【图文】3.1 n维随机变量及其分布_百度文库
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3.1 n维随机变量及其分布
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第１９卷第ｌ期
ｖｄ．１９Ｎｏ．１渝州大学学报（自然科学版）ＪＯＩｍＮ＾ＬｏＦＹＵ雹｝＿叫ＵＮＩｖｌ姗（Ｎｍ．ｓ咖１．Ｅｄｉｔ．）２００２年３月Ｍ盯．２∞２文章编号：１００６―３２９３（２００２】Ｏｌ一０００９―０３
微分法在求多维连续型随机变
量函数的概率密度中的应用。
（渝州大学数学与计算机科学系，重庆４０００３３）
３‘要：多维连续型随机变量的分布函数Ｆ（＃ｌ’．．－，靠）与密度函数“ｘ１，．’。，‰）的关系是瓦ｉ瓦Ｆ（ｚｌ＇．一，毛）＝“＃１＇．一，轧），ｄＦ（＃ｌ＇一，靠）＝“＊ｌ，．一，‰）以１…ｄ“?利用这一关系给
出了用微分法求多维连续型随机变量函数的概率密度的方法及实例，在许多情形下，它比通常的方法要简单一些．
关键词：微分法；概率密度；连续型随机变量
中圈分类号：Ｏ２１１．１文献标识码：Ａ
设（ｎ，Ｆ，Ｐ）是概率空间，ｚ＝（ｘ。，五，…，置）是定义在ｎ上取值于彤的向量值函数，如果对任意的Ｂ∈Ｂ（Ｆ），｛ｍ：（置（ｍ），…，置（ｍ））∈丑｝∈Ｆ，则称ｘ＝（五，…，置）为ｎ维随机变量，而称
Ｆ（；）＝Ｆ（＃ｌ，…，＊。）＝Ｐ｛埘：ｘｌ（叫）≤ｚＩ，…，ｘ。（甜）≤‰｝
为ｘ的联合分布函数．ｇ＝（＊１，…，＊．）∈酽
设ｘ为ｎ维连续型随机变量，即存在定义于Ｆ上的非负数实值函数，（＃）＝“ｘｌ，．”，‰）（称，（＊）为ｘ的概率密度），对于任意ｙ＝（ｎ，…，ｈ）∈Ｆ，随机变量盖＝（置，噩，…，置）的联合分布函数可表为
Ｆ（ｙ）：Ｆ（ｙ１，…，ｈ）：ｆ‘…ｒ“ｍ…＾）ｄ引．．ｄｘ．
或等价地对于Ｆ中的任意ｋｂｅｓ舯ｅ可测集Ａ
尸｛埘：（工。（珊），…，置（∞））∈Ａｌ＝ｌ…１“＊－，…．扎）ｄ＃ｔ…ｄ靠
记ｘ落在微分区间（＊，＊＋如］＝（＊，，＊ｌ＋“。；…；＃。，ｚ．＋ｄ＃．）的概率为
尸｛∞：＃】＜ｘｌ（甜）≤￡ｌ＋ｄ＃ｌ，…，＊．＜互（叫）≤＊．＋ｄ矗｝＝
Ｆ（ｚｌ＋ｄｘｌ，…，＊．＋ｄ“）一∑Ｆ（ｚ１＋ｄ＃１，…，＃卜ｌ＋ｄｚ。一１，ｘｉ，茸＋Ｉ＋ｄ而＋ｌ，…，＃．＋ｄｘ．）＋
∑Ｆ（＊ｌ＋ｄ＊ｌ，…，麓．１＋ｄ≈一】，％，＊…＋ｄ毛＋１，…，畸一ｔ＋ｄ暂一ｌ≈，≈＋ｌ＋
ｌｔＪ＝ｌ
ｄ＃Ⅲ．…，‰＋ｄ｛。）＋…＋（一１）５，（茗ｌ，…，ｇ．）兰ｄ，（＃ｌ＇…，＊。）
通过比较，即得ｄ，（＃ｌ＇．”，ｋ）＝“托，…，＿．）以，…ｄ＊．
下面应用（１）式说明微分法在求多维连续型随机变量函数的概率密度函数中的应用
例ｌ设二维随机变量（工。，五）的联合密度函数为（１）
?收稿日期：２∞１一０７一∞作者俺介：陈朝舜（１９４４一），男，四川岳池人，瀹州大学副教授，从事运筹学研究。
万方数据　
ｌＯ渝州大学学报（自然科学版）第１９卷
ＴｅｉｉＴ＞＞０
，丁丁）＝
０；叽其如占
求ｙ＝Ｘ。ｘ：的慨率密度．
设ｙ的概率密度为ｐ（ｙ）显然．当ｙ≤０时，ｐ（ｙ）＝０．而当ｙ＞０时，
ｐ（ｙ）ｄｙ＝尸｛ｙ＜ｙ≤ｙ＋曲｝＝Ｐ｛ｙ＜ＸＬｘ２≤ｙ＋ｄｙ
盯”１－‘
ｙ＜。ｌｊ暑，＋ｄｙ＝卜』芦”１
所以ｍ，＝㈡拦
例２设二：维随机变量（ｘ。，ｘ：）的联合密度函数为
，（。。，ｚ：）；｛专ｈ；＋蠢ｋｉ＋爰＜１；求ｔ１）Ｙ。：Ｘ２＋焉；ｔ２）Ｙ２：。瑁（ｘ．，ｘ：）（３）Ｙ；（Ｙ，，Ｙ：）
ｌｏ；ｚ：＋Ｔ；≥１
的概率密度．
（１）设ｙ．的概率密度为ｐ，（ｙＩ）显然，当，ｌ≤０或ｙ≥１时，ｐｌ（ｙ。）＝０，而当Ｏ＜ｙ，＜１时，所以
ｆ２，ｌ；Ｏ＜ｙｌ＜２“
９ｔ（’－卜１ｏ；其它
（２）设ｙ２的概率密度为“（，２）．显然，当了２≤０或ｙ２≥２Ⅱ时，卢２（ｙ２）＝Ｏ，而当０＜ｙ２＜２Ⅱ时，
户２（Ｊ２）ｄｙ２＝Ｐ｛ｙ２＜ｙ２≤ｙｚ＋ｄｙ２｝＝Ｐ｛ｙ２＜ａ昭（ｘｌ，ｘｚ）≤ｙ２＋ｄｙ２ｌ＝
：ｎＬＤ－每－鲁ｚＩ｜儿
阿川弛互”＜罐ｂＪＪ≤ｙ＋如咄廿＋≤
所以Ｐ２（¨：｛赤，０＜北＜２”
【０．其它
（３）设ｙ＝（ｙ。，ｙ２）的概率密度为Ｐ（ｙ。。ｙ２）．显然，当，Ｉ告（０，１）或ｙ２在（０，２”）时Ｐ（，ｌ，ｙ２）＝Ｏ，而当０＜ｊ，ｌ＜１．０＜，２＜２＂时。
Ｊ）（ｙ１．ｙ２）ｄｙｌｄｙ２＝Ｐ｛ｙＩ＜ＹＩ≤ｙｌ＋曲Ｉ，ｙ２＜ｙ２≤ｙ２＋ｄｙ２１＝
ＰＩｙｌ＜丁：＋ｚ；≤ｙ１＋ｄｙｉ，，２＜ａｒｇ（Ｔ１，丁２）≤ｙ２＋ｄｙ２ｌ＝
，盯和“Ⅲ一ｒａ一朦吨扣ｒ２知州，：
’１‘。ｌ＋々｛’１＋蚪’
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ｍＭ：）：ｊ知。０如“１’０＜儿＜２”１０：其它
附注：若用通常的方法求二维连续型随机变量（ｙｌ，ｙ２）的概率密度ｐ（ｙ。．ｙ：），则应先求联合分布函数Ｆ（ｙ。．Ｊ：）），再求关于，。和关于，：的二阶偏导．将比这里所用的微分法要繁锁得多
参考文献：
【１】赵达刚，朱迎善．应用随机过程［Ｍ】．北京：机械工业出版社，１９９３，ｌ一３３
第１期陈朝舜：微分法在求多维连续型随机变量函数的概率密度中的应用１１［２］胡迪鹤随机过程ｉ仑一基础、理论、应用［Ｍ］武汉：武汉大学出版社．２０００．４１―６７
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＭｅｄｌｏｄ
ｎｍｃｔｉｏｎｓ。ｆｉｎＳｏｌｖｉｎｇＰＩＤｂａｂｉｌｉｔｙＤｅｎＳｉ够ｏｆＭｕｌｔｉｄｉｒｌｌｅｎＳｉｏｎａｌ（硫ｉｎｕｏｕｓＴ）币ｅＲａｎｄｏＨｌＶ撕ａｂｌｅｓ
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责任编辑：杨祖彬
２００１年７～１１月，重庆市期刊协会组织开展了１９９９～２０００年度我市期刊好稿评比活动，我校学报（自然科学版）编辑部推荐了５篇论文参加本次评比，分获了一、二、三等奖励。其中，戴宏民同志发表的论文《我国绿色包装的发展动态及当前应注意解决的问题》荣获一等奖；袁辉坪同志发表的论文《复半正定矩阵的Ｈａｄ锄ａｒｄ乘积》荣获二等奖；李登信同志发表的《关于Ｃａｙｌｅｙ图的Ｈ锄ｉｌ啪性的一个猜想》，李宏同志发表的《染色体易位情况下多基因杂交》，林治华同志发表的（分子距用于卤代甲烷及卤代乙烷沸．占、的估计与预测》３篇论文荣获三等奖。由重庆市科学技术委员会、重庆市新闻出版局联合给论文作者及责任编辑颁发获奖证书。（渝州大学学报（自然科学版】＞编辑部
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微分法在求多维连续型随机变量函数的概率密度中的应用
作者单位：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：陈朝舜渝州大学数学与计算机科学系,重庆,400033渝州大学学报(自然科学版)JOURNAL OF YUZHOU UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES EDITION))0次
参考文献(2条)
1.赵达刚.朱迎善 应用随机过程 1993
2.胡迪鹤 随机过程论--基础、理论、应用 2000
相似文献(1条)
1.期刊论文 黄东卫.王洪礼 随机微分方程的计算机代数研究 -天津工业大学学报)
将计算机代数的思想应用在随机微分方程理论中,借助数学软件系统Mathematica编制了运算程序包,它可以完成不同意义下的随机微分方程之间的转化,也可按Ito微分法则对随机变量函数进行微分,推导其转移概率密度函数的FPK方程.对于高维的随机微分方程组,以上步骤的计算量是很大的,本文提供的程序包可以快速准确地完成以上工作.
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N维连续型随机变量之分布函数的性质
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