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一元一次方程概念及解法
知识点总结
知识点总结
一．一元一次方程的概念：
&&&&&&& 只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程，对于一元一次方程，要抓住&一元&和&一次&两个关键元素。一元二次方程的一般形式：
二．解一元一次方程的一般步骤：
在方程两边同乘上所有分母的最小公倍数
等式的性质2
（1）分子要加括号；
（2）不要漏乘不含分母的项
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
（1）分配律
（2）去括号法则
（1）不要漏乘括号内各项；
（2）若括号前是&-&，去括号后括号内各项要变号
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边
（1）移项要变号，不移的项不变号；
（2）不要漏项
合并同类项
把方程化为ax=b（a&0）的形式
合并同类项法则
系数相加，字母部分不变
把方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解
等式的性质2
要正确进行运算，不要把分子、分母颠倒
&&&&&&考查方程的解、一元一次方程的概念，特别的一元一次方程的解法规律性强，难度小，是考查基本运算能力的最佳命题点之一。
&&&&&&& 在解一元一次方程时，由于对每一步骤的理念依据掌握不好，会造成如下错误：
&&&& （1）移项时忘记变号；
&&&& （2）去分母时漏乘不带分母的项；
&&&&&（3）去括号时，括号前是&-&忘记变号；
&&&&&（4）去括号时漏乘某一项）；
&&&&&（5）系数化为1时，被除数和除数颠倒。
【典型例题】
（2010四川乐山）解方程：5(x－5)＋2x＝－４
【解析】5x－25＋2x＝4&
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&& & 7x＝21
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&& &x＝3
知识点精练
练习题一　难易度：易
练习题二　难易度：中
练习题三　难易度：难
[初三数学]已解答
提问学生：
题型:计算题
德智币:5.0德智币
提问时间: 11:59
某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么它的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ & & & &）
A12% & & & &B.15% & & C.30% & & &D.50%
问题症结：对于这个问题，找不到突破口，请老师帮我梳理思路，详细解答一下
[初一数学]已解答
提问学生：
题型:解答题
德智币:5.0德智币
提问时间: 19:23
甲,乙两车同时从A城去B城，甲车每时行驶35千米，乙车每时行驶40千米，结果乙比甲提前半小时到达B城。A,B两城间的路程有多少千米？
问题症结：不会列方程。
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『碎片时间快速学，提分更轻松』3.3　一元一次方程的解法
【 教学目标】
知识与技能
1.掌握移项变号的基本原则.
2.用移项解一元一次方程.
3.找相等关系列一元一次方程.
过程与方法
经历运用方程解决实际问题的过程,发展抽象、概括、分析问题和解决问题的能力,认识用方程解决实际问题的关键是建立相等关系.
通过学习“合并同类项”和“移项”,体会古老的代数书中“对消”和“还原”的思想,激发学生学习数学的热情.
掌握移项变号的基本原则.
用移项解一元一次方程.
【教学过程】
一、情景导入,初步认知
1.什么是一元一次方程?
2.等式的基本性质?
【教学说明】　通过复习一元一次方程及等式的性质,为进一步学习做准备.
二、思考探究,获取新知
1.某探险家在2002年乘热气球在24 h内飞行5 129km.已知热气球在前12 h飞行了2 345km,求热气球在后12 h飞行的平均速度.
(1)教师和学生一起分析问题,找出等量关系.
(2)如何设未知数呢?
(3)根据等量关系式列出方程.
(4)如何求出未知数的值呢?
2.利用等式的性质求出方程2 345+12x=5 129①中x的值.
利用等式的性质,在方程①的两边都减去2 345,得:2 345+12x-2 345=5 129-2 345
即:12x=2 784②
利用等式的性质,在方程②的两边都除以12,得:12x÷12=2 784÷12即:x=232
因此,热气球在后12 h飞行的平均速度为232km/h.
【归纳结论】　我们把求方程的解得过程叫做解方程.
3.探究:在解方程2 345+12x=5 129时,我们根据等式的性质1,在方程的两边都减去2 345,得到:12x=5 129-2 345
观察:(1)上述演变过程中,方程的哪些项改变了在原方程中的位置?怎样变的?
(2)改变的项有什么变化?
【归纳结论】　把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,我们把这种变形叫做移项.移项必须要变号.4.在解方程后,我们为了判断所求的未知数的值是否正确,我们应该怎么办呢?
【归纳结论】　检验的方法:把所求的未知数的值分别代入原方程的左边和右边,如果左右两边相等,则所求未知数的值,就是这个方程的解.否则,不是原方程的解.
【教学说明】　通过学生的思考、观察和教师的讲解得出什么是移项,便于学生理解.
三、运用新知,深化理解
1.教材P91例1.
2.解方程6x+1=-4,移项正确的是(　D　)
A.6x=4-1　　　　　B.-6x=-4-1
C.6x=1+4 D.6x=-4-1
3.解方程-3x+5=2x-1,移项正确的是(　D　)
A.3x-2x=-1+5 B.-3x-2x=5-1
C.3x-2x=-1-5 D.-3x-2x=-1-5
4.下列方程变形正确的是(　B　)
A.由-2x=6,得x=3
B.由-3=x+2,得x=-3-2
C.由-7x+3=x-3,得(-7+1)x=-3-3
D.由5x=2x+3,得x=-1
5.已知当x=2,y=1时,代数式kx-y的值是3,那么k的值是(　A　)
A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1
6.关于x的方程5ax-10=0的解是1,则a= 　2　.
7.解下列方程.
(1)6x=3x-7 (2)5=7+2x
(3)y-= y-2 (4)7y+6=4y-3
答案:(1)-;(2)-1;(3)-3;(4)-3.
8.一批学生在“十一”期间租车去凤凰山游玩.如果每辆车乘坐48人,那么还多4人,如果每辆车乘坐50人,那么还有6个空位,求汽车和学生各多少?
解:设汽车有x辆,则
48x+4=50x-6,
把x=5代入50x-6=244;
答:租车5辆,学生244人.
【教学说明】　由学生独立完成是为了培养学生解方程的速度和能力,及时发现问题,及时解决.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.3”中第1、5题.
【教学目标】
知识与技能
掌握去括号解一元一次方程的方法,能熟练求解一元一次方程.
过程与方法
通过学生观察、独立思考等过程,培养学生归纳、概括的能力.
激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考、勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
会用去括号解一元一次方程.
树立列方程解应用题的思想.
【教学过程】
一、情景导入,初步认知
1.回顾上一节课学习的解一元一次方程的步骤.
2.回顾分配律的内容及其字母表达式.
【教学说明】　为进一步学习做准备.
二、思考探究,获取新知
1.一艘轮船在A、B两个码头之间航行,顺水航行需4 h,逆水航行需5 h,已知水流速度为2km/h,求轮船在静水中航行速度.
(1)你能根据题意,列出等量关系式吗?
(2)怎样设未知数呢?
(3)如何解这个方程呢?
2.解方程:4(x+2)=5(x-2)
思考,怎样去掉括号.
利用乘法的分配律,
去括号得4x+8=5x-10
移项得4x-5x=-10-8
合并同类项得-x=-18
系数化为1,得x=18
3.根据上面的解方程的过程,你能总结解此类方程的步骤吗?
【归纳结论】　用“去括号”的方法解这一类方程的步骤:(1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项;(4)系数化为1.
【教学说明】　结合解方程的过程,让学生思考有关步骤的作用,让学生体会化归思想.
三、运用新知,深化理解
1.教材P93例2.
2.在下列各方程中,解最小的方程是(　B　)
B.5(x-8)-8=7(2x-3)
C.2x-1=5x-7
D.4(x+4)=12
3.方程4(2-x)-4x=64的解是(　D　)
A.7　　　B.　　　C.- 　　　D.-7
4.某同学买了1元邮票和2元邮票共12枚,花了20元钱,求该同学买的1元邮票和2元邮票各多少枚?在解决这个问题时,若设该同学买1元邮票x枚,求出下列方程,其中错误的是(　B　)
A.x+2(12-x)=20
B.2(12-x)-20=x
C.2(12-x)=20-x
D.x=20-2(12-x)
5.已知当x=2时,代数式(3-a)x+a的值是10,当x=-2时这个代数式的值是　-18　.
6.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价,又以八折优惠卖出,结果每辆仍获利50元,这种自行车每辆的进价是多少元?若设这种自行车每辆的进价是x元,那么所列方程为
　0.8(1+45%)x-x=50　.
7.解下列方程:
(1)3-2(x-5)=x+1;
(2)5(x-2)=4-(2-x).
8.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字和为11,如果把十位上的数字与个位上的数字对调,则所得新数比原数大63,求原两位数.
解:设个位上的数字为x,则十位上的数字为(11-x)
10x+(11-x)-[10(11-x)+x]=63
答:原两位数是29.
9.有A、B两种原料,其中A种原料每千克50元,B种原料每千克40元,据最新消息,这两种原料过几天要调价,A种原料上涨10%,B种原料下降15%,这两种原料共重11 000千克,经核算,调价后两种原料的销售总收入不变,问A、B两种原料各需多少?
解:设A种原料有x千克,则需B种原料(11 000-x)千克,由题意得
50x+40(11 000-x)=50x(1+10%)+40(11 000-x)(1-15%)
解得x=6 000
11 000-x=11 000-6 000=5 000(千克)
答:A、B两种原料分别需6 000千克,5 000千克.
【教学说明】　及时巩固所学的知识,强化去括号的过程,培养学生的符号感.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.3”中第2、11题.
【教学目标】
知识与技能
1.掌握解一元一次方程中“去分母”的方法,并能解此类型的方程.
2.了解一元一次方程解法的一般步骤.
过程与方法
经历把实际问题抽象为方程的过程,发展用方程方法分析问题、解决问题的能力.
通过具体情境引入新问题(如何去分母),激发学生的探究欲望.
通过“去分母”的方法解一元一次方程.
探究通过“去分母”的方法解一元一次方程.
【教学过程】
一、情景导入,初步认知
(1)若a=b,则ac=bc(　　　　)
(2)若a=b则a÷2=b÷2(　　　　)
2.求下列几组数的最小公倍数.
(1)2,3;　(2)2,3,6
解:(1)最小公倍数是6.
(2)最小公倍数是6.
3.解方程:2x=3(x-1)
解:2x=3x-3
【教学说明】　通过复习以前学过的知识,为本节课做好铺垫.
二、思考探究,获取新知
1.刺绣一件作品,甲单独绣需要15天完成,乙单独绣需要12天完成,现在甲先单独绣1天,接着乙又绣4天,剩下的工作由甲、乙两人合绣,问再绣多少天可以完成这件作品?
学生审题后,教师提问:
(1)题中涉及哪些相等关系?
(2)应怎样设未知数?如何根据相等关系列出方程?
教师展示问题,让学生思考,独立完成.分析并列方程
解:设再绣x天可以完成.
(x+1)+(x+4)=1
【教学说明】　由实际问题引出带有分数系数的一元一次方程,进而讨论用去分母解这类方程.同时利用方程思想解决实际问题,能再一次让学生感受方程的实用价值.
2.这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同?怎么解这个方程呢?
3.教师出示问题,学生思考、回答,学生代表将不同的解法在黑板上展示交流(用通分合并同类项,用去分母方法解).
【教学说明】　学生在已有经验基础上,努力尝试新的方法.
4.不同的解法各有什么特点?通过比较你认为采用什么方法比较简便?
【教学说明】　通过对同一方程不同解法的探索过程,使学生感受去分母方法的简便,同时理解去分母的目的和依据,进而得出去分母的一般方法.
5.学生讨论之后,教师通过以下问题明确去分母的方法和依据:
(1)怎样去分母呢?
(2)去分母的依据是什么?
【归纳结论】　去分母的方法:在方程两边同乘各分母的最小公倍数可以去分母.
6.结合上两节课所学的内容,你能归纳解一元一次方程的步骤吗?
【归纳结论】　解一元一次方程的一般步骤为:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.
【教学说明】　学生再次认识去分母解一元一次方程的方法,归纳解一元一次方程的一般步骤,进一步体会化归的数学思想.
三、运用新知,深化理解
1.教材P94例3.
2.将方程-=1去分母,得(　A　)
A.2x-(x-2)=4　　　　B.2x-x-2=4
C.2x-x+2=1 D.2x-(x-2)=1
3.方程-=1去分母正确的是(　D　)
A.2(2x+1)-3(x-1)=1
B.6(2x+1)-6(x-1)=1
C.2x+1-(x-1)=6
D.2(2x+1)-3(x-1)=6
4.当3x-2与互为倒数时,x的值为(　B　)
A.　　　 B.　　　 C.3　　　D.
5.下面的方程变形中:
①2x+6=-3变形为2x=-3+6;
②-=1变形为2x+6-3x+3=6;
③x-x=变形为6x-10x=5;
④x=2(x-1)+1变形为3x=10(x-1)+1.
正确的是　③　(只填代号).
6.已知2是关于x的方程x-2a=0的一个解,则2a-1的值是　2　.
7.一队学生从学校出发去部队军训,以每小时5km的速度行进4.5km时,一名通讯员以每小时14km的速度从学校出发追赶队伍,他在离部队6km处追上了队伍,设学校到部队的距离是x km,则可列方程 =　=　求x.
(1)3(m+3)=-10(m-7),
(2)+=10×60.
解:(1)去分母,得
6(m+3)=22.5m-20(m-7),
6m+18=22.5m-20m+140,
6m-22.5m+20m=140-18,
合并同类项,得
系数化1,得m=- .
(2)去分母,得2x+3(3 000-x)=10×60×12.
去括号,得2x+9 000-3x=7 200,
移项,得2x-3x=7 200-9 000,
合并同类项,得-x=-1 800,
化系数为1,得x=1 800.
9.解方程:=1.
解:方程两边同乘以9,得
移项合并,得
方程两边同乘以7,得+6=7,
移项合并,得=1,
方程两边同乘以5,得+4=5,
移项合并,得=1,
去分母,得x+2=3,
10.小明沿公路前进,对面来了一辆汽车,他问司机:“后面有一辆自行车吗?”司机回答说:“10分钟前我超过一辆自行车”小明又问:“你的车速是多少?”司机回答:“75km/h”小明又继续走了20分钟就遇到了这辆自行车,小明估计自己步行的速度是3km/h,这样小明就算出了这辆自行车的速度.自行车的速度是多少?
解:设自行车的速度是x千米/小时,由题意得x+×3=75×,
解之得x=23.
答:自行车的速度是23千米/小时.
【教学说明】　及时巩固所学知识.让学生理解解方程的步骤不是固定不变的,而是可以根据一元一次方程的不同形式灵活改变解题顺序的.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.3”中第3、4、8题.
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一元一次方程的解法
一元一次方程的解法&&学习目标1、掌握移项法则，会用移项法则对方程进行变形2、掌握解一元一次方程的基本步骤：“移项”、“合并同类项”和“化未知数的系数为1”。3、会解简单的一元一次方程。重点：一元一次方程的解法步骤。难点：移项法则教学过程：一　知识回顾什么叫一元一次方程?等式的两个性质:1.等式的两边都加上或减去同一个数或式,所得结果仍是等式.2.等式的两边都乘以或除以同一个不为零的数或式,所得结果仍是等式.二　创设情进境，探究新知动脑筋&某探险家在2002年乘热气球在24h内连续飞行5129km.&已知热气球在前12h飞行了2345&km，求热气球在后12h飞行的平均速度.本问题涉及的等量关前12h飞行的路程&+&后12h飞行的路程&=&总路程.因此，设后12h飞行的平均速度为x&km/h，则根据等量关系可得&2345&+&12x&=&5129.&利用等式的性质，在方程①两边都减去2345，&得&&&&&&&&&&&45=&，&即&&&&&&12x=2784.&&&&方程②两边都除以12，得x=232&因此，热气球在后12h飞行的平均速度为232&km/h.&我们把求方程的解的过程叫做解方程在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程①两边都减去2345，相当于作了如下变形：　　　　　12x=.&&&.从变形前后的两个方程可以看出，这种变形，就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，我们把这种变形叫做移项必须牢记：移项要变号.在解方程时，我们通过移项，把方程中含未知数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等号的另一边．&三　讲解例题（1）&4x+3&=&2x-7　　　　　　　　　一般地，从方程解得未知数的值以后，要代入原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解，但这个检验过程除特别要求外，一般不写出来四　随堂练习书９１的１　２　３题五　小结请同学们回顾一下,这节课你学到了什么?把方程中的项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项六　作业：书９６页的１题
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一元一次方程式的解法
一）知识要点：　　1．一元一次方程的概念： 　　只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为0的方程叫做一元一次方程. 　　一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0),它的解是x=- . 　　我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0).例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x,且x的次数是一次,但化简后为0x=0,不是一元一次方程.　　2．解一元一次方程的一般步骤： 　　（1）方程含有分母时要先去分母,使过程简便,具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.要注意不要漏掉不含分母的项,如方程 x+ =3,去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以6,造成错误. 　　（2）去括号：按照去括号法则先去小括号,再去中括号,最后去大括号.特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要变号.括号前有数字因数时要注意使用分配律. 　　（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边.注意移项要变号. 　　（4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0). 　　（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x= . 　　解方程时上述步骤有些可能用不到,并且也不一定按照上述顺序,要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤.　　（二）例题：　　例1．解方程 (x-5)=3- (x-5) 　　分析：按常规此方程应先去分母,去括号,但发现方程左右两边都含有x-5项,所以可以把它们看作一个整体,移项,合并,使运算简便. 　　移项得： (x-5)+ (x-5)=3 　　合并得：x-5=3　　∴ x=8.　　例2．解方程2x- = - 　　因为方程含有分母,应先去分母. 　　去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2)　 （注意每一项都要乘以6） 　　去括号：12x-3x-3=8-2x-4　 (注意分配律及去括号法则) 　　移项：12x-3x+2x=8-4+3 　　合并：11x=7 　　系数化成1：x= .　　例3． { [ ( +4)+6]+8}=1　　解法1：从外向里逐渐去括号,展开求 　　去大括号得： [ ( +4)+6]+8=9 　　去中括号得： ( +4)+6+56=63 　　整理得： ( +4)=1 　　去小括号得： +4=5 　　去分母得：x+2+12=15 　　移项,合并得：x=1.　　解法2：从内向外逐渐去括号,展开求 　　去小括号得： { [ ( + +6]+8}=1 　　去中括号得： { + + +8}=1 　　去大括号得： + + + =1 　　去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945 　　　　　即：x+2+12+90+840=945 　　移项合并得：∴x=1. 　　注意：从上面的两种解法可以看到,解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来,可以按照具体的题目灵活运用方法.　　例4．解方程 [ ( -1)-2]-2x=3 　　分析：此方程含括号,因为 × =1,所以先去中括号简便. 　　去中括号：( -1)- -2x=3 　　去小括号： -1- -2x=3 　　去分母：5x-20-24-40x=60 　　移项：5x-40x=60+44 　　合并项：-35x=104 　　系数化成1得：x=- .　　例5．解方程 - - =0 　　分析：本方程分子、分母中都含有小数,如果直接去分母,会使运算繁琐.但如果利用分数的性质,即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质,使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数,就能使运算简便. 　　利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以10,第二项分子、分母同乘以100）,原方程可化为： 　　 - - =0 　　去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0 　　去括号：24x+54-30+20x-15x+75=0 　　移项得：24x+20x-15x=-54+30-75 　　合并得：29x=-99 　　系数化成1：x=- .　　例6．在公式S= (a+b)h中,已知：a=5, S=44, h=8,求b的值. 　　分析：这是梯形面积公式,四个量S,a, b, h中知道任意3个量的值,都可以求出第四个量的值.　　解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得 　　44= (5+b)×8　这是关于b的一元一次方程 　　化简得：b+5=11 　　移项,合并得：b=6.　　解法2：先把b看作未知数,把其它量都看作已知数,将公式变形,用其它三个量来表示b,然后再代入已知数的值求出b. 　　S= (a+b)h 　　去分母：2S=(a+b)h 　　去括号：2S=ah+bh 　　移项：2S-ah=bh　 即bh=2S-ah 　　系数化成1：∵ h≠0,∴ b= -a (一定不要忘记条件h≠0) 　　当a=5, S=44,h=8时, 　　b= -5=11-5=6 　　∴ b=6.　　例7．当x=2时,式子x2+bx+4的值为0,求当x=3时,x2+bx+4的值. 　　分析：这仍是一元一次方程的应用的例子,要求x2+bx+4的值,先求出b的值,最后求当x=3时,x2+bx+4的值. 　　∵ 当x=2时,x2+bx+4的值为0, 　　∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程) 　　解这个方程得2b=-8,∴ b=-4, 　　∴ x2+bx+4为x2-4x+4,　　当x=3时,x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1, 　　∴ 当x=3时,这个式子值为1.　　例8．解绝对值方程： 　　(1) |2x-1|=8　　　(2) =4　　(3) =4 　　(4) |3x-1|+9=5　　(5) |1-|x||=2 　　说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用,它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体,把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程,变形成|ax+b|=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论,当c>0时,正确去掉绝对值,得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程,从而求出x的值；当c=0时,得到ax+b=0一个一元一次方程,从而求出x；当c
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