您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
高中数学复习专题座：求函数值域的常用方法及值域的应用.doc7页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
文档加载中...广告还剩秒
需要金币：150 &&
高中数学复习专题座：求函数值域的常用方法及值域的应用
你可能关注的文档：
··········
··········
oihjohogilhop
正在加载中，请稍后...现场就餐的市民挤爆大门，场面极为混乱。
老人以拿钱给儿子为由，要儿子回家详谈养老。
　　高中数学函数值域的12种求法
　　高考志愿专家
　　一.观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
　　故3+√(2-3x)≥3。
　　∴函数的值域为{yOy≥3｝.
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
　　二.反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{yOy≠1,y∈R｝。
　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{yOy&-1或y&1｝)
　　三.配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
　　解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{yOy≤3})
　　四.判别式法
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
　　当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
　　当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2
　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b&√(cx2+dx+e)的函数。
　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y&0)。
　　五.最值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　解：∵3x2+x+1&0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
　　∴函数z的值域为{zO-5≤z≤15/4｝。
　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ()
　　A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
　　(答案：D)。
　　六.图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6求函数y=Ox+1O+√(x-2)2的值域。
　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　解：原函数化为
　　-2x+1(x≤1)
　　y=3(-1&x≤2)
　　2x-1(x&2)
　　它的图象如图所示。
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
　　七.单调法
　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
　　解：设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。
　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
　　练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
　　八.换元法
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
　　例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
　　解：设t=√2x+1 (t≥0),则
　　x=1/2(t2-1)。
　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
　　所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。
　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
　　练习：求函数y=√x-1 Cx的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
　　九.构造法
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
　　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
　　KC=√(x+2)2+1 。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
　　线时取等号。
　　∴原函数的值域为{y|y≥5｝。
　　点评：对于形如函数y=√x2+a &√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
　　练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
　　十.比例法
　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
　　∴x=3+4k,y=1+3k,
　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
　　当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
　　函数的值域为{z|z≥1｝.
　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
　　十一.利用多项式的除法
　　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
　　十二.不等式法
　　例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
　　由对数函数的定义知x/(1-x)&0
　　1-x≠0
　　解得：0&x&1
　　∴函数的值域(0，1)。
　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
　　以下供练习选用：求下列函数的值域
　　1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3｝)
　　2.Y=2x/(2x-1)。(y&1或y&0)
　　注意变量哦
　　升学网-高考志愿填报平台
　　高考志愿学霸经验高考改革专业解读
　　（ 升学网微信公众号：sxwgaokao）
　　点下面“阅读原文”看更多高考内容......
欢迎举报抄袭、转载、暴力色情及含有欺诈和虚假信息的不良文章。
搜狐公众平台官方账号
生活时尚&搭配博主 /生活时尚自媒体 /时尚类书籍作者
搜狐网教育频道官方账号
全球最大华文占星网站-专业研究星座命理及测算服务机构
原学而思中考教育主编，现升学网高考教育主编，一切为做好k1...
主演：黄晓明/陈乔恩/乔任梁/谢君豪/吕佳容/戚迹
主演：陈晓/陈妍希/张馨予/杨明娜/毛晓彤/孙耀琦
主演：陈键锋/李依晓/张迪/郑亦桐/张明明/何彦霓
主演：尚格?云顿/乔?弗拉尼甘/Bianca Bree
主演：艾斯?库珀/ 查宁?塔图姆/ 乔纳?希尔
baby14岁写真曝光
李冰冰向成龙撒娇争宠
李湘遭闺蜜曝光旧爱
美女模特教老板走秀
曝搬砖男神奇葩择偶观
柳岩被迫成赚钱工具
大屁小P虐心恋
匆匆那年大结局
乔杉遭粉丝骚扰
男闺蜜的尴尬初夜
客服热线：86-10-
客服邮箱：六种方法破解求函数值域问题
六种方法破解求函数值域问题
函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多，下面结合实例进行例析。
一、反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。
& 例1. 求函数的值域。
&&& 解：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。
二、换元法
&&& 换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。
& 例2. 若，求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，于是，故的值域是。
三、分离常数法
&&& 求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。
& 例3. 求函数的值域。
&&& 解：，因为，则，故函数的值域为。
四、判别式法
&&& 把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。
& 例4. 求函数的值域。
&&& 解：原式变形为。
&&& ①当时，方程无解；
②当时，因为，所以，解得。
综合①②得，函数的值域为。
五、函数的单调性法
&&& 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。
& 例5. 求函数的值域。
&&& 解：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。
&&& 故，所以函数的值域为。
六、利用有界性
&&& 利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。
& 例6. 求函数的值域。
&&& 解：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。热门推荐：
声明：本文由入驻搜狐公众平台的作者撰写，除搜狐官方账号外，观点仅代表作者本人，不代表搜狐立场。
　　小数老师说
　　函数，是高中数学中很重要的一部分内容，很多同学也为函数值域的求法感到头痛。今天我就给大家分享一下，高中数学中函数值域的11种求法。只要同学们熟练掌握了这些求法，便能轻轻松松地应对高中函数了。
　　更多内容关注高中数学微信公众号！
欢迎举报抄袭、转载、暴力色情及含有欺诈和虚假信息的不良文章。
请先登录再操作
请先登录再操作
微信扫一扫分享至朋友圈
三好网小数老师，高中数学老师一枚，多次参与高考阅卷工作！一...
中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授函数及其表示
求函数的值域
时长：00:18:18
本节为收费课程，观看请购买 : 高一数学人教版必修1同步课 归纳总结课 (102节课、394道题)
25514 人已购买，学习成绩获得大幅提升！
青果价：438 青果币
如何获得青果币？
1.直接充值购买
2.使用青果积分兑换（100积分=1青果币）
求函数的值域
时长：00:18:18
本课难度系数：
课程评价：
(269人评价)
请评分：很 烂不喜欢一 般喜 欢超 棒
视频讲师：王士轩
讲师微信：
高一数学QQ群：
你还记得值域的定义是什么吗？你知道怎么求函数的值域吗？你能针对不同类型的函数迅速找出相应的求值域的方法吗？这节课由王士轩和王政老师为同学们讲解如何求函数的值域，教你快速准确的掌握不同类型函数的值域的求法。轻轻一点，精彩无限！
值域函数的值域如何求函数值域求函数值域的方法}