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立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版.doc 12页
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立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版
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圆梦教育中心立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.球与正方体如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．
D．球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π
D.球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱的高为，底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高的中点，，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。此时，则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，则。二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）。例5在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．　B.　C.4　D.2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。如图8，三棱锥,满足面，，取的中点为，由直角三角形的性质可得：,所以点为三棱锥的外接球的球心,则.例7矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()A.B.C.D.3球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球
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简介本节课主要讲解了已知正四面体的棱长，如何求外接球与内切球的问题，同时讲解了已知直线与曲线的方程如何用弦长公式求两交点的距离，课程讲解的重点是希望同学们理解推导过程的同时，要记住该结论，以便在今后做题过程中运用这一结论，省时又省力，起到事半功倍的效果。目录1正四面体外接球与内切球、直线与曲线求弦长详情本节课主要讲解了已知正四面体的棱长，如何求外接球与内切球的问题，同时讲解了已知直线与曲线的方程如何用弦长公式求两交点的距离，课程讲解的重点是希望同学们理解推导过程的同时，要记住该结论，以便在今后做题过程中运用这一结论，省时又省力，起到事半功倍的效果。 可以输入500字匿名评价打造数学天才，让你爱上数学。 离线留言所属机构高级在职老师在线联盟，最牛老师集中… 离线留言老师其他课程
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正方体内切球,外接球,棱切球
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约1700字。
　　简单几何体的外接球与内切球问题
　　一、外接球的问题：
　　简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
　　（一） 由球的定义确定球心
　　在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
　　由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
　　结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
　　结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
　　结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
　　结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
　　结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
　　例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为&&&&&& .&
　　例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是&&&&&& .
　　例3、在直三棱柱 中， ,则直三棱柱 的外接球的表面积&&&&&& .
　　例4、三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD= ，则此三棱锥外接球的体积为&&&&&& .&
　　例5、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为&&&&&& .&
　　（二）构造正方体或长方体确定球心
　　长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
　　途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
　　途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
　　途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
　　途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
　　例6、正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为&&&&&& .&
　　例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 和3 ，那么它的外接球的体积是&&&&&& .&
　　例8、在三棱锥 中， , ，则三棱锥 外接球的表面积&&&&&& .&
　　例9、在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接球的体积&&&&&& .
　　例10、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为&&&&&& .
　　例11、若三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ，&& ，则球 的表面积为&&&&&& .&
　　（三） 由性质确定球心
　　利用球心 与截面圆圆心 的连线垂直于截面圆及球心 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确
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