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2018吉林省教师招聘面试：《小数的意义》说课稿
来源：&&&时间： 13:41:21
为广大考生带来&&2018吉林省教师招聘：《小数的意义》说课稿。供大家阅读！吉林中公教师祝大家早日圆教师梦！
尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《小数的意义(一)(认识小数的意义)》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材
本节课选自人教版小学数学四年级下册第一单元第一节内容小数的意义，它是在&分数的初步认识&和&小数的初步认识&的基础上进行教学的，是学生系统学习小数的开始。通过本节课的学习，学生进一步理解小数的意义，为以后学习小数的四则运算打下良好的基础。
二、说学情
合理把握学情才能有针对性的教学，接下来谈谈学生的实际情况。四年级的学生在以前已经对小数有了初步的认识，在日常生活中小数有着广泛的应用，这为认识学习过程提供了现实基础。在教学中，可以通过学生实际感知、小组讨论等形式培养学生的数感。
三、说教学目标
新课标要求教学目标是多元的，主要包括学会、会学、乐学三个维度，所以我制定了如下三维教学目标：
(一)知识与技能
在初步认识分数和小数的基础上，进一步理解小数的意义，会进行十进分数与小数的互化。
(二)过程与方法
通过观察、比较，以及自主探究建立小数与分数之间的联系，渗透数形结合的数学思想，培养抽象概括和迁移能力。
(三)情感、态度与价值观
感受小数和分数的内在联系，能在已有知识的背景下自主学习，获得良好的学习体验，感受小数与生活的密切联系。
四、说教学重难点
(一)教学重点
理解小数的意义。
(二)教学难点
经历探索小数的意义的过程。
五、说教法和学法
科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一，本节课我采用：自主探究式学习、实际操作法、小组讨论法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
六、说教学过程
在这节课的教学过程中，我注重突出重点，条理清晰，紧凑合理。各项活动的安排也注重互动、交流，最大限度的调动学生参与课堂的积极性、主动性。下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。
(一)引入新课
首先是导入环节，我会举行一个小活动：小小擂台赛。多媒体出示一些物品价格、身高、距离、物体质量、图形面积等图片。然后提问：你能读一读?结合对价格单位、长度单位的理解说一说这些小数表示意思是什么?学生进行汇报。
提出问题：在生活中，随处都可以看到小数，很多时候，数据往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数表示。为什么要用小数表示?小数有什么意义?顺势引出小数的意义。
设计意图：联系生活实际提出问题，从学生熟悉的商品的价格，身高等引入小数，既激发了学生的学习兴趣，又调动了学生学习的积极性，同时也为学习新知做好铺垫，感受小数产生的必要性。
(二)探索新知
在探究新知环节，我主要采用自主探究式学习、实际操作法、小组讨论的进行。我分为三步进行教学。
第一步是&做一做，说一说&，我会提问&1.11元是什么意思?1.11米呢?这里的3个&1&分别是什么意思?&让学生先与同桌交流，说一说，再请学生展示，师生共同修改。
而对于三位小数的研究我会带着学生去完成书上的&想一想，填一填。&
引导猜想：把&1&平均分成1000份，其中的1份是( )，也可以表示为( );其中的59份是( )，也可以表示为( )。这个问题是类比一位小数与两位小数的意义，通过迁移认识三位小数的意义，所以由学生独立解决。
当学生将上面的一位小数，两位小数，三位小数都有了一定的认识，我会出示下图，并请学生思考：如果最大的正方体的体积用&1&表示，那么可以用什么数分别表示1片、1条、1个小正方体的体积?意在让学生再一次的熟悉0.1，0.01，0.001之间的关系。
接着会带着学生再一次回顾和总结这一部分内容。
提出问题：结合板书，请同学们仔细观察、回忆一下我们刚才的探讨过程，和同伴交流一下，你都发现了什么?得出&分母是10、100、1000&&这样的分数可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几&&&这样的结论。
第三部分的教学是让学生找一找生活中的小数，与同伴交流。通过让学生举出自己熟悉的生活中小数的例子，进一步体会小数与十进分数的关系。在交流生活中的小数时，我会鼓励学生自己说一说身边的小数，并解释例子中所反映的小数与十进分数的关系。
设计意图：这三部分的教学主要是通过学生动手画一画，涂一涂，说一说，猜一猜等等来探索得到分数与小数之间的关系，小数的意义，充分发挥学生的主动性。
在学生根据一位小数表示十分之几，引导得出两位小数和什么样的分数有关，同时也能很快得到三位小数与什么分数有关，有意识地促进迁移，让学生体验成功，培养学生的学习兴趣和信心。
(三)课堂练习
接下来是巩固提高环节，我会出示两道题。第一题是&你问我答&抢答游戏：我说分数你说小数，反过来我说小数，你就说分数。
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浅谈考试成绩的差异显著性分析
　　【摘 要】本文尝试运用数理统计学中的显著性检验的基本思想和常用的excel软件简单介绍了考试成绩中班级之间、校际之间的平均分、优秀率、及格率的差异显著性检验，即U检验的计算方法与主要步骤；以及教改结题报告的成绩分析涉及各种检验方法——T检验、Z检验的区别及计算方法、主要步骤。简单而言，本文是用统计学中的检验方法科学地分析什么情况下两个平均分、优秀率、及格率“差别不大”，“差别明显”，“差很多”，希望能更加科学客观地分析两个均值间的差异，对有需要的老师有所帮助。中国论文网 /8/view-3869320.htm　　【关键词】成绩差异；U检验；T检验；excel软件　　一、引言　　在每次考试成绩统计中，平均分、及格率、优秀率依然是一个班级教学的主要考核指标，但由于这样或那样的原因，可能会有些学生缺考。特别是近年我市实行了中职技校春季招生政策，某些学校分流人数也许过半。如何才能科学地公平地进行统计分析，也是许多从事成绩分析与管理的老师面临的难题。　　另外，在教改结题报告或阶段性小结中，总要会对教改效果进行分析，也就难免对对比班与实验班的考试成绩中平均分、及格率、优秀率等数据作显著性检验，来比较教改的效果是否明显或不明显。看了不少结题报告，其中涉及到的检验方法如U检验，Z检验，T检验等等，不一而足，让人摸不着头脑。即便是数学教师，由于在大学就读时的教学内容侧重点有所不同，或许对数理统计方面知识掌握不强，也很难明白这些检验方法孰是孰非，孰优孰劣，更别说非专业其它科目的教师。在作成绩对比分析时，通常无从下手，或是委托统计能力强的老师帮忙，或是随意给些似是而非的数据，抑或罗列考试成绩，直接对比，不作任何检验，也就缺乏科学严谨性。　　二、班、级考试成绩差异显著性分析　　有些学校以班和年级考试人数与注册人数比值作为相对系数对实考的分数进行了调整，其大致算法是：年级在册人数为N，缺考R人，某班在册人数为n，缺考r人，则相对系数为[（n-r）/n]/[（N-R）/N]，用此系数乘以该班实际考试成绩，即为相对成绩，然后再以各班的相对成绩进行对比。这或许是一种方法，但这种调整，会对实考的成绩进行了放大或缩小，个人认为没有多少益处。事实上，一个班级本身或许也有人缺考，只不过没别班那么多，但平均分调整后可能偏离很多。　　例1：一所学校九年级4个班，每个班注册人数均为50，在一次考试中，某班平均分60，缺考20人，全级缺考100人，按上述方法折算该班平均分。解： =60*[（50-20）/50]/[（200-100）/200]=72，这是不科学的，也没有什么意义。　　1、样本均值与总体均值差异显著性检验（U检验）　　要检查班级之间成绩是否相差太大，目的并不是要排出名次，可以采用U检验（有些文章也称Z检验，在ecxel软件中，相应的变量也是Z。为避免与下文混淆，只有总体方差未知，本文方用Z检验，且二者计算不同，故此不用此名称）。U检验的条件是：已知（或可以求出）样本均值、样本容量与总体均值、总体的标准差，可能采用U检验进行两均值异显著性检验。　　统计学认为，不论x变量（考试分数）是连续型还是离散型，也无论x服从何种分布，一般只要样本容量（考试人数）n>20，就可认为平均值 的分布是正态的， ，则 ，服从标准正态分布，这就是进行U检验的理论依据。U检验主要步骤如下：　　第一步，建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用 表示　　第二步，计算u统计量　　U检验的统计量为 ，其中，　　（a） = （ 为该班每一个学生的分数）是要检验班的平均分，excel软件的公式为：=AVERAGE（该班的成绩区域）；　　（b） = （ 为年级每一个学生的分数）是年级平均分，excel软件的公式为：=AVERAGE（年级的成绩区域）；　　（c） 为标准误， 年级标准差，计算公式是 = excel软件的公式为：=STDEV（年级的成绩区域）；　　（d）n为该班人数，excel软件的公式为：=COUNT（该班的成绩区域）。以上的数据均由学生考试成绩表统计得到。　　从u统计量式子中我们看到，在两个平均分的差值进行标准化过程中，u值要受到年级标准差σ该班人数n影响。一般而言，就一次考试中n相对稳定，经开方后值更小，影响不大；而u值与σ成反比，换句话说，年级中各人成绩离散程度越大，两个平均分差值的差异就越不显著。　　第三步，设定显著水平ɑ，查表或计算接受域　　检验前必须设定显著水平ɑ，这是一个小概率数值，经常会选择ɑ=0.05，此时置信度1-ɑ=0.95，也即检验的结果有95%可靠性，有5%的不可靠，这个误差可能是由于偶然性造成的。在许多研究领域，0.05通常被认为是可接受错误的边界水平。如果有必要，也可选择ɑ=0.01，0.02等，使检验结果准确。由于标准正态分布图像是关于纵轴两边对称的，0.95对应的置信区间占据中间部分，而两侧共占0.05，一侧则占0.025，所以在计算或查表时，应以1-ɑ/2作为参数进行。如显著性水平ɑ=0.05，则查表或计算的是1-0.05/2=0.975对应的置信区间，excel软件的计算公式为：=NORMSINV（0.975），回车后得1.，一般取近似数1.96。由于图像对称性，确定的置信区间为（-1.96，1.96），以这个区间为接受域。若令ɑ=0.01，则接受域（-2.578，2.578）。　　第四步，观察统计量u值是否落在接受区域 ，由此对样本均值与总体均值作出显著性差异判断。如果u统计量在置信区间 （-1.96，1.96）内，接受H0，差异不显著，否则拒绝H0，差异显著；如果u统计量不在置信区间 （-2.578，2.578）内，则差异非常显著。　　例2.甲班某次参加考试36人，平均分66，年级平均分60，标准差为20分，检验甲班平均分与年级平均分是否有显著性差异。 　　解：把相关数据代入 ，所以无显著性差异。有些人认为相差5分就差很多，看来也是不科学的。　　2、标准分的计算　　由于标准分是综合个体与总体分数排位等因素计算而来，因此标准分本身是经过差异分析得到的数值。值得一提的是，在计算高考或中考标准分中，excel的NORMSINV函数作用非常大，不用查标准正态分布表，而且数值十分精确。换算公式T=100Z+500，其中Z=NORMSINV（Pi）， Pi为某名次以下的人数占考生总数的百分比，相当于1-ɑ/2。例如10000人考试，则第1名的标准分为T=100Z+500= 100*NORMSINV（）+500 872。　　3、班、级的及格率、优秀率的检验　　在成绩分析时，及格率、优秀率也可以像平均分一那样进行显著性差异检验，那么这两项该如何进行呢？难点在于标准差怎么求。　　其实，从公式看：平均分、及格率、优秀率三个数据的分母均为考试人数，三者均为平均值。平均分是每个人的分数之和/考试人数，由于每个人都会有一个分数，直接相加可得。那么及格率呢？表面看是及格率=及格人数/考试人数，在计算时，其实将每个人分数稍作处理：将达到及格的分数改为1，没达到的改为0，excel软件中可用公式=if（Ai>=60，1，0）及填充柄下拉简单得到，Ai为每个原始分数所在单元格，然后对转换后的数据求平均值（即及格率）与标准差了。然后把班、级的及格率代入u统计量式子中计算u值。优秀率也用相方法处理即可。　　例2.乙班某次考试成绩如下：　　87 64 71 81 75 72 87 46 54 61 50 42 65 50 79　　72 43 68 64 64 60 48 87 48 52 56 54 50 48 62　　92 70 82 53 82 73 75 72 68 70　　求此次考试的及格率及对应的标准差。　　解：按及格分数为1，不及格分数为0转换后为：　　1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1　　1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1　　1 1 1 0 1 1 1 1 1 1　　可以求出这组数据的平均值即及格率为=26/40=65%，标准差为S= =0.483。　　年级的优秀率与及对应的标准差也如法炮制，再进一步如平均分一样代入u统计量式子中计算就可以进行分析检验。需要指出的是，有些资料计算方法并非如此，这可能是转换后的结果只有0、1两个，不少人会认为这组数据服从两点分布或二项分布，所以按两点分布求方差S2=p（1-p），在这里p可以是及格率或优秀率，像上例S= =0.4770，出入比较大，很明显这并不是两点分布。我认为每个人及格记1分，不及格记0分，班级的“平均数”就是及格率或优秀率，这样理解更自然，按上例方法求标准差及进行检验可能更科学。　　4、U检验运用条件　　在已知样本均值、样本容量及总体的均值及总体的标准差，在每次考试中，这几个数据还是比较容易得到的，u统计量服从标准正态分布，即可以进行U检验。U检验涉及的计算较为简单，把以上四个参数代入公式即得u统计量（如果u值为负则取绝对值），然后与临界值比较，一般以1.96或2.578为临界值，不再另外查表或计算，就可以分析样本均值与总体均值是否具有显著性差异，所以U检验在诸多领域运用广泛。　　三、教改结题报告中的成绩分析（T检验，Z检验）　　一般而言，教改成绩就是实验班与对比班两个班的成绩比较，能否仅凭这两个班的平均分、优秀率、及格率的差值，立即得出教学效果是否明显呢？统计学认为，这样得出的结论是不可靠的，因为一个班的平均分具有统计意义，存在抽样误差，此数据是在一定范围内波动的，故而我们需要进行显著性差异检验。由于一个班多则也就50多人，少则也有20多人；所以每个班都可以看成一个样本，两个班就可看成从两个总体中抽取出来的双样本，一个总体是实施了教改的，一个是没有实施教改的。当然，这两个总体在这种情形下更多是虚拟的，它们具体的一些数据（平均分，方差等）我们是无从知晓的，也就没有办法直接研究，只能通过研究样本（即实验班及对比班成绩），由样本的数据对总体进行估计，并进行差异显著性检验，才能作出判断。　　1、Z检验与T检验的区别　　不少文章对Z检验还是T检验这两种方法作出了说明，两个总体均值的差异显著性检验中，在不知总体方差及均值情况下且统计量服从t分布，可以使用Z检验或T检验。如果样本容量n大于30，用Z检验，如果样本容量n小于30，则用t检验，在这里样本容量n即为该班人数。很明显，正如前文所说，一个班的人数一般都在30人之上，可以用Z检验。但假如一个班30人以下，另一班30人以上那怎么办？其实在计算机广泛应用计算的今天，不管样本容量n是多少，哪种检验都是可以使用的，且各种检验的基本原理是相同的。下面，不妨先了解这两种检验方法的统计量。　　首先，不论哪种检验都要用到以下数据：　　（a）两个班的平均分： ；　　（b）两个班的考试人数： ；　　（c）两个班的成绩的方差 ，应用excel软件的公式为=var（该班的成绩区域），数量上，方差=标准差的平方。　　t检验或z检验的主要步骤：　　第一步，建立虚无假设，即先认为两者没有差异，用 表示　　第二步：计算Z检验或T检验统计量　　z= ①，t= ②（大分母部分称为标准误）。式子中， 是两个班的平均分， ， 是两个班分数的方差， 是两个班考试人数。从函数单调性而言，不论z或t，与u值类似，当两班的方差增大时，其值减小，即两班均分所代表的两总体的均值的差值差异性也到受成绩离散程度影响。　　另外，从式子结构看，t统计量要复杂很多，这在计算工具落后的过去，这个计算当然是很繁琐的。想当初，手中可能连计算器都没有，开个方都可能需要手算。据说数学家陈景润证明“1+2”时所用的草稿纸真的达到汗牛充栋地步，可堆满房子，如果换了今天，估计他的稿纸也许高不盈尺。所以我们可以认为，Z检验其实只是T检验的粗略计算而已，二者其实都可使用，只是t值过程稍复杂，但应更精确。 　　第三步 查表或计算临界值　　在不知总体方差情形下，两个平均值差服从t分布，查表或计算t临界值要有两个参数，显著水平ɑ，及自由度df。如果考查一个班，d ，如果进行两个班对比，自由度d 。计算临界值 ，excel软件中公式为：=TINV（ɑ，df），若令ɑ=0.05，自由度从30至120，临界值 都约为2，详见下表：　　自由度df 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120　　临界值t0 2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.982 1.980　　而两个班的人数基本上也在这个幅度内，像U检验一样，根据原始数据算出的t值与临界值 进行比较，为了简化运算， 可以取近似数2。　　同样，在差异显著情形下，非要区别出相差很多，以令ɑ=0.01，自由度30至120主要的临界值 如下：　　自由度df 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120　　临界值t0 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.621 2.617　　第四步 比较t值或z值与 ，作出统计推断　　与u检验类似，比较计算出来的t值或z值与临界值 ，如果|t|< =2或|z| < =2，则认为要检验的两个样本均值差异不明显，否则差异显著。　　在报告中，不妨将各次考试成绩计算出来的t值用表格与图表形式展示出来，这样使数据条理更加清晰，也会使得内容更丰富，生动。　　例3.某次考试原始成绩（满分100）如下：　　实验班30人：　　90 54 56 84 78 84 78 78 82 50 82 76 80 56 80　　80 76 78 68 70 60 64 68 50 70 72 47 68 74 72　　对比班40人：　　70 72 72 54 66 64 90 68 50 62 60 54 50 95 56　　52 60 50 52 50 60 62 87 48 52 56 54 50 48 48　　66 62 70 70 82 60 64 64 62 58　　经计算得，实验班平均分 ，方差 =132.3，对比班平均分 ，方差 =135.2；分别代入Z统计量及T统计量式子中得　　z= = =3.255，　　t=　　= =3.25，二者差别不大，均大于临界值 =2，所以可以认为教改验效果明显。　　2、及格率、优秀率的检验　　很多教改老师在成绩分析时，主要是对实验班及对比班的平均分进行显著性差异检验，而及格率或优秀率的检验则很少人涉及，这或许不够全面。与U检验一样，对分数稍作转换，然后对处理后的两组数据像平均分显著性检验方法一样进行计算。　　例3.如上述例子，作及格率差异显著性分析，及格的分数改为1，不及格的改为0，则两个班的分数表为：　　实验班30人：　　1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1　　1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1　　对比班40人：　　1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0　　0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0　　1 1 1 1 1 1 1 1 1 0　　算得实验班及格率： =80%，方差 0.251；对比班及格率： =57.5%，方差 0.166，代入式子　　=2.01>2，同样及格率的检验差异显著性是明显的。同样方法也可以对优秀率进行检验。由于可以在excel表直接列表中用填充柄，计算极方便，此处不再赘言。　　3、前后两阶段成绩自身对比分析　　如果说，实验班与非实验班的成绩对比是横比的话，那么自身两次成绩的对比则是纵比。教改实验从开始接手到结束是一个过程，加上一个班学生的成绩也是一个动态变化，反映在教改期间的每一次在考试成绩，所以很有必要进行前后两阶段成绩自身对比分析。　　其检验方法是：对每一名学生两次成绩求差， ，然后以所有的差作为样本数据进行分析。　　统计量为 ，其中 为这组数据的标准差。　　例4.如例1中实验班成绩为：　　90 54 56 84 78 84 78 78 82 50　　82 76 80 56 80 80 76 78 68 70　　60 64 68 50 70 72 47 68 74 72　　而前一次考试成绩为：　　87 52 55 83 84 81 71 76 81 54　　80 76 80 54 78 77 74 72 65 74　　62 63 68 44 71 68 45 66 73 75　　对应位置的两个数据为同一名学生两次成绩，对这两次成绩平均分的进行差异显著性检验。　　解：两组对应位置的数据求差得：　　3 2 1 1 -6 3 7 2 1 -4　　2 0 0 2 2 3 2 6 3 -4　　-2 1 0 6 -1 4 2 2 1 -3　　计算得， =1.2 =2.93 df=30-1=29，计算 =2.045， 差异性显著，所以可以作出结论：教改效果明显。　　同样，与平均分、及格率，优秀率一样，通过对动态的差值计算的t值也可以通过表格与图表表示出来，说明教改中实验班与对比班成绩差异是否显著，教学效果是否明显。　　综上所述，在教改成绩分析中，不但要检验实验班与对比班的平均分差异显著性，还可以对两班及格率、优秀率差值进行检验，甚至对同一个班前后几次成绩进行检验，这样方能更科学地分析教改成效。　　四、差异显著性分析的意义　　不管是U检验还是T检验或其它检验，其计算方法都是两个均值的差除以标准误，然后与临界值比较，U检验的临界值 ，T检验的临界值在ɑ=0.05，自由度30至100时 ，然后作出差异显著性判断。超过甚至远远超过这个临界点是我们每一位教师所追求的目标。但是现实中，大多教师是达不到这个目标的，原因有很多，因篇幅关系此处不作分析，我想既然是教学改革是实验，当然就会存在失败，这是客观现象。我们应该更在乎过程，所以在成绩分析时，也就没有必要更改原始分数，非要达到“效果显著”。　　以上笔者试图用统计知识，简单介绍了考试成绩中班级之间乃至校际之间的平均分、优秀率、及格率与的差异显著性检验，以及教改结题报告的成绩分析涉及各种检验方法，以期能对有需要的老师有所帮助，只是限于本人水平匮乏，文中必有许多不足之处，敬请各位给予指正为谢。　　参考文献：　　[1] 佚名《Excel常用函数大全》http：//ce.sysu.edu.cn/hope2008/beautydesign/ ShowArticle.asp？ArticleID= 12385　　[2] 邢航《独立样本均数差异的显著性检验及应用》 《中国集体经济》 2008年第6期　　[3] 郑巧玲 何以平 《医学论文中t检验误用分析》 《中国科技期刊研究》2004年01期　　[4] 《平均数差异显著性检验统计检验力和效果大小的估计原理与方法》http：//www.docin.com/p-.html
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小学数学学科专业知识
小数部分：
把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示.如1/10记作0.1,7/100记作0.07.
小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位,计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计数单位.小数部分有几个数位,就叫做几位小数.如0.36是两位小数,3.066是三位小数
小数的读法：整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读.
小数的写法：小数点写在个位右下角.
小数的性质：小数末尾添0去0大小不变.化简
小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小,1十2百3千倍.
小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推.
整数部分：
十进制计数法：一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位.其中“一”是计数的基本单位.10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十.这种计数方法叫做十进制计数法
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整数的读法：从高位一级一级读,读出级名（亿、万）,每级末尾0都不读.其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”.
整数的写法：从高位一级一级写,哪一位一个单位也没有就写0.
四舍五入法：求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾数向前一位进1.这种求近似数的方法就叫做四舍五入法.
整数大小的比较：位数多的数较大,数位相同最高位上数大的就大,最高位相同比看第二位较大就大,以此类推.
■用字母表示数
用字母表示数是代数的基本特点.既简单明了,又能表达数量关系的一般规律.
■用字母表示数的注意事项
1、数字与字母、字母和字母相乘时,乘号可以简写成“o“或省略不写.数与数相乘,乘号不能省略.
2、当1和任何字母相乘时,“ 1” 省略不写.
3、数字和字母相乘时,将数字写在字母前面.
■含有字母的式子及求值
求含有字母的式子的值或利用公式求值,应注意书写格式
■等式与方程
表示相等关系的式子叫等式.
含有未知数的等式叫方程.
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式.所以,方程一定是等式,但等式不一定是方程.
■方程的解和解方程
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.
求方程的解的过程叫解方程.
■在列方程解文字题时,如果题中要求的未知数已经用字母表示,解答时就不需要写设,否则首先演将所求的未知数设为x.
■解方程的方法
1、直接运用四则运算中各部分之间的关系去解.如x-8=12
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差 减数=被减数－差 被减数=差＋减数
被乘数×乘数=积 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
2、先把含有未知数x的项看作一个数,然后再解.如3x+20=41
先把3x看作一个数,然后再解.
3、按四则运算顺序先计算,使方程变形,然后再解.如2.5×4-x=4.2,
要先求出2.5×4的积,使方程变形为10-x=4.2,然后再解.
4、利用运算定律或性质,使方程变形,然后再解.如：2.2x＋7.8x＝20
先利用运算定律或性质使方程变形为（2.2＋7.8）x＝20,然后计算括号里面使方程变形为10x＝20,最后再解.
整数、小学、分数四则混合运算
■四则运算的法则
1、加法a、整数和小数：相同数位对齐,从低位加起,满十进一b、同分母分数：分母不变,分子相加；异分母分数：先通分,再相加
2、减法a、整数和小数：相同数位对齐,从低位减起,哪一位不够减,退一当十再减b、同分母分数：分母不变,分子相减；异分母分数：先通分,再相减
3、乘法a、整数和小数：用乘数每一位上的数去乘被乘数,用哪一位上的数去乘,得数的末位就和哪一位对起,最后把积相加,因数是小数的,积的小数位数与两位因数的小数位数相同b、分数：分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母.能约分的先约分,结果要化简
4、除法a、整数和小数：除数有几位,先看被除数的前几位,（不够就多看一位）,除到被除数的哪一位,商就写到哪一位上.除数是小数是,先化成整数再除,商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数（0除外）,等于甲数除以乙数的倒数
■运算定律
加法交换律 a＋b=b＋a
结合律 （a＋b）＋c=a＋（b＋c）
减法性质 a－b－c=a－（b＋c）
a－（b－c）=a－b＋c
乘法交换律 a×b=b×a
结合律 （a×b）×c=a×（b×c）
分配律 （a＋b）×c=a×c＋b×c
除法性质 a÷（b×c）=a÷b÷c
a÷（b÷c）=a÷b×c
（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c
（a－b）÷c=a÷c－b÷c
商不变性质m≠0 a÷b=（a×m）÷（b×m） =（a÷m）÷（b÷m）
■积的变化规律：在乘法中,一个因数不变,另一个因数扩大（或缩小）若干倍,积也扩大（或缩小）相同的倍数.
推广：一个因数扩大A倍,另一个因数扩大B倍,积扩大AB倍.
一个因数缩小A倍,另一个因数缩小B倍,积缩小AB倍.
■商不变规律：在除法中,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变.
推广：被除数扩大（或缩小）A倍,除数不变,商也扩大（或缩小）A倍.
被除数不变,除数扩大（或缩小）A倍,商反而缩小（或扩大）A倍.
■利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便.但在有余数的除法中要注意余数.
如：= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除,即85÷2= ,商不变,但此时的余数1是被缩小100被后的,所以还原成原来的余数应该是100.
分数和百分数
■分数和百分数的意义
1、 分数的意义：把单位“ 1” 平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数.在分数里,表示把单位“ 1” 平均分成多少份的数,叫做分数的分母；表示取了多少份的数,叫做分数的分子；其中的一份,叫做分数单位.
2、 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.也叫百分率或百分比.百分数通常不写成分数的形式,而用特定的“%”来表示.百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系,后面不能带单位名称.
3、 百分数表示两个数量之间的倍比关系,它的后面不能写计量单位.
4、 成数：几成就是十分之几.
■分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成：真分数、假分数、带分数
■分数和除法的关系及分数的基本性质
1、 除法是一种运算,有运算符号；分数是一种数.因此,一般应叙述为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子.
2、 由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质.
3、 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外）,分数的大小不变,这叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据.
■约分和通分
1、 分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数.
2、 把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分.
3、 约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止.
4、 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分.
5、 通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数.
1、 乘积是1的两个数互为倒数.
2、 求一个数（0除外）的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置.
3、 1的倒数是1,0没有倒数
■分数的大小比较
1、 分母相同的分数,分子大的那个分数就大.
2、 分子相同的分数,分母小的那个分数就大.
3、 分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小.
4、 如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大.
■百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％,七五折就是75％,成数就是十分之几,如一成就是牐 闯砂俜质 褪?0%,则六成五就是65%.
■纳税和利息：
税率：应纳税额与各种收入的比率.
利率：利息与本金的百分率.由银行规定按年或按月计算.
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
百分数与分数的区别主要有以下三点：
1．意义不同.百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数.”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量.如：可以说 1米 是 5米 的 20％,不可以说“一段绳子长为20％米.”因此,百分数后面不能带单位名称.分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”.分数不仅 可以表示两数之间的倍数关系,如：甲数是3,乙数是4,甲数是乙数的?；还可以表示一定的数量.
2．应用范围不同.百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较.而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用.
3．书写形式不同.百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“％”来表示.如：百分之四十五,写作：45％；百分数的分母固定为100,因此,不论百分数 的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分；百分数的分子可以是自然数,也可以是小数.而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有：真分数、假分数、带分 数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数.
■整除的意义
整数a除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义 甲数除以乙数,所得的商是整数或有限小数而余数也为0时,我们就说甲数能被乙数除尽,（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数,也可以是小数（乙数不能为0）.
■约数和倍数
1、如果数a能被数b整除,a就叫b的倍数,b就叫a的约数.2、一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.3、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本身,它没有最大的倍数.
■奇数和偶数
1、能被2整除的数叫偶数.例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数 2、不能被2整除的数叫基数.例如：1、3、5、7、9……
■整除的特征
1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8.
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5.
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除,这个数就能被3 整除.
■质数和合数
1、一个数只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数（素数）.
2、一个数除了1和它本身外,还有别的约数,这个数叫做合数.
3、1既不是质数,也不是合数.
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数
5、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数
■分解质因数
1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数.例如：18=3×3×2,3和2叫做18的质因数.
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.通常用短除法来分解质因数.
3、几个数公有的因数叫做这几个数的公因数.其中最大的一个叫这几个数的最大公因数.公因数只有1的两个数,叫做互质数.几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数.其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数.
4、特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数.（1）如果几个数中,较大数是较小数的倍数,较小数是较大数的约数,则较大数是它们的最小公倍数,较小数是它们的最大公约数.（2）如果几个数两两互质,则它们的最大公约数是1,小公倍数是这几个数连乘的积.
■奇数和偶数的运算性质：
1、相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数.
2、奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数,
奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数-偶数=偶数；奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数.
■比和比例应用题
在工业生产和日常生活中,常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配,这种分配方法通常叫“按比例分配”.
■解题策略
按比例分配的有关习题,在解答时,要善于找准分配的总量和分配的比,然后把分配的比转化成分数或份数来进行解答
■正、反比例应用题的解题策略
1、审题,找出题中相关联的两个量
2、分析,判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系.
3、设未知数,列比例式
4、解比例式
5、检验,写答语
数感和符号感
■在数学教学中发展学生的数感主要指,使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算,有能力进行计算,并具有选择适当方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能根据数据进行推论,并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验,等等.
■培养学生的数感的目的就在于使学生学会数学地思考,学会用数学的方法理解和解释现实问题.
■ 数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高.学生在遇到问题时,自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系,这样才有可能建构与具体事物相联系 的数学模型.具备一定的数感是完成这类任务的重要条件.如,怎样为参加学校运动会的全体运动员编号?这是一个实际问题,没有固定的解法,你可以用不同的方 式编,而不同的编排方案可能在实用性和便捷性上是不同的.如,从号码上就可以分辨出年级和班级,区分出男生和女生,或很快的知道一名队员是参加哪类项目.
■ 数概念本身是抽象的,数概念的建立不是一次完成的,学生理解和掌握数的概念要经历一个过程.让学生在认识数的过程中,更多地接触和经历有关的情境和实例, 在现实的背景下感受和体验会使学生更具体更深刻地把握数的概念,建立数感.在认识数的过程中,让学生说一说自己身边的数,生活中用到的数,如何用数表示周 围的事物等,会让学生感觉到数就在自己身边,运用数可以简单明了地表示许多现象.估计一页书的字数,一本书有多少页,一把黄豆有多少粒等,这些对具体数量 的感知与体验,是学生建立数感的基础,这对学生理解数的意义会有很大的帮助.
■无论在哪个学段,都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体的情境中的数量关系和变化规律,这是发展学生符号感的决定性因素.
■引进字母表示,是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步.尽可能从实际问题中引入,使学生感受到字母表示的意义.
第一,用字母表示运算法则、运算定律以及计算公式.算法的一般化,深化和发展了对数的认识.
第二,用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系.例如,匀速运动中的速度v、时间t和路程s的关系是s=vt.
第三,用字母表示数,便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并确切地表示出来,从而有利于进一步用数学知识去解决问题.例如,我们用字母表示实际问题中的未知量,利用问题中的相等关系列出方程.
■字母和表达式在不同场合有不同的意义.如：
5=2x+1表示x所满足的一个条件,事实上,x这里只占一个特殊数的位置,可以利用解方程找到它的值；
Y=2x表示变量之间的关系,x是自变量,可以取定义域内任何数,y是因变量,y随x的变换而变化；
（a+b）（a－b）=a－b表示一个一般化的算法,表示一个恒等式；
如果a和b分别表示矩形的长和宽,S表示矩形的面积,那么S=ab表示计算矩形面积公式,同时也表示矩形的面积随长和宽的变化而变化.
■如何培养学生的符号感
要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式意义,在解决实际问题中发展学生的符号感.
必须要对符号运算进行训练,要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算.但是并不主张进行过繁的形式运算训练.
学生的符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的,而是应该贯穿于数学学习的全过程,伴随着学生数学思维的提高逐步发展.
数感和符号感
■在数学教学中发展学生的数感主要指,使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算,有能力进行计算,并具有选择适当方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能根据数据进行推论,并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验,等等.
■培养学生的数感的目的就在于使学生学会数学地思考,学会用数学的方法理解和解释现实问题.
■ 数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高.学生在遇到问题时,自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系,这样才有可能建构与具体事物相联系 的数学模型.具备一定的数感是完成这类任务的重要条件.如,怎样为参加学校运动会的全体运动员编号?这是一个实际问题,没有固定的解法,你可以用不同的方 式编,而不同的编排方案可能在实用性和便捷性上是不同的.如,从号码上就可以分辨出年级和班级,区分出男生和女生,或很快的知道一名队员是参加哪类项目.
■ 数概念本身是抽象的,数概念的建立不是一次完成的,学生理解和掌握数的概念要经历一个过程.让学生在认识数的过程中,更多地接触和经历有关的情境和实例, 在现实的背景下感受和体验会使学生更具体更深刻地把握数的概念,建立数感.在认识数的过程中,让学生说一说自己身边的数,生活中用到的数,如何用数表示周 围的事物等,会让学生感觉到数就在自己身边,运用数可以简单明了地表示许多现象.估计一页书的字数,一本书有多少页,一把黄豆有多少粒等,这些对具体数量 的感知与体验,是学生建立数感的基础,这对学生理解数的意义会有很大的帮助.
■无论在哪个学段,都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体的情境中的数量关系和变化规律,这是发展学生符号感的决定性因素.
■引进字母表示,是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步.尽可能从实际问题中引入,使学生感受到字母表示的意义.
第一,用字母表示运算法则、运算定律以及计算公式.算法的一般化,深化和发展了对数的认识.
第二,用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系.例如,匀速运动中的速度v、时间t和路程s的关系是s=vt.
第三,用字母表示数,便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并确切地表示出来,从而有利于进一步用数学知识去解决问题.例如,我们用字母表示实际问题中的未知量,利用问题中的相等关系列出方程.
■字母和表达式在不同场合有不同的意义.如：
5=2x+1表示x所满足的一个条件,事实上,x这里只占一个特殊数的位置,可以利用解方程找到它的值；
Y=2x表示变量之间的关系,x是自变量,可以取定义域内任何数,y是因变量,y随x的变换而变化；
（a+b）（a－b）=a－b表示一个一般化的算法,表示一个恒等式；
如果a和b分别表示矩形的长和宽,S表示矩形的面积,那么S=ab表示计算矩形面积公式,同时也表示矩形的面积随长和宽的变化而变化.
■如何培养学生的符号感
要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式意义,在解决实际问题中发展学生的符号感.
必须要对符号运算进行训练,要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算.但是并不主张进行过繁的形式运算训练.
学生的符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的,而是应该贯穿于数学学习的全过程,伴随着学生数学思维的提高逐步发展.
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