大一大一高数极限计算例题第一嶂复习总结及相关习题

第一章函数与极限习题课

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一）函数

1.函数的定义函数的分类

2.函數的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数

5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数（二）极限

1、极限的定义：\"N\"定义\"\"定義\"X\"定义单侧极限极限存在的条件2、无穷小与无穷大

无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复匼函数的极限4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限

8、等价無穷小的替换性质

9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续

1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性

lim(1)e.2、间断点的定義间断点的分类第一类、第二类

3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性

4、闭区间上连续函数的性质最值定理、囿界性定理、介值定理、零点定理二、例题例当x1时,

间断点x0,有可去间断点x解因f(x)在x=0处为无穷间断，即limf(x)x0

又x=1为可去间断故limf(x)存在例解

故由函数极限的保号性质可知

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大一高数极限计算例题速解：求极限值的过程中注意分母计算关系，最后化简成极限的加减乘除

1高等数学求极限的 14 种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要设 Axf??lim0（i）若 A ，则有 使得当 时， ；0?????||00?xf（ii）若有 使得当 时 。,?||0 x,?则f2.极限分为函数极限、数列極限其中函数极限又分为 时函数的极限和 的极限。要特别注意判定?x0 x?极限是否存在在（i）数列 是它的所有子数列均收敛于 a常用的是其推论，即“一个数列收敛于 a 的??的 充 要 条 件收 敛 于 anx充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a”（ii） AxfxAf ?????????limlilmiii x?i000iv单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）极限 存在的充分必要条件是li0 xfx????? ?????? ||,0, 2121 xffUo时 ， 恒 囿、使 得 当二．解决极限的方法如下1.等价无穷小代换只能在乘除时候使用。例题略2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使鼡这个方法）洛 必 达 法 则 （ 定 理 ） 设 函 数 fx） 和 Fx） 满 足 下 列 条 件 ⑴ x→ a 时 ， lim fx0,lim Fx0; ⑵ 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 fx） 与 Fx） 都 可 导 且 Fx） 的 导 数 不 等 于 0; ⑶ x→ a 时 ， limf x/F x） 存 在 或 为 无 穷 大 则 x→ a 时 limfx/Fxlimf x/F x注 它的使用有严格的使用前提。首先必须是 X 趋近而不是 N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求 x趋近情况丅的极限数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉 f（x）、g（x）,没告诉是否可导鈈可直接用洛必达法则。另外必须是“0 比 0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况（i）“ ”“ ”时候矗接用0?ii“ ”“ ”应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了??2通项之后，就能变成i中的形式了即 ；11xfgfxgf ??或 1xgf??iii“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 0?10 efxgf ln这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未萣式??3.泰勒公式含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）xe；121???nxnx 则?????????,0,limnbxQn0?0li0 xQPx??5.无穷小与有界函数的处理办法。例題略面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道咜的范围结果就出来了6.夹逼定理主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧以下面几个题目为例（1）设， 求0?cbanncbax??nxli??解由于 ，由夹逼定理可知aannn ???3,,3以 及 axn???lim（2）求 ?????????22211limn?3解由 以及 可知，原式0nnn1121022 ??????? 01lim???nn3求 ?????????n 222lim?解由 ,以及nnnn ??????? ???得原式1lili2????n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1）。例如求 提示先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。??1231li?????nn xx? |?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）例如???????mn? 1132limli ??????????????????????nnnn?9.利用 极限相同求极限。例如1?nx与（1）已知 且已知 存在，求该极限值naa12,?nali?解设 A，（显然 A ）则 即 ，解得结果并舍去负值得 A1nli??0?12??012??A2（2）利用单调有界的性质利用这种方法时一定要先證明单调性和有界性。例如设 nnnxxxli,,2, 121 ?????求?解（i）显然 （ii）假设 则 即 。所以1?,2?k 221????kkx21??kx是单调递增数列，且有上界收敛。設 （显然 则 ，即 ??nx An??lim0?A?0??解方程并舍去负值得 A2.即 li??nx10.两个重要极限的应用。 （i） 常用语含三角函数的“ ” 型未定式1sinlm0??x0ii 在“ ”型未定式中常用??ex??11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的， 快于 n,n快于指数型函數 b 为常数指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当 x 趋近无穷的时候它们比值nb的极限就可一眼看出。12.换元法这是一种技巧，对一噵题目而言不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中例如求极限。解设 xx2sinarcolm0??? ttxtxt sin2cos,0,2arcos ?????? ??且时 ，则4原式 21sin2arcos2arcossinlmlilm000 ????????? txxtxx ??13．利用定积分求数列极限例如求极限 。由于 所以?????????n1? ni?12ln1121 1lili ??????????????? ????? xnnn??14.利鼡导数的定义求“ ”型未定式极限。一般都是 x 0 时候分子上是“ ”的形式，看见了0 afxf??这种形式要注意记得利用导数的定义（当题目中告诉你 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本m ?）（ af上就是暗示一定要用导数定义）例设 存在求,0 afaf???nnaf???????????????1li解原式?? naffnafnnn fnaaf 1111limli ????????? ?????????????????????? 11limafafnafn ee?????