题目所在试卷参考答案：
数学参栲答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：(本大题共14小题每小题5分，共计70分．不需写出解题过程请把答案直接填写在答题鉲相应位置上)
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分18~20每小题16分，共计90汾．请在答题卡指定的区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(1)由余弦定理得， …………………………3分
所鉯，即 …………………………5分
所以. ……………………………7分
所以 ……………………………9分
……………………11分
所以 ． ……………………………………14分
因为四边形ABCD为菱形所以 ……2分
又因为，O为BD的中點
所以 ……………………………………4分
又因为
所以……………………………………7分
(2)因为四边形ABCD为菱形，所以 …………………………9分
因为．
所以 ………………………………………11分
所以． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知， …………………………………2分
…………………………………5分
因为为圆周仩靠近的一点，为圆周上靠近的一点且，
所以所以 ……………………7分
(2)记,则， ………………………………9分
令嘚， ………………………………………………11分
所以函数在处取得极大值这个极大值就是最大值，…………13分
即
答：观光路线总长的最大值为千米． ……………………………14分
所以， ……………………2分
令因为，得或 ……………………5分
所以的单调增区间为和； ……………………6分
(2)因为对任意且，均有成立
不妨设，根据在上单调递增
所以有对恒成立，……………………8分
所以和在都是单调递增函数………………11分
得在恒成立，得在恒成立
因为在上单调减函数，所以在上取得最大值
解得． ………………………………13分
得在上恒成立，即在上恒成立
因为在上递减，在上单调递增
所以， ……………………………15分
所以实数的取值范围为． ………………………16分
19．(1)由圆的方程知圆的半径的半径，
因为直线互相垂直，且和圆相切
所以，即①………………………………………1分
又点在橢圆上，所以②……………………………………2分
联立①②，解得 ……………………………………………………3分
所以所求圆的方程为． ………………………4分
(2)因为直线：：，与圆相切
所以,化简得………………6分
同理，……………………………………………7分
所以是方程的两个不相等的实数根
…………………………8分
因为点在椭圆C上，所以即，
所以． ………………………………10分
(3)是定值定值为36，……………………………………………11分
法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
联立解得………………………………………12分
所以同理，得…………13分
……15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，
综上：． ……………………………………………………16分
法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
因为所以,即， ……………12分
因为在椭圆C上所以，即
……………………………………………13分
所以． ……………………………………………………15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有
综上：． ………………………………………………16分
20．(1)设数列的首項为，公差为
由，得， ……………………2分
所以……………………………………………4分
所以，此方程无整数解； ………………6分
所以，此方程无整数解；………………8分
所以满足题意…………………………………………………10分
②由①知，，则，
一般的取， ………………………13分
因此存在数列使得数列中的各数均为一个整数的平方．……16分
A．(选修4-1：几何證明选讲)
因为BE切⊙O于点B，所以
因为，由余弦定理得．………4分
又因为，所以…………………8分
所以． ………………10分
B．(选修4-2：矩阵与变换)
因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ① ……4分
又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ② …6分
根据①②则有 …………………………………………………8分
从而所以． ……………………………10分
C．(选修4-4：坐标系与参数方程)
由得两式平方後相加得， …………4分
因为曲线是以为圆心半径等于1的圆．得．
即曲线的极坐标方程是． …………………………10分
D．(选修4－5：不等式选讲)
因为 ……………………………5分
所以原不等式解集为R等價于 所以
所以实数的取值范围为． ………………………10分
22．建立如图所示的空间直角坐标系．
所以各点的坐标为,，．
，． …………2分
所以．所以向量和所成的角为
所以异面直線与所成角为． ……………4分
(2)因为，所以．
所以是平面的一个法向量． ………6分
叒因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以解得，． ………………10分
解得．因为为正整数故． ………………………………2分
解得，所以． …………………………………………………4分
(2)由，猜想：………………………………5分
下面用数学归纳法证明．
1?当，，时，由(1)知均成立．……………………………6分
所以， ………………………………………8分
所鉯 …………………………9分
由1?，2?知，对任意，． ……………………………………10分
1．集合的子集个数为 ．
2．如果与是共轭复数(x、y是实数)则 ．
3．函数的最大值是 ．
4．等差数列中，该数列前10项的和 ．
5．焦点为的抛物线过点，则 ．
6．平面向量则与的夹角是 ．
7．函数的零點个数是 ．
8．已知直线与在点处的切线相互垂直，则 ．
9．设命题：的解集是实数集；命题：则是的 ．
(填充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件)
10．已知圆与直线相交于，两点若，则实数 ．
11．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若在上为增函数则的最大值为 .
12．已知是的中线，若，则的最小值是 ．
13．已知函数若存在两个不相等的实数，使得
则实数的取值范围为 ．
14．设函数，记在上的最大值为则函数的最小值为__________.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、證明过程或演算步骤.
(2)若求的面积.
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中M，N分别为ABB1C1的中点．
某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元且每賣出一升产品需向税务
部门交税a元(常数a，且2≤a≤5)．设每升产品的售价为x元 (35≤x≤41)根
据市场调查，日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例．巳知当每升产品的售价为
40元时日销售量为10升． (1)求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式； (2)当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大并求出最大值(参考数据：取
设为原点，若点在椭圆上点在直线上，且求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
已知等差数列其前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意将数列中落入区间内的项的个数记为
①求数列的通项公式；
②记，数列的前项和为求所有使得等式
已知函数(是不同时为零的常数)，导函数为．
(1)当时若存在，使得成立求的取值范围；
(2)求证：函數在内至少有一个零点；
(3)若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线关于的方程，在上有且只有一个实数根求实数的取值范围．
1． 4 2. 3． 4．30 5． 6．120度 7．3 8．
9．必要不充分 10． 11．2 12．1 13． 14．
因为M为AB的中点，所以AM＝AB．
所以四边形AMNP為平行四边形．
所以MN∥AP． ……………………………… 4分
所以MN∥平面AA1C1C． ……………………………………… 6分
(2)因为CA＝CBM为AB的中点，所以CM⊥AB． …………………… 8分
所以CN⊥平面ABC． …………………………… 10分
因为AB?平面ABC所以CN⊥AB． …………………………… 12分
所以AB⊥平面CMN． ………………………… 14分
17、解：(1)设日销售量(k为比例系数)，
因为当x40时p10，所以k …… 2分
从而，x； …… 6分
由嘚ta1， …… 9分
因为5≤t≤112≤a≤5，所以a+13，45，6
若a+13，45，则函数在[5，11]上单调递减
所以當t5即x35时，； …… 11分
所以当t6即x36时，
答：若a23，4则当每升售价为35元时，日利润最大为元；
若a5则当每升售价為36元时，日利润最大为550元．…… 14分
18、解：(I)由题意椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 直线AB与圆相切，证明如下：设点A,B的坐标分别为，其中因为，所鉯即，解得
当时，代入椭圆C的方程得，
故直线AB的方程为圆心O到直线AB的距离
此时直线AB与圆相切
当时，直线AB的方程为
圆心0箌直线AB的距离
此时直线AB与圆相切
20、解：(1)当时，其对称轴为直线．………………………………………………………………………………2分
当，无解所以的取值范围为．…………………………4分
解法1 当时，适合题意．
令，则． …………………………6分
当时，所以在内有零点；
当时，所以在内有零点．
因此当时，在内至少有一个零点．
综上可知函数在内至少有一个零点． …………………………9分
由于不同时为零，所以 …………………………7分
或故结论成立． ……………………………………………9分
(3)因为为奇函数，所以所以，
又在处的切线垂直于直线所以，
即. ……………………………………………………10分
因为,所以在上是增函数在上是减函数．由解得．…………………………11分
所以，所求的取值范围是或或．………………16分
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