四，那么这一年的10月1日是星期几？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么这一年的5月5日是星期几？
４．同样大小的红、白、黑三色球共193个，它们按如图1-5规则排列，其中红球有多少个？最后一个球是什么颜色？
５．1＋2＋3＋4＋,,,,＋的和被9除的余数是多少？
６．有14个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相邻的数加起来都是10；另外从左边算起的第4个数等于5，第12个数等于4，问第8和数“？”
等于多少？
７．1＋2＋3＋,,,,＋被7除的余数是多少？ ８．1994年的1月5日是星期三，问这一年的7月1日是星期几？
９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3,,,,这一列数的第186个数字是多少？这186个数的和是多少？
１０．拼音字母A、B、C按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C,,,,共有178个字母。请填下列空格：
⑴ 一个周期A、B、A、A、C它有（
）个字母； ⑵ 一个周期中A有（
）个，余数中A有（
）； ⑶ 共有（
）个A； ⑷ 最后一个字母是（
［知识要点］
１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：
α＋b = b ＋α,
α＋(b＋c) = (α＋b)＋c
２．减法的性质，用字母表示则有：
α－(b＋c) = α－b－c
α－b－c = α－(b＋c)
［范例解析］
简便计算下列各题。
⑴ 129＋84＋71
⑵ 83＋135＋65
⑶ 34＋75＋66
⑷ 128＋73＋27＋17 解 ⑴
129＋84＋71
= （129＋71）＋84 = 200＋84 = 284
83＋135＋65
= 83＋（135＋65） = 83＋200 = 283
34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175
你能巧算297＋65的和吗？
128＋73＋27＋17
= （128＋17）＋（73＋27） = 145＋100 = 245
我们发现，第一个加数只要加上数3就凑成整数300，这样计算就方便多了。 解法一
= 297＋65＋3－3 = （297＋3）＋（65－3） = 300＋62 = 362
= 297＋62＋3 = （297＋3）＋62 = 300＋62 = 362
“凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成10、100、1000、,,,,计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再看例3。
速算下面两题。
= 3471＋（）－101 = －101 =
速算下面两题。
⑴ 280－（80＋92）
⑵ 297－173－27 解
280－（80＋92）
= 280－80－92 = 200－92 = 108
297－173－27
= 297－（173＋27） = 297－200 = 97
= （）＋8 = 1891＋8 = 1899
［思路技巧］
“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成10、100、1000、,,,,，可以使问题简化。
［习题精选］
１．简便计算下面各题。
⑴ 74＋29＋26
⑵ 153＋29＋171
⑶ 58＋47＋42＋13 ⑷ 149＋32＋151＋68
⑸ ＋392＋27 ２．看谁算的快。
⑴ 36－12－6
⑵ 75－36－19
⑶ 129－（29＋40）
⑷ 1995－（） ３．速算。
⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看谁算的快。
⑴ 57＋78＋43＋42
⑵ 249＋132＋151＋68
⑶ 405＋997
⑷ 298＋87 ５． 下面有这样几排数。
⑴ 第一竖行各个数的和是15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和； ⑵ 第一横行各个数的和是55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。
［知识要点］
１．用乘法口诀计算减法；
２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为：
α×b = b×α，
α×(b×c) = (α×b)×c； ３．乘法对加法的分配律，用字母表示为：
α×(b＋c) = α×b＋α×c； α×b＋α×c = α×(b＋c)
［范例解析］
下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？
21－12 = 9
31－13 = 18
41－14 = 27
51－15 = 36 61－16 = 45
71－17 = 54
81－18 = 63
91－19 = 72
首先看被减数和减数的关系，它们正好是被减数的十位数字与个位数字的位置交换了一下就得到减数；其次，它们的差正好是9的倍数。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口诀的得数。这是说明道理？
因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个9，如10→1，差1个9；20→2，差2个9；30→3，差3个9；,,,,反过来也一样，1→10，差1个9；2→20，差2个9；3→30，差3个9；,,,,
所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将大数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与9的乘积。即可用的乘法口诀计算。 例2
下面一组减法题，看谁算得快。
⑴ 72－27 = （
⑵ 43－34 = （
⑶ 83－38 = （
⑷ 53－35 = （
） ⑸ 94－49 = （
） ⑹ 63－36 = （
⑺ 87－78 = （
⑻ 73－37 = （
⑴ 五九四十五
⑵ 一九得九
⑶ 五九四十五
⑷ 二九一十八
⑸ 五九四十五
⑹ 三九二十七
⑺ 五九四十五
⑻ 四九三十六 例3
简便计算下列各题。
⑴ 214×5×8
⑵ 6×586×5
⑷ 25×8×125×4
⑴ 214×5×8
= 214×（5×8） = 214×40 = 8560 ⑶
= 1607×（4×5） = 1607×20 = 32140
⑵ 6×586×5 = （6×5）×586 = 30×58 = 17580 ⑷ 25×8×125×4
= （25×4）×（125×8） = 100×1000 = 100000
下面有一组乘法算式，看谁算得快。
9×99 = 分析
我们首先找规律。从2×99看起，它可以靠成是：
2×99 = 2×（100－1）
= 2×100－2×1 = 200－2 =198
照这样计算，3×99 = 300－3 = 297，即几乘以99可看成是几百减去几就得结果，因此，我们可很快算出各式的结果。
1×99 = 99
2×99 = 200－2 = 198
3×99 = 300－3 = 297
4×99 = 400－4 = 396
5×99 = 500－5 = 495
6×99 = 600－6 = 594
7×99 = 700－7 = 693
8×99 = 800－5 = 792
9×99 = 900－9 = 891
［思路技巧］
有目的地把数凑成整十、整百、,,,,，可使计算简便。
［习题精选］
１．请你用乘法口诀来计算下面各题，看谁算得快。
53－35 = （
94－49 = （
73－37 = （
82－28 = （
） 63－36 = （
40－4 = （
32－23 = （
80－8 = （
） 96－69 = （
70－7 = （
42－24 = （
71－17 = （
） ２．速算下面各题。
⑴ 2×729×5
⑵ 4×83×25
⑶ 17×125×8 ⑷ 132×5×4
⑸ 222×5×8
⑹ 828×25×2 ３．简便计算。
⑴ 42×3＋42×2
⑵ 17×19＋181×17
⑶ 125×（8－1）
⑷ 5×（24＋38） ４．下面有三个算式：
142×2 = 284
142×3 = 426
142×4 = 568 你能利用这三个算式计算下面两道乘法题的得数吗？ 142×5 = （
142×6 = （
５．我们知道：37×3 = 111，你能利用它快速算出下面各式结果吗？
连续自然数求和
［知识要点］
１．连续自然数求和的方法：
头尾两数相加的和×加数的个数÷2 ２．连续自然数逢单时求和的方法：
中间的加数×加数的个数。
［范例解析］
比一比，看谁算得快。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1
如图2-2所示。
4个10加上5等于45。 解法2
如图2-3所示。
5个9等于45。 解法3
得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2 = 45。 说明
解法1是利用“凑整”技巧进行简算； 解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算； 解法3是常说的高斯求和法速算。
你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题：
“求1＋2＋3＋4＋,,,,＋100的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。 高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，将101乘以100后再除以2，结果等于5050。
我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。
头尾两数相加的和×加数的个数÷2
计算下面两题。
⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？ ⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解
⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13
=（4＋13）×10÷2 = 17×10÷2
= 170÷2 = 85
⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =（21＋28）×8÷2 = 49×8÷2 = 392÷2 = 196
只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。 例3
求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
=（53＋59）×7÷2 = 112×7÷2 = 784÷2 = 392
53＋54＋55＋56＋57＋58＋59
= 56×7 = 392
如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和：
中间的加数×加数的个数。
⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ⑵ 24＋26＋8＋30＋32
⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
= 9×9 = 81
⑵ 24＋26＋8＋30＋32 = 28×5 = 140
此两题虽然不是连续自然数相加，但是每相邻的两个加数直接都相差同一个数，同样
可用公式计算。
［思路技巧］
计算连续自然数相加时，可用头尾两数相加的和×加数的个数÷2计算；如果相加的连续自然数是单数时，可用中间的加数×加数的个数求和；如果不是连续自然数相加，但每相邻
两个加数之间都相差同一个数，也可用以上两种方法计算。
［习题精选］
１．求和。
⑴ 12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 ⑵ 28＋29＋30＋31＋32＋33 ⑶ 101＋104＋107＋110＋113＋116 ２．求和。
⑴ 41＋42＋43＋44＋45 ⑵ 12＋14＋16＋18＋20＋22＋24 ３．求和。
⑴ 77＋78＋79＋80＋81＋82
用运算符号连算式
［知识要点］
１．添运算符号＋、－、×、÷和括号（
），使等式成立； ２．逆推法； ３．凑数放。
［范例解析］
用运算符号把下面式子中的４个３连起来，使等式成立。
３ ３ ３ ３= 9
我们从最后一个3向前考虑添运算符号，如果添×号，①变为：
3 × 3 = 9 两边除以3，即为 3
将②中左边最后一个3前再添×号，②变为： 3
3 × 3 = 3，两边再除以3，即为： 3
3 = 1。显然再添÷号。
3 ÷ 3 × 3 × 3 = 9
在下列5个5之间，添上适当的运算符号——＋、－、×、÷和（
），使得下面等式成立。
我们从①的后边逐步向前边考虑，最后一个5前面如果要添运算符号的话，只可能是＋、－、×、÷运算符号中的一个。
如果是加号，①式变为 5 5 5 5 ＋ 5 = 10
② 两边减5，即变为 5 5 5 5 = 5
再重复上面的想法，如果③左边最后一个5前面又是加号，则③式变为5 5 5=0。这等式很容易得出：
（5－5）×5 = 0或（5－5）÷5 = 0或5×（5－5） = 0
如果③式左边最后一个5前面是减号，③式变为5
5 = 10，这式子没有解。 如果③式左边最后一个5前面是乘号或除号，也没有解。
如果①式最后一个5前面是减号、乘号或除号，可采用上面的方法进行同样的分析。 解
（5－5）×5＋5＋5 = 10
（5－5）÷5＋5＋5 = 10 5×（5－5）＋5＋5 = 10 （5×5＋5×5）÷5 = 10 （5÷5＋5÷5）×5 = 10 等等。
上面的分析方法，是从最后一个数字开始向前推想，所以我们可以把这种方法叫逆推法，使用时一定要考虑全面、周到。
在下列六个数的中间添上适当的运算符号，使得下面的算式成立：965
0 = 1986。
这题如果采用逆推法，那肯定会相当的麻烦，我们必须另行考虑，先找一个与1986比较接近的数，如965×2 = 1930，这个数比1986小56，这样原问题就转化为：能否用剩下的六个数经过适当的四则运算得出一个等于56的算式呢？然后作适当的增加或减少，使算式成立，增加或减小的部分也采用上述的方法，我们也给它取个名，叫凑数法。 解
965×2＋7×8＋314×0 = 1986
在下列数码的某些相邻地方，只添运算符号＋和－，使得等式成立：
我们从头开始想，
98＋7 = 105
105－65 = 40
这一来问题转化我用4 3 2 1凑出个20来，而21－3＋3 = 20。
98＋7－65＋4－3－21 = 20
有2、3、4、6四个数字，请你选择合适的运算符号，最少组成五个算式，使它们都等于24。
2×6＋3×4 = 24；
4×6÷（3－2） = 24； 3×6＋4＋2 = 24； 4×2×（6－3） = 24； 3×（6－2＋4） = 24
［思路技巧］
在数字之间添加运算符号使，可采用逆推法或凑数法解答。
［习题精选］
１．在3个7中间的□里添入适当的运算符号和括号，使等式成立。
7□7□7 = 2
7□7□7 = 6
7□7□7 = 8 7□7□7 = 7
7□7□7 = 42
7□7□7 = 56
２．在下面各数之间填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（
）”使等式成立。
⑴ 快乐的1989年：
4 = 9 ⑵ 庆祝国庆四十周年：
⑶ 在下面○里填上和左边对应地方不同的运算符号，使两边的计算结果相等。
6＋2＋4 = 6○2○4
8＋2＋3 = 8○2○3
12－2－2 = 12○2○2 18－9－3 = 18○9○3
1×3＋2×4 = 1○3○2○4
⑷ 下面每一道小题的□里都要填同一个数字。
□＋□＜□×□
□＋□＞□×□ □＋□＝□×□
□＋□＞□÷□
）中填上＋、－、×、÷符号使等式成立。
）3 = 1 1（
）4 = 9 1（
）5 = 8 1（
４．○内应填上什么运算符号？□内应填上什么数？
５．只填一个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。
６．只填两个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。
７．只填一个乘号和七个加号于下列9个数之间，使等式成立。
８． 下面是几组数码，逆能不能将它们分别拼成数，并用运算符号排成一道算式题，使各题的得数均等于1995？
例如，“5、5、7、7”这组数得：5×5×57 = 1995 ⑴ 3、3、6、6、6
⑵ 3、3、3、3、3、3、3、3
找规律填数
［知识要点］
１．数列填数；
２．阵图填数。
［范例解析］
找规律填出后面三个数：
⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。
⑴ 这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细观察，第二个数4比第一个数3大1；第三个数比第二个数大2；第四个数比第三个数大3；第五个数比第四个数大4；第六个数比第五个数大5。如图3-1所示。
即是按照加1、加2、加3、加4、,,,,的规律加下去。因此，应填24，31，39。 ⑵ 这一列数正好⑴相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数51比第一个数56少5；第三个数又比第二个数少4；第四个数比第三个数少3。如图3-2所示。
即是按照减5、减4、减3、,,,,的规律减下去。因此，应填42，41，40。 ⑶ 这一列数中，第二个数是第一个数的3倍；第三个数又是第二个数的3倍，如图3-3所示。
即是按照前一个数扩大3倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填81，243，729。 ⑷ 我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的2倍，第三个数又是第一个数的3倍，第四个数是第一个数的4倍，如图3-4所示。
即是按照把第一个数扩大2倍、3倍、4倍,,,,的规律酸下去因此，应填35，42，49。 ⑸ 这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序，即从8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前两个数2＋3的和，3则是1＋2的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如图3-5所示。
即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填13，21，34。 说明
在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才能
正确填才其中的缺数。
你能把空缺的数填出来吗？
我们发现，这已知的7个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观察
的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数：
算下去，因此，空缺数应填5。
有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时，应注意这一点。 例3
找规律，很快把图3-6中小圆圈里的数填出来。
列数是按照后一个数是前一个数加1的规律
首先观察第一横行和第二横行，发现第二横行的第二、第三、第四个数都是它的第一个数3与第一横行的第二、第三、第四个数的乘积。即3×2 = 6，3×3 = 9，3×5 = 15。又第三横行的第四个数35正好是7×5的积。这就是图中数字之间的规律，按照这一规律，如图3-7所示，缺数应填8，20，14，21。
图3-8中是一个数字金字塔，青你先根据上下数字间的联系找出它们的规律，然后填出塔中的方框的数字。
从上往下看，第一行是一个数2；第二行是两个数2、2；第三行是三个数2、4、2；则4应看作是第二行的2×2的积，这是因为第四行的8正好是第三行的2×4的积。
是它的变化规律，如图3-9所示。图中画上“\ /”表示尖端所指的数字是上一行两个数的积。
因此，方框中应填8、16、64（见图3-9）。
［思路技巧］
找规律填数是一类有趣的问题，解决这类问题常常要考虑运用观察、试探、枚举、归纳等研究问题的手段，寻找已知的数上下、左右及前后之间的相互联系和规律，推导出未知的数。
［习题精选］
１．先观察下面每一行数的排列有什么规律，然后在（
）里填上一个适当的数：
⑴ 1，4，7，10，（
），16，19； ⑵ 1，1，2，3，5，8，（
），21，34； ⑶ 1，4，9，16，25，36，（
），64，81； ⑷ 12，15，18，（
），24，27，（
），33； ⑸ 6，12，（
），24，（
），42，48； ⑹ 95，90，（
），80， 75，（
），60； ⑺21，24，27，（
⑻50，48，46，（
图3-10 ２．按照图3-10中数字排列规律，在空格里填上适当的数。
３．在图3-11中，依照第一个三角形里三个数之间的关系，在其他三角形的空格里填上适当
４．不用乘法，找出规律后，就可以按规律把积填上去。
1×99 = 99
2×99 = 198
3×99 = 297
4×99 = 396
5×99 = 495 6×99 =
9×99 = ５．找规律填空缺的数。
６．如图3-12，在金字塔图中每一块砖上都有一个数字，请你根
据上下数字之间的联系，找出它们的规律，然后填在空砖上。
７．根据叶子中数字的计算规律，填出花中所空的数。
８．下面两题中的数去掉其中的一个数，其余的都是按规律排列的，请你去掉这个数。
⑴ 5，10，15，17，20；
⑵ 72，70，68，66，36。 ９．请按图3-14中的规律在空白处填上数。
奇怪的算式
根据推理的方法来确定算式中的数字，分加法算式谜、减法算式谜、乘法算式谜几种。
［范例解析］
填出方框里的数。
9加几个位上是3？十位上哪两个数相加得8。
填出右边算式方框里的数。
18减几得9？十位上2＋4 = 6，6＋1 = 7。
右面的算式中，只有五个数字已些出，补上其他的数字：
先填哪一个呢？做这一类题目要善于发现问题的突破口。从百位进位来看，和的千位数只能是1，从十位相加来看，进位到百位，也只能进1。因此□2□的百位是9，和的百位是0。通过上面的分析，就找到了这道题目的突破口。
再从15－7－6 = 2，11－2－1 = 8，得出算式：
在下面的加法算式中，每个汉字代表一个数字，相同的汉字代表的数字相同，求这个算式：
千位上的“边”是进位得来，所以“边”= 1，其次，从个位知道，“看”＋“看”的末位数字还是“看”，所以“看”= 0，因此推出：
想想看 = 想×110 算算看 = 算×110
所以和数“边算边看”是11的倍数，因而“算”=2。进而推出：想想 = 121-22 = 99。 所求的算式是990＋220 = 1210。
下面的算式由0，1，,,,,，9十个数字组成，已写出三个数字，补上其他数字。
这一算式有十个数字，分别是0，1，,,,,，9这十个数字，因此这个算式中所有数字
各不相同，解题时要充分利用着一点，为了说明的方便，用英文字母A、B、C、D、E、F来表示要填的数字，很明显，A = 1。
解题的突破口是确定B，B可以是7或9，因为F至少是3，所以十位相加后一定要进位，如果B是9，C将是2，就出现数字的重复，因此，B只能是7，C是0。
现在还没有用上的数字是9，6，5，3，其中只有6
是双数，因
此，个位上D和E必定是单数，只能是D = 9，E = 3，因此也确定了F = 6，这个算式如右所示。
如图是一个动物式子，不同的动物代表不同的数字，请你想一想，算一算，这些动物各代表哪些数字？
这个式子从哪里下手解答呢？根据两个一位数相加和只能满十的特点，首先，推出公鸡等于“1”。然后，又根据两熊猫相加，和仍然是熊猫，推出熊猫只能等于“0”。讲熊猫等于0，代入式中，又根据公鸡等于“1”推出白兔等于“5”。将白兔等于5代入式中，推出松鼠等于2。
这个算式是：
奇怪的算式，实际上就是“算式之谜：”，也称“趣味算式问题”。它是一种猜谜游戏，故有较强的趣味性，可以锻炼思维能力。
既然趣味算式问题是一种猜谜游戏，“凑”就成了它的当然方法之一，而且在某些情况下，“凑”还是一种有效的方法。 例7
填出右边算式方框里的数。
因为积的个位数字是5，所以被乘数的个位数字只能是5；又积是千位数，且最高位是数字1，所以被乘数百位上的数字只能是2。 解
［思路技巧］
解算式谜这类题，要认真观察算式，抓住问题的突破口。
［习题精选］
１．在方框里填上适当的数，使下列各式成立。
２．在圆圈和方框里填上适当的数，使下列等式成立（圆圈和方框分别代表两个不同的数）。
３．算一算，下列图形各表示什么数。
⑴ □＋△ = 26
⑶ ○－□ = 4
○＋□ = 14
４．在方框里填上适当的数。
５．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
□÷7 = □,,,,1
□÷6 = □,,,,5
□÷5 = □,,,,4
６．写算式（能写几道就写几道）。
□÷□ = 2
□÷□ = 5
□÷□ = 7
□÷□ = 9
７．在下面算式的圆圈里填上合适的运算符号，方框里填上合适的数。你能写出几种填法？（每次填的运算符号不要完全相同）
8○□○□ = 21。 ８．数字还原。
下面的竖式，是用△、○、□、?、◎这样的图形表示0至9中的数字。想一想，这五个图形各代表几呢？
⑶ ◎＋◎ = ◎×◎
） ９．在下面竖式中的方格里填上适当的数。
10．请将下面竖式里的字换成数字，使竖式成立。
11．巧填竖式。
12．题中每一个字母或字都代表一个数，请想一想它们各代表什么数字，算式才能成立？
调整法趣谈
［知识要点］
１．调整法的意义。
我们看下面的点子图：
●●●●●
它一共有二组，一组有5个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？ 算式：5＋2 = 7（个）。现在问：怎样改变点子图，来表示算式2＋5呢？我们可用交换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示：
这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。 ２．调整法的用途，我们通过举例来说明。
［范例解析］
右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？ 分析
我们可从图中观察到：竖行三数的和都是6，它们相等，打上“√”号，而横行三数的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图3-19箭头所示
进行交换调整，问题就得到解决。
凡是符合条件的横行或竖行打上“√”，可使问题一目了然，方便调整。
图中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种符号不相同。
通过观察，发现3-20中只有从左数第二列符号与题目要求不同，因此我们先考虑列的情况，第一列多“＋”号，缺“÷”号，而第三列多“÷”号缺“＋”，如下图交换后，把符合条件的行与列打上“√”。
经过第一次交换后，图3-21中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合条件，而第三列多“×”号，缺“－”号，第四列多“－”号，缺“×”号，只要再按如图3-22
较复杂的方阵游戏，多调整几次，是可解决问题的，调整中不想走弯路，这就要靠智慧了。
把1~7这七个数填在图3-23中的小圆圈中，使每一个圆周上四个数字的和都等于17。 分析
此题有两种做法。
第一种做法：开始在小圆圈里任填1~7这七个数，
并且两个大圆周上的四个数的和都不等于17。如图3-24的填法。
我们观察到，只要首先将2与7交换，就能使右边大圆周上四个数字的和等于17。这时，左边大圆周上四个数的和是：1＋3＋7＋4 = 15比17少2，要使右边圆周上的四个数字的和不变，只要4与6交换即可。
第二种做法：首先在1~7这7个数字中选四个数字，并且四个数的和等于17。例如选（1＋3＋6＋7 = 17）1，3，6，7四数填在一个圆周上，其他三数任填在另一圆周上的小圆圈里。如果另一圆周上四个数字之和不等于17，只要按前面调整的方法，只经过一此调整就行了。如图3-25所示。
［思路技巧］
调整不是拼凑，它是充分利用我们已有的知识技能，充分发挥我们的观察能力，有计划、有目的的进行解题的重要手段。
［习题精选］
１．要使图3-26中每横行、每竖行都有四个不同的数，你能做到吗？
２．图3-27中每个五边形上五个数的和都是60，请你调整一下数的位置，使每个五边形上五
个数的和都等于61。
３．把1-6六个数填在图3-28中的小圆圈中，使每一个大圆上的三个数相加的和为12。 ４．把10、20、30、40、50填在图3-29中的圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。
５．在图3-30中填上适当的数，使每横行、每竖行的三个数的和等于15。如果你所填的数不
是1-9这九个数，请将它调整调整成1-9这九个数。
６．在3-31中小圆圈里填上1、2、3、4、5、6这六个数，使每条线上3个小圆圈里的素的
和都是9、10、11、12。
７．把1-12这十二个数分别填入图3-32中的小圆圈里，使每一行四个数相加的
和都是30。
８．移动图3-33中的数字，使第二横行的三位数是第一横行三位数的2倍，第
三横行的三位数是第一横行三位数的3倍。
图3-33 ９．停车场中有8辆宣传车，如图3-34。其中5两没有对号停车。你能不能在车辆不出场的
情况下，帮他们按号停好车？
简单的变式运算
［知识要点］
１．用火柴棒组成简单的数字及运算符号； ２．用“去”、“添”、“移”进行变式游戏。
［范例解析］
请回答，一般可用火柴棒组成哪些数字和数学符号。
可组成四个数字：
组成四个符号：
你能说出，例1中火柴棒组成的数字和符号，通过“去”、“添”、“移”火柴棒有哪些变
，变为等；
添：它与去反之，如可变移：变变
（反之可变
，下同），变，变为，变为，
移动一根火柴，使下面等式成立：
只能移动一根火柴，故只能在式子的左边考虑移法，由拿一根移到
的前面，就变为
去一可得。
，将第二个
移动一根火柴，使下面等式成立：
移动两根火柴使等式成立：
用15根火柴组成四个不同的两位数，并且这四个两位数的和为111。
组成最大的两位数为74，则有
111-74 = 37
而37又是11＋12＋14的和。
另外，四个1，一个2，二个4，一个7正好由15根火柴组成。 解
四个两位数为
；并且11＋12＋14＋74 = 111。
［思路技巧］
移动火柴棒可以加在数字间，也可以加在数前或数后。
［习题精选］
１．把13根火柴棒分别分成左右两堆，有几种分法？ ２．只要移动一根火柴，就能使下列式子正确：
３．移动一根火柴，使下式成立：
４．移动一根火柴，使下式成立：
５．移动两根火柴使等式成立： ⑴
６．移动两根火柴使等式成立：
７．用15根火柴组成三个不同的三位数，且使它们百位上数字和等于十位上数字和，等于个位上数字和。
复杂的变式游戏
［知识要点］
１．用火柴棒组成计算器显示数字;
２．用“去”、“添”、“移”进行组数游戏和变式游戏。
［范例解析］
如“”是由4根火柴棒组成的计算器显示的数字，你能用不同的火柴棒组成0~9各
个数字吗？
用20根火柴组成以下各数：
⑴ 组成一个三位数，最大的是_______，最小的是_______； ⑵ 组成一个四位数，最大的是_______，最小的是_______。
三位数中最大的是999，但组成一个9只需要6根火柴，三个9共用18根火柴，按题目要求，还有两根火柴没用，要加火柴，就要变数，8是用七根火柴组成，故有两个9要变成8，要保持最大，只能是十位和个位上两个9变成8，因此，最大是988，同样
的道理，可得出三位数中最小是688，四位数中最大是9991，最小是1000。 解
（20根火柴） （20根火柴）
⑵ 由解⑴的分析，可得出⑵的结果如下：
（20根火柴） （20根火柴）
此例是组数游戏，完成这样的游戏，不但要求学生掌握数字、数位、位数及比较数的大小方法等数学基础知识和基本技能，而且还要求认真分析、合理计算、严密推理、灵活摆布、否则是无法下手的。
在游戏时，可以改变所给火柴根数，改变组数要求 。
移动两根火柴使等式成立：
1985与61是绝对不相等的，要使它们成等式，只有把一边去掉火柴二根，移到适当的位置变成运算符号，成一个等式。我们观察发现，19-8-5 = 6，正好将右边的“1”（二根火柴）去掉，移到左边的8前，5前成“—”号。 解
移动一根、二根、三根、四根火柴，使等式成立，各有多少种移法？
移动一根火柴，使下面的算式分别等于11、14、17、20、23、25、31、33、34。
这个问题，要掌握组数形式的变化规律。如
移一根火柴就变成
柴就可变成、、；添一根火柴可变成或，移一根火柴就变成。掌握这
一规律，我们只要采用“去”、“添”、“移”，动一根火柴，就可得出题中要求的结果来。 解
掌握组数变化规律是解决这类问题的关键。
［思路技巧］
要注意运用“去”、“添”、“移”进行数组、变式游戏。在游戏时，要灵活摆布，掌握数组的变化规律，并可以改变火柴根数及组数要求。
［习题精选］
１．移动一根火柴，使下面的等式成立：
２．移动一根、两根、三根、四根火柴，使下面各式成立：
３．移动两根火柴，使下面等式仍然成立，至少想出三种不同的等式：
４．移动一根火柴，使下面的算式分别等于31、34、37、40、43、45、51、54：
５．用20根火柴组成以下各数：
⑴ 组成一个五位数，最大的是______，最小的是______；
⑵ 组成一个六位数，最大的是______，最小的是______。 ６．请移动图中两根火柴，使下面两个数相等。
［知识要点］
１．移动火柴棒，改变图形； ２．用火柴棒组图。
［范例解析］
图4-4是由9根火柴摆成的三个正三角形，请移动其中一个三角形，使图形中有5个正三角形。
三根火柴可组成一个正三角形，将每边加一根火柴，就可组成每边由二根火柴组成的正三角形，这时只要移动一个三角形就可组成一个大的正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。
移动一个正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。
图4-6是由12根火柴组成的“品”状的三个正方形，现在请你移动其中一个正方形的位置，使图形中出现七个正方形。
由三变七，必有一个由一变四，这是可能的。 解
移动一个成图4-7即可。
移动部分图形重组图形，一般是给定一个已排好的图形，要求移动其中某一部分，达到一个新的要求。这里面渗透了图形平移的观点。在图形平移时，有时会出现重合的边，就要从重合的地方取出一根或几根火柴，又到别处添补。
图4-8中是由24根火柴摆成的图，图内有7个正方形（三个大的、四个小的），请你移动四根火柴，使图中只含有长方形，而不含任何其他图形（图形要封闭）。
如图4-9所示。
图4-10中是由十二根火柴摆成的正方形，它共含有五个正方形。请你只移动两根火柴，使图形中分别含有六个正方形和七个正方形。
如图4-11所示。
用20根火柴摆成一个长方形或正方形，摆出的这些图形，周长相等吗？
摆成的长方形或正方形如图4-12。
这些图形的周长都是相等的。
用12根火柴摆成一个直角三角形。怎样摆法？如果用24根火柴怎样摆法？
12根的摆法如图4-13所示。
24根的摆法如图4-14所示。
下图是用4根火柴摆成的“抓住一只苍蝇的苍蝇拍”。请你只移动两根火柴，将“苍蝇拍”移到“苍蝇”旁边（“苍蝇”不准动）。 解
［思路技巧］
火柴棒游戏种类不少，内容丰富。是培养学生动脑、动手的一项好的活动。“去”、“添”、“移”是解决这类问题的关键。
［习题精选］
１．用12根火柴组成5个正方形，如图4-16。
⑴ 请你拿掉2根火柴，使留下的图形正好是2个正方形； ⑵ 移动3根火柴，使它变成3个正方形且没有多余的火柴。
２．图4-17是由24根火柴棒组成的9个小正方形，请你想一想，怎样取走8根火柴，正好
变成两个正方形。
３．图4-18中六角形中有三朵花，用火柴将六角形分割成形状相同的三部分，每一部分中有
一朵花，最少要用几根火柴？ ４．请你用8根火柴摆出3个正方形。
５．图4-19是用5根火柴摆成的，你能用5根火柴摆出不同的图样吗？
６．图4-20是由10根火柴摆成的一座山形图案，请你只移动三根火柴，使“山顶”向下。 ７．用12根火柴摆出四个正方形。
８．从图4-21中，拿走三根火柴，使它成为三个正方形。
９．用16根火柴摆成五和大小相同的正方形。
10．一头牛正朝前走，如图4-22所示，请移动两根火柴，让它向后看。
11．向阳屋，太阳出来它朝东，太阳下山它朝西。请移动两根火柴，把它换个方向。如图4-23。
怎样数图形的个数
［知识要点］
１．怎样数一条直线上线段的条数 ？
一条线上有n条独立线段，我们将它们编号为1，2，3，,,，n，则这条直线上所有线段的条数是：
1＋2＋3＋,,＋n
２．用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。
［范例解析］
数出图5-1中各条线上线段的总条数。
⑴ └──┴──┴──┘ ⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘
⑶ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
⑴ 图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2：
└──┴──┴──┘
现在，我们这样来数，其中 单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；
由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条； 由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。
由3＋2＋1 =6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们所编号码1、2、3这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。
⑵ 我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3：
└─┴─┴─┴─┴─┴─┘
单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；
两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条； 三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条； 四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条； 五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条； 六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。
总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋6 21（条）。 ⑶ 将图5-4中的单独线段进行编号如下：
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
单独线段：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑻、⑼一共9条；
两合一线段：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）、（8，9）一
三合一线段：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）、（5，6，7）、（6，7，8）、
（7，8，9）一共有7条；
四合一线段：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）、（4，5，6，7）、（5，6，7，
8）、（6，7，8，9）一共有6条；
五合一线段：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）、（3，4，5，6，7）、（4，5，6，7，8）、
（5，6，7，8，9）一共有5条；
六合一线段：（1，2，3，4，5，6）、（2，3，4，5，6，7）、（3，4，5，6，7，8）、（4，5，
6，7，8，9）一共有4条；
七合一线段：（1，2，3，4，5，6，7）、（2，3，4，5，6，7，8）、（3，4，5，6，7，8，9）
一共有3条；
八合一线段：（1，2，3，4，5，6，7，8）、（2，3，4，5，6，7，8，9）一共有2条；
九合一线段：（1，2，3，4，5、6，7，8，9）只1条。
所有线段的总和也正好是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = 45（条）
从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏掉。
运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。
数一数，图5-5中一共有多少个三角形？
将图中单独三角形1~5编号，一共有三角形是：
1＋2＋3＋4＋5 = 15（个）。
图5-6中有多少个角，你会数吗？
将单独的角按1~7编号，可计算出共有角是：
1＋2＋3＋4＋5 ＋6＋7= 28（个）。
数出图5-7中长方形的个数。
将图5-7中独立的长方形按1~12编号，可计算出长方形的个数是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋＋7＋8＋9＋10＋11＋12 = 78（个）。
数出图5-8中长方形的个数。
我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。（每一类用阴影表示）
总共是：6×3 = 18（个）。
我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有3太哦独立线段，宽有2条独立线段，总数是：
（1＋2＋3）×（1＋2） = 18（个）。
数出图5-10中长方体的个数。
此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表面就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例
第一类有：4＋3＋2＋1 = 10（个），
第二类有：4＋3＋2＋1 = 10（个），
第三类有：4＋3＋2＋1 = 10（个），
总 共 有：10×3 = 30（个）。
请你数出图5-11中三角形的个数。
很明显，我们可将问题分成如图5-12的三类来研究：
其中每一类都是：1＋2＋3 = 6（个）。
总共是：6×3 = 18（个）。 5，同样可将问题分成三
［思路技巧］
数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个林许数）。这个规律，可以扩展到数图形的数。
［习题精选］
１．数出图5-13中各线上线段的条数：
⑴ └─┴─┴─┴─┴─┘
⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
２．数一数图5-14交叉线上的线段共有几条？
３．在图5-15的扇子中的角共有多少个？
４．请你数一数图5-16中有多少个角？
５．如图5-17，地上有六根木桩，每两根之间牵一线，一共要牵多少根？
６．数一数图5-18中三角形的个数。
７．数出图5-19中长方形的个数。
８．数一数，图5-20中有多少个长方体？
９．数一数，图5-21中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？
图形的识别与划分
［知识要点］
１．将正方形划分成小正方形块或直角三角形块；
２．将规则图形划分成正方形或长方形与三角形块；
３．识别图形的形状和大小。
［范例解析］
在图5-22中哪个图形占的方格数最多？
图中共有五个图形，可分成两类：
第一类是（1）和（5）图，它们占全是小方格，且都是6个小方格；
第二类是图中（2）、（3）、（4），我们可将每个图形分解开来看。如（2）图，我们可分解成下面三块（如图5-23）：左右两块一样，都是四小方格，阴影占一半，即2小方格，中间一块是三小方格，阴影占2小方格，故阴影一共占6小方格，即原图（2）占6小方格。用同样的方法，可数出（3）和（4）做占小方格数。
图5-23中五个图形所占方格数都是一样多。
图5-24中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？
如图5-25所示。
回答这个问题，主要的方法是将图形划分，看它能划分成多少个阴影三角形。
图5-26中每个图形都由5个小正方形组成，把这五个图形拼成一个大正方形，并标出每个图形的位置。
已知的五个图形，每个由五个小正方形组成，它们一共有：
5×5 =25个小正方形。
我们要是把每个图形都剪成5个小正方形，这25个小正方形可拼成如图5-27所示的一个大正方形，并且它的每边都占五个小正方形。我们了解这一点，就可拼出一个大正方形来。
图5-28是它的拼法。
在图5-29这三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？
要看出这三个图形中的阴影部分的面积是否相等，这是比较困难的。由于这三个图形都是在相同的正方形中，故可将其分别划分成一样多的小正方形，就可看出它们的结果。 解
首先进行如图5-30的划分，这三个图形都可分成16个小正方形，我们看出，各图的阴影部分都是一个大正方形面积减去四个小正方形面积，所以它们的面积相等。
［思路技巧］
解决这类问题，关键是将正方形正确的划分成小正方形块或直角三角形；将规则图形划分成正方形块或长方形块与三角形块。
［习题精选］
１．在图5-31中哪些是长方形？
２．比较图5-32中每个图形的周长，哪一个图形的周长小些？
３．学校运动场上有5个排球，如图5-33所示，请你画一个正方形，把这
排球分开。
４．将图5-34的五个图形拼成一个大正方形。
５．图5-35的三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？
６．在下面的点子方格图中，画出三个占6个小方格的三角形（形状要不同）。
７．图5-36中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？
怎样剪拼图形
［知识要点］
剪拼图形，可培养读者动脑、动手的能力，以及识别图形和思维想象能力，这是一种有趣的游戏。这里只介绍较简单的一刀剪图和剪拼图形的一些方法与技巧。
［范例解析］
如图5-37，将直角三角形剪一刀，拼成一个长方形。
我们用一个同样大小的三角形与原来的三角形拼成一个长方形。然后可将这个长方形按图5-38中虚线进行对折（有两种对折方法）。
下面分两种情况来研究：
第一种情况，如图5-39的对折法，图中①和②一样大，按虚线剪开，将①放在②的位置，因为②和③是一个长方形，所以①和③拼成一个长方形。
第二种情况，如图5-40，由于①和②一样大，所以①和③同样拼成一个长方形。
将例1中直角三角形剪一刀，拼成一样大的长方形。
我们还是将三角形按例1的方法拼成一个长方形来研究。
将长方形按同一方向连续对折两次，如图5-41所示，我们可以看出，图中①和⑥的大小一样，②和⑤一样大。我们只要将①放在⑥的位置，②放在⑤的位置，就可拼成两个长方形，并且它们是一样大的。下面的问题是怎样将这个直角三角形折纸后剪一刀就将它分成①、②、③、④四块呢？
要想一刀剪出四块，关键的问题是要图5-41中三条虚线重叠在一条直线上，这种重叠，只有靠折纸来完成。下面5-42就是折纸重叠过程的示意图。
这时，从示意图可看出，三条虚线a、b、c经过折叠后重叠在一条直线上，我们沿b（a）（c）剪一刀，可得①、②、③、④四块，拼成两个大小一样的长方形。
如图5-43所示，我们将长方形十字交叉对折，显然，①和③能拼成一个与②一样大小的长方形。现在，我们来看如何折纸，图5-44是折叠进行过程的示意图：
沿（a）b这条重叠虚线剪一刀，就得到①、②、③三块，将①和③拼成与②一样大小的两个长方形。
一个问题中的剪拼方法可能有多种，如例2就是两种剪法，一
种剪成四块，另一种剪成三块，我们在解决问题时，应寻找“最少
块数”是最理想的做法。
将一张正方形的纸剪一刀，得一个如图5-45所示的“十”字形。
一个“十”字形有十二条边，其中有八条边在正方形内，一刀剪
出一个“十”字形，关键是考虑怎样折纸，才能使这八边重叠在一条直线上，这样剪一刀就成功了。我们按下面图5-46所示折叠：
这时，我们沿b剪一刀后展开即是一个“是”字形。
将图5-47中“51”两字剪一刀，拼成一个正方形。
先把“51”两字画上小方格，若要拼成一个正方形，它一定是一个4×4的正方形（如图5-48）。
我们再考虑怎样剪。将“5”字沿a剪开，可拼成图5-49，再将“1”字沿b剪一刀，拼在图5-49的空位置上，就拼成一个正方形。因此，我们将“51”两字中的虚线a和b重叠剪一刀，就得到图5-50中的1、2、3、4四块，这四块可拼成正方形（图5-51）。
把图5-52中每个图剪成三块后各拼成个正方形。
这个问题没强调一刀剪，只要能正确划分所剪块数（要求只能是三块）能拼成正方形即可，两图（5-53）按虚线所示划分剪开即可。
［思路技巧］
剪拼图形的问题，主要是抓住两点：
首先要确定图形的分块，怎样分块，才能拼成要求的图形形状，这就要掌握好正确的划分。 其次，如果是一刀剪问题，还要进一步考虑怎样重叠，才能剪出所分块数。
［习题精选］
１．把图5-54中的图形剪成两块后拼成一个正方形。
２．把图5-55剪一刀，分成四个相同的三角形。
３．将图5-56中正方形剪一刀，拼成两个相同的正方形。
４．将图5-57中的“七一”两字剪一刀，拼成一个正方形。
５．一张正方形的纸，请你剪一刀，使正方形中央出现一个空心正方形，它的边长是原正方
形边长的一半。
６．将一张正方形的纸剪一刀，将它拼成一大二小三个正方形，且两个小正方形的面积和等
于大的一个正方形的面积。
７．把图5-58中每个图形剪成三块后各拼成一个正方形。
解应用题的综合法与分析法
［知识要点］
１．一步计算的加（减）应用题与两不计算的加减应用题之间的关系。
⑴ 将两道有联系的一步计算的应用题合成一道两步计算的复合应用题；⑵ 将一道两步计算的加减应用题分解成两道一步计算的应用题；⑶ 将一道一步计算的应用题， 改变其中的某个条件（已知条件或问题），使其变成一道两步计算的应用题。
神奇的1和0 ［知识要点］ 1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。 ⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。 2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；…
神奇的1和0 ［知识要点］ 1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。 ⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。 2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；…
神奇的1和0 ［知识要点］ 1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。 ⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。 2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；…
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